Abschlußprüfung an Fachoberschulen: Physik 1996 Aufgabe III

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1 Abschlußprüfung an Fachoberschulen: Physik 1996 Aufgabe III 1.0 Die Abhängigkeit des Betrags der Coulombkraft F C von den Punktladungen gen Q 1, Q und ihrem Abstand r im Vakuum wird durch das Coulombgesetz 1 Q Q FC = FC = 1 4 πε 0 r erfaßt, wobei ε 0 = elektrische Feldkonstante. 1.1 Beschreiben Sie anhand einer beschrifteten Skizze einen geeigneten Versuchsaufbau, mit dem die Abhängigkeit des Betrags der Coulombkraft F C vom Abstand r untersucht wird. (7 BE) 1..0 Im Versuch 1.1 ergibt sich für Q 1 = Q = +7 nc die folgende Meßreihe: Messung Nr r in cm 4,0 5,0 6,0 7,0 F C in mn 4,0,6 1,8 1, Ermitteln Sie durch graphische Auswertung der Meßreihe die Abhängigkeit des Betrags der Kraft F C vom Abstand r. (5 BE) 1.. Geben Sie diese Abhängigkeit in Form einer Gleichung an, und bestimmen Sie die auftretende Proportionalitätskonstante k mit Hilfe des Diagramms von (3 BE) 1..3 Berechnen Sie aus der Konstanten k die elektrische Feldkonstante. (3 BE) Im Vakuum befinden sich zwei identische Metallkugeln (Masse m = 0,50 g), welche die gleiche Ladung Q tragen. Sie sind an zwei gleich langen Fäden (Pendellänge l = 1,0 m) befestigt und an demselben Aufhängepunkt angebracht. Auf die geladenen Kugeln wirkt unter anderem die Abstoßungskraft F bzw. F. In der Gleichgewichtslage beträgt der Mittelpunktsabstand der Kugeln d = 16 cm (s. Skizze). Die Abmessungen der Kugeln sind zu vernachlässigen. Ph 96-16

2 1.3.1 Berechnen Sie ausgehend von einem Kräfteplan, der die auf eine geladene Metallkugel einwirkenden Kräfte enthält den Betrag der Abstoßungskraft F bzw. F. [Ergebnis: F = 0,39 mn] (5 BE) 1.3. Berechnen Sie den Betrag der Ladung, die eine der beiden Kugeln trägt. (3 BE).0 An eine Schraubenfeder, für die das Hooksche Gesetz gilt und deren Masse unberücksichtigt bleiben soll, wird ein Körper K der Masse m gehängt. Ist K in der Gleichgewichtslage, so ist die Feder mit der Federkonstanten D um l 0 = 6,0 cm gedehnt. Der Schwerpunkt des Körpers K befindet sich dann im Nullpunkt des Koordinatensystems. Der massenlose Zeiger Z kennzeichnet in diesem Koordinatensystem die Koordinate s der Elongation (s. Skizze.0). Nun wird K um 4,0 cm angehoben und zum Zeitpunkt t 0 = 0 s sich selbst überlassen. Reibungsverluste sind zu vernachlässigen..1 Zeichnen Sie einen Kräfteplan, der die auf den Körper K einwirkenden Kräfte enthält, wenn sich K oberhalb des Nullpunkts O (0 cm < s 4,0 cm) befindet (s. Skizze.0).. Zeigen Sie, ausgehend von.1, durch allgmeine Rechnung, daß für die Koordinate F Rü der Rückstellkraft gilt: F Rü = D s..3 Leiten Sie durch allgemeine Rechnung die Formel für die Periodendauer T eines harmonisch schwingenden Federpendels aus dem linearen Kraftgesetz her..4 Berechnen Sie die Periodendauer T dieser Schwingung. [Ergebnis: T = 0,49 s].5 Ermitteln Sie, unter Berücksichtigung der bisherigen Daten, die Gleichung der Elongation s(t) in Abhängigkeit von der Zeit..6 Berechnen Sie den Zeitpunkt t 1, bei dem die Elongation zum erstenmal s 1 = 3,0 cm annimmt. ( BE) (5 BE) (6 BE) (4 BE) (3 BE) (4 BE) (50 BE) Ph 96-17

3 Lösung 1.1 Versuch mit der Torsionsdrehwaage An einem Instrumententräger (Einrichtung zur Befestigung von Spiegel, Kugel K 1 und Ausgleichsmasse) befinden sich oben und unten zwei Torsionsdrähte, die ihrerseits in einem Gestell fest eingespannt sind. Die beiden Befestigungsstellen A und B liegen dabei in einer Senkrechten. Die gleich großen Metallkugeln K 1 und K befinden sich an Isolierstäben, K 1 kann sich dabei in einer waagrechten Ebene mit AB als Drehachse bewegen. In dieser Ebene befindet sich im Abstand r (Kugelmittelpunkte) die Kugel K. Dabei ist darauf zu achten, daß die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte senkrecht auf dem Drehradius der Kugel K 1 steht. Mit dem Lichtzeiger wird die Auslenkung aus der Nullage sichtbar gemacht, sie ist ein Maß für den Betrag der wirkenden Coulombkraft. (Zusatzbemerkung: Die Kugeln dürfen nicht zu groß sein, da sonst die Ladungsmittelpunkte zu stark von den Kugelmittelpunkten abweichen. Die möglichen Auslenkungen müssen auf kleine Werte beschränkt bleiben, da nur dann Proportionalität zwischen Kraft und Auslenkung gegeben ist.) Ph 96-18

4 1..1 Aus 1.0 ist zu entnehmen, daß F C in Abhängigkeit von 1 r Messung Nr in 10 m r 6,3 4,0,8,0 F C in mn 4,0,6 1,8 1,4 darzustellen ist. Der Graph ist Teil einer Ursprungsgeraden F C ~ 1 r 1.. F C = k 1 r F C k = 1 r Aus der Graphik entnimmt man z. B. F C = 3, N 1 = 5,5 10 r m 35, 10 3 N k = 5,5 10 m k = 6, Nm Ph 96-19

5 1..3 Nach 1.0 und 1..0 gilt: F C = 1 πε Q r 4 0 F C = Q 1 1 4πε 0 r also k = Q 1 4πε 0 ε 0 = Q 1 4πk ε 0 = 1 9 ( 7 10 As) 4π 6, VAsm ε 0 = 9110, 1 As Vm Da die Ladung in Ruhe ist, muß gelten: FG + F+ FF = 0 Aus der Geometrie der Anordnung entnimmt man: d d sinϕ= = l l, sinϕ= 016m,0 m ϕ = 46, Für F gilt dann: F = FG tan ϕ m F = 05010, 3 kg 981, tan 46, s F = 03910, 3 N = 039, mn (1 Nm = 1 Jm = 1 VAs m) 1 Q 1.3. Aus F = erhält man: 4πε0 d Q = 4πε d F 0 As Q = 4π 8, ( 0, 16m) 0, Vm As Nm Q = , (1 Nm = 1 VAs) V Q= 3, As 1 3 N Ph 96-0

6 .1 Die Federkraft F F wirkt stets nach oben, die Gewichtskraft F G stets nach unten. Oberhalb der Nullage gilt stets: F < F FG. Für die Rückstellkraft F Rü gilt: F Rü = FF + FG Die Kräfte sind parallel gerichtet, F G der Schwingung zeitabhängig. Man kann also schreiben: ist konstant, FF FRü () t = F F() t F G FF F und damit FRü G FRü () t = D ( l 0 s( t)) m g (l 0 s(t) ist die zeitabhängige Dehnung der Schraubenfeder) FRü () t =D l 0 D s() t m g mit D l 0 = m g (folgt aus der Nullage) erhält man: FRü () t = D s() t sind während oder unter Berücksichtigung des angegebenen Koordinatensystems: FRü D s (F Rü und s sind dabei keine Beträge, sondern Koordinaten eindimensionaler Vektoren)..3 Es gilt: F Beschl =F Rü bzw. m a(t) = D s(t) Für eine harmonische Schwingung mit s(t) = A sin(ωt + ϕ 0 ) gilt außerdem: at () = () st = Aω sin( ωt+ ϕ0 ) = ω st () m ( ω s( t)) = D s( t) m ω = D Ph 96-1

7 π Mit ω = ergibt sich: T T = π m D.4 Es ist zunächst weder m noch D bekannt. Aus den Angaben läßt sich jedoch D bestimmen. Es gilt (siehe auch.): D l0 = m g m g D = l 0 Setzt man in die Beziehung für die Schwingungsdauer ein, so erhält man: T = π m m g l 0 T = π l 0 g Die Masse m kürzt sich also heraus. Damit ergibt sich: 0, 060 m T = π = 049, s m 9,81 s.5 Allgemein gilt: s(t) = A sin(ω t + ϕ 0 ) Aus.0 entnimmt man: A = 40, cm ϕ 0 = π Für ω gilt: π π ω = = ( = 13 s 1 ) T 049, s st () =, cm sin π, s t + π oder st () =, cm cos π, s t (Bei der gegebenen Genauigkeit ist es zweckmäßiger, den Wert für ω in der angegebenen Form zu verwenden). Ph 96-

8 .6 Es soll gelten: 3,0 cm = 40, cm π cos 049, s t π cos 1 049, s t = 0,75 π 1 049, s t =,4 t 1 = 0,19 s 1 Ph 96-3