HOCHSCHULE RAVENSBURG-WEINGARTEN

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1 Prof. Dr.-Ing. Tim J. Noper Mathematik Lapace-Tranformation Aufgabe : Betimmen ie mit Hife der Definitiongeichung der Lapace-Tranformation die Bidfunktionen fogender Originafunktionen: f(t) co( ωt) b) f(t) t e 4t t c) f(t) e in( ωt) d) f (t) inh(at) e) f (t) t f) f(t) in ( t) Aufgabe : Betimmen ie mit Hife der Definitiongeichung der Lapace-Tranformation die Bidfunktionen fogender unktionen: Rechteckimpu A 0 < t < a f (t) A für a < t < a Rechteckimpu: > 0 t a b) Sinuimpu π A in t 0 t a f (t) a für Sinuimpu: t a 0 c) Treppenfunktion 0 0 < t < a f (t) A für a < t < a Treppenfunktion: A a < t < a uw. Seite von 6

2 Prof. Dr.-Ing. Tim J. Noper Mathematik Lapace-Tranformation Aufgabe : Gegeben it die jeweiige Bidfunktion (). Betimmen ie hierau durch Rücktranformation anhand der Tranformationtabee die zugehörige Originafunktion f(t). () b) () 4 8 c) e) () + 5 d) 4 () ( 4) + 4 f) 4 () + 6 () + 5 Aufgabe 4: Die fogenden Bidfunktionen ind gebrochenrationa. Wie auten die dazugehörigen Originafunktionen? c) 5 + () b) () 8 + () + + Hinwei: Zeregen ie die unktionen zunächt mit Hife der Partiabruchzeregung in eine Summe au einfachen Brüchen. Aufgabe 5: Betimmen ie nach dem Linearitätprinzip und unter Verwendung der Tranformationtabee, die Lapace-Tranformierten fogender unktionen: λt f(t) 4t t + t b) f(t) C( e ) c) f(t) A in( ωt) + B co( ωt) + C e λt Seite von 6

3 Prof. Dr.-Ing. Tim J. Noper Mathematik Lapace-Tranformation Aufgabe 6: Betimmen ie anhand der Tranformationtabee b) - L - L ( 5) + 5 ( ) Aufgabe 7: Betimmen ie mit Hife de Ähnichkeitatze und der jewei angegebenen Lapace-Tranformierten die Bidfunktionen f (t) (t), () L { t } 6 f + b) (t) co(4t), () L { co( t) } t t c) f(t) e, () { e } λ L { } d) (t) co ( ωt), () L co ( t) Aufgabe 8: + ( + 4) f Betimmen Sie unter Verwendung der Verchiebungätze und der jeweiigen angegebenen Lapace -Tranformierten die Bidfunktion der jeweiigen Originafunktionen: π f(t) in t +, b) f (t) ( 4) c) f (t) e ( τ b), () L { ( t) } d) f (t) (t ) in + t t, () L { } () L { e } t { } co () L ( t) co ( + + 4) Seite von 6

4 Prof. Dr.-Ing. Tim J. Noper Mathematik Lapace-Tranformation Aufgabe 9: Betimmen Sie unter Verwendung de Dämpfungatze owie der jewei angegebenen Lapace Tranformierten die Bidfunktion der fogenden gedämpften Originafunktionen: f (t) e t co( t), σt b) f (t) A e in( ωt), c) f (t) () L { ( t ) } () L { ( )} t, () L { } Aneitung zu c): Steen Sie die unktion co + 4 in ω t ω + ω t zunächt a e-unktion dar. Aufgabe 0: Berechnen Sie die fogenden atungprodukte: t e t b) e t co( t) Aufgabe : Betimmen Sie unter Verwendung de atungatze die zugehörigen Originafunktionen: () ( )( + 4) b) () ( + ) c) () ( + 9) Seite 4 von 6

5 Prof. Dr.-Ing. Tim J. Noper Mathematik Lapace-Tranformation Aufgabe : Löen Sie die fogenden Anfangwertprobeme: t y y e, y(0) b) y + y co( t), y(0) 5 c) y 5y co( t) in(t), y(0) 0 Aufgabe : Löen Sie die fogenden inearen Differentiageichungen erter Ordnung mit kontanten Koeffizienten: t y y 4t e b) y 4y 5 in( t) Aneitung: Der (Zahenmäßig nicht gegebene) Anfangwert y(0) α it a Parameter zu betrachten. Aufgabe 4: Löen Sie da Anfangwertprobem: y + 4y t, y() Aneitung: Betimmen Sie zunächt die agemeine Löung der Differentiageichung in Abhängigkeit vom (noch unbekannten) Anfangwert y(0) und berechnen Sie dieen durch Einetzen de vorgegebenen Anfangwerte y() in die agemeine Löung. Aufgabe 5: Löen Sie die fogenden Anfangwertprobeme: y + 4y 0, y(0), y (0) b) y + 6 y + 0 y 0, y(0) 0, y (0) 4 t c) y + y e, y(0) 0, y (0) d) y + y y t, y(0), y (0) 0 Seite 5 von 6

6 Prof. Dr.-Ing. Tim J. Noper Mathematik Lapace-Tranformation Aufgabe 6: Wie auten die agemeinen Löungen der fogenden inearen Differentiageichungen zweiter Ordnung mit kontanten Koeffizienten in Abhängigkeit von den (Zahenmäßig nicht gegebenen) Anfangwerten y (0) α und y (0) β : y + y + y t b) y y 8y e t Aufgabe 7: Löen Sie fogende Schwingungprobeme: x & + a x 0, x(0) 0, x(0) & v 0 & ( a 0) b) & x + 4 x& + 9 x 0, x(0), x(0) & c) & x + x& + 0,5 x 0, x(0), x(0) & d) & x + 7x& + x 0, x(0) 5, x(0) & 0 Seite 6 von 6