MATHEMATIK II - SOMMERSEMESTER 2017 LÖSUNGEN ZUM 10. ÜBUNGSBLATT ANALYSIS. Aufgabe 46. = exp( ) ( ω) = f ( x, t) ω. = exp( ) k j = f ( x, t) k j

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1 MATHEMATIK II - SOMMERSEMESTER 7 LÖSUNGEN ZUM ÜBUNGSBLATT ANALYSIS Aufgabe 46 Wir berechnen die partiellen Ableitungen von f x, t = exp x ωt it x R nach der Zeit t und nach den beiden Ortvariablen x und x Wir beginnen it der Zeitableitung: f t = exp ω = f x, t ω dait gilt f t = f x, t ω Für die partielle Ableitung nach x j für j =, berechnen wir f x j = exp j = f x, t j bzw f x j = f x, t j Hierau ergibt ich f = f x, t Wenn wir f und die zweite partielle Zeitableitung in die vorgegebene partielle Differentialgleichung einetzen, o erhalten wir f f t = f x, t ω = Da tet f x, t = gilt, it die nur erfülllt, wenn = ω bzw = ω, da ω > Die Länge von u alo it ω übereintien Zu Zeitpunt t = oll f de Anfangwertprofil f x, = exp x exp x = expx x = exp, x t genügen Hierau leen wir nun ab: = Zuaen it der Längenbedingung für ergibt ich ω = =

2 Aufgabe 47 Teil a Die Bewegunggleichung für da gedäpfte Pendel ergibt ich au einer Bilanz der beteiligten Kräfte Die ind die Gravitationraft F G, die Reibungraft STOKES-Reibung F S und Rüctellraft der Feder HOOKEche Geetz F H E gilt ẍ = F G + F S + F H = g dẋ x Da die x-ache nach unten orientiert it, ind die Vorzeichen in dieer Kräftebilanz entprechend zu wählen Die Mae oll au eine Aulenungzutand x = x durch Lolaen bechleunigt und oit in Bewegung veretzt werden Dadurch ergeben ich zwei Anfangbedingungen: x = x, ẋ = Die lineare, inhoogene Differentialgleichung zweiter Ordnung zuaen it den beiden Anfangwerten ergibt die Anfangwertaufgabe: ẍt = g d ẋt xt x = x ẋ = Durch LAPLACE-Tranforation oll nun die Löung betit werden Hierzu tellen wir eine leine Tranforationtabelle für die Betandteile der Differentialgleichung auf xt F ẋt F x + = F x ẍt F x ẋ + = F x o g g Aufgrund der Linearitätatze önnen wir nun die Anfangwertaufgabe in den Bildbereich tranforieren, inde wir beide Seiten der Differentialgleichung LAPLACE-tranforieren: L{ẍt} = L{g d ẋt xt} = L{g} d L{ẋt} L{xt} Linearitätatz Die Anfangwertaufgabe lautet daher i Bildbereich F x = g d F x F Hierau ergibt ich die Löung i Bildbereich al F = + d + g + x + d x g = + d + + x + d + + d x + d + g = + d + + x + d + + d + d + Mit den Nulltellen von + d +, := d d 4, := d + d 4,

3 ergibt ich die oplexe Fatoriierung von + d + = Hierit önnen wir nun die einzelnen Tere in der obigen Bildbereichlöung F in Partialbrüche zerlegen: = A + B + C E liegen nur einfache Nulltellen vor, daher önnen wir it unere Diretverfahren die Koeffizienten A, B und C betien: A = S, B =, C = Hierit lautet die Partialbruchzerlegung de erten Ter = + + Die einzelnen Partialbrüche önnen nun leicht in den Originalbereich zurüctranforiert werden Dait ergibt ich die Korrepondenz + e t + e t In analoger Weie fahren wir it den weiteren zu zerlegenden Teren in der Bildbereichlöung fort = D + E Mit D =, E = folgt = Die Rüctranforation ergibt + e t + e t = e t e t E bleibt der Ter = F + G Mit F =, G = = F 3

4 folgt = Die Rüctranforation ergibt e t e t Wir önnen jetzt die oplette Bildbereichlöung g F = + d + + x + d + + d + d + in den Originalbereich zurüctranforieren: F g + e t + e t + x e t e t + d e t e t = g + e t e t + x + d e t + d e t = xt Die Löung für die Anfangwertaufgabe de gedäpften Federpendel lautet alo xt = g + et e t + x + d et + d e t Sie beteht au eine Teil, der nur bei Vorhandenein der Graviationraft wira it und nicht von der Anfangaulenung x abhängt: g + et e t owie eine Teil, der eine Abhängigeit der Anfangaulenung x aufweit: x + d e t + d e t Hierbei ind und Kontanten, die geäß = d d 4, = d + d 4 von der Mae, der Federontanten und der Däpfung d abhängig ind Die Exponentialfuntionen in der Löung önnen reelle Arguent oder nicht-reelle, zu einander onjugiert oplexe Arguent aufweien, je nachde, ob, R oder, C \ R I erten Fall,, R, treten bedingt durch die dann reellen Exponentialfuntionen eine Schwinghungen auf, während i zweiten Fall, bedingt durch I = I =, Exponentialfuntionen it iaginären Arguenten auftreten Wir erinnern un an den Zuaenhang e iϕ = co ϕ + i in ϕ, 4

5 worau ich die Dartellungen co ϕ = eiϕ + e iϕ, in ϕ = i eiϕ e iϕ ergaben Die i zweiten Fall auftretenden iaginären Arguente in den Exponentialfuntionen orgen dann für Schwingungen Wann tritt der erte und wann der zweite Fall ein? Hierzu reicht ein Blic auf die Diriinante, alo da, wa unter der Wurzel teht bei der Definition von und, denn e gilt / = d d 4 R d < 4 d <, da,, d It alo die Däpfung d <, o treten Schwingungen auf, während für eine Däpfung d da Federpendel chwingunglo in die Ruhepoition zurücehrt Kriechfall Die Situation de Übergang vo Schwingungfall in den Kriechfall bei d = wird al aperiodicher Grenzfall bezeichnet Teil b Wir betrachten ein Federpendel it de Paraeteratz Größe Mae Federontante Däpfung Anfangaulenung Variable = Maßzahl Einheit = 4 g = 4 N/ d = 4 g/ x = i chwereloen Zutand, d h g = / In der berechneten Löung fällt alo der gravitationabhängige Teil weg Wie prüfen zunächt, ob die Däpfung o tar it, da ie aureicht, den Kriechfall herbeizuführen: = g 4 4 N/ g = 8 g = 8 g/ > g/ = d Der Kriechfall tritt dait nicht in Ercheinung Die Löung xt weit dait Schwingungtere auf Prinzipiell önnen wir nun alle Daten in die unter Teil a errechnete Löung einetzen, u oit die Funtion xt für dieen peziellen Paraeteratz explizit zu erhalten Diee Aufgabe önnen wir aber auch einer CAS-Software überlaen Da Progra Maxia it hierbei eine freie, wenn auch nicht o leitungtare Alternative zu oerziellen Produten wie Maple oder Matheatica Ein Lin zu Download von Maxia für Window, Mac OS-X oder Linux it unter zu finden In Maxia haben wir die Möglicheit, die Löung xt au Teil a ohne den Gravitationteil zuaen it den hierfür erforderlichen Paraetern und paraeterabhängig zu definieren Da Sript hierfür ieht dabei wie folgt au:,,d:=/*-d/-qrtd^/^-4*/;,,d:=/*-d/+qrtd^/^-4*/; xt,x,,,d:=x/,,d-,,d*,,d+d/*exp,,d*t -,,d+d/*exp,,d*t; 5

6 Wir önnen un dann die Löung durch arteiche Zerlegung der iaginären Exponentialfuntion in Sinu- und Koinu-Dartellung augeben laen für den Paraeteratz = 4, = 4, d =, x = Einheiten werden weggelaen Die gechieht durch Aufruf der Löung innerhalb der rectfor-funtion: rectforxt,,4,4,; Der Output von Maxia in der Frontend-Variante wxaxia gibt un nun für dieen peziellen Paraeteratz die Löung au Wir önnen nun die Löung plotten, beipielweie für t 5 und önnen die in wxaxia eingebaute wxplotd-funtion oder it Hilfe der plotd-funtion eine externe Graphioftware, wie beipielweie GNUPLOT, hierfür aufrufen plotd[%o4], [t,,5], [plot_forat, gnuplot], [gnuplot_preable, "et zeroaxi;"], [ntic,]; u den Plot der Löung zu erhalten: t Gedäpfte Schwingung: Die Aplitude der Schwingung für den gegebenen Paraeteratz verringert ich und bewegt ich ayptotich auf die Ruhelage x = zu Wir önnen nun it de Däpfungparaeter d etwa experientieren Eine ungedäpfte Schwingung zeichnet ich durch die Däpfung d = au Wir erhalten die Löung it Maxia über die Eingabe von xt,,4,4, Maxia gibt da Ergebni it iaginären Exponentialfuntionen au 6

7 Durch rectfor% wird der letzte Audruc in arteicher For dargetellt: Die Funtion xt = co t repräentiert eine ungedäpfte Schwingung alo Löung für dieen Paraeteratz Die Aplitude bleibt auf de Anfangwert X = und lingt nicht ab Der aperiodiche Grenzfall tritt ein, wenn für die Däpfung der Schwellenwert = 4 4 = 8 indeten erreicht wird Wir wählen beipielweie die Däpfung d = 9 und werfen einen Bilc auf die von Maxia gelieferte, arteich dargetelle Löung: und plotten diee Kurve t Kriechfall: Die Däpfung hat den Schwellenwert zu aperiodichen Grenzfall überchritten E enttehen eine Schwingungtere in der allgeeinen Löung ondern reelle Exponentialfuntionen it negativen Arguenten, die eine treng onoton fallende, auf die Ruhelage zugehende Kurve erzeugen: xt t Aufgabe 48 Die Anfangwertaufgabe für da ungedäpfte Pendel in der Schwereloigeit lautet ẍt = ẋt + A coωt x = Anfangzutand = Ruhelage ẋ = Zu Beginn it da Pendel in Ruhe 7

8 Wir tranforieren die Betandteile in den Bildbereich xt F ẋt F x + = F ẍt F ẋ + = F coωt +ω Dait lautet die Anfangwertaufgabe i Bildbereich F = F + A + ω Hierau ergibt ich die Bildbereichlöung F al F = A + + ω = A + + ω Wir zerlegen nun den Ter + + ω = i + i iω + iω in Partialbrüche i + i iω + iω = A i B + + i + C iω + D + iω Die Kontanten berechnen wir, wie üblich, it unerer Einetzforel A i / = C iω = ω ω i / B =, iω = A, D = ω = A, ω = A Die Partialbruchzerlegung lautet daher + + ω = A + i + i = ω + i + i Hierau ergibt ich F = A = A + + ω ω i }{{} e i / t + + i }{{} e i / t 8 iω + iω iω }{{} e iωt iω + iω + } {{ iω } e iωt

9 Für die Löung i Bildbereich ergibt ich dait aufgrund de Linearitätatze die Korrepondenz F e i / t + e i / t e iωt + e iωt ω } {{} =co }{{} / t =coω t A Die Löung i Originalbereich lautet daher xt = A co / t coω t ω Durch Anwendung de Additiontheore co α co β = in α β in α+β erhalten wir eine andere Dartellung der Löung xt = A / ω / + ω in t in ω t Mit der Aplitude A ω := A ω und der Funtion / ω h ω t := in t önnen wir die Löung / + ω xt = A ω h ω t in t Den vorderen Teil definieren wir al Hüllurve Einhüllende, Envelope dieer Schwingung: H ω t := A ω h ω t = A / ω in t ω Bei xt handelt ich u eine Schwingung der Kreifrequenz /+ω, de Mittelwert zwichen Anregungfrequenz ω und Eigenfrequenz / Die Aplitude A w dieer Schwingung wird durch die Hüllurve H ω t periodich verändert Die Hüllurve H ω t ann al Oberchwingung betrachtet werden, deren Frequenz ich au der Differenz zwichen Anregung- und Eigenfrequenz i Weentlichen ergibt Wa paiert nun, wenn die Anregungfrequenz ω variiert wird und dabei gegen die Eigenfrequenz / läuft? Wir berechnen den Grenzwert für den Betrag der Aplitude li ω A ω = li / ω A / ω = 9

10 Die Aplitude explodiert alo für ω / Dieer Effet wird al Reonanzatatrophe bezeichnet Für die Hüllurve H ω t ergibt ich i Reonanzfall die folgende Grenzfuntion li ω H ω t = li / ω A ω h ω t / = li ω A / = li ω A / / ω ω in t ω / ω in t An dieer Stelle üten wir per Regel von DE L HOSPITAL den Grenzwert aurechnen Auch dieen Job ann un die CAS-Software abnehen Wir definieren die Hüllurve in Maxia Ht,,,w,a:=*a/*/w^-/*inw-qrt//*t; und berechnen ybolich den Grenzwert für ω / liit%, w, qrt/; Maxia gibt au E ot alo die Grenzfuntion Ht = A t / für die Hüllurve i Reonanzfall zutande Sie teigt linear an und wächt über alle Grenzen Sie it nicht periodich wie die Hüllurve i Nicht-Reonanzfall Die Periodendauer der Reonanzhüllurve it alo unendlich groß Bei der ungedäpften angeregten Schwingung führt die oit zur Katatrophe Bei gedäpften Schwingungen wird der Reonanzeffet bechränt Anonten würde beipielweie jede Saite reien, wenn eine noch o leine äußere Anregung in Eigenfrequenz auf ie einwirt Für den Paraeteratz Größe Mae Federontante Anregungfrequenz Anregungtäre Variable = Maßzahl Einheit = 4 g = 4 N/ ω = 5 A = N liefert un Maxia die Löung

11 Wir plotten die Löung und erhalten: t Dargetellt it die Trägerchwingung xt in rot owie die Hüllurve H ω t in grün für den Zeitrau [, 5] Aufgabe 49 Teil a Löung der linearen inhoogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung ẍ + ẋ = e t it den Anfangwerten x =, ẋ = Die LAPLACE-Tranforation der Betandteile xt F ẋt F ẍt F e t

12 ergibt aufgrund de Linearitätatze die Anfangwertaufgabe i Bildbereich F + F =, worau wir die Löung i Bildbereich eritteln al F = = + Wir zerlegen dieen Audruc in Partialbrüche: + = A + + B it A = 3, B = 3 Dait folgt F = e t + 3 et Die Löung lautet alo xt = 3 et e t Teil b Löung der linearen inhoogenen Differentialgleichung erter Ordnung ẋ in t = x + co t it de Anfangwert x = Die LAPLACE-Tranforation der Betandteile xt F ẋt F in t + co t + führt zur Tranforation der Anfangwertaufgabe in den Bildbereich F + = F + +, worau wir die Löung i Bildbereich eritteln al F = = + + +

13 Wir zerlegen dieen Audruc nach Nennerfatoriierung in Partialbrüche: = + + i + i = A i + it A i = i +i+ ii = i+ ii = i+i ii = i i = B i = i i+ i i = C = 4 = i ii+ = i+i = i+i i i = B + i + C Dait folgt F = i + + i + e it + e it + e t Unter Berücichtigung von co t = e it + e it lautet die Löung alo xt = e t co t Aufgabe 5 Der Faltungatz für zwei Funtionen f und f au de Originalbereich it f t F, f t F lautet f f t F F oder urz Faltung i Originalbereich Produt i Bildbereich Hierbei it die Faltung f f definiert durch f f t := t f τ f t τ dτ Teil a Geucht it die LAPLACE-Tranorierte von exp in Nach de Faltungatz gilt L{exp in} = L{e t } L{in t} = + = + Wir önnen alternativ auch zuert die Faltung berechnen, u danach die LAPLACE-Tranforation durchzuführen Hierzu berechnen wir exp in = in exp = t t inτ e t τ dτ = e t inτ e τ dτ 3

14 Mit Hilfe der partiellen Integration betien wir zunächt eine Stafuntion de Integranden: e τ in τ dτ = e τ in τ e τ co τ dτ = e τ in τ + e τ co τ dτ = e τ in τ + e τ co τ e τ in τ dτ = e τ in τ + e τ co τ e τ in τ dτ, worau für da geuchte Integral e τ in τ dτ = e τ in τ + co τ folgt Hierit berechnen wir da obige Faltungintegral: in exp = e t t inτ e τ dτ = [ et e τ in τ + co τ ] t = [ et e τ in τ + co τ ] t = et e in co e t in t + co t = et e t in t + co t + = in t co t + et Die Tranforation de letzten Audruc in den Bildbereich ergibt dann die LAPLACE- Tranforation in exp Dieer letzte Audruc it die Partialbruchzerlegung von +, alo unere erten Ergebni, da wir per Faltungatz berechnet haben Der Faltungatz erleichtert oit in derartigen Fällen die Erittlung der Bildfuntion in erheblicher Weie Teil b Auch für die Rüctranforation ann der Faltungatz verwendet werden Wir zerlegen zunächt die die Bildfuntion in ein Produt zweier Bildfuntionen F = + 3 = } {{ } e t Hierbei gelten wegen t n n! n + }{{ 3 } t e t und wegen de Däpfungatze die folgenden Korrepondenzen für die beiden Bildfatoren: e t, + 3 t e t 4

15 Dait orrepondiert da Produt F dieer beiden Bildfuntionen it der Faltung der zugehörigen Originalfuntionen: F = + 3 e t t e t Wir berechnen alo die Faltung E gilt t e t t e t = t e t e t = t = et τ e τ dτ Dait gilt = et [ e τ τ + = [ et e τ τ + τ e τ e t τ dτ ] t e τ τ dτ ] t τe τ dτ = et [ e τ τ τe τ + = 4 et [ τ e τ τe τ e τ] t = 4 et t e t te t e t +, partielle Integration ] t e τ dτ e t t + t + e t = 8 partielle Integration e t t + t + e t 5