Ebener gekrümmter Balken/Stab: die Mittellinie (Biegelinie) des Balkens ist eine ebene Kurve.

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1 5 Baken und täbe 51 Die Grahofhe Theorie on gekrümmten Baken /täben Ebener gekrümmter Baken/tab: die itteinie (Biegeinie) de Baken it eine ebene Kure Beeihnungen, Voreihen: Die Lage eine Punkte P an der Biegeinie e wird durh der Bogenkoordinate (Bogenänge) gegeben e P t Im Punkt P wird ein okae Koordinatentem aufgenommen: e e, e, e n - der Krümmungradiu der Biegeinie or der Formänderung, - der Krümmungradiu der Biegeinie nah der Formänderung Voreihen: -, wenn der Krümmungmittepunkt an der rehten eite der Kure iegt -, wenn der Krümmungmittepunkt an der inken eite der Kure iegt Wir fahren der Kure entang in der Rihtung der Bogenkoordinate Die Beatung de Baken: f ftt fnn - Linienbeatung Geihgewihtbedingungen: dn T ft, d N dt fn, d d h d T Der Zug-Druk Kraft N () und die hubkraft T () ind oneinander niht unabhängig Der Zuammenhang wihen dem Biegemoment h der hubkraft T it derebe wie bei den geraden Baken Beanpruhungen: ie können nah der Definition der Beanpruhungen au den Beatungen betimmt werden Die u öenden Aufgaben: - Betimmung der Formänderungkennwerte - Betimmung der pannungen 511 Formänderungkennwerte Anfangannahmen: - Die Form der itteinie / Biegeinie de Baken it ein Kreibogen mit dem Radiu - Der Baken it primatih und die Ahe it die mmetrieahe de Querhnitte - Die Beanpruhung de Baken it reine Biegung - Im Baken gibt e einen einahigen pannungutand und 81

2 Vor der Beatung Nah der Beatung e e P e h P e h kontant kontant Der Querhnitt de tabe: - mmetrieahe, - die Hauptahen der Trägheitmomente de Querhnitte h Annahmen für die Formänderung: - Nah der Beatung / Formänderung beiben die Querhnitte eben und ie beiben enkreht ur itteinie / Biegeinie de Baken (Bernouihe Hpothee) - Der urprüngihe Kreibogen mit dem Radiu erformt ih für den Kreibogen mit dem Radiu Die peifihe Längenänderung der Linie on : Der pannungutand it einahig: E E 1, Wenn h it, dann wird und Die Amptoten der Hperbe:, dann,, dann E 1,, dann E 1 - eine hperboihe Funktion 8

3 Veranhauihung der pannungerteiung: e 1 h e V ma 51 Zuammenhang wihen der pannung und der Beanpruhung / dem Biegemoment a) Die reutierende Kraft: F dae da da ma iegt im agemeinen an der eite de Krümmungmittepunkte in dem äußeren Faden b) Da reutierende oment: R da e e e da he kaare Geihungen: da Die Geihung it identih Nu, wenn die Ahe die mmetrieahe de Querhnitte it h augedrükt wer- da h Au den Geihungen kann und durh da Biegemoment den h h Die Grahofhe Forme: A I h Beeihnung: A r 83

4 Da reduierte aiae Fähenträgheitmoment: Ir da Im agemeinen: Ir Voreihenrege: I h h h h 513 Die Veranhauihung de aiaen Fähenträgheitmomente d a a e 1 aß der Krümmung de Biegetabe: e ma - Wenn - Wenn e Definition: Ir da Au ähnihen Dreieken: a a a a Ir a d a d I da da an muß da oment I für einen modifiierten Querhnitt betimmen ema ma e, e 1 Dieer Quotient harakteriiert da aß der Krümmung de tabe e ma e ma kein it, dann it der tab ehr gekrümmt groß it, dann it der tab nur hwah gekrümmt 514 Die Anwendbarkeit der Theorie - Wenn - Wenn 3 4, dann it die Grahofhe Forme und da Trägheitmoment I r benutt e ma 34 81, dann it diegrahofhe Forme und Ir I benutt e ma 84

5 - Wenn e ma 8 1, dann kann der Fa a gerader tab betrahtet werden : I h 515 Die kinematihen Kenngrößen der itteinie Formänderung Die Änderung der Krümmung der itteinie: 1 1 h r I E h h Die Winkeänderung der Endquerhnitte:, Ir E Ir E - die Länge der itteinie de Baken 516 Die Veragemeinerung der Ergebnie - Die Beanpruhungen de ebenen gekrümmten Baken ind mit den agemeinen ebenen Beanpruhungen geih: N, T h - Die itteinie it niht ein Kreibogen E wird aber angenommen, daß der Krümmungradiu ih nur angam und nur im geringen aße entang der itteinie de Baken ändert - Der Baken it niht primatih, aber e wird angenommen, daß der Querhnitt ih nur angam und nur im geringen aße entang der itteinie de Baken ändert Näherungöung (uperpoition): h h Biegung:, A I Zug/Druk: hub: r N A T I a Zuammenhänge für gerade täbe Bei tark gekrümmten Baken ind die obigen Zuammenhänge niht mehr gütig Die Formänderungenergie: 85

6 1 h U d I E r U U Biege Bei Baken ind im agemeinen der au der Biegung tammenden Formänderungenergieteie dominant Die Arbeitäte on Betti und Catigiano ind in der geihen Form wie bei Baken mit gerader und gebrohener itteinie gütig 5 Reine Torion primatiher täbe Reine Torion (aint Venanthe Torion): Bei Torion on täben mit einem nihtkreiförmigen Querhnitt kann man eine Verwöbung der Querhnittfähe in Rihtung der tabahe beobahten Wenn die eintretende Verwöbung niht behindert it ( ), priht man on reiner Torion Wöbkrafttorion: Wenn die Verhiebungen in Rihtung der tabahe behindert werden ( ), priht man on Wöbkrafttorion Die Wöbkrafttorion piet beonder bei dünnwandigen täben eine wihtige Roe 51 Reine Torion eakte Löung A r P R H A P R n Anfangannahmen: - q, - der ante H de tabe it unbeatet: ( F n ), - Betimmte pannungkomponente ind Nu:, - Die Beanpruhungen: da, Dnamihe Randbedingungen: - n R da e H it unbeatet n 86

7 - da, - R da e A ind dieebe, wie auf A pannungutand: F, wobei Geihgewihtbedingungen:,,,,, Beide Geihungen ind geih Nu, wei die hubpannungen nur on abhängen Die 3 Geihgewihtbedingung: Die Erfüung dieer Geihung wird mit Hife der Eineitung einer pannungfunktion U(, ) erreiht Die Prandthe pannungfunktion U, - eine mindeten weima differenierbare Funktion der rtkoordinaten, U U Die Berehnung der pannungkomponente:, Eingeett in die Geihgewihtbedingung 3: Der pannungektor: e e U U E it identih geih Nu U U U U e e e e e U e U U e Die pannungfunktion U, muß noh die fogenden Bedingungen erfüen: - Randbedingungen, - Kompatibiitätbedingungen, Betrami - ihe -Geihungen - Da Hookehe Geet, Die Erfüung der Randbedingungen: - Der ante it unbeatet: 87

8 F n, n n n, n n n n n n t P n Am Rand de Querhnitte hat die hubpannung eine tangentiae Rihtung U n U e n U e n U t t Abeitung in Rihtung g Ukontant - eine wikürihe, aber wekmäßige Wah Umformungen: - Querhnitt A (da rehteitige Ende de tabe): Die reutierende Kraft: Bewei: F da ( A ) Umformung:nah dem Erat der Definition on g : da U eda Beeihnung: Da Produkt kann on den Produkten beiebig ein t g Anwendung de Integraate: n Der Gaußhe - trogradkhe Integraat: C da C n d ( ) g A U e da g e U n d t U t d U t d, g g 88

9 wei U g = kontant und g t d Die Geihung F it dann gütig, wenn die pannungfunktion U am Rand (g ) de Querhnitte geih Nu it (Da it die orige Randbedingung für U) Da reutierende oment: Umformung: A A R da e ( A ) e R U e da U R e e R U da e R U da e RU R U da A A e RU da e R UdA, A A Anwendung de Gaußhen ate auf da erte Integragied: Da Torionmoment: g n RU d, wei U g R U da U da A A R e e e e 1+1= Auh da Torionmoment kann auf Grund der pannungfunktion U(, ) dargetet werden: U da Die Erfüung der Betramihen - ihehen Kompatibiitätgeihungen: 1 FI 1 FI, 1 1 FI FI,, wei FI eten wir die hubpannungen ein: 89

10 U U U U U kontant Nah der Benutung de Hookehen Geete und der kinematihen Geihungen: U G Poionhe-partiee Differentiageihung, wo G der hubmodu (ateriakennwert) it, - peifihe Verdrehung Verwindung Die Betimmung de Verhiebungfede: Wenn u f und f u u u,,,, w w w, u dann f f u w df w,,, d G In dieer Geihung it, d f f d Nah dem geihen Gedankengang für Da Verhiebungfed: u,, w, w,,wei nur on, abhängt, wobei kontant (Verwindung) w f Die kaaren Verhiebungfeder erfüen jede kinematihe Geihung Der Verhiebungektor: u,, e R w, e Der Querhnitt erdreht die Punkte de Querhnitte ih mit dem Winke erhieben ih in Ahenrihtung - die Verdrehung de Querhnitte im Vergeih um Querhnitt = Zuammenfaung der Ergebnie: 9

11 Die Löung der reinen Torion primatiher täbe kann auf die Betimmung der pannungfunktion U(, ) urükgeführt werden U(, ) die Prandthe pannungfunktion it niht beiebig 1) Die Funktion muß erfüen: U G die Poiionhe partiee Differentiageihung, a U g die Randbedingung ) Die Darteung de Torionmomente und der hubpannung: U, da, U e C Die Einführung einer pannungfunktion mit reinem geometrihem Inhat U 1 U G U G, hängt auhießih on der Geometrie de Querhnitte ab,, U, U, Die Geihungen, die erfüt werden müen 1) U, die Poionhe-Geihung, U g, die Randbedingung für die pannungfunktion ) G U, da GI, I U, da da Torionträgheitmoment de Querhnitte Die hubpannung: GU e Die Verwindung / die peifihe Verdrehung: GI Die Verdrehung: GI Die embran-anaogie nah Prandt: Die Anaogie / Ähnihkeit beteht wihen der pannungfunktion und der Form einer gepannten und aufgebaenen embran Grundage der Anaogie: Identität der Differentiageihung und der Randbedingung 91

12 N N/mm N - pannkraft (Linienat), p - Druk (Fähenat) g Die embran wird auf eine Bohrung aufgepannt Die Form der Bohrung it mit dem Querhnitt identih N p N/mm N (, ) Die Differentiageihung der aufgebaten embran: Randbedingung g p, N Anaogie: die Differentiageihung und die Randbedingung ind mit der DG und der RB der reinen Torion identih 5 Reine Torion - Näherungöung a) Reine Torion on täben mit dünnem Querhnitt (offener dünner Querhnitt) - Dünner Rehtek Querhnitt (dünnwandiger) b U Die pannungen: Näherungpannungfunktion: U G 4 U U Die Poionhe Geihung: G, G G Randbedingung: U - erfüt, b U - niht erfüt Die pannungfunktion U(, ) erfüt die Randbedingung an einem kuren Tei de Rande niht (Annäherung!), U G eine ineare Verteiung 9

13 3 b Da Torionmoment: U da Gb d G, 4 3 I G I 3 b Torionträgheitmoment: I 3 Umformung: G I Die pannungen:, ma I I - Dünner uammengeetter Querhnitt: Die Veragemeinerung der Ergebnie de dünnen Rehtek-Querhnitte b b b i I 3 i 1, I G I 3 i, 1 b 1 - Dünner gekrümmter Querhnitt: () 1 3 I d 3 b Die weiteren Zuammenhänge ind uneränderih b) Gehoene dünnwandige Querhnitte 93

14 U 1 A k U (, ) Näherungpannungfunktion: U1 U, h Wir nehmen an, daß die Funktion U, eine ineare Funktion entang der Wanddike it pannungerteiung: U U1 kontant Die tufenweie Näherung der inearen U, : Funktion U da A U k 1 U 1 A k U 1 Ak - die Bredthe Forme Da Torionträgheitmoment de gehoenen dünnwandigen Querhnitte: 4Ak I 1 d 94