GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG

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1 GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG ABSOLUTE ÄNDERUNG UND MITTLERE ÄNDERUNGSRATE 0 Die Tabelle zeigt die Anzahl der Nächtigungen Nt ()(in Millionen) im Jahr t in Österreich. a) Es wird behauptet, dass die Anzahl der Nächtigungen von 005 bis 00 schneller angestiegen sei, als von 00 bis 0. Beurteilen Sie diese Aussage. b) In welchem der olgenden Zeitintervalle änderten sich die Nächtigungszahlen am schnellsten? [005; 007], [007; 00], [008; 0] c) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Änderung der Nächtigungszahlen im Zeitintervall [ t; t ] au. d) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der durchschnittlichen jährlichen Änderung der Nächtigungszahlen im Zeitintervall [ t; t ] au. t Nt () 005 9, , 007 3, 008 3, , ,4 0 34,6 0 36, Deinition. Ist eine reelle Funktion, dann heißt die Zahl ( z) - ( ) absolute Änderung von im Intervall [; z]. ( z) - ( ) z - mittlere Änderungsrate oder Dierenzenquotient von im Intervall [; z]. Dierenzen werden in der Mathematik ot mit dem griechischen Großbuchstaben Delta D bezeichnet. Die olgende alternative Schreibweise wird manchmal ür den Dierenzenquotient einer Funktion im Intervall [ ; +D ] verwendet: = = ( + D )- ( ) D( ) Dy D D D Dierenz von Funktionswerten Dierenz von Argumenten 0 Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion im angegebenen Intervall: a) ( ) =, [; 4] b) ( ) 3 = -, [0; 5] c) ( ) =- + +, [3; 9] d) = ( ), [ 3; ] 03 Geben Sie den Dierenzenquotienten der olgenden Funktion im angegebenen Intervall an: a) ( ), [ aa ; + h] b) r A() r, [ r; r ] c) p ( ), [ ; + ] d) t N() t, [0; t 0 ] 04 Ein Auto kostet 3.000, nach 3 Jahren ist es und nach weiteren 3 Jahren 8.80 wert. a) Berechnen Sie den Wertverlust im Zeitintervall [0; 3] bzw. [3; 6] (Intervallgrenzen in Jahren). In welchem Zeitintervall ist der Wertverlust größer? b) Wie groß ist der mittlere Wertverlust im Zeitintervall [0; 3] bzw. [3; 6] bzw. [ t; t ]? 4π 3 05 Ein kugelörmiger Ballon von Radius r hat das Volumen Vr= () 3 r (r in dm; V in dm³). Der Ballon wird augeblasen. a) Berechnen Sie die Volumenzunahme in den Radiusintervallen [; ] und [; 3]. b) Berechnen Sie die mittlere Volumenzunahmerate im Radiusintervall [; 3]. c) Stellen Sie eine Formel ür die mittlere Volumenzunahmerate im Radiusintervall [r; z] au.

2 06 Am Armaturenbrett eines Autos lassen sich der Füllstand des Tanks (in Litern) und der Kilometerstand k (in km) ablesen. Interpretieren Sie den Zusammenhang dieser Größen als Funktion: a) Was ist die unabhängige, was die abhängige Variable? D b) Was bedeuten die Ausdrücke D, D k und und welche Einheiten besitzen Sie jeweils? D k. Geometrische Deutung des Dierenzenquotienten 07 Berechnen Sie den Dierenzenquotienten der linearen Funktion mit ( ) = k + d im Intervall [; z]. Erklären Sie die Vorgehensweise und das Ergebnis anhand einer Skizze. Auch ür jede nichtlineare Funktion gibt der Dierenzenquotient im Intervall [; z] die Steigung der Geraden durch die Punkte ( ()) und ( z ( z )) an. Diese Gerade bezeichnet ( z). Achse man als Sekante (lateinisch: secare = schneiden ). Der Dierenzenquotient einer Funktion in einem Intervall [; z] ist gleich der Steigung der entsprechenden Sekante. ( ) z - =D ( z) -( ) =D () z. Achse MITTLERE STEIGUNG EINER FUNKTION Wie die olgenden Abbildungen zeigen, kann aus dem Wert des Dierenzenquotienten nur abgelesen werden, ob eine Funktion im Intervall [; z] im Mittel steigt, im Mittel ällt oder im Mittel weder steigt noch ällt. ( z ) ( ) DD > ( ) 0 DD < D( ) 0 = D ( ) 0 ( ) = ( z) ( ) ( z) z z z 08 Die Tabelle stellt die Messwerte ür das Höhenproil einer Bergstraße dar. in km 0 0, 0,4 0,6 0,8 h() in km 0 0,04 0,09 0,5 0, 0,3 horizontale Enternung vom Ausgangspunkt in Kilometern (km) h() Höhenunterschied zum Ausgangspunkt an der Stelle in Kilometern (km) a) Berechnen Sie die durchschnittlichen Steigungen der einzelnen Abschnitte. b) Kann man Anhand dieser durchschnittlichen Steigungen erkennen, ob ein Geländewagen, der eine Steigung von bis zu 30 % schat, die Straße beahren kann? Warum (nicht)?

3 (MOMENTANE) ÄNDERUNGSRATE 09 Beim Bungee-Jumping beindet sich der Springer im reien Fall, wenn man vom Lutwiderstand absieht. Für den Weg s(t) (in Metern) den ein Körper beim reien Fall in den ersten t Sekunden zurücklegt, gilt näherungsweise s() t = 5t. Der Graph der Funktion t s() t ist rechts abgebildet. a) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [0; ]. b) Stellen Sie eine Formel ür die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [ t; t ] au. c) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit des Springers nach 3 Sekunden? Vervollständigen Sie die Tabelle und zeichnen Sie einige der dazugehörigen Sekanten im nebenstehenden Graphen ein: Zeitintervall mittlere Geschwindigkeit [0; 3] [; 3] [; 3] [,9; 3] [,99; 3] s(t) in m GeoGebra-Arbeitsblatt zu Beispiel 09 : s t in s Deinition. Ist eine reelle Funktion, dann heißt der Grenzwert Dierentialquotient von an der Stelle. ( ) = lim z Änderungsrate oder z ( )- ( ) z- Erklärung der Schreibweise: lim steht ür Limes (Grenzwert). ( ) ( ) Sprechweise ür ( ) lim z - = : Strich von ist der Grenzwert von z z- - berechnet, wenn sich z unbe- Diese Schreibweise bedeutet, dass man den Wert des Terms grenzt der Zahl nähert. ( z) - ( ) z ( z) - ( ) z - ür z gegen. Also: Die Änderungsrate ist der Grenzwert von mittleren Änderungsraten. Oder: Der Dierentialquotient ist der Grenzwert von Dierenzenquotienten. Man kann sich unter dem Dierentialquotienten an der Stelle näherungsweise einen Dierenzenquotienten in einer sehr kleinen Umgebung von vorstellen. Mit der D -Schreibweise sieht die obige Deinition so aus: ( ) = lim oder D 0 D ( ) D ( ) = lim y D D D 0 Manchmal schreibt man statt () auch d d (sprich: dy nach d ). Diese sogenannte LEIBNIZ sche Schreibweise erinnert daran, dass der Dierentialquotient der Grenzwert des Dierenzenquotienten ist: d y = 0 y D d lim y D D Vgl. das Symbol am Taschenrechner. Funktionsterm Stelle GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (646 76), deutscher Mathematiker, Physiker und Philosoph 3

4 0 (Fortsetzung von 09 ) Wie groß ist die Geschwindigkeit eines rei allenden Körpers a) nach 4 Sekunden, b) nach t Sekunden? Löse Augabe a) händisch und mithile des Taschenrechners.. Geometrische Deutung des Dierentialquotienten ( z) - ( ) Der Dierenzenquotient z- einer Funktion entspricht in der geometrischen Deutung der der Steigung einer Sekante durch die Punkte ( ()) und ( z ( z )). Für z nähert sich der. Punkt dem. Punkt unbegrenzt an. Die Sekante geht dadurch in eine Grenzgerade, die sogenannte Tangente, über (lateinisch: tangere = berühren ).. Achse Der Dierentialquotient () einer Funktion an der Stelle ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt ( ()). ( ) z. Achse Die Steigung dieser Tangente bezeichnen wir auch als Steigung der Funktion an der Stelle. Die Steigung einer Tangente kann auch mithile des Winkels angegeben werden, den die Tangente mit der. Achse (-Achse) einschließt. Ist k die Steigung und α der Neigungswinkel der Tangente an den Graphen einer Funktion an der Stelle, so gilt: ( ) = k= tan( a ) STEIGUNG EINER FUNKTION Wie die olgenden Abbildungen zeigen, kann aus dem Wert des Dierentialquotienten werden, ob eine Funktion an der Stelle steigt, ällt oder die Steigung 0 besitzt. () > 0 () < 0 () = 0 ( ) () abgelesen ( ) ( ) 4

5 Löse die olgenden Augaben zuerst näherungsweise graisch mithile des abgebildeten Graphen und danach rechnerisch: a) Bestimme die Steigungen der Funktion mit ( ) = an den Stellen und. b) Ermittle den Neigungswinkel der zugehörigen Tangenten. () Gib an, welche der olgenden Eigenschaten die unten dargestellte Funktion besitzt. () ( ) ³ 0 ür alle Î [0;6] () ( ) < 0 ür alle Î [3; 4] (3) ( ) ³ 0 ür alle Î [0;6] (4) ( ) < 0 ür alle Î ]; 5[ (5) () = (5) (6) () = (5) (7) Die mittlere Änderungsrate von im Intervall [0; 6] beträgt 0. (8) Die Steigung der Sekante von im Intervall [; 5] beträgt. (9) Die Änderungsrate von an der Stelle 3 ist positiv. (0) Die Steigung von an der Stelle 0 ist negativ. 5

6 3 ANWENDUNGEN 3 In der Abbildung ist die Höhe eines senkrecht nach oben geworenen Steins in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt. h(t) in m t Zeit in Sekunden (s) ht () Höhe in Metern (m) nach t Sekunden a) Interpretiere die Steigung der Funktion an einer Stelle t im Sachzusammenhang. b) Lies ab, wann der Betrag der Geschwindigkeit am größten bzw. wann am kleinsten ist. c) Bestimmen näherungsweise die Geschwindigkeit nach bzw. Sekunden. d) In welchem Bereich ist die Geschwindigkeit positiv, in welchem negativ, wann gleich null? 4 Die Abbildung zeigt den Treibstoverbrauch eines bestimmten PKW in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit. t in s a) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Treibstoverbrauch im. Gang am niedrigsten? b) Interpretiere die Steigung der Graphen an einer Stelle v im Sachzusammenhang. c) Man ährt im 3. Gang. In welchem Geschwindigkeitsintervall ist die Änderungsrate des Treibstoverbrauchs negativ, in welchem positiv? Wann ist sie gleich 0? d) Man ährt im 4. Gang. In welchem Geschwindigkeitsintervall nimmt der Treibstoverbrauch ast linear zu? e) Man ährt im 4. Gang. Bewirkt eine Geschwindigkeitserhöhung von 70 au 7 km/h eine größere Änderung des Treibstoverbrauchs als eine Erhöhung von 00 au 0 km/h? Begründe. 6

7 5 Ergänze die Tabelle: Gegeben ist die Funktion ( ), wobei Die mittlere Änderungsrate Zeit in Stunden (h) ( ) zurückgelegter Weg in km nach Stunden Zeit in Sekunden (s) ( ) Geschwindigkeit in m/s nach Sekunden zurückgelegter Weg in km ( ) verbrauchte Benzinmenge in Litern nach km Produktionsmenge einer Ware in Stück ( ) Kosten in ür die Produktion von Stück Zeit in Tagen (d) ( ) Anzahl von an Grippe erkrankten Personen Tage nach Beginn einer Epidemie Seehöhe in m ( ) Lutdruck in Metern Höhe in Hektopascal (hpa) Zeit in Sekunden (s) ( ) Wassermenge in m³, die nach Sekunden durch einen Kanal gelossen ist Zeit in Stunden (h) ( ) Temperatur in C zum Zeitpunkt ( z) - ( ) z - gibt an: Die momentane Änderungsrate ( ) = lim z gibt an: z ( )- ( ) z- Fahrtstrecke in km ( ) Bahntari in ür km Fahrtstrecke 7

8 ZUSAMMENFASSUNG Dierenzenquotient = mittlere Änderungsrate von im Intervall [; z] Deinition z ( )- ( ) z- Dierentialquotient = Änderungsrate von an der Stelle ( z) - ( ) ( ) = lim z z- graische Deutung. Achse Steigung der Sekante. Achse Steigung der Tangente ( z ) z ()- () ( ) z- ( ). Achse. Achse z z alternative Schreibweisen ( + D )-( ) = = = D( ) D Dy D D ( ) D = D ( ( ) lim ) D D 0 ( ) = lim ( ) = Dy D D 0 d y d vgl. Taschenrechner: +D Funktionsterm Stelle 8

9 4 ABLEITUNG(SFUNKTION) UND ABLEITUNGSREGELN 6 Die Abbildung zeigt den Graphen der 3 Funktion mit ( ) = im Intervall [ ; ].. Achse a) Welche Aussagen kannst du ohne Rechnung über den Dierentialquotienten von an verschiedenen Stellen treen? b) Fülle die olgende Tabelle aus: ( ),0,5,0 0,5 0,0 0,5,0,5,0. Achse c) Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem durchgehenden Funktionsgraphen. Interpretiere den Zusammenhang der Funktionsgraphen von und. d) Gib eine Gleichung der Funktion : ( ) an. Anleitung: = ( ) ( ) 3 3 ( ) lim z - l im z - z- = z- =... z z Damit man im nächsten Schritt kürzen kann, muss der Zähler in ein Produkt zerlegt (aktorisiert) werden: Deinition. Die Funktion : ( ) heißt Ableitungsunktion von oder Ableitung von. Das Berechnen der Ableitungsunktion nennt man Ableiten oder Dierenzieren. 7 Graisch Ableiten Domino: 9

10 Ableitung spezieller Funktionen Funktion Ableitung Beispiel = ( ) 3 ( ) = 0 konstante Funktion = ( ) c (mit c Î ) ( ) = 0 ( ) = 5 ( ) = 5 4 Potenzunktionen ( ) = n ( ) = n - n = ( ) e ( ) = e (eulersche Zahl e =, ) Eponentialunktionen = ( ) ( ) = ln()» 0, 693 ( ) = a ( ) = a ln( a) 0

11 Als Spezialälle der Potenzunktionen, können wir auch die olgenden Funktionstypen ableiten: Identische Funktion: ( ) = = 0 ( ) = - = = Wurzelunktion: ( ) = = Wiederholung: n k a = a k n ( ) = = - - = = Potenzunktionen mit negativen Eponenten: z. B.: ( ) = = - Wiederholung: n a - = n a ( ) = - = - = - 3 insbesondere: ( ) = = - ( ) = =- =- Grundlegende Ableitungsregeln Faktorregel: ( ) = cg () ( ) = c g () (mit c Î ) Konstante Faktoren bleiben beim Dierenzieren erhalten. Beispiele: ( ) 7 5 = ( ) = 7 5 = = ( ) 3 e ( ) = 3 e 6 = ( ) ( ) = 6 ( - ) =- 6 Summenregel: ( ) = g ( ) + h ( ) ( ) = g ( ) + h ( ) Eine Summe kann gliedweise dierenziert werden. Beispiel: 3 ( ) = ( ) = =

12 Höhere Ableitungen Deinition. Ist eine reelle Funktion, dann bezeichnet man die Funktion als erste Ableitung von. die Funktion = ( ) als zweite Ableitung von. die Funktion = ( ) als dritte Ableitung von. Die Ableitungsunktionen erhält man in GeoGebra ganz einach. Wenn man die Funktion mit dem Funktionsterm ( ) bereits gezeichnet hat, erhält man die Ableitungen durch Eingabe von '(), ''() und '''(). Für Bewegungsvorgänge gilt mit diesen Bezeichnungen: vt () = s () t Geschwindigkeit = erste Ableitung des Weges Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert. at () = v () t = s () t Beschleunigung = erste Ableitung der Geschwindigkeit = zweite Ableitung des Weges Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert. 8 Berechne die Geschwindigkeit v (0) und die Beschleunigung a (0) ür die Zeit-Ort-Funktion s mit 3 s() t = 4t + t-. (t in Sekunden, s() t in Metern) 9 Für den zurückgelegten Weg beim reien Fall gilt (ohne Berücksichtigung des Lutwiderstands): g s() t = t t... Zeit in Sekunden (s), s() t Weg in Metern (m), g» 9,8 m/s² Erdbeschleunigung Stelle eine Formel ür die Geschwindigkeit vt () zum Zeitpunkt t, sowie eine Formel ür die Beschleunigung at () zum Zeitpunkt t au. 0 Die italienische Polizei hat seit einigen Jahren etrem schnelle Autos in Verwendung, um vor allem die Gegend südlich von Rom besser und sicherer überwachen zu können. Nur wenige Personen mit Spezialausbildung düren mit dem Lamborghini Gallardo ahren. In medizinischen Notällen werden auch Organtransporte durchgeührt. Ein Raser ährt au der Autobahn im Baustellenbereich statt 30 km/h sogar 6 km/h (= 35 m/s). Die Polizei nimmt die Verolgung au. Für den zurückgelegten Weg gilt: Raser: sr ( t) = 35t+ 50 Polizei: sp( t) =,3t (Weg s() t in Metern, Zeit t in Sekunden) a) Skizziere die dazugehörigen Graphen. Welchen Vorsprung hatte der Raser zu Beginn? b) Berechne, wo und nach welcher Zeit die Polizei den Raser eingeholt hat. Wie hoch war dabei die Geschwindigkeit von Raser und Polizei? c) Wann hatten Verolger und Raser die gleiche Geschwindigkeit? Wie ist dies graphisch erkennbar? d) Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Polizei und des Rasers in den ersten 0 Sekunden. e) Was kann man über die Beschleunigung des Rasers und er Polizei aussagen?

13 5 FUNKTIONSUNTERSUCHUNG MIT HILFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Für den Verlau des Graphen einer beliebigen Funktion kann man mithile der Ableitungen von olgende Aussagen treen: Monotonie ( ) gibt die Steigung von an der Stelle an: ( ) > 0: Die Funktion ist an der Stelle streng monoton steigend. ( ) < 0: Die Funktion ist an der Stelle streng monoton allend. ( ) = 0: Die Steigung der Funktion an der Stelle ist 0. Krümmung ( ) gibt Auskunt darüber, wie sich die Steigung von an der Stelle ändert: Die Tangentensteigung ( ) wird mit zunehmendem immer größer. Also: ( ) > 0 Die Tangentensteigung ( ) wird mit zunehmendem immer kleiner. Also: ( ) < 0 ( ) gibt die Krümmung von an der Stelle an: ( ) > 0: Die Funktion ist an der Stelle linksgekrümmt. ( ) < 0: Die Funktion ist an der Stelle rechtsgekrümmt. ( ) = 0: Die Krümmung der Funktion an der Stelle ist 0. VERSCHIEDENE BEZEICHNUNGEN FÜR DIE KRÜMMUNG: linksgekrümmt = positiv gekrümmt = progressiv rechtsgekrümmt = negativ gekrümmt = degressiv 3

14 Überblick ür Kurvenuntersuchungen Nullstelle ist Nullstelle, wenn gilt: = ( ) 0 ist lokale Minimumstelle, wenn gilt: lokale Minimumstelle ( ) = 0 und ( ) > 0 waagrechte Tangente linksgekrümmt Tiepunkt ist lokale Maimumstelle, wenn gilt: Hochpunkt lokale Maimumstelle ( ) = 0 und ( ) < 0 waagrechte Tangente rechtsgekrümmt Terrassenstelle = Sattelstelle ist Terrassenstelle, wenn gilt: ( ) = 0 und ( ) = 0 Terrassenpunkt = Sattelpunkt waagrechte Tangente Krümmung = 0 Wendestelle ist Wendestelle, wenn gilt: ( ) = 0 und ( ) ¹ 0 Wendepunkt Krümmung = 0 4