TU Dortmund. Vorname: Nachname: Matr.-Nr.:

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1 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Die nebenstehend skizzierte, inks eingespannte Konsoe wird wie dargestet durch Traktionen (eingeprägte Fächenasten) p 0 (Einheit N/m 2 ) am Rand Γ 3 sowie τ 0 (Einheit ebenfas N/m 2 ) am Rand Γ 2 beastet. y Γ 1 b/2 Geben Sie sämtiche Spannungs-Randbedingungen des Trägers an. Nennen Sie dazu auch wesentiche und notwendige Zwischenschritte im nachfogenden Kästchen. (3,0 Punkte) Γ 3 Γ 2 τ 0 x b p 0 a

2 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Die Funktionen der Normaspannungen σ xx (x,z) sowie σ zz (x,z) für das rechts dargestete und durch eine Fächenast q 0 (Einheit N/m 2 ) beastete System wurden zu [ σ xx = q 0 3z ] 5a 6x2 z + 4z3 a 3 a [ 3 σ zz = q z ] 2a 2z3 a 3 Dicke t q 0 x z a bestimmt. Geben Sie die Funktion der Schubspannung τ xz (x,z) an, sodass sich das System im statischen Geichgewicht befindet. In wecher Art erfüt diese Funktion die dynamische Randbedingung an der Stee x=0? (3,0 Punkte) τ xz (x,z) = c) Berechnen Sie die Normaspannung σ xx mit Hife der Bakentheorie nach Bernoui, σ xx = N A + M y I y z. Das Fächenträgheitsmoment ist durch I y = [ta 3 ]/12 vorgegeben. Hinweis: Für die äquivaente Streckenast des Baken git q(x) = q 0 t. (1,0 Punkte) σ xx =

3 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Zeichnen Sie quaitativ die gegebene Funktion σ xx (x,z) sowie die nach der Bakentheorie nach Bernoui berechnete Normaspannung σ xx an der Stee x = = 10a. Geben Sie hierbei die Randwerte an den Steen z = ±a/2 an. (1,0 Punkte) z a 2 0 σ xx (x =,z) a 2 d) Bestimmen Sie den Verzerrungstensor ε(x, y) für das bezügich der kartesischen Basisvektoren e x, e y gegebene Verschiebungsfed u(x,y) = [ ] 3x 2 y 3 5a 2 b + 4xy2 2 7ab [ y 4 e x + b + 3xy ] 3 a e y und geben Sie dessen Koeffizienten in Matrix-Schreibweise an. (2,0 Punkte) [ε] =

4 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete, as biegestarr anzusehende Bakensystem ist durch eine Kraft F beastet. Mittes des Prinzips der virtueen Verrückungen so das maximae Schnittmoment M max bestimmt werden. Kennzeichnen Sie in der Abbidung den Ort des maximaen Schnittmomentes M max. (0,5 Punkte) A B 2/3 F Zur Lösung des Probems muss gedankich eine kinematische Kette erzeugt werden. Zeichnen Sie dem entsprechend eine ausgeenkte Lage des Systems ein. Tragen Sie zudem das Moment M max und den dazu korrespondierenden Freiheitsgrad in die Zeichnung ein. Gehen Sie von keinen Ausenkungen aus. Geben Sie sämtiche Koordinaten, weche die ausgeenkte Lage des Systems beschreiben, in Abhängigkeit dieses Freiheitsgrades in der Zeichnung an und berechnen Sie das Moment M max. (1,5 Punkte) M max =

5 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Das dargestete System so mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. Spannungen infoge von Quer- und Normakräften können dabei vernachässigt werden. Das pastische Grenzmoment M p git für das gesamte System. Abmessungen und Beastungen sind der Skizze zu entnehmen. /2 2F /2 F In der nebenstehenden Skizze ist bereits eine Fießgeenk-Konfiguration für keine Ausenkungen sowie die dazu korrespondierenden Winke δϕ eingezeichnet. Tragen Sie die pastischen Momente ein und berechnen Sie die Tragkraft F T für keine Ausenkungen. (1,5 Punkte) δϕ δϕ F T =

6 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Vervoständigen Sie im nachfogenden Kästchen die dargesteten Fießgeenk-Konfigurationen. Zeichnen Sie dazu die ausgeenkten Lagen, die jeweiigen Freiheitsgrade und die pastischen Momente ein. Des Weiteren sind die entsprechenden Tragkräfte F T für keine Ausenkungen zu berechnen und anzugeben. (6,0 Punkte) F T = F T = Geben Sie die kritischere Tragast FT krit Ergebnisse an. des Systems auf Basis der zuvor berechneten (0,5 Punkte) F krit T =

7 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus starren, vergichen mit der in C befindichen Masse m as masseos anzunehmenden Baken sowie zweier Federn, weche in der dargesteten Lage q 1 =q 2 =0 ungespannt sind. Die Geometrie des Systems sowie die Lagerungen und Beastungen sind der Zeichnung zu entnehmen. g F B c /2 q 2 A k m NN C q 1 a) Steen Sie für beiebig große Ausenkungen das Gesamtpotentia Π des Systems in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 auf. Die Länge der Feder, weche die Punkte A und B verbindet, so dabei zunächst nicht spezifiziert und durch F symboisiert werden. Beachten Sie das vorgegebene Nuniveau NN und fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (2,0 Punkte) Π =

8 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Spezifizieren Sie jetzt für beiebig große Ausenkungen die Länge der Feder F zwischen den Punkten A und B in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2. (2,0 Punkte) F = c) Der hier dargestete Baken (Länge, Biegesteifigkeit EI) ist am inken Ende durch eine Schiebehüse geagert und durch eine Feder (Federsteifigkeit c) abgestützt. Das rechte Ende des Bakens ruht auf einem Losager und wird durch eine Kraft F beastet. Verformungsanteie aus Normaund Schubbeastung sind zu vernachässigen. c x F Geben Sie sämtiche kinematische und dynamische Randbedingungen der Biegeinie w(x) für das dargestete System an, die zur eindeutigen Lösung des zugehörigen Knickprobems (Theorie zweiter Ordnung) notwendig sind. (2,0 Punkte) z

9 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) d) Für das geiche System aus Aufgabentei c) wurde ein Ritz-Ansatz der Form w h (x) = a a 2x2 gewäht. Bestimmen Sie das Potentia des Systems in Abhängigkeit des Freiwertes a unter der Annahme des Ausknickens des Bakens (Theorie zweiter Ordnung). Werten Sie dazu ae auftretenden Integrae voständig aus. (2,0 Punkte) Π = Geben Sie für den spezifischen Ritz-Ansatz w h (x) die Knickast F krit an. (2,0 Punkte) F krit =