Zusammenfassung: Mechanische Schwingungen

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1 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 Zuaenfaung: Mechaniche Schwingungen Inhatverzeichni Sinu- und Koinufunktion Hooke che Geetz Haroniche Schwingungen 3 ür Eperten 7 Sinu- und Koinufunktion a Bogenaß eine Winke it die Länge de zu Winke gehörenden Kreibogen i Einheitkrei er Einheitkrei hat den Ufang U r Ao hat ein Winke von 36 da Bogenaß Merke: 36 ie Schaubider der Sinu- und der Koinufunktion ind bekanntich: in 3 co 3 Abänderung der Apitude: ür eine poitive Zah a entteht da Schaubid der unktion f: f a in bzw f a co au de Schaubid der Sinu- bzw Koinufunktion durch eine Streckung in y-richtung it de aktor a Ao hat die unktion f die Apitude a und i a der Sinufunktion da nebentehende Schaubid a in a a 3 zu_echanichechwingungen /9

2 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 Abänderung der Periode: ür eine poitive Zah b entteht da Schaubid der unktion f: f in b f co b bzw au de Schaubid der Sinu- bzw Koinufunktion durch eine Streckung in -Richtung it de aktor b Ao hat die unktion f die Periode und i a der Sinufunktion fogende Schaubid: b in b b Winkegechwindigkeit: Wird eine periodiche Bewegung it der Periodendauer durch eine Sinu- oder Koinufunktion bechrieben, dann hat die unktion die Periode Ao git für den aktor b: b b b b ieer aktor heißt Winkegechwindigkeit : ie unktion f: f t in tbzw f t cot hat ao die Periode und i a der Sinufunktion fogende Schaubid: in t t Beerkung: Eigentich it die Winkegechwindigkeit ander definiert; iehe ür Eperten Hooke che Geetz Eine eder it an eine Ende befetigt Wirkt auf da andere Ende der eder eine Kraft, dann wird die eder u eine gewie Strecke augeenkt, d h gedehnt oder getaucht ür den Zuaenhang dieer Größen git: zu_echanichechwingungen /9

3 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 Hooke che Geetz: ie Kraft, die auf eine eder wirkt, und die Auenkung der eder (gegenüber de entpannten Zutand) ind proportiona zueinander, wenn die eder nicht überdehnt wird Ao it der Quotient ( Kraft pro Längeneinheit ) kontant, d h unabhängig von ie erögicht fogende efinition: ie ederkontante it der Quotient au der Kraft und der Auenkung : N Einheit: Antatt zu agen, da eine Kraft, die auf eine eder wirkt, eine Auenkung der eder bewirkt, kann an auch agen, eine augeenkte eder wirkt it einer Rücktekraft entgegen der Auenkung ür den Betrag der Rücktekraft git Rechnet an die Auenkung und die Rücktekraft in dieebe Richtung poitiv, dann git Haroniche Schwingungen Wir betrachten a Beipie einen horizontaen ederchwinger: An einer auf Zug und ruck beatbaren eder it ein Körper befetigt, der ich horizonta bewegen kann Ohne Einwirkung einer äußeren Kraft befindet ich der Körper in einer tabien Geichgewichtage Wird der Körper au dieer Lage augeenkt und ogeaen, dann wirkt auf ihn eine Rücktekraft Er becheunigt ao in Richtung der Geichgewichtage Wegen der rägheit der Mae de Körper bewegt er ich über die Geichgewichtage hinau Nun bret ihn die Rücktekraft, bi er i Ukehrpunkt zur Ruhe kot, und da Spie beginnt von Neue Wir betrachten nur ungedäpfte Schwingungen, d h wir nehen tet an, da keine Reibungkräfte wirken, o da kein Energieverut auftritt Charakteritiche Größen einer Schwingung ind die Auenkung (oder Eongation) au der Geichgewichtage; die Apitude, d h der Betrag der aiaen Auenkung; die Periodendauer, d h die Zeit für eine votändige Hin- und Herbewegung; die Winkegechwindigkeit Vereinbarung: Man egt eine Richtung fet, in der die Auenkung, die Gechwindigkeit v, die Becheunigung a und die Rücktekraft poitiv gerechnet werden In der Geichgewichtage it In den Ukehrpunkten it die Auenkung ; die Auenkung aia: ; die Gechwindigkeit aia: v v ; die Gechwindigkeit v ; die Becheunigung a ; die Becheunigung aia: a a ; die Rücktekraft die Rücktekraft aia: zu_echanichechwingungen 3/9

4 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 efinition: Eine Schwingung heißt haronich, wenn die Auenkung inuförig von der Zeit abhängt Bewegt ich der Körper zu Zeitpunkt t in Richtung wachender -Werte durch die Geichgewichtage, dann bedeutet da t in t Satz (ohne Bewei): Ein chwingungfähiger Körper führt genau dann eine haroniche Schwingung au, wenn die Rücktekraft proportiona zur Auenkung it, d h wenn e eine Kontante gibt, o da git: (ineare Kraftgeetz) Bekanntich git für die Gechwindigkeit-Zeit-Abhängigkeit einer beiebigen Bewegung v t t, und für die Becheunigung-Zeit-Abhängigkeit git a t v t ür eine haroniche Schwingung, bei der ich der Körper zu Zeitpunkt t in Richtung wachender -Werte durch die Geichgewichtage bewegt, git ao Weg-Zeit-Geetz: t in t Gechwindigkeit-Zeit-Geetz: v t t t t, co co ao v t v cot it v 3 Becheunigung-Zeit-Geetz: ao in in a t v t v t v t, a t a t it a v in Hereitung einer ore für die Periodendauer einer haronichen Schwingung: Au t in t und a t ain t in t fogt at t bzw (chreibe a tatt a t und tatt t ) a Auföen der Grundgeichung der Mechanik a nach a und einetzen ergibt zu_echanichechwingungen 4/9

5 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 Einetzen de inearen Kraftgeetze ergibt Au fogt Merke: Periodendauer ie Periodendauer hängt ao nicht von der Apitude ab Beipiee für haroniche Schwingungen Horizontaer ederchwinger an einer eder: An einer auf Zug und ruck beatbaren eder der ederkontanten it ein Körper der Mae befetigt, der ich horizonta bewegen kann Nach de Hooke chen Geetz git für die Rücktekraft Ao führt der Körper eine haroniche Schwingung it der Periodendauer au ie kontante Energie E de Syte etzt ich zuaen au der kinetichen Energie Körper und der Spannenergie E Sp der eder In der Geichgewichtage it ESp und E Ekin v, und in den Ukehrpunkten it Ekin und E ESp E kin de ederpende (eder-schwere-pende): An einer eder it der ederkontanten hängt ein Körper der Mae, der ich vertika bewegen kann ür die Rücktekraft git (Hereitung iehe ür Eperten ) zu_echanichechwingungen 5/9

6 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 Ao führt der Körper eine haroniche Schwingung it der Periodendauer au ie kontante Energie E de Syte etzt ich zuaen au der potenzieen Energie E pot und der kinetichen Energie E kin de Körper owie der Spannenergie E Sp der eder 3 adenpende: An eine aden der Länge (it vernachäigbarer Mae) hängt ein (punktföriger) Körper der Mae ür die Rücktekraft git bei keinen Auenkungen näherungweie g it (Hereitung iehe ür Eperten ) Ao chwingt ein adenpende bei keinen Auenkungen näherungweie haronich it der Periodendauer g g Merke: Bei keinen Auenkungen git für die Periodendauer näherungweie g ie Periodendauer hängt ao nicht von der Mae de Körper ab ie kontante Energie E de adenpende etzt ich zuaen au der potenzieen Energie E pot und der kinetichen Energie E kin de Körper Legt an (wie übich) da Nuniveau der Lageenergie in den tieften Punkt, dann git in der Geichgewichtage E Ekin v, und in den Ukehrpunkten git E E gh pot Geichgewichtage: v Nuniveau von Ukehrpunkt: E pot h Bei eine adenpende der Länge git für den Auenkungwinke, die horizontae Auenkung d und die Höhe h über de tieften Punkt d h in und co h h d zu_echanichechwingungen 6/9

7 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 ür Eperten efinition der Winkegechwindigkeit: ie Winkegechwindigkeit einer geichförigen Kreibewegung it der Quotient au de übertrichenen Winke (i Bogenaß) und der dafür benötigten Zeit t: t Einheit: (nicht Hz) a it anaog zur noraen Gechwindigkeit eine Körper, der ich geradinig geichförig bewegt: ie Gechwindigkeit it der Quotient au der zurückgeegten Wegtrecke und der dafür benötigten Zeit t: v t Zur Berechung der Winkegechwindigkeit betrachtet an einen voen Uauf er übertrichene Winke it der Vowinke i Bogenaß, ao, und die dafür benötigte Zeit it die Uaufdauer Ao it t Hereitung de Kraftgeetze bei eine ederpende: In der Geichgewichtage it die eder u eine Strecke verängert; rechne poitiv ie nach oben gerichtete (poitive) ederkraft hät der nach unten gerichteten (negativen) Gewichtkraft da Geichgewicht Ao git G bzw G G Wird der Körper u die Strecke au der Geichgewichtage nach oben augeenkt, dann it die eder noch u die Strecke verängert; ie übt ao die Kraft au ie reutierende Kraft auf den Körper it ao G G G Bei einer Auenkung u die Strecke au der Geichgewichtage nach unten erhät an daebe Ergebni, da da Vorzeichen von in den Rechnungen keine Roe piet Ao git da ineare Kraftgeetz zu_echanichechwingungen 7/9

8 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 Hereitung de Kraftgeetze bei eine adenpende: Wird der Pendekörper u den Winke augeenkt, dann kann an die Gewichtkraft G, die der Körper erfährt, in zwei Koponenten zeregen: ie Rücktekraft, die tangentia zur Kreibahn wirkt und den Körper in Richtung auf die Geichgewichtage hin becheunigt, und in die hierzu orthogonae Koponente, die in Verängerung de aden wirkt und von der Spannkraft de aden aufgehoben wird Au der Abbidung erieht an: ür den Betrag der G G Rücktekraft git in G, ao Gin g in i Bogenaß ür keine Winke (i Bogenaß!) git näherungweie in in Ao git für keine Auenkungwinke näherungweie g (*) In eine Krei it de Radiu r git für einen Winke i Bogenaß und für die Länge de zugehörigen Kreibogen: r r r Länge de Kreibogen Winke i Bogenaß Radiu A Sonderfa ergibt ich die bekannte atache, da i Einheitkrei (ao Radiu ) ein Winke i Bogenaß geich der Länge de zugehörigen Kreibogen it Bei eine adenpende it die Länge de Kreibogen die Auenkung, und der Radiu de Kreie it die Länge de aden Ao git für den Auenkungwinke (i Bogenaß): Setzt an diee Beziehung in die Geichung (*) ein, dann erhät an für den Betrag der Rücktekraft (in der Näherung für keine Auenkungen) g g zu_echanichechwingungen 8/9

9 LGÖ K Ph -tündig Schujahr 5/6 Man rechnet (wie übich) den Auenkungwinke entgegen de Uhrzeigerinn poitiv ann rechnet an auch die Auenkung und die Rücktekraft in dieer Richtung poitiv a die Rücktekraft entgegengeetzt zur Auenkung gerichtet it, git für die Rücktekraft (in der Näherung für keine Auenkungen) g Ao git für keine Auenkungen näherungweie da ineare Kraftgeetz it g zu_echanichechwingungen 9/9