Versuchsprotokoll von Thomas Bauer, Patrick Fritzsch. Münster, den
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- Georg Hafner
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1 M1 Pendel Versuchsprotokoll von Thomas Bauer, Patrick Fritzsch Münster, den
2 INHALTSVERZEICHNIS 1. Einleitung. Theoretische Grundlagen.1 Das mathematische Pendel. Das Federpendel.3 Parallel- und Reihenschaltung zweier Federn.3.1 Parallelschaltung.3. Reihenschaltung 3. Versuchsaufbau 3.1 Zubehör 3. Beschreibung des Versuches 4. Meßdurchführung 4.1 Messung für das Fadenpendel 4. Messungen für das Federpendel 4..1 Messung an den einzelnen Federn 4.. Messungen der Parallel- und Reihenschaltung 5. Meßauswertung 5.1 Bestimmung von g 5. Bestimmung von g über Koinzidenzen 5.3 Bestimmung der Federkonstanten D 1 und D Bestimmung der Federkonstanten D Bestimmung der Federkonstanten D 5.4 Bestimmung der Federkonstanten D p bei Parallelschaltung von D 1 und D 5.5 Bestimmung der Federkonstanten D r bei Reihenschaltung von D 1 und D 6. Diskussion 7. Anlagen Original Meßprotokoll
3 1. Einleitung Das beste Beispiel eines harmonischen Oszillators in der Mechanik ist ein Pendel. Zu untersuchen sind die Bewegung eines Fadenpendels und eines Federpendels sowie deren Eigenschaften. Für eine einfache mathematische Erklärung (Schwingungsgleichung) der Bewegungsform ist darauf zu achten, dass das Pendel nur kleine Auslenkungen aus der Ruhelage erfährt. Außerdem soll das zusammenwirken von zwei Pendel auf unterschiedliche Weise (Parallel- und Reihenschaltung) untersucht werden. Mit Hilfe von Pendeln ist es ebenfalls möglich die Erdbeschleunigung zu ermitteln.
4 . Theoretische Grundlagen.1 Das mathematische Pendel Übliche Abstraktionen in der Mechanik sind (a) die gesamte Masse m ist in einem Punkt vereinigt, (b) eine Bewegung erfolgt reibungsfrei und werden auch im folgenden genutzt. Dazu kommt noch, dass beim Fadenpendel der Aufhängefaden als masselos betrachtet werden kann. Die Bewegung des Fadenpendels wird bei kleinen Auslenkungen durch folgende Differentialgleichung beschrieben: Abbildung 1: Das Fadenpendel g ϕ + ϕ = 0 l Sie kann über bekannte Standardverfahren gelöst werden. In jedem Fall gilt jedoch: T l = π, g mit der Erdbeschleunigung g und der Fadenlänge l des Pendels und der Periodendauer T.. Das Federpendel Bei kleinen Auslenkungen gilt für die Kraft F und die Auslenkung x der Feder aus ihrer Ruhelage folgende lineare Beziehung (Hookesche Gesetz): F = D x = m x D Die beschreibende Differentialgleichung lautet dann: ẋ + x = 0 m Abbildung : Das Federpendel Äquivalent zum Fadenpendel gilt für die Periodendauer T einer Schwingung: T = π m D Anders als beim Fadenpendel muss hier jedoch die Eigenmasse m der Feder in die
5 Berechnung mit einbezogen werden. Für ein infinitesimales Massenelement der Feder gilt: m' dm'= dl a mit der Federlänge l und einem kleinen Federabschnitt dl im Abstand l von der Aufhägung. Bezieht man dies in die Berechnung der kinetischen Energie der Schwingung mit ein, so erhält man die Ersatzmasse m*=m+m/3. Für die Periodendauer T gilt dann: T = π m + m' /3 D.3 Parallel- und Reihenschaltung zweier Federn.3.1 Parallelschaltung Die beiden Federn erfahren, wie aus Abbildung 3 ersichtlich, die gleiche Auslenkung x und es gilt somit: F = F + F = D x D x = D x D x = D D ) x ( 1 + Bei einer Parallelschaltung addieren sich somit die Federkonstanten D der beiden zwei Federn: D Ges = D 1 + D Abbildung 3: Parallelschaltung zweier Federn.3. Reihenschaltung Schaltet man Federn in Reihe, so ist die angreifende Kraft für alle gleich und die Gesamtauslenkung der Reihenschaltung ergibt sich aus der Summe der Auslenkungen der einzelnen Federn: x Ges F F 1 1 = x1 + x = = ( + ) F = D D D D 1 1 F D Ges Für eine Reihenschaltung von Federn addieren sich somit die Kehrwerte der einzelnen Federkonstanten zum Kehrwert der Gesamtfederkonstanten. Abbildung 4 Reihenschaltung zweier Federn = + D Ges D D 1
6 3. Versuchsaufbau 3.1 Versuchszubehör - 1 Fadenpendel mit Halterung - 1 Federpendel mit Bügel, Gewichtsschälchen und Wendelfedern - 1 Stroboskop - 1 Visiereinrichtung mit Strichmakierung - 1 Balkenwaage mit Gewichtssatz - 1 Meßlatte - 1 Schieblehre - 1 Stoppuhr 3. Beschreibung des Versuchs 3..1 Es wird die Schwingungsdauer von 100 Schwingungen des mathematischen Pendels für fünf verschiedene Pendellängen gemessen. 3.. Es wird die Schwingungsdauer von 100 Schwingungen des mathematischen Pendels für eine Pendellänge von l=96cm gemessen Nun soll die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels bei einer Pendellänge von l=96cm genauer bestimmt werden. Hierzu mißt man die Lichtblitze zwischen zwei aufeinanderfolgenden Koinzidenzen des Fadenpendels mit einer zur Ruhelage identischen Markierung mit Hilfe des Strobokopes, welches in Abstand von einer Sekunde aufblitzt Auf zwei verschiedene Arten soll die Federkonstante der beiden Wendelfedern bestimmt werden: a) statisch: es wird die Auslenkung für fünf verschiedene Gewichte gemessen. b) dynamisch: es wird für je zwei verschiedene Gewichte die Schwingungsdauer von 50 Schwingungen gemessen. Dabei ist zu beachten, daß das Eigengewicht der Feder auch berücksichtigt wird Wie in 3.3.4a) und 3.3.4b) soll die Federkonstante der beiden in Reihe und parallel geschalteten Federn bestimmt werden.
7 4. Meßdurchführung 4.1 Messungen für das Fadenpendel Länge l (cm) Zeit t für 100 Schwingungen (s) Tabelle1: Zeit für 100Schwingungen bei verschiedenen Längen beim Fadenpendel Anzahl der Zeit T S Messungen Tabelle : Koinzidenzzeiten für ein Fadenpendel der Länge l= 96cm 4. Messungen für die Federpendel 4..1 Messungen an den einzelnen Federn Feder F 1 Feder F Gewicht m (g) Auslenkung x (cm) Gewicht m (g) Auslenkung x (cm) 0 0,9 50 0,5 50, , , , , 00,1 00 8, ,5 Tabelle 3: Statische Auslenkungen an den Federn Feder F 1 Feder F Gewicht m (g) Zeit t (s) Gewicht m (g) Zeit t (s) 100 4, , , ,37 Tabelle 4: Dynamische Messungen an beiden Federn für 50 Schwingungen 4.. Messungen der Parallel- und Reihenschaltung Parallelschaltung Reihenschaltung Gewicht m (g) Auslenkung x (cm) Gewicht m (g) Auslenkung x (cm) 50 0,4 30 1, ,8 50,6 00 1, ,0 300, , , 00 10,4 Tabelle 5: Statische Auslenkung bei verschiedenen Schaltungen der Federn Parallel Reihe Gewicht m (g) Zeit t (s) Gewicht m (g) Zeit t (s) 400 0, , , ,1 Tabelle 6: Dynamische Messungen für 50 Schwingungen bei Parallel- und Reihenschaltung
8 5. Meßauswertung 5.1 Bestimmung von g Aus der Steigung in Diagramm 1 wird geprüft, ob eine Proportionalität zwischen T und l vorliegt. Diagramm 1: T gegen l Aus Diagramm 1 ist eindeutig ersichtlich, daß eine Proportionalität zwischen den beiden Größen gegeben ist. Ferner läßt sich die Erdbeschleunigung aus der Steigung der Geraden dieses Diagrammes bestimmen. Es gilt: π g = ( T l ) = 9,84 (1 ± 5,59%) m/s = (9,84 ± 0,55) m/s 5. Bestimmung von g über Koinzidenzen Mit der Formel für die Periodendauer T = TS ;( T S = n 1s ) erhält man für alle n + 1 sieben gemessenen Werte bis zu zwei Nachkommastellen die gleiche Periodendauer von: T=1,96 (1 ± 1,85%) s =(1,96 ± 0,04) s
9 Für die Erdbeschleunigung erhält man somit: g=9,87 (1 ± 4,1%) m/s =(9,87 ± 0,4) m/s 5.3 Bestimmung der Federkonstanten D 1 und D Für eine statische Messung der Federkonstanten wird daß Hookesche Gesetz herangezogen, es gilt: F = mg = Dx mg D = x Bei einer Messung von x in Abhängigkeit von m läßt sich die Federkonstante D dann in einem Diagramm m gegen x als Steigung ( mg ) = D x ermitteln. Bei einer dynamischen Messung gilt die Beziehung: T = π m * D Um auch hier die Federkonstante als Steigung einer Geraden ablesen zu können, muß man 4π m * gegen (4π m*) T T auftragen, womit gilt: D = Bestimmung der Federkonstanten D 1 Diagramm : Statische Messungen an der Feder F1 zur Bestimmung von D1
10 Diagramm 3: Dynamische Messungen zur Bestimmung von D1 Man erhält für die (a) statische Messung (b) dynamische Messung D 1 =3,63 (1 ± 1,54%) N/m D 1 =4,33 (1 ± 9,97%) N/m Bildet man für weitere Rechnungen den Mittelwert, so ergibt sich: D 1 =3,98 (1 ± 10,7%) N/m
11 5.3. Bestimmung der Federkonstanten D Diagramm 4: Statische Messungen an der Feder F zur Bestimmung von D Diagramm 5: Dynamische Messungen zur Bestimmung von D
12 Man erhält hier für die (a) statische Messung (b) dynamische Messung D =111,87 (1 ± 1,90%) N/m D =106,11 (1 ± 4,16%) N/m Bildet man für weitere Rechnungen den Mittelwert, so ergibt sich: D =108,99 ( ± 17,9%) N/m 5.4 Bestimmung der Federkonstanten D p bei Parallelschaltung von D 1 und D Nach Theorie addieren sich bei einer Parallelschaltung der beiden Federn deren Federkonstanten. Man sollte dann den folgenden Wert aus den Mittelwerten von D 1 und D erwarten: D p =13,97 N/m Diagramm 6: Statische Messung bei Parallelschaltung von F1 und F
13 Diagramm 7: Dynamische Messung bei Parallelschaltung von F1 und F Die Diagramme liefern die folgenden Werte: (a) Statische Messung: (b) Dynamische Messung: D p =1,63 (1 ± 1,93%) N/m D p =135,70 (1 ± 19,90%) N/m Für den Mittelwert ergibt sich somit: D p =19,17 (1 ±,74%) N/m Die Abweichung vom erwarteten Wert (D p =13,97 N/m) beträgt,86%. 5.5 Bestimmung der Federkonstanten D r bei Reihenschaltung von D 1 und D Bei einer Reihenschaltung sollen sich nach der Theorie die Kehrwerte der einzelnen Federn zum Kehrwert der Gesamtfederkonstanten D r addieren. Hier sollte man dann aus den Mittelwerten von D 1 und D die folgende Federkonstante erwarten: D r =19,66 N/m
14 Diagramm 8: Statische Messung für die Reihenschaltung der beiden Federn Diagramm 9: Dynamische Messung für die Reihenschaltung
15 Die Diagramme liefern die folgenden Werte: (a) Statische Messung: (b) Dynamische Messung: D p =18, (1 ± 1,88%) N/m D p =19,46 (1 ± 0,80%) N/m Für den Mittelwert ergibt sich somit: D p =18,84 (1 ± 13,8%) N/m Die Abweichung vom erwarteten Wert (D p =19,66 N/m) beträgt 4,17%.
16 6. Diskussion Wie erwartet, konnte die Gravitationskonstante mit dem Fadenpendel nicht genau zu g=9,81 m/sec bestimmt werden, sondern lag etwas über diesem Wert. Dieses liegt sicher daran, daß sich die Theorie des Fadenpendels auf eine reibungsfreie Lagerung und einen masselosen Faden bezieht. Wenn man nämlich bedenkt, daß an der Lagerung des Fadens dem Pendelsystem Reibungsenergie verloren geht, ergibt sich eine praktisch gemessene Schwingungsdauer, die unter dem theoretischen berechneten Wert liegt. Da die Schwingungsdauer bei der Berechnung der Gravitationskonstante im Nenner steht, erhält man folglich eine größere Gravitationskonstante. Im Nachhinein ist auch zu sagen, daß die angeblich genauere Messung mit dem Stroboskop keine bessere Messung liefern konnte, da mit diesem Gerät zwar die Zeit genauer gemessen werden konnte, jedoch die Fehlerquelle der Reibung noch immer vorhanden war. Bei den Federpendeln liegt ähnlicher Sachverhalt vor. Man erkennt, daß bei den einzelnen Federmessungen stets die dynamische Messung eine größere Federkonstante ergibt als die statische Messung. Einzig in der dynamischen Messung der Parallelschaltung ergibt sich ein zu großer Wert für die Federkonstante. Das ist auch einleuchtend, da die Federsysteme bei jeder Verformung Energie verlieren und sich ihre Schwingungsdauer damit erniedrigt. Da die Schwingungsdauer zur Berechnung der Federkonstante im Nenner steht, erhöht sich diese. Bei der dynamischen Messung für die Reihenschaltung hingegen, liegt der gemessene Wert unter dem theoretisch erwarteten Wert. Dieses hat folgenden Grund: Die Federkonstante berechnet sich aus dem Quotienten des Produktes beider Federkonstanten durch die Summe beider Federkonstanten. Da jedoch die Federkonstanten im ersten Teil als
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