Seminararbeit. Laplace-Transformation II: Anwendung

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1 Wetfäliche Wilhel Univerität Fachbereich Matheatik (FB 1 Lia Hortann Matrikelnuer Mater of Education (BAB Cheietechnik / Matheatik Seinararbeit Laplace-Tranforation II: Anwendung Dozent: Prof. Dr. Raier Wulkenhaar 1

2 Inhaltverzeichni 1 Einleitung 3 Grundlagen 3.1 Laplace-Tranforation Definition Linearität Verchiebungätze Differentationätze Faltungatz Integralätze Inverionatz Phyik, Elektrotechnik Ohche Geetz Kondenatorgleichung Induktiongeetz Thoonche Schwingunggleichung Zweite Kirchhoffche Geetz / Machenregel Anwendungbeipiele Die Wäreleitunggleichung Tranforation der Originalfunktion in die Bildfunktion Löung i Bildbereich Rücktranforation vo Bildbereich in den Originalbereich Elektricher Reihenchwingkrei Tranforation der Originalfunktion in die Bildfunktion Löung i Bildbereich Rücktranforation vo Bildbereich in den Originalbereich Gekoppelte echaniche Schwingung Tranforation der Originalfunktionen in die Bildfunktionen Löung i Bildbereich Rücktranforation vo Bildbereich in den Originalbereich Anfangwertproble Tranforation der Originalfunktion in die Bildfunktion Löung i Bildbereich Rücktranforation vo Bildbereich in den Originalbereich Anwendung de Verchiebungatze Literaturverzeichni 18

3 1 Einleitung In der Praxi zeigen ich ier wieder Schwierigkeiten bei Löen von (partiellen Differentialgleichungen. In diee Bereich hat ich die Laplace-Tranforation al eine ehr effektive und vieleitig einetzbare Methode erwieen. Die Laplace-Tranforation findet oit vor alle in der Elektrotechnik, Mechanik und der Regelungtechnik ihre Anwendung, da e ich dort häufig u Vorgänge handelt die ert ab eine gewien Zeitpunkt t = von Interee ind. In dieer Arbeit oll ein Einbilck in die vielfältigen Anwendungbereiche der Laplace-Tranforation gegeben werden und anhand von Beipielen die Anwendung der einzelnen Sätze auf Differentialgleichungen 1. Ordnung bzw.. Ordnung verdeutlicht werden. Grundlagen In die Bereich ind die grundlegenden Geetze zu finden die zu löen der angeführten Beipiel notwendig ind..1 Laplace-Tranforation.1.1 Definition F ( = f(t e t dt = L{f(t} (1.1. Linearität L{c 1 f 1 (t+c f (t+...+c n f n (t} = c 1 L{f 1 (t}+c L{f (t}+...+c n L{f n (t} (.1.3 Verchiebungätze Verchiebung nach recht Verchiebung nach link L {f(t a} = e a L {f(t + a} = e a ( F ( + f(t e t dt a ( a F ( f(t e t dt (3 (4.1.4 Differentationätze Für die Originalfunktion L {f n (t} = n F ( n 1 f(+ n f (1 (+... f (n (+ f (n 1 (+ (5 Nur wenn alle Anfangbedingungen gleich Null ind ergibt ich: L{f n (t} = n F ( (6 3

4 Für die Bildfunktion F (n ( = L{( t n f(t} (7.1.5 Faltungatz Mit de Faltungprodukt f 1 (t f (t = t f 1(u f (t u du gilt: { t } L {f 1 (t f (t} = L f 1 (u f (t u du = L {f 1 (t} L {f (t} = F 1 ( F ( (8.1.6 Integralätze Für die Originalfunktion { t L { t } L f(u du = 1 a Für die Bildfunktion.1.7 Inverionatz } f(u du = 1 F ((über da Intervall u t (9 ( a F ( f(u du (über da Intervall a u t (1 L 1 {F (} = f(t = 1 iπ. Phyik, Elektrotechnik..1 Ohche Geetz { } 1 F (u du = L t f(t x i x+i e t F ( d = (11 n Re(z k (1 k=1 U = R I (13.. Kondenatorgleichung C = q U C (14..3 Induktiongeetz u L = L di dt (15..4 Thoonche Schwingunggleichung ω = 1 L C (16 4

5 ..5 Zweite Kirchhoffche Geetz / Machenregel (Die Sue aller Spannungen in einer Mache it Null u L + u C u a = (17 5

6 3 Anwendungbeipiele 3.1 Die Wäreleitunggleichung E oll die Wäreleitunggleichung für ein hoogene Mediu in Abhängigkeit von der Zeit betit werden. Diee oll au der partiellen Wäreleitunggleichung. Ordnung (18 berechnet werden. ϑ x = 1 ϑ u Die Teperatur ϑ = ϑ(x, t it dabei abhängig vo Ort x und der Zeit t, tellt eine Stoffkontante dar. Da Mediu kann ich vereinfacht al Stab der Länge l it vernachläigbare Durcheer vorgetellt werden. De Weiteren gelten die folgenden Bedingungen: (a ϑ = ϑ für x l, t = (b ϑ = ϑ 1 für x = l, t > = für x =, t > (c ϑ x Tranforation der Originalfunktion in die Bildfunktion In diee Fall wird die Laplace-Tranforation für die Varialbe t durchgeführt. Dabei wird die Ortvariable x al kontanter Koeffizient angeehen, oda allgeein L {ϑ(x, t} = θ(x, gilt. Für die Wäreleitunggleichung (18 ergibt ich oit: { } ϑ L x = 1 { } ϑ L u }{{}}{{} (1 ( Mit der Definition für die Laplace-Tranforation ergibt ich: (1: L { } ϑ ϑ x = x e t dt = x ϑ(x, t e t dt = θ(x, x (18 6

7 Mit de Differentiationatz für die Originalfunktion gilt: (: L { } ϑ = θ(x, ϑ(+ u Da in dieer Probletellung auchließlich Teperaturdifferenzen betrachtet werden, kann die Startteperatur ϑ = o.b.d.a. angenoen werden. De Weiteren handelt e ich bei de Audruck θ(x, nun nicht ehr u eine partielle ondern u eine x volltändige Differentiation, oda d θ(x, gechrieben werden darf. Ein Zuaenfügen aller biherigen Teilergebnie liefert die algebraiche dx Gleichung: 3.1. Löung i Bildbereich d dx θ(x, 1 θ(x, = (19 U die Gleichung (19 zu löen, wird der Anatz θ(x, = e xλ gewählt. Au diee Anatz folgt direkt: dθ dx = d θ λexλ, dx = λ e xλ Soit ergibt ich für die Gleichung (19 nun die Dartellung: λ e xλ exλ = Diee Dartellung liefert die beiden Bailöungen: Soit erhält an für θ(x, die Funktion λ 1, = ± θ(x, = A e x + B e x ( = A coh (x + B inh x al Linearkobination der Bailöungen. U die Bedingung (c : dθ dx = an Stelle x = zu erfüllen u B = gelten. Denn die Ableitung liefert: = dθ dx = A inh ( x } {{ } für x= + B coh ( x } {{ } 1 für x= Darau wird der Zuaenhang ( θ(x, = A coh x ( 7

8 erittelt. Nun u die Bedingung (b beachtet werden. Dazu wird zunächt, wie auch chon bei der Bedingung (c, die Laplace-Tranforierte der Bedingung gebildet. Diee liefert θ(l, = ϑ 1, oda gilt: ( ϑ 1 = A coh l (1 Die Löung der algebraichen Gleichung i Bildbereich wird durch die Verknüpfung der Gleichungen ( und (1 erhalten und tellt ich wie folgt dar: ( θ(x, = ϑ 1 coh x ( ( coh l Rücktranforation vo Bildbereich in den Originalbereich Die Funktion θ(x, liegt nun in der For P ( Q( vor, wobei gilt: ( P ( = ϑ 1 coh x ( Q( = coh l I Folgenden oll der Inverionatz angewendet werden. Au diee Grund it e notwendig die Nulltellen de Nenner Q( zu betien u die Pole der Funktion θ(x, zu identifizieren. Dazu wird ( Q(x, = coh l = geetzt. Die erte Nulltelle ( = kann direkt abgeleen werden. Für die weiteren Nulltellen wird der Anatz ( = coh l = 1 (e l + e l verwendet, au de folgt: e l = 1 = e iπ(1+k Anchließend können au die weiternen Nulltellen betit werden: l = iπ(1 + k z k = = π l ( k 1 8

9 E it erkennbar, da diee Nulltellen alle auf de negativen Teil der realen Ache liegen. Der Inverionatz beagt: ( ϑ(x, t = Re e t θ(x, = k=1 e z kt P (z k Q (z k Dieer Spezialfall de Reiduenatze it gültig, da e ich bei allen hier auftretenden Singularitäten u Pole 1. Ordnung handelt. Da hier allerding auch ein Pol an der Stelle = vorliegt, u die Forel u den additiven Ter P ( Q ( erweitert werden, oda ich für ϑ(x, t die Dartellung ϑ(x, t = P ( Q ( + ergibt. In diee Beipiel gilt: P (z k = ϑ 1 coh x π l Q ( = l ( inh Q (k 1π (z k = inh 4i P ( Q ( = ϑ 1 Mit der Gleichung (3 gilt nun: ϑ(x, t = ϑ 1 + k=1 l ( ( k 1 k=1 e z kt P (z k Q (z k = ϑ 1 coh ( + coh l iπ k 1 ( ϑ 1 coh ixπ l ( inh (k 1π 4i + coh ( k 1 iπ k 1 ( iπ k 1 e π l + coh ( ( ixπ k 1 l k 1 ( t ( iπ k 1 Mit inh(ix = i in(x und coh(ix = co(x gilt: ( ( ϑ(x, t = ϑ 1 + 4ϑ 1 co xπ l k 1 e π l k 1 ( t ( π k=1 (k 1 in π k 1 ( + co π k 1 }{{}}{{} -1 für k ungerade, 1 für k gerade für alle k 1 Da = ( 1 k gilt, ergibt ich für die Löung i Originalbereich die folgende Funktion ( 1 k für ϑ(x, t: ( ( ϑ(x, t = ϑ 1 + 4ϑ 1 ( 1 k co xπ l k 1 e π l k 1 ( t (4 π (k 1 k=1 (3 9

10 3. Elektricher Reihenchwingkrei Die Abbildung zeigt cheatich einen elektrichen Reihenchwingkrei. Dieer enthält eine Spule it der Induktivität L owie einen Kondenator der Kapazität C in Reihenchaltung. Bei dieer Art der elektrichen Schaltung wird die Energie zwichen de elektrichen Feld der Spule und de agnetichen Feld de Kondenator periodich augetauch. Soit handelt e ich hier u eine reonanzfähige Schlatung welche in der Lage it Schwingungen auzuführen. Dabei liegen abwechelnd hohe Spannungen bzw. hohe Strotärken vor. Anhand diee Beipiele oll gezeigt werden, wie die Funktion zur Bechreibung der Strotärke i(t it Hilfe der Laplace-Tranforation it wenig Aufwand erittelt werden kann. Bedeutung der zeitabhängigen Größen: u C (t: u L (t: q(t: i(t: Spannung a Kondenator Spannung an der Spule (Induktivität Ladung de Kondenator I Reihenchwingkrei fließender Stro Da der Kondenator den i Reihenchwingkrei fließenden Stro zwichenpeichert, ergibt ich für die Kondenatorladung q(t da Zeitintegral der Strotärke i(t. q(t = t i(τ dτ (5 E wird angenoen, da der Schwingkrei bi zu Einchaltzeitpunkt t = energielo vorliegt und die dann anliegende Spannung u kontant it. Darau ergibt ich, da owohl die Kondenatorladung q(t al auch die Strotärke i(t gleich ind und oit q( = i( = owie u a = u gilt. Für die Kondenatorladung ergibt ich oit: q(t = t i(τ dτ = t t i(τ dτ + i(τ dτ = i(τ dτ }{{ } q(= 1

11 Mit Hilfe de Induktiongeetze u L = L di q dt und der Kondenatorgleichung C = nun au u L + u C u a = (de Zweiten Kirchhoffchen Geetz: u C folgt L di dt + 1 t C i(τ dτ = u U eine überichtlichere Gleichung zu erhalten wird durch L dividiert und die Thoonche Schwingunggleichung ω = 1 L C angewendet, oda gilt: di dt + ω t i(τ dτ = u L Diee Vorbereitungen liefern eine ogenannte Integro-Differentialgleichung, alo eine Gleichung welche owohl die Ableitung al auch da Integral der zu betienden Funktion (hier der Strotärke i(t enthält. Mit Hilfe der Anfangbedingung i( = it e nun öglich diee Gleichung durch die Laplace-Tranforation wie folgt zu löen Tranforation der Originalfunktion in die Bildfunktion Mit Hilfe der Laplace-Tranforation L{i(t} = I( gilt oit: { di t } { } L dt + u ω i(τ dτ = L L Die Linearität der Laplace-Tranforation liefert: { } { di t } L + ω L i(τ dτ = u dt L L {1} Durch den Differentiationatz für die Bildfunktion gilt: { t } I( i( + ω L i(τ dτ = u L L {1} Die Gleichung I( i( + ω 1 I( = u L L {1} wird durch den Integralatz der Originalfunktion erhalten. Anhand einer Korrepondenztabelle und der Anfangbedingung i( = kann die Gleichung oit wie folgt ugefort werden: I( + ω 1 I( = u L 1 Durch Multiplikation it wird die algebraiche Gleichung (6 (7 erhalten. I( + ω I( = u L (8 11

12 3.. Löung i Bildbereich U nun die Löung dieer algebraichen Gleichung zu betien wird in der Gleichung (8 zunächt I( augeklaert u anchließend durch den Ter ( +ω zu dividieren. Soit lautet die Löung der algebraichen Gleichung i Bildbereich: I( = u L 1 + ω ( Rücktranforation vo Bildbereich in den Originalbereich Mit Hilfe der Linearität der Laplace-Tranforation ergibt ich au die Gleichung: i(t = L 1 {I(} = L 1 { u L Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung gilt: i(t = u { L 1 L 1 + ω 1 + ω 1 + ω = 1 ( 1 1 iω iω + iω Unter aunutzen der Linearität ergibt ich oit: i(t = u L { 1 L 1 iω Mit der Korrepondenz 1 a e at ergibt ich: 1 iω } 1 } + iω i(t = u L 1 ( e iωt e iω t iω Durch in(x = 1 i (e ix e ix wird die Funktion i(t = u L in (ω t ω erhalten. Nun wird die Thoonche Schwingunggleichung ω = 1 L C owie der Zuaenhang i = u C L genutzt. Die Löung i Originalbereich kann oit al dargetellt werden. i(t = i in (ω t (3 } 1

13 3.3 Gekoppelte echaniche Schwingung Mit der Laplace-Tranforation it e öglich neben einzelnen Differentialgleichungen auch Gleichungytee au Differentialgleichungen zu löen. Al Beipiel oll hier eine gekoppelte echaniche Schwingung dienen, die ich it den beiden Differentialgleichungen. Ordnung (1 x 1 + 5x 1 4x = und den Anfangwerten bechreiben lät. ( x + 5x 4x 1 = x 1 ( = A, x 1( = x ( = A, x ( = Tranforation der Originalfunktionen in die Bildfunktionen E gilt: X 1 ( = L {x 1 (t}, X ( = L {x (t} Für die Gleichung (1 folgt oit durch die Linearität, den Ableitungatz und die Anfangbedingungen: L { x } 1 + 5x 1 4x = L { x 1} + 5 L {x1 } 4 L {x } = X 1 ( x 1 (+ x X 1 ( 4 X ( = Für die Gleichung ( folgt de entprechend: ( + 5 X 1 ( 4 X ( = A (31 L { x } + 5x 4x 1 = L { x } + 5 L {x } 4 L {x 1 } = X ( x (+ x + 5 X ( 4 X 1 ( = 4 X 1 ( + ( + 5 X ( = A ( Löung i Bildbereich U die Löung der beiden algebraichen Gleichungen (31 und (3 zu betien wird hier die Craerche Regel genutzt. Die zugehörige Matrix tellt ich wie folgt dar: ( ( A 4 ( + 5 A 13

14 Nun werden die Koeffizientendeterinate D, owie die beiden Hilfdeterinanten D 1 und D betit. ( D = ( + 5 = ( = ( + 9( + 1 (33 A 4 D 1 = A ( + 5 = A( + 5 4A = A( + 1 (34 ( D = + 5 A 4 A = A( A = A( + 1 (35 Die Löung i Bildbereich wird durch die Gleichungen (33, (34 und (35 in der For erhalten. X 1 ( = D 1 D = A( + 1 ( + 9( + 1 = A + 9 X ( = D D = A( + 1 ( + 9( + 1 = A + 9 (36 ( Rücktranforation vo Bildbereich in den Originalbereich Unter Verwendung einer Korrepondenztabelle werden für die Löung i Originalbereich folgende Funktionen erittelt: { } x 1 = L 1 {X 1 (} = A L 1 = A co(3t ( { } x = L 1 {X (} = A L 1 = A co(3t (

15 3.4 Anfangwertproble In diee Abchnitt oll eine Anwendung de Faltungatze dargetellt werden. Diee wird a Beipiel einer Aufgabe au de Bereich Anfangwertproblee gechehen. E it die Gleichung y 5y = co(t in(3t (4 it de Anfangwert y( = zu löen Tranforation der Originalfunktion in die Bildfunktion Mit Hilfe der Laplace-Tranforation L{y(t} = Y ( gilt oit: L { y 5y } = L { co(t in(3t} (41 Nun wird die Linearität der Laplace-Tranforation genutzt u die Gleichung L { y } 5 L {y} = L {co(t} L {in(3t} zu erhalten. Mit Hilfe de Differenziationatze owie einer Korrepondenztabelle ergibt ich nun: Y ( y(+ 5 Y ( = Durch Einetzen der Anfangbedingung y( = wird die algebraiche Gleichung erhalten. Y ( 5 Y ( = ( Löung i Bildbereich Die Löung dieer algebraichen Gleichung wird durch auflöen zu Y ( erhalten und tellt ich wie folgt dar: Y ( = ( }{{} F 1 ( }{{} F ( }{{} F 3 ( }{{} F 4 ( Rücktranforation vo Bildbereich in den Originalbereich Für die Rücktranforation dieer algebraiche Gleichung wird der Faltungatz L {f 1 (t f (t} = F 1 ( F ( benötigt. Dabei werden die einzelnen Betandteile der Funktion (43 getrennt voneiander rücktranforiert, wobei allgeein L 1 {F n (} = f n (t gilt. 15

16 Mit einer Korrepondenztabelle werden die folgenden Zuaenhänge erhalten: { } f 1 (t = L 1 = co(t + 1 { } 1 f (t = f 4 (t = L 1 = e 5t 5 { } 3 f 3 (t = L 1 = in(3t + 9 I Folgenden werden die Faltungprodukte f 1 (t f (t und f 3 (t f 4 (t betit u die Funktion y(t darzutellen. Betiung der Faltungprodukte: f 1 (t f (t = y(t = f 1 (t f (t f 3 (t f 4 (t (44 t co(u e 5(t u du t f 1 (t f (t = e 5t co(u e 5u du f 1 (t f (t = e 5t [ e 5u ( 5 [ 5 co(u + in(u] + 1 f 1 (t f (t = 1 13 [ 5 co(t + in(t] e5t (45 ] t f 3 (t f 4 (t = t in(3u e 5(t u du t f 3 (t f 4 (t = e 5t in(3u e 5u du f 3 (t f 4 (t = e 5t [ e 5u ( 5 [ 5 in(3u 3 co(3u] + 3 ] t f 3 (t f 4 (t = 1 34 [ 5 in(3t 3 co(3t] e5t (46 Au den Gleichungen (44,(45 und (46 entteht die Löung i Originalbereich: y(t = 1 13 in(t 5 13 co(t in(3t co(3t e5t (47 16

17 3.5 Anwendung de Verchiebungatze E oll die Funktion f(t = in(t u 3 Einheiten nach recht verchoben werden. Wobei davon augegangen wird, da da für t < f(t = gilt. Soit wird die neue Funktion g(t 3 = in(t 3 (48 erhalten. Dabei gilt t 3 = τ, t = τ + 3 und dt = dτ. Soda die Laplace-Tranforierte von L {in(t 3} = 3 = e 3 in(τ e (3+τ dτ 3 in(τ e τ dτ = e 3 in(τ e τ dτ + in(τ e τ dτ 3 }{{} n.v = = e 3 in(τ e τ dτ Mit Hilfe der Korrepondenztabelle wird die Funktion G( i Bildbereich erhalten. G( = e (49 17

18 4 Literaturverzeichni Papula, L. (3, Matheatiche Forelalung: Für Ingenieure und Naturwienchaftler, Aufl. 8, Vieweg+Teubner Verlag Papula, L. (1,Matheatik für Ingenieure und Naturwienchaftler, Band, Aufl. 1, Vieweg Verlag Föllinger, O. (11, Laplace-, Fourier- und z-tranforation, Aufl. 1, VDE Verlag 18