In Europa haben sie die Uhr, wir haben die Zeit (afrikanisches Sprichwort)

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1 In Europa haben ie die Uhr, wir haben die Zeit (arikaniche Sprichwort)

2 0 Ukehrunktion und Wurzelunktion 0 Ukehrunktion und Wurzelunktion Ein Körper bewegt ich it einer kontanten Gechwindigkeit von v 0. Zu Zeitpunkt t 0 bechleunigt er it a 0,5. Gib eine Funktiongleichung an, welche die Moentangechwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit angibt! E gilt: v(t) at v v(t) 0,5 t 0 Der Einachheit halber wollen wir in der Matheatik die Einheiten weglaen, da eh klar it woru e geht! Alo: v(t) 0,5t ID v 0; \W v ; Hierit lät ich nun ehr leicht berechnen wie groß z. B. die Moentangechwindigkeit nach einer Zeit von t 6 () it. v(6) 0,5 6 4 Die Gechwindigkeit beträgt alo 4. Doch wie lange benötigt er u eine Moentangechwindigkeit von 5,5 zu erreichen? Dazu löt an die Gleichung v(t) 0,5t einach nach t au und erhält eine Funktion t(v) v(t) 0,5t v 0,5t v t t(v) v t(5,5) 5,5 9 Die Funktion t(v) it die Ukehrunktion der Funktion v(t). Den graphichen Zuaenhang lieert olgende Diagra. t in v in t \W 0; ID ; t Den Graph der Ukehrunktion t(v) erhält an durch Spiegeln de Graphen der Funktion v(t) an der Winkelhalbierenden de I. und III. Quadranten. v in t in W. Stark; Beruliche Oberchule Freiing

3 0 Ukehrunktion und Wurzelunktion Zuaenaung: Die lineare Funktion : x x t, x ID it ür 0 ukehrbar. Die Ukehrunktion erhält an, inde an die Gleichung y x t nach x aulöt und dann die beiden Variablen x und y iteinander vertaucht. Die Ukehrunktion der linearen Funktion lautet oit : x x t, x ID \W. Ferner gilt: ID \W und ID \W Bilde die Ukehrunktion, gib deren Deinitionenge an und zeichne die beiden Funktiongraphen! a) : x x ID ; b) : x 3 x ID 3 0; 9 c) : x x ID 3 3; 6 d) : x 5 x ID 3; 3 4 Die Ukehrunktion der quadratichen Funktion : x ax bx c a x xs ys exitiert nur dann, wenn die Deinitionenge von o eingechränkt wird, da der x-wert de Scheitelpunkte von ID ; x oder ID x ;. S G höchten a Rand liegt, alo S Beipiel: Betie die Ukehrunktion der Funktion : x x ID 0;. it Wir betien zunächt die Werteenge der Funktion : \W 0; Jetzt löt an die Gleichung y x nach x au: : x x y x y x x y it ID 0; y x. G G Deinition: Die Funktion : x x it ID 0; heißt Wurzelunktion. Der Graph der Wurzelunktion it ein Parabelat. W. Stark; Beruliche Oberchule Freiing 3

4 0 Ukehrunktion und Wurzelunktion Augaben: Betie die Ukehrunktion olgender Funktionen und zeichne die beiden Funktiongraphen in ein geeinae Koordinatenyte ein. a) (x) x 6x 8 S 3 6 xs 3 S 3 ys 3 ID 3 ; (teigender Parabelat) Soit it ukehrbar ür (oder auch in ID ; 3 Für die Werteenge olgt: \W ; ; allender Parabelat!) U nun die Ukehrunktion zu betien geht an von der Scheitelpunktor au. y x 3 y x 3 y x 3 y 3 x : y x 3 und \W 3 ; ID ; (Kehrt an den teigenden Parabelat u, o erhält an vor der Wurzel ein +, andernall ein - ) G G b) c) d) e) S S 4,5 S 3,5,5 S3 0 (x) x x (x) x 8x 3,5 (x) x x (x) x x 8 Augaben zu Wurzelunktionen Buch Seite 8/ und Seite 3/ Augaben zur Wurzelgleichungen ind au Seite 3/ (ACHTUNG: Probe nötig) W. Stark; Beruliche Oberchule Freiing 4

5 0 Ukehrunktion und Wurzelunktion Bei der Ukehrunktion der quadratichen Funktion u an aupaen, den bei Wurzelziehen u an entprechend der Deinitionenge der Funktion ein + oder ein etzten. W. Stark; Beruliche Oberchule Freiing 5

6 0 Ukehrunktion und Wurzelunktion Alte Verion! 4.) Ukehrbarkeit und Ukehrunktion Welche Funktionen ind ukehrbar? G G g G h : x x g : x x x x x h : x x x Merke: Alle in ihre Deinitionbereich treng onotonen Funktionen ind ukehrbar (in ihre Gültigkeitbereich). Bp. :Unteruche, ob die Funktion : x x it ID IR ukehrbar it und bilde die Ukehrunktion. Zeichne auch die Graphen von und. Da treng onoton zunehend it, it ie ukehrbar. (x) x it ID IR und \W IR Bilden der Ukehrunktion: y x nach x aulöen Ukehrunktion: y x x y x y vertauchen y x : x x it ID IR und \W IR G G W. Stark; Beruliche Oberchule Freiing 6

7 0 Ukehrunktion und Wurzelunktion Bp. : Unteruche, ob die Funktion ukehrbar it und bilde die Ukehrunktion it ID ; : x x x (x) x x x x x. S( ) Da die Funktion nur recht vo Scheitel S( ) deiniert it, it ie in ihrer geaten Deinitionenge treng onoton allend und oit ukehrbar. (x) x x ID ; \W ; it und Bilden der Ukehrunktion: Ukehrunktion: : x x y x x y x y x y x x y y x it ID ; und \W ; G G Beerkungen:.) G erhält an, inde an G an der Winkelhalbierenden de. Quadranten piegelt (und ugekehrt)..) E gilt: ID \W und \W ID 3.) E gilt: (a) b (b) a Augaben:.) Begründe, waru ukehrbar it und gib an. Zeichne die Graphen G und G, und betie, oweit vorhanden, deren Schnittpunkte. a) : x b) c) : x : x x ID IR x ID IR 0 x ID IR 0 x ID IR d) : x 4 : x 4 x W. Stark; Beruliche Oberchule Freiing 7

8 0 Ukehrunktion und Wurzelunktion e) ) 6 0 ID 3; : x x x ID ; : x x x : x x.) Zeige, da olgende Funktionen ukehrbar ind und gib a) : x 4x x 9 ID ; b) c) 3 : x 4 x 5 0 ID ; : x : x x x k ID? k x an. W. Stark; Beruliche Oberchule Freiing 8