Aufgabenblatt zum Seminar 02 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

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1 Aufgabenblatt zum Seminar 0 PHYS7057 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, (othmarmarti@uni-ulmde) Aufgaben Berechnen Sie mit dem Coulombgesetz das elektrische Feld einer unendlichen geladenen Ebene z = 0 mit der Flächenladungsdichte σ Die Ladungen +Q 0 seien bei x n,+ = x 0 (4n + ), nεz Die Ladungen Q 0 seien bei x n, = x 0 (4n ), Berechnen Sie das elektrische Feld bei x = 0 nεz Eine leitfähige Kugel aus einem Material der Dichte ρ und dem Durchmesser d wird an einem isolierenden massefreien Faden der Länge l an einer horizontalen Ebene aufgehängt Diese Kugel wird mit der Ladung q versehen Eine zweite identische Kugel wird mit der Ladung q belegt Diese Kugel wird im Abstand l unter der Ebene und um D seitlich zum Aufhängepunkt der ersten Kugel positioniert Diese Kugel ist xiert In welchem Winkel α steht die erste Kugel von der Senkrechten ab, wenn Sie annehmen, α ist? Lösen Sie mit den Werten ρ = 0 kg/m, g = 9, 8 m/s, d = 5 mm, D = 0, 05 m, ε 0 = 8, 85 0 C /(m N) und l = 0, m, q = nc, q = nc die Gleichung für α 4 An den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit 7 mm Kantenlänge benden sich drei negative Ladungen von q = 0 µc a) Berechnen Sie Betrag und Richtung der Kräfte, die auf die Ladungen an den Ecken wirken b) Wie gross muss eine in der Mitte des Dreiecks angebrachte Ladung sein, damit die Ladungen an den Ecken kräftefrei sind? 5 Auf einen elektrischen Dipol wirkt in einem elektrischen Feld E = 0 4 V/m ein Drehmoment von M = 9 znm (Tip: machen sie sich über Einheitenvorsätze kundig!) Der Dipol steht in einem Winkel von α = 06 zum elektrischen Feld Welchen Abstand haben die Ladungen des Dipols voneinander, wenn es sich um einfache Elementarladungen handelt? 6 Berechnen Sie unter Zuhilfenahme aller Kenntnisse aus den früheren Vorlesungen die Endgeschwindigkeit eines ruhenden Elektrons, das durch ein elektrisches Feld der Grösse

2 EM 009, Aufgabenblatt Nr 0 a) 0 kv/m über eine Distanz von cm (Radioröhre, zb EL84 ) b) 00 MV/m über eine Distanz von µm (Lawinendurchbruch in einer Avalanche- Photodiode) c) 60 kv/m über eine Distanz von 5 dm (Fernseh-Bildröhre) d) 0 kv/m über eine Distanz von 0 km (Beschleuniger, dies sind eektive Werte, die Beschleunigungsfelder sind nicht immer an) c 009 Ulm University, Othmar Marti

3 EM 009, Aufgabenblatt Nr (Im Seminar Minuten) Nehmen Sie an, dass eine Ladung vom Betrage q genau 4 Feldlinien erzeugt Skizzieren Sie die elektrischen Feldlinien für a) Eine einzelne Ladung +q b) Zwei Ladungen +q und q im Abstand 4 Einheiten c) Vier Ladungen vom Betrage q, die an den Ecken eines Quadrates mit der Seitenlänge 4 Einheiten angeordnet sind und deren Ladungsvorzeichen entlang des Quadratumfanges alterniert d) Acht Ladungen vom Betrage q mit alternierenden Vorzeichen gleichabständig auf einem Kreis mit dem Radius Einheiten; c 009 Ulm University, Othmar Marti

4 EM 009, Aufgabenblatt Nr (Nachtrag) Die Ladungen +Q 0 seien bei x n,+ = x 0 (4n + ), Die Ladungen Q 0 seien bei x n, = x 0 (4n ), Berechnen Sie das elektrische Feld bei x = 0 nεz nεz 4 c 009 Ulm University, Othmar Marti

5 5 EM 009, Aufgabenblatt Nr Lösungen Aus Symmetriegründen darf das elektrische Feld nur Komponenten in der z-richtung haben Ebenso reicht es aus Symmetriegründen, das elektrische Feld entlang der z-achse zu berechnen Jedes Flächenelement dxdy an der Position x, y liefert den Beitrag de z (0, 0, z) = σdx dy z (x + y + z ) an der Stelle (0,0,z) also E z (0, 0, z) = σz + + dx dy (x + y + z ) Wir integrieren zuerst über x und verwenden Bronstein Nr 06 mit a = y + z X = x + a dx X = x a X E z (0, 0, z) = σz + = σz + = σz + ( ( x (y + z ) x + y + z ) dy (y + z ) + (y/x) + (z/x) y + z dy = σz ( y ) πε 0 z arctan z ) dy = σz πε 0 + = σ πε 0 π = y + z dy σ ε 0 Das elektrische Feld hat an der Stelle (0; 0; 0) aus Symmetriegründen nur eine x-komponente n Q 0 Q c 009 Ulm University, Othmar Marti 5

6 EM 009, Aufgabenblatt Nr 0 6 Die Tabelle zeigt, dass zu jeder positiven Ladung an einem Ort eine negative dem Betrage nach gleich grosse Ladung existiert Also ist E x (0) = 0 Wegen der Annahme α gilt F C = (D + l sin α ) Andererseits ist F C F G = tan α α und F G α = π 6 d ρgα = (D + lα ) Wir lösen nach α auf 0 = l α + Dlα + D α 6 πd ρg = α + D l α + D l α 6 πd ρg l Nach Bronstein setzen wir β = α + Dl l = α + D l und erhalten ( 0 = β + l D 4D l 8D l β + DlD 6 ) l 4 7l 6 l 4 πd ρg l = β + pβ + q mit p = D l q = 6D 7l D l π d ρg ε 0 l = D 7l π d ρg ε 0 l 6 c 009 Ulm University, Othmar Marti

7 7 EM 009, Aufgabenblatt Nr Die Cardanische Formel sagt: β = u + v β = s u + s v β = s u + s v u = q + q + p v = q q + p s = + i s = i D u = 7l 4π d ρg D v = 7l 4π d ρg Nur die erste Lösung ist reell, also ist ε 0 l + ε 0 l ( D 7l 4π d ρg ( D 7l 4π d ρg ) D6 ε 0 l 79l 6 ) D6 ε 0 l 79l 6 α =β D l D = 7l 4π d ρg D 7l 4π d ρg ε 0 l + ε 0 l ( D 7l 4π d ρg ( D 7l 4π d ρg ) D6 ε 0 l 79l 6 ) D6 ε 0 l 79l D 6 l Eingesetzt bekommt man α = a) Alle drei Ladungen sind äquivalent Die Ladungen und erzeugen eine Kraft auf die Ladung drei in Richtung der +z-achse F z, = q a sin π = q a da der Abstand von und vektoriell geschrieben r = a (cos(π/); sin(π/)) ist Mit den gegebenen Werten: F = N Weg von der Mitte des Dreiecks c 009 Ulm University, Othmar Marti 7

8 EM 009, Aufgabenblatt Nr 0 8 b) Die Mitte des gleichseitigen Dreiecks teilt die Winkelhalbierende im Verhältnis : Länge der Winkelhalbierenden: l w = l = a Kräftefrei heisst: F + F 0 = 0 F 0 = q q 0 = q l a q 0 q l = a q 0 = q l = q a q 0 = 698 nc 5 Die Ladungen q und q sind im Abstand a voneinander Im homogenen Feld wirkt auf die Ladung q die Kraft F und auf q die Kraft F Wir haben ein Kräftepaar, dessen Verbindungslinie im Winkel α zur Kraft steht T = a F sin α oder mit der Denition des elektrischen Feldes F = qe und q = e Die Werte eingesetzt erhalten wir a = a = 6 Die Coulombkraft ist gegeben durch T F sin α = T e E sin α 9 znm 060 ac 00 kn/c sin(06) F C = E q = 0765 µm Bei einer konstanten, in Bewegungsrichtung verlaufenden Kraft ist die Arbeit Die klassische kinetische Energie ist W = F s = E q s Die klassische Energieerhaltung ergibt E kin = mv oder mv = E q s v = E q m s 8 c 009 Ulm University, Othmar Marti

9 9 EM 009, Aufgabenblatt Nr Relativistisch ist die kinetische Energie ( ) E kin,rel = m(v)c m 0 c = m 0 c v /c = E q s Umgeformt m 0 c v /c = E q s + m 0c E q s = + v /c m 0 c v /c = m 0 c E q s + m 0 c v /c = m 0c 4 (E q s + m 0 c ) und v /c m = 0c 4 (E q s + m 0 c ) ] v = c [ m 0c 4 (E q s + m 0 c ) m v = c 0c 4 (E q s + m 0 c ) v = c a) klassisch: v = m/s relativistisch: v = m/s b) klassisch: v = m/s relativistisch: v = m/s c) klassisch: v = m/s relativistisch: v = m/s d) klassisch: v = m/s relativistisch: v = m/s 7 a) Eine Ladung +q E q s + E q s m 0 c E q s + m 0 c c 009 Ulm University, Othmar Marti 9

10 EM 009, Aufgabenblatt Nr 0 0 b) Zwei Ladungen +q und q c) Vier Ladungen +q und q d) Acht Ladungen +q und q 8 Das elektrische Feld hat an der Stelle (0; 0; 0) aus Symmetriegründen nur eine x-komponente n Q 0 Q Die Ladungen Q 0 bei (4n + ) x 0 ergeben an der Stelle (0; 0; 0) das Feld n = 0 E + (x 0 ) = Q 0 0 x 0 (0 x 0 ) = Q 0 x 0 n = E + (5 x 0 ) = Q x 0 (0 5 x 0 ) = Q 0 x 0 n = E + ( x 0 ) = Q 0 (0 ( x 0 x 0 0 )) = Q 0 x 0 Für die Ladungen Q 0 ergibt sich n = 0 E ( x 0 ) = Q 0 0 ( x 0 ) (0 ( x 0 )) = Q 0 x c 009 Ulm University, Othmar Marti

11 EM 009, Aufgabenblatt Nr n = E (+ x 0 ) = Q 0 0 x 0 (0 x 0 ) = Q 0 x 0 n = E ( 5 x 0 ) = Q 0 0 ( 5 x 0 ) (0 ( 5 x 0 )) = Q 0 x 0 Wir fassen die Paare bei ±x 0, ± x 0, ±5 x 0 usw zusammen ±x 0 : E (x 0 ) = Q 0 x 0 ±x 0 : E ( x 0 ) = + Q 0 x ±5x 0 : E (5 x 0 ) = Q 0 x Es gibt einen gemeinsamen Vorfaktor Q 0 πε 0 x 0 Beiträge ist = Q 0 Die Summe aller variablen x 0 S = ( ) n = (n + ) = n=0 (Wert numerisch berechnet, konvergiert schnell) Also ist E x (0) = Q 0 πε 0 x 0 c 009 Ulm University, Othmar Marti