43.1 Beispiel und Hinführung Ein Körper bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von. . Zum Zeitpunkt t 0s beschleunigt er mit a 0,5

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Eugen Schmid
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1 4 Umkehrunktion 4. Beispiel und Hinührung Ein Körper bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von v m s. Zum m Zeitpunkt t s beschleunigt er mit a,5. Der Beschleunigungsvorgang dauert 6 Sekunden. Für die Momentangeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt! m m v(t) at v v(t),5 t s s Der Einachheit halber wollen wir in der Mathematik die Einheiten weglassen (da eh klar ist worum es geht) und anstelle von t verwenden wir und statt v schreiben wir. Dann gilt mit eingesetzten Zahlenwerten: : mit,5 mit ID ; 6 und \W ; 4 Es lässt sich nun sehr leicht berechnen wie groß z. B. die Momentangeschwindigkeit nach einer Zeit von 4 ist. (4),5 4 m Die Geschwindigkeit beträgt also. s Eine graphische Lösung wäre auch möglich gewesen. s G Interessiert nun aber die umgekehrte Frage: Wie lange benötigt er um au eine m Geschwindigkeit von,5 zu beschleunigen? s So erhält man die Antwort, indem man zunächst die Gleichung,5 nach aulöst,5 und hier dann die Geschwindigkeit ür einsetzt.,5 5 Also ist eine Zeit von 5s nötig. Dieser umgekehrte Zusammenhang lässt sich auch wieder als Funktion schreiben: g : mit Für die Deinitionsmenge der Funktion g gilt: ID g ; 4 Und ür die Wertemenge gilt: \W ; 6 g W. Stark; Beruliche Oberschule Freising

2 Um es aber wieder mathematisch zu halten ( lässt sich aus berechnen) schreiben wir diesen Sachverhalt wieder um. Somit olgt ür den umgekehrten Zusammenhang: : mit ID ; 4 \W ; 6 G G Den umgekehrten Zusammenhang beschreibt die Funktion Umkehrunktion von., sie heißt die Bemerkung: Spiegelt man den Graph einer Funktion an der Winkelhalbierenden des g :, so erhält man den Graphen der Umkehrunktion.. und. Quadranten Augaben:. Bilden Sie zu olgenden Funktionen die Umkehrunktion. Geben Sie die Deinitions- und Wertemenge der Umkehrunktion an und zeichnen Sie die Funktionsgraphen. a) : mit ID IR b) : mit ID IR c) : mit ID IR d) : mit ID IR e) : mit ID IR ) e : mit ID IR W. Stark; Beruliche Oberschule Freising

3 4. Umkehrbarkeit einer Funktion Es stellt sich nun die Frage, ob jede Funktion uneingeschränkt umkehrbar ist? Betrachten wir dazu die Funktion : mit mit der Deinitionsmenge ID IR und der Wertemenge \W IR. Die Funktion ordnet der Zahl eindeutig die Zahl 4 zu, und der Zahl ordnet sie ebenalls eindeutig die Zahl 4 zu. Fragt man sich aber nun umgekehrt, woher den die Zahl 4 kommt, so indet man keine eindeutige Lösung. Es gibt somit keine eindeutige Zuordnung und daher lässt sich das umgekehrte Problem nicht durch eine Funktion darstellen. Es gibt keine Umkehrunktion. Betrachtet man obigen Sachverhalt graphisch, so kann man sagen: Schneidet eine Parallele zur -Achse den Graphen einer Funktion mindestens zweimal, so eistiert keine Umkehrunktion. G Und mathematisch: Folgt aus dass, so eistiert keine Umkehrunktion. Somit ist eine Funktion umkehrbar, wenn zu zwei verschiedenen -Werten stets verschiedene -Werte gehören. (Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend, ür die Umkehrbarkeit einer Funktion.) Das ganze wieder etwas mathematisch ormuliert: Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn ür alle, ID gilt: Ist so olgt. Sei also gelten. Somit müsste die Funktion dann streng monoton steigend bzw. streng monoton allend sein., dann muss aber auch oder Tja und das reicht dann schon aus um zu bestimmen ob eine Funktion umkehrbar ist. Denn es gilt nun olgender SATZ: Streng monotone Funktionen sind umkehrbar. Ist also eine Funktion mit der Deinitionsmenge ID gebeben, so gilt: Ist ür alle ID Oder ür alle ID ist umkehrbar W. Stark; Beruliche Oberschule Freising

4 Beispiel: Gegeben ist die Funktion Da mit ID : IR. ür alle ID ist die Funktion umkehrbar. Augaben:. Prüe olgende Funktionen au Umkehrbarkeit und gib wenn möglich die Umkehrunktion sowie die Deinitionsmenge der Umkehrunktion an. a) :, ID IR b) :, ID IR c) :, ID IR \ d) e) ) g) : ID, : e, ID IR : e, ID IR : IR e, ID ; h) : sin, ID ; i) :, ID ; 4. Monotonieverhalten der Umkehrunktion Bei obigen Augaben wurde vielleicht schon estgestellt, dass die Umkehrunktion einer streng monoton steigenden Funktion ebenalls streng monoton steigend verläut. Dies lässt sich in einem allgemeinen Satz ormulieren. SATZ: Die Umkehrunktion einer streng monoton zunehmenden (bzw. abnehmenden) Funktion ist selbst wieder streng monoton zunehmend (bzw. abnehmend). Beweis (Wiederspruchsbeweis!): Sei ein in ID streng monoton zunehmende Funktion, so gilt ür beliebige, ID : bzw. Es gilt nun: und Daraus olgt logischerweise: und. Annahme: Sei nicht streng monoton zunehmend, also dann streng monoton abnehmend, dann gilt: Das ist aber ein Wiederspruch zur Vorraussetzung, dass. W. Stark; Beruliche Oberschule Freising 4

5 Noch einige wichtige Beziehungen zwischen einer Funktion und seiner Umkehrunktion : Bildet man die Umkehrunktion zu, so erhält man die ursprüngliche Funktion: Zwischen und bestehen olgende Beziehungen: ür ID ür ID 4.4 Ableitung der Umkehrunktion Wir wollen nun untersuchen, welcher Zusammenhang im Fall der Dierenzierbarkeit zwischen der Ableitung einer umkehrbaren Funktion und der Ableitung der Umkehrunktion besteht. Dazu betrachten wir den Graphen G einer streng monoton steigenden Funktion Dieser hat im Punkt P die Tangentensteigung tan. Und G hat als Spiegelbild von G bezüglich der Winkelhalbierenden des. und. Quadranten im Punkt P die Tangentensteigung G P tan. G P A B Im OAB gilt: 9 Somit olgt: tan tan9 Bzw.: sin 9 cos cos 9 sin sin tan cos W. Stark; Beruliche Oberschule Freising 5

6 In obigem Beispiel gilt: P 4 P Setzt man in diese lokal gewonnen Formel allgemein und ein, so erhält man: Da man die Umkehrunktion aber als Funktion von angibt muss man jetzt noch mit vertauschen und erhält: Nun gilt olgender mit SATZ: Ist die umkehrbare Funktion in einem Intervall J ID dierenzierbar, so ist die Umkehrunktion an der Stelle ebenalls dierenzierbar, und es gilt: mit wobei J und vorausgesetzt ist. Obige Beziehung hätte man auch rechnerisch erhalten, wenn man davon ausgeht, dass die Funktion und die Umkehrunktion dierenzierbar sind. Dazu bildet man die Ableitung des Terms. Nach der Kettenregel olgt: W. Stark; Beruliche Oberschule Freising 6

7 Beispiel : ID IR ID IR mit ID IR Leitet man die Funktion unmittelbar ab, so erhält man das gleiche Ergebnis! Beispiel : ID IR ID ; Bildet man auch hier unmittelbar die Ableitung von Ergebnis! so erhält man selbiges Augaben:. Bestimme die Umkehrunktion und ermittle deren Ableitung nach obigem Schema. Kontrolliere, wenn möglich, durch unmittelbares Dierenzieren! a) : 5 ID IR b) : ID ; c) : ID IR \ d) : e 4 ID IR e) ) : ln ID IR : e ID IR 4 4. Zeigen Sie, dass die Funktion : 5 5 ; ID 4 IR umkehrbar ist! Der Punkt P liegt spiegelbildlich zum Punkt P bezüglich der Winkelhalbierenden des. und. Quadranten. Gib die Koordinaten von P und die Steigung des Graphen G im Punkt P an! 5. Zeigen Sie, dass die Funktion : 5 ; ID Wo hat der Graph G eine steilste oder lachste Stelle? IR umkehrbar ist! W. Stark; Beruliche Oberschule Freising 7

8 6. Gegeben ist die Funktion ; ID 4 ; 4 :. a) Zeigen Sie, dass umkehrbar ist und zeichnen Sie den Graphen G im Bereich ; 4. b) Bestimmen Sie und zeichnen Sie G in das bereits vorliegende Koordinatensstem ein! c) Ermitteln Sie au zwei verschiedene Arten die Ableitung von. d) Welchen Inhalt hat das Flächenstück, das G und G im. Quadranten miteinander einschließen? 7. Der Graph einer Funktion hat im Punkt P die Tangente mit der Gleichung g :. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Umkehrunktion im Punkt P. 4.5 Integration mit Hile der Umkehrunktion Gegeben sei die Funktion ; ID IR. Möchte man das bestimmte Integral 4 berechnen und kennt die Stammunktion von nicht, so kann man einen etwas anderen Lösungsweg einschlagen (der aber auch nicht unbedingt immer zu einem Ergebnis ühren muss!). Schauen wir uns dazu das zu lösende Problem, bzw. die gesuchte Fläche einach mal an. d G A Wir gehen nun bei der Flächenberechnung einen kleinen Umweg über die Umkehrunktion von ; ID IR und zeichnen den dazugehörigen Funktionsgraph (geht aus Spiegelung des Graphen G an der Winkelhalbierenden hervor) und die oben gesuchte Fläche in ein Koordinatensstem ein. W. Stark; Beruliche Oberschule Freising 8

G A A Für die gesuchte Fläche gilt dann: A A A A Also gilt: 4 d 4 OBCD OEFG A 4 d 7 A 8 A 7 8 A 7 A 4 Man kann ür solche Augaben eine allgemeine Formel angeben: b a d b b a a d Den Beweis bleiben wir

9 G A A Für die gesuchte Fläche gilt dann: A A A A Also gilt: 4 d 4 OBCD OEFG A 4 d 7 A 8 A 7 8 A 7 A 4 Man kann ür solche Augaben eine allgemeine Formel angeben: b a d b b a a d Den Beweis bleiben wir uns hier schuldig. Ein Vergleich mit obigem Beispiel macht die Sache aber klar! Augaben: 8.) Berechne nach obigem Beispiel olgende Integrale. a) b) c) 8 5 d d ln d b a W. Stark; Beruliche Oberschule Freising 9

10 9.) Versuchen Sie nach obigem Schema a IR so zu bestimmen, dass gilt: a ln d W. Stark; Beruliche Oberschule Freising

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