Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner
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- Felix Schmitz
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1 Sytemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Syteme - Muterlöungen Manfred Strohrmann rban Brunner
2 Inhalt 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 3 5. Löen einer homogenen linearen Differentialgleichung Löen eine linearen Differentialgleichung mit der Laplace-Tranformation Augangignal eine C-Glied bei Anregung mit rechteckförmigem Signal Impul- und Sprungantwort eine Sytem Impul- und Sprungantwort eine zuammengeetzten Sytem mchaltverhalten einer LC-Schaltung Einchwingverhalten einer iezo-keramik Auwertung kapazitiver Senoren Operationvertärker mit C-Bechaltung... 3 Inhalte 3 4
3 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 5. Löen einer homogenen linearen Differentialgleichung a) Die Differentialgleichung du 3 du du ut 3 dt dt dt kann allgemein in den Laplace-Bereich tranformiert werden 3 u u u u u u Mit den vorgegebenen Anfangbedingungen ergibt ich die Gleichung 3 Auflöen ergibt den Audruck für () von 3 b) Zur Berechnung der ollagen wird der erte ol α - erraten. Über olynomdiviion und Löen der quadratichen Gleichung ergeben ich die beiden übrigen ole α j und α 3 - j. Die ole können in einem ol-nulltellen-diagramm dargetellt werden. 4 Imaginärteil normiert - Der reelle ol gehört zu einer abklingenden Exponentialfunktion mit reellem Argument. Die ole α,3 ± j ind konjugiert komplex zueinander. Sie repräentieren eine harmoniche Schwingung mit kontanter Amplitude. Da die harmoniche Schwingung eine kontante Amplitude beitzt, beitzt da Signal keinen tationären Endwert c) Zur ücktranformation wird eine artialbruchzerlegung durchgeführt. A B C 3 Koeffizientenvergleich ergibt A, B und C. Damit ergibt ich die Laplace-Tranformierte ealteil normiert
4 4 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich und die Zeitfunktion lautet t ut e int t 5. Löen eine linearen Differentialgleichung mit der Laplace-Tranformation a) Die Differentialgleichung d y dy 3 y ( t) dt dt kann allgemein in den Laplace-Bereich tranformiert werden 3 Y 3y 3 y Y y Y Mit den gegebenen Anfangbedingungen ergibt ich die Gleichung 3 Y 3 Y Y Auflöen ergibt den Audruck für Y() von 3 3 Y b) Zur ücktranformation wird da Nennerpolynom von Y() zu null geetzt 3 3 und die ole α betimmt. α, ± ± j Da die ole konjugiert komplex ind, kann Y() dargetellt werden al Y und mit Korrepondenz 9 ergibt ich 6 t y t e in t t 36 6 c) m die Laplace-Tranformierte Y() zu berechnen, mu zunächt () betimmt werden. 3e Damit ergibt ich die Differentialgleichung im Laplace-Bereich zu 3 Y 3 Y Y 3 e Die Gleichung wird nach Y() aufgelöt 3 3 e 3 Y e ( ) 3 3 3
5 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 5 Die Exponentialfunktion tellt eine Verchiebung um t nach recht dar, oda y(t) mit Aufgabenteil b) dargetellt werden kann al 6 t 6 ( t ) y t e in t t e in t t 5.3 Augangignal eine C-Glied bei Anregung mit rechteckförmigem Signal a) Da Eingangignal u(t) kann dargetellt werden al ( σ σ( )) ut t t b) Die Übertragungfunktion de C-Glied ergibt ich mit Korrepondenz zu G T c) Die Sytemantwort Y() ergibt ich durch Multiplikation von G() und (). Dazu mu zunächt () betimmt werden. e ( ) Damit ergibt ich Y() zu Y G e T ( ) d) Für Zeiten t it da Faltungintegral null, da keine Überlappung zwichen den beiden Zeitfunktionen beteht. Die Berechnung für t > über da Faltungintegral mu wegen unterchiedlicher Integrationgrenzen in zwei Bereiche aufgeteilt werden: Bereich < t : In dem Bereich berechnet ich y(t) über da Faltungintegral zu t t t t t t t T T T T y( t) u( t t) g ( t) dt e dt T e e e T T Bereich t > : t t t t t t t t T T T T T T y t u t t g t dt e dt T e e e e e T T t t t 5.4 Impul- und Sprungantwort eine Sytem a) Die ole der Übertragungfunktion ergeben ich au der quadratichen Gleichung 5 zu, ± 5 ± j b) Die ole haben einen negativen ealteil, da Sytem it alo tabil. Außerdem ind die ole konjugiert komplex, e handelt ich demnach um ein tabile, chwingungfähige Sytem.
6 6 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich c) Für die artialbruchzerlegung ergibt ich der Anatz * A A G j j Mit dem eiduenatz wird der Koeffizient A betimmt zu 3 j 3 j A j j j j 4j j und A* ergibt ich zu A * 3 j 3 j j j j j 4j j Erwartunggemäß it A* konjugiert komplex zu A. Damit ergibt ich die Übertragungfunktion G() zu G j j j j und die Impulantwort lautet g( t) ( j) e ( j) e t e e e e e t ( j) t ( j) t t j π/4 jt j π/4 jt t j π/4 jt j π/4 jt t j( t π/4) j( t π/4) e e e e e t e e e t π 4 t e co t t d) Durch eine quadratiche Ergänzung können entprechende Korrepondenzen au der Korrepondenztabelle verwendet werden: G 3 5 Damit ergibt ich die Impulantwort zu g t e co t in t t e co t t 4 t t ( ( ) ( )) π e) Die Sprungantwort h(t) hat für t einen Grenzwert, da g(t) t gegen null geht. Er errechnet ich nach dem Grenzwertatz der Laplace-Tranformation zu 3 lim h( t) G( ) t 5 Zur Verifikation zeigt folgende Diagramm da Ergebni einer MATLAB-Simulation.
7 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 7. Impulantwort g(t).8.4 Sprungantwort h(t) Zeit t Zeit t 5.5 Impul- und Sprungantwort eine zuammengeetzten Sytem a) Berechnung der Teil-Übertragungfunktion G (): h t e t k k t σ mit der Laplace-Tranformierten H ( ) k k Darau ergibt ich die Übertragungfunktion G () zu G ( ) k k b) Berechnung der Übertragungfunktion: G k k k k k k k k k k k k k k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mrechnung der Übertragungfunktion auf Standard-Form: G k k k k k k k k ( k ) k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (k ) k k k ( k k ) k (k k k k ) k k 3 c) Berechnung de tationären Endwerte der Sprungantwort mithilfe de Endwertatze: G k h lim h( t) lim G( ) t k k k d) Stabilität liegt vor, wenn alle ole der Übertragungfunktion in der linken Halbebene liegen. Darau folgt für die k > und k >. e) Die arameterkombination von k und k, die beide Bedingung erfüllt lautet
8 8 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich h k Damit it die Löung k / und k >. 5.6 mchaltverhalten einer LC-Schaltung a) Wenn alle Einchwingvorgänge abgechloen ind, fließt durch den Kondenator C kein Strom und an den Spulen fällt keine Spannung ab. Der Strom durch die Bauelemente und L beträgt I L I Der Strom durch den Widertand beträgt I und für I L ergibt ich I L I I An dem Kondenator C fällt die Spannung ab. b) Für den Fall de geöffneten Schalter ergibt ich da Eratzchaltbild L I L C A ( ) L Die Augangpannung ergibt ich au der Spannungquelle / und dem Spannungabfall an der Kapazität C zu. Dabei müen die Zählpfeilrichtungen berückichtigt werden. C ( ) L I L I A L L L L C C C c) Mit den Bauelementen ergibt ich folgende charakteritiche Gleichung: L C C. H.5 µf 5.5 µf Ω ec.5 ec Diviion durch den Koeffizient vor ² ergibt die quadratiche Gleichung 5 4 ec ec mit den Nulltellen 6
9 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 9 6 / ec, 5 ± ± 5 ec ec ec ec ec 4 / ec Beide oltellen ind reell, da Sytem it nicht chwingungfähig. Signal c cheidet au. Die Zeitkontanten liegen bei T m und T.5 m. Da Signal a it zu langam und cheidet dehalb au. Signal b it da richtige Signal.
10 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 5.7 Einchwingverhalten einer iezo-keramik a) Nachdem die tationären Einchwingvorgänge abgechloen ind, fließt durch die beiden Kondenatoren kein Strom. Damit fällt an den Spulen und Widertänden keine Spannung ab, die Kondenatoren haben damit gleich große Anfangpannungen C C Der Strom durch die Spule it wegen der Argumentation oben IL b) Zur Berechnung der Augangpannung wird da Eratzchaltbild nach Öffnen de Schalter gezeichnet. C L C A ( ) Die Spannungen C und C ind gleich groß, oda die Differenz null beträgt. Dadurch kann in dem Stromkrei kein Strom fließen, die Kondenatoren werden nicht entladen und die Spannung am Kondenator C bleibt kontant. A C c) Die Argumentation von Aufgabenteil a) it weiter gültig, allerding fließt jetzt zuätzlich ein Strom über den Widertand. Damit ergibt ich die Anfangpannung für C und C nach dem Spannungteiler-rinzip zu C C I d) Zur Berechnung der Augangpannung A wird wieder da Eratzchaltbild nach Öffnen de Schalter gezeichnet. C p Lp Cp C A ( ) Die arallelchaltung von mit C und Spannungquelle C / mu in eine eihenchaltung überführt werden. Durch den Satz der Eratzquelle ergibt ich ein neue Eratzchaltbild. Z( ) L C A ( ) C
11 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich Die Impedanz Z() beträgt Z ( ) C C und die Spannungquelle () berechnet ich zu C C C C C C C C Die Bauelemente, C und L können zu einer Impedanz Z () zuammengefat werden Z( ) L C Die Augangpannung ergibt damit nach dem Superpoitionprinzip zu Z Z A ( ) Z Z Z Z Cp ( ) ( ) L C CC C C L L C C C C C L C C C C C C L C C C ( C L C ) C C Cp C 3 L C C L C C C C C C C 5.8 Auwertung kapazitiver Senoren a) Sind die Schalter in oition, ergibt ich folgende Eratzchaltbild: S CEF CEF C C Die Kapazität C EF it parallel zur Spannungquelle gechaltet. CEF Die Senor-Kapazität C S wird über einen Spannungteiler au S und aufgeladen. Aufgrund der unterchiedlichen Zählpfeilrichtungen it die Spannung C negativ. C S
12 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich b) Zum Zeitpunkt t werden die Schalter in oition S gechaltet. Mit den berechneten Anfangbedingungen ergibt ich folgende Eratzchaltbild. C EF S CEF A ( ) C C C c) Durch Quellenwandlung kann der rechte Teil der Schaltung in eine lineare Quelle mit Innenimpedanz gewandelt werden. C EF Z ES CEF A ( ) ES ( ) Dabei ergeben ich die Spannung ES () und die Impedanz Z ES () zu ES C C C C () C C S S Z Z ES S S C C C Mit dieen Vorüberlegungen ergibt ich die Augangpannung A () durch Superpoition zu Z ( ) C Z ( ) Z ( ) ES CEF EF A ES ES ES CEF CEF S S C C S S C C C EF EF C C C C C C S S EF ( S S C ) CEF C C C S S EF C C C C S S EF S S S S C CEF C C C C S S EF S
13 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 3 d) Wenn für die Bauelemente die Näherungwerte S Ω und Ω gelten, ergibt ich die Augangpannung - ganz ohne Sytemtheorie - au einer Ladungbetrachtung. Die Ladung de eferenzkapazität und Senorkapazität berechnen ich zu QEF CEF und Q C Nach dem mchalten ind beide Kapazitäten parallel gechaltet. Die Ladung gleicht ich au. Q Q Q C C C C EF EF EF Die Spannung an der Geamtkapazität ergibt ich au Q CEF Cp C C C GES EF p 5.9 Operationvertärker mit C-Bechaltung a) Bei der Schaltung handelt e ich um einen invertierenden Vertärker mit der Übertragungfunktion G () und einen nachgechalteten Hochpa mit der Übertragungfunktion G (). Die Übertragungfunktion de invertierenden Vertärker ergibt ich zu G ( ) C Z C C Z C Der Hochpa hat eine Übertragungfunktion von G C 3 C3 3 C ( ) 3 Damit lautet die Übertragungfunktion der Schaltung 3 3 G G G C C C 3 3 b) Die Sprungantwort errechnet ich im Laplace-Bereich zu G H.. Die ole ergeben ich zu α - und α -.. Damit kann die Übertragungfunktion in artialbrüche zerlegt werden. H A B ( ).. Die Faktoren A und B ergeben ich au den Gleichungen A..9 9
14 4 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich und B.9 9. Damit ergibt ich die Sprungantwort im Laplace-Bereich zu H ( ). 9. und im Zeitbereich zu ht e e t 9.t t ( ) σ c) Die Löung entpricht dem Signal u A (t), wie ich zum Beipiel an dem Wert für t zeigen lät. In der Abbildung für u A (t) ind beide Signale überlagert dargetellt. Simulation echnung Laplace Augangignal u A (t).5 Augangignal u A (t) Zeit 5 5 Zeit d) Die beiden Löungen ind rechnerich kompatibel zueinander, da ich in beiden Fällen da rodukt der Übertragungfunktionen zu der Übertragungfunktion G() ergibt. G.... Bei numerichen echnungen it aber die eihenfolge weentlich. Im Modell wird zunächt differenziert. Bei Berechnung einer Sprungantwort führt die Differentiation zu unendlich großen Werten, wa rechentechnich nicht realiiert werden kann. Im Modell wird die Differentiation nach dem Tiefpa durchgeführt. Die Sprungantwort de Tiefpae it aber endlich teil, oda auch die Differentiation endlich wird. e) Da die richtige Sytemantwort u A (t) it, mu mit der Begründung au Aufgabenteil d) da Signal u A (t) zu Modell und u A (t) zu Modell gehören. f) Nein, weil da ampenignal ebenfall eine endliche Steilheit aufweit und die Ableitung damit endlich wird und im echner abgebildet werden kann.
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