TU Dortmund. Vorname: Nachname: Matr.-Nr.:

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1 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Die nebenstehend skizzierte, inks eingespannte Konsoe wird wie dargestet durch Traktionen (eingeprägte Fächenasten) t 0 (Einheit N/m 2 ) am Rand Γ 3 sowie τ 0 (Einheit ebenfas N/m 2 ) am Rand Γ 2 beastet. Geben Sie sämtiche Spannungs-Randbedingungen des Trägers an. Nennen Sie dazu auch wesentiche und notwendige Zwischenschritte im nachfogenden Kästchen. (3,0 Punkte) y x t 0 Γ 3 Γ 1 Γ 2 τ 0 3

2 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Die Funktion der Schubspannug für das rechts dargestete und durch eine Streckenast q 0 (Einheit N/m) beastete System wurde zu [ ] 2x [4z τ zx = A 1 2 h 2] z x q 0 C C Schnitt C C b h bestimmt, wobei A einen agemeinen Koeffizienten darstet. Geben Sie die Funktion der Normaspannung σ xx (x,z) an, sodass sich das System im statischen Geichgewicht befindet. (2,0 Punkte) σ xx (x,z) = Vergeichen Sie dieses Ergebnis mit dem aus der Bakentheorie nach Bernoui zu berechnenden, nämich σ xx = N A + M y I y z, und bestimmen Sie daraus den Wert für den Koeffizienten A. Das Fächenträgheitsmoment ist durch I y = [bh 3 ]/12 vorgegeben. (2,0 Punkte) A =

3 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Berechnen Sie die Funktion der Spannung σ zz unter Berücksichtigung des oben bestimmten Wertes für A. Etwaig auftretende Konstanten soen hier zunächst nicht berechnet werden. (1,5 Punkte) σ zz (x,z) = Geben Sie im nachfogenden Kästchen die Randbedingung für σ zz an der Stee z = h/2 an und berechnen Sie die oben noch unbestimmte(n) Konstante(n). (1,5 Punkte) Hinweis: Der Betrag der Traktion/Fächenast am oberen Rand des Trägers ergibt sich aus t 0 = q 0 /b.

4 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Das nebenstehende System so mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. Spannungen infoge von Quer- und Normakräften können dabei vernachässigt werden. Abmessungen, Beastungen und die jeweiigen pastischen Grenzmomente M p sind der nebenstehenden Skizze zu entnehmen. F M p 2 M p 2 In der nachfogenden Skizze ist bereits eine Fießgeenk-Konfiguration für keine Ausenkungen und deren Winken eingezeichnet. Tragen Sie die pastischen Momente ein und berechnen Sie die Tragkraft F T für keine Ausenkungen. (1,0 Punkte) δα δα F T =

5 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) Fügen Sie im nachfogenden Kästchen die fehenden Fießgeenk-Konfigurationen inkusive des jeweiigen Freiheitsgrades (unabhängigen Winkes), der pastischen Momente und der Lager ein. Des Weiteren sind die entsprechenden Tragkräfte F T für keine Ausenkungen anzugeben. (6,0 Punkte) F T = F T = Geben Sie die kritische Tragast F krit T des Systems an. (0,5 Punkte) F krit T =

6 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) b) Das nebenstehende starre Bakensystem mit den eingezeichneten Abmessungen und der Kraft F ist gegeben. Mittes des Prinzips der virtueen Verrückungen so das Schnittmoment M A im Punkt A bestimmt werden. Nehmen Sie keine Ausenkungen an. F 2 A Zeichnen Sie eine ausgeenkte Lage inkusive des Moments M A und des dazu korrespondierenden Freiheitsgrads ein. Geben Sie sämtiche Winke in Abhängigkeit dieses Freiheitsgrades an. (1,0 Punkte) Bestimmen Sie das Moment M A as Funktion von F im Eckpunkt A. (1,5 Punkte) M A (F) =

7 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete System besteht aus einem starren Winke mit der Kantenänge, der im Punkt A geenkig mit einem starren Stab, ebenfas der Länge, verbunden ist. Die Masse der Stäbe ist gegenüber der Punktmasse (Masse m) im Punkt B zu vernachässigen. Das System befindet sich im Schwerefed der Erde (Erdbescheunigung g) und ist weiter durch eine Kraft F beastet. Der Stab wird mittes einer Feder (Federsteifigkeit k), der Winke mittes einer Drehfeder (Drehsteifigkeit c) abgestützt, weche für den abgebideten Zustand q 1 = q 2 = 0 ungespannt sind. F k q 2 A B m c g x q 1 y NN Steen Sie für beiebig große Ausenkungen das Gesamtpotentia Π des Systems in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 auf. Beachten Sie das vorgegebene Nuniveau NN und fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (3,0 Punkte) Π =

8 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) Im fogenden wird Bezug auf ein anderes System genommen, weches in der unterstehenden Abbidung gegeben ist. Es handet sich um einen einseitig fest eingespannten Baken (Länge, Biegesteifigkeit EI), wecher am freien Ende durch eine Kraft F beastet und durch eine Feder (Federsteifigkeit k) abgestützt wird. Verformungsanteie aus Normaund Schubbeastung sind zu vernachässigen. F k EI, x b) Geben Sie die kinematischen und dynamischen Randbedingungen der Biegeinie w(x) für das dargestete System an, die zur eindeutigen Lösung der Differentiageichung vierter Ordnung notwendig sind. (2,0 Punkte) z

9 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Beschreiben Sie kurz in Worten, wie Sie sichersteen können, dass der Ansatz w(x) w h (x) = a x 4 +b x 3 +c x 2 sowoh kinematisch, as auch dynamisch verträgich ist. (1,0 Punkte) c) Für das geiche System ergibt sich mit einem aternativen Ansatz ein kinematisch verträgiches Poynom für die Biegeinie zu w h (x) = a x 2. Bestimmen Sie das Potentia des Systems in Abhängigkeit des Freiwertes a. Werten Sie dazu ae auftretenden Integrae aus. (2,0 Punkte) Π = Geben Sie für den zuvor erwähnten Ansatz w h (x) = a x 2 an, ab wecher Kraft das stabie Geichgewicht verassen wird und ein Ausknicken des Bakens zu erwarten ist. (2,0 Punkte) F Krit =

10 Frühjahr 2016

11 Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) a) Die dargestete Scheibe konstanter Dicke wird durch die konstanten Fächenasten p 0 und q 0 beastet. Für die Lösung ässt sich unter Annahme eines ebenen Spannungszustandes (ESZ) die Airysche Spannungsfunktion x 1 p 0 h F (x 1,x 2 ) = c 1 x 2 1 +c 2x 2 1 x 2+c 3 x 2 1 x3 2 +c 4x 2 2 x 2 verwenden. q 0 2a Nennen Sie die Randbedingungen unter Berücksichtigung des vorgegebenen Koordinatensystems zur Bestimmung der Koeffizienten c i und geben Sie deren Werte an. Verwenden sie keine integraen Randbedingungen. (6,0 Punkte)

12 Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) b) Für ein nicht näher beschriebenes Randwertprobem geten die fogenden Spannungen (Ebener Spannungszustand): σ 11 = p 0 [ A x 2 σ 22 = p 0 [ C x 2 [ σ 12 = p 0 3 x 1 4x 1x ] + 8x2 1x 2 +B x3 2 3 ] 3 + 2x3 2 3 ] Die Größen A, B und C steen dabei agemeine Koeffizienten dar. Bestimmen Sie die zu Grunde iegende Funktion der voumenhaft verteiten Last b(x 1,x 2 ) = b 1 (x 1,x 2 ) e 1 +b 2 (x 1,x 2 ) e 2, sodass im gesamten System statisches Geichgewicht herrscht. Nutzen Sie das fogende Kästchen auch für reevante Zwischenschritte. (4,0 Punkte) b = e 1 + e 2

13 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus einem Baken der Biegesteifigkeit EI, wecher as dehnstarr angesehen werden kann (EA ). Die Einteiung des Systems in verschiedene Bereiche mit den zugehörigen okaen Koordinatensystemen sowie die Abmessungen und Beastungen sind der Zeichnung zu entnehmen. An der Stee x 1 = 0 ist eine Drehfeder mit der Steifigkeit k angebracht. k F x 1 I z 1 x 2 z 2 II q 0 z 3 III x 3 a) Wie vieen kinematischen Randbedingungen unteriegt dieses System und wechen Poynomgrad müsste ein Ritz-Ansatz in Bereich II aufweisen, um dort die anaytische Lösung zu erhaten? Geben Sie zu beiden Fragen eine kurze und agemeine Begründung an, konkrete Randbedingungen sind hier NICHT gefragt. (1,0 Punkte) Hinweis: Ohne agemeine Begründungen wird diese Teiaufgabe mit Nu Punkten bewertet, z.b. dann, wenn nur die Anzah der Randbedingungen genannt werden sote.

14 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Nennen Sie nun die konkreten kinematischen Rand- und Übergangsbedingungen unter eindeutiger Bezeichnung und Zuordnung der jeweiigen Größen. (3,0 Punkte) c) Geben Sie das Gesamtpotenzia Π des Systems in integraer Form (Integrae NICHT ösen!) und unter Verwendung von agemeinen, nicht spezifizierten Ausdrücken für die Biegeinie an. Es ist dabei eine eindeutige Bezeichnung der jeweiigen Größen sowie eine eindeutige Zuweisung zu den einzenen Bereichen zu verwenden. (3,0 Punkte)

15 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) d) Das dargestete System besteht aus einem Baken (Biegesteifigkeit EI, Länge, Masse m), wecher am inken Rand durch ein eingeprägtes Moment M 0 beastet und zudem auf einer Feder (Steifigkeit c) geagert ist. Die internen und externen Anteie des Gesamtpotenzias Π sind durch M 0 c x m Π int = c 2 [w(0)]2 + EI 2 ˆ 0 [w ] 2 dx, Π ext = M 0 w (0) gegeben. Zur näherungsweisen Lösung des Probems so ein Ansatz der Form w(x) = A 0 +A 1 x+a 2 x 2 ˆ 0 mg w dx verwendet werden. Berechnen Sie die Koeffizienten A i gemäß des Ritz-Verfahrens. Tragen Sie ebenfas wichtige Zwischenschritte in das Kästchen ein. (3,0 Punkte)

16 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Das betrachtete System besteht aus drei starren Stäben der Länge, die im Punkt A geenkig miteinander verbunden sind, und einer im Punkt B befestigten Punktmasse (Masse m). Das System befinde sich im Schwerefed der Erde (Erdbescheunigung g), wobei die Masse der Stäbe as vernachässigbar kein anzusehen ist. Das System ist ferner durch die Kräfte F 1 und F 2 beastet und wird durch zwei Federn (Federsteifigkeit c), sowie eine Drehfeder (Drehsteifigkeit k) abgestützt. Für die dargestete Lage q 1 = q 2 = 0 seien die Federn ungespannt. g k c F 2 F 1 NN A q 1 c B m q 2 a) Steen Sie das Gesamtpotenzia Π des Systems in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 für beiebig große Ausenkungen auf. Beachten Sie hierbei das gegebene Nuniveau. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (4,0 Punkte) Π =

17 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Für ein nicht näher spezifiziertes System ist fogendes Gesamtpotentia Π = F 1 [cos(q 1 )+3 sin(q 1 )]+ 1 [ 2 2 k q 1 q 2 + π 2+F2 [ 2 cos(q1 ) 4] 2 sin(q 1 ) sin(q 2 )] in Abhängigkeit der Kräfte F 1 und F 2, der Federsteifigkeit k, einer Länge sowie der Freiheitsgrade q 1 und q 2 bestimmt worden. Geben Sie die spezifischen Geichgewichtsbedingungen dieses Systems bezügich der Freiheitsgrade q 1 und q 2 an. (2,0 Punkte) Weche Bedingung(en) muss(müssen) für die Kräfte F 1 und F 2 geten, damit die durch q 1 = π/4, q 2 = π/2 gegebene Lage eine Geichgewichtsage des Systems darstet. (1,0 Punkte) Abschießend so die Stabiität der zuvor betrachteten Geichgewichtsage (q 1 = π/4, q 2 = π/2) unter Berücksichtigung der zuvor berechneten Bedingung(en) für die Kräfte F 1 und F 2 untersucht werden. Es geten ferner die Bedingungen F 1 > 0, k > 0. Prüfen Sie ob die betrachtete Geichgewichtsage stabi ist. Geben Sie hierzu wesentiche Rechenschritte und eine eindeutige Begründung im nachfogenden Kästen an. Hinweis: Das nachfogende Kästchen (Fortsetzung auf der nächsten Seite) wird mit Nu Punkten gewertet, sote keine Begründung für die getroffene Aussage erfogen. (3,0 Punkte)

18 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)

19 Herbst 2015

20 Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Eine kreisförmige Lochscheibe wurde in eine starre Hüse eingedehnt, wobei das radiae Schrumpfmaß f beträgt. Im Anschuss wird die Kreisscheibe an dessen Innenrand durch eine über den Umfang geichmäßig verteite Schubspannung τ 0 wie dargestet beastet. Hinweis: Eindehnen ist der gegensätziche Prozess zum Aufschrumpfen. Ein Bautei wird abgeküht und in eine Passung eingebracht. Anschießend sind beide Bauteie kraftschüssig miteinander verbunden. 2a starre Hüse 3a y ϕ τ 0 r x Dicke: h kreisförmige Scheibe a) Die agemeinen Lösungen der Verschiebungs-Differentiageichungen für ein rotationssymmetrisches Probem auten u r (r) = C 1 r + C 2 r sowie u ϕ (r) = C 3 r + C 4 r. Nennen Sie die Randbedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten C 1 sowie C 2 und geben Sie deren Werte unter der Annahme eines ebenen Spannungszustandes (ESZ) an. (2,5 Punkte)

21 Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) Nennen Sie die Randbedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten C 3 sowie C 4 und geben Sie deren Werte an. Die Annahme eines ebenen Spannungszustandes (ESZ) git weiterhin. (2,5 Punkte) b) Mit Hife einer geeigneten Airyschen Spannungsfunktion wurden für ein nicht näher beschriebenes Randwertprobem die fogenden Spannungen (Ebener Spannungszustand) ermittet [ 3x 2 y σ x (x,y) = σ 0 4h 9y ] 3 20h y3, 2h [ 3 σ y (x,y) = σ y ] 4h + y3, 4h [ 3 3x ] τ xy (x,y) = σ 0 4h 3xy2. 4h 3 Überprüfen Sie rechnerisch, ob sich der zu Grunde iegende Körper, wecher nicht durch voumenhaft verteite Kräfte beansprucht wird, im Geichgewicht befindet. Nutzen Sie dazu gegebenenfas auch noch das obere Kästchen auf der nächsten Seite. (2,5 Punkte)

22 Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Berechnen Sie auf Grundage der oben gegebenen Spannungsfunktionen sowie unter Beibehatung der Annahme eines ebenen Spannungszustandes (ESZ) die Verzerrung in x- Richtung im Punkt P = h e x +h e y. (2,5 Punkte)

23 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 1 von 4) a) Das nebenstehende Bakensystem ist as dehnstarr anzusehen und weist einheitich die Biegesteifikeit EI auf. Die Abmessungen sowie Lagerungen und Beastungen sind der Zeichnung zu entnehmen. Die Feder, weche in der dargesteten Lage entspannt ist, weist die Federsteifigkeit c auf. Bestimmen Sie das Gesamtpotentia Π für das dargestete Bakensystem. Integrae soen nicht geöst und die zu berücksichtigende Verschiebungsfunktion nicht spezifiziert werden. Verwenden Sie die vorgegebenen Koordinatensysteme sowie die eingezeichnete Nummerierung der einzenen Bereiche. (3,0 Punkte) x 1 2 M x 2 z 3 II z 2 x 3 q 0 III I c z 1

24 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 2 von 4) b) Zwei dehnstarre Baken (Länge a und Länge b) weisen jeweis die Biegesteifigkeit EI auf und sind über eine biegestarre Ecke zu einem Rahmen verbunden. Der skizzierte Rahmen ist wie dargestet geagert und wird durch eine Kraft F beastet. Geben Sie die kinematischen Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A und B an. (2,0 Punkte) a x 1 z 2 α A x 2 F b z 1 B c) Der dargestete Baken (Biegesteifigkeit EI, Gesamtänge 3 ) ist am inken Ende (x = 0) fest eingespannt. Zusätzich wird der Baken an der Stee x = 3 durch eine Feder mit der Federkonstante c gehaten. Am rechten Bakenende hängt außerdem eine Masse m. Der Baken sebst ist as masseos anzusehen. x EI c m g z 3 Das Gesamtpotentia ergibt sich zu Π = 1 EIˆ 3 [w (x)] 2 dx c[w(3)]2 mgw(3). 0 Bestimmen Sie einen kinematisch zuässigen Ritz-Ansatz der Form w(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 und berechnen Sie mit diesem Ansatz die Längenänderung der Feder. Tragen Sie dabei auch wichtige Zwischenschritte der Rechnung in das fogende Kästchen auf der nächsten Seite ein. (4,0 Punkte)

25 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 3 von 4) c) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist die Funktion der Biegeinie durch w(x) = q [ 0 4 [ x ] 2 [ x ] 3 [ x ] ] gegeben. Steen Sie einen Ritz-Ansatz der Form w(x) = n i a ix i für die Biegeinienfunktion auf, mit dem Sie die oben genannte Funktion w(x) exakt berechnen könnten. (0,5 Punkte)

26 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 4 von 4) Von den vier unten dargesteten Bakensystemen kann die oben gegebene Funktion der Biegeinie w(x) nur zu einem System gehören. Kreuzen Sie das richtige System an. (0,5 Punkte) x q 0 x q 0 EI EI x q 0 x q 0 EI EI

27 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete System besteht aus einem masseosen Stab (1) sowie einem massebehafteten, abgeknickten Träger (2) der Masse 5 m (homogene Masseverteiung). Die Abmessungen der einzenen Bestandteie, deren Lagerungen, weitere Systemparameter sowie die Lage des Nuniveaus sind der Zeichnung zu entnehmen. Sämtiche Teieemente des Systems sind as starr anzusehen. Für die im inken Bid dargestete Lage (q 1 = π/4, q 2 = 0) sind sämtiche Federn entspannt. Das rechte Bid zeigt einen beiebigen ausgeenkten Zustand in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2. 2 π/4 C q 1 2 c 1 g B c T D m A (1) (2) 5m 3 q 2 NN E c 2 F

28 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) Steen Sie für beiebige Ausenkungen das Gesamtpotentia Π des Systems in Abhängigkeit der Freiheitsgerade q 1 und q 2 bezügich des Nuniveaus NN auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (7,0 Punkte) Π(q 1,q 2 ) =

29 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist das Gesamtpotentia durch Π(q 1,q 2 ) = mg(cosq 1 +cosq 2 )+ 1 2 c(q 2 q 1 ) 2 in Abängigkeit der Freiheitsgerade q 1 und q 2, der Drehfedersteifigkeit c, der Masse m, der Erdbescheunigung g und der Länge gegeben. Überprüfen Sie, ob für die Koordinaten q 1 = 0 und q 2 = 0 eine Geichgewichtsage besteht und kassifizieren Sie gegebenenfas die Art dieser Geichgewichtsage. Geben Sie auch reevante Zwischenschritte im nachfogenden Kästchen an. (3,0 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen wird mit 0 Punkten gewertet, sote keine Begründung für die getroffenen Aussagen erfogen.

30 Frühjahr 2015

31 Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Das skizzierte Bakensystem besteht aus den drei Bakenabschnitten 0 x 1, Biegesteifigkeit EI, 0 x 2 /2, Biegesteifigkeit 2EI, 0 x 3 /2, Biegesteifigkeit 2EI und ist wie dargestet geagert und beastet. Die Drehfeder (Drehfederkonstante c T ) ist in der dargesteten Lage ungespannt. Die Baken werden as dehnstarr angenommen EA. c T z 1 x 1 EI 2EI M F /2 /2 z 3 z 2 x 3 x 2 F /2 /2 Bestimmen Sie das Potentia der inneren Kräfte Π i sowie das Potentia der äußeren Lasten Π a für das dargestete Bakensystem. Integrae soen nicht geöst und die zu berücksichtigenden Verschiebungsfunktionen nicht spezifiziert werden. Verwenden Sie die vorgegebenen Koordinatensysteme. (2,0 Punkte) Π = Π i +Π a mit Π i = und Π a =

32 Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Es sind die Randbedingungen w(x = 0) = 0, w (x = 0) = 0 sowie w(x = ) = 0 gegeben. Spezifizieren Sie damit einen für das Ritz-Verfahren zuässigen Näherungsansatz vom Typ w(x) = a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3. (2,0 Punkte) w(x) = c) Der skizzierte Baken (Biegesteifigkeit EI) ist wie dargestet geagert und wird durch die veränderiche Linienast q(x) beastet. q(x) q 0 z x c EI 2/3 /3 Geben Sie ae kinematischen Randbedingungen an. (1,0 Punkt) Das Gesamtpotentia des Biegeträgers autet Π = 1 2 ˆ EI w (x) 2 dx+ 1 2 cw(x = 2/3)2 ˆ q(x)w(x)dx 0 0 Bestimmen Sie den Freiwert a 1 für den eingiedrigen Näherungsansatz w(x) = a 1 [x 2 x4 2 2 ] unter Verwendung des Ritz-Verfahrens. Tragen Sie sowoh das Ergebnis für den Koeffizienten a 1 as auch die wesentichen Zwischenschritte der Rechnung auf der fogenden Seite ein. (4,0 Punkte)

33 Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) d) Geben Sie für das System aus c) die Federkraft F c in Abhängigkeit gegebener Größen an. (1,0 Punkt) F c =

34 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Dargestet sei eine unendich große Ebene Ω (x 1 -x 3 -Ebene). Auf dieser wirkt eine Fächenast mit konstantem Betrag p 0, die wie in der Skizze eingetragen, im Koordinatenursprung einen Vorzeichenwechse hat. Zusätzich ist die Ebene Ω mit einer unbekannten Schubspannung n 0 beastet. x 2 Ω p 0 p 0 n 0 x 1 r ϕ a) Berechnen Sie mittes der zugehörigen Airyschen Spannungsfunktion F = Aϕr 2 die Spannungskomponenten σ rr, σ rϕ und σ ϕϕ des ebenen Spannungszustandes. (1,5 Punkte) σ rr = σ rϕ = σ ϕϕ = Geben Sie ebenfas den Normaenvektor N auf der Fäche Ω an. Wie autet der Spannungsvektor t auf der Fäche Ω im Bereich x 1 (,0]? (2,0 Punkte) N = t =

35 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) Bestimmen SiedenKoeffizienten Aunddieunbekannte Schubspannung n 0.(2,5 Punkte) A = n 0 = b) Die dargestete Keispitze wird durch eine konstante Kraft F beastet. x 2 F x 1 r α ϕ α Die zugehörigen Spannungskomponenten auten BF cosϕ σ rr =, σ rϕ = 0, σ ϕϕ = 0. r Bestimmen Sie den Koeffizienten B. (2,5 Punkte) B = ˆ Tipp: cos 2 ϕdϕ = 1 2 [sinϕcosϕ+ϕ]+c;ˆ cosϕ sinϕdϕ = 1 2 sin2 ϕ+c.

36 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) c) Bei einem nicht näher spezifizierten Probem können fogende Radia- und Umfangsverschiebungen u r = A, u ϕ = B r2 R 2 cosϕ berechnet werden, wobei A, B und R gegebene Koeffizienten darsteen. Geben Sie die aus diesen Verschiebungsfunktionen herzueitenden Dehnungen ε rr, ε rϕ und ε ϕϕ für den ebenen Verzerrungszustand an. (1,5 Punkte) ε rr = ε rϕ = ε ϕϕ =

37 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Im nachfogenden System sind zwei abgewinkete Rahmen mit homogen verteiten Massen m 1 und m 2 geenkig in den Punkten A und B geagert. Im Punkt C greift die Kraft F vertika an. Ae Federn sind für ϕ 1 = ϕ 2 = 0 entspannt. Das System unteriegt dem Erdschwerefed g. L c 1 g C F m 2 B L m 1 A L c 2 L 0 L ϕ 1 ϕ 2 NN a) Bestimmen Sie das Gesamtpotentia Π des Systems bezügich des gegebenen Nuniveaus NN und in Abhängigkeit der Freiheitsgrade ϕ 1 und ϕ 2. Fassen Sie die einzenen Terme nicht weiter zusammen. (3,0 Punkte) Π =

38 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Für ein nicht näher spezifiziertes System kann fogendes Gesamtpotentia Π = 1 2 k [ϕ 1 +ϕ 2 ] cl2 [2 sinϕ 1 cosϕ 2 ] 2 +mg L 2 [cosϕ 1 +sinϕ 2 ] M ϕ 1 bestimmt werden. Geben Sie die Geichgewichtsbedingungen bezügich der Freiheitsgrade ϕ 1 und ϕ 2 an. (2,0 Punkte) Bestimmen Sie das Moment M und die Federkonstante c dahingehend, dass das System für die Winke ϕ 1 = π/2 und ϕ 2 = π/3 einen Geichgewichtszustand darstet. (2,0 Punkte)

39 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) c) Für das System aus Aufgabentei b) ässt sich für einen Geichgewichtszustand bei ϕ 1 = π/3 und ϕ 2 = 4/3π eine Federkonstante von c = 3G 20kπ (9 15 3)L 2 berechnen, wobei G = m g L ist. Die zugrunde iegenden Komponenten der Hesse-Matrix auten für diese Geichgewichtsage (Werte schon eingesetzt) 2 Π ϕ 2 1 = G k 2 Π ϕ 1 ϕ 2 = G k 2 Π = G k. ϕ 2 2 Geben Sie den Wertebereich für die Drehfedersteifigkeit k in Abhängigkeit der Konstanten G an, sodass die angegebene Geichgewichtsage eine stabie Geichgewichtsage darstet. Tragen Sie dazu ae wesentichen Schritte in das fogende Kästchen ein. Geben Sie die Ergebnisse mit mindestens 4 Nachkommasteen an. (3,0 Punkte)

40 Herbst 2014

41 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 4) a) Das skizzierte Bakensystem besteht aus drei Bakenabschnitten I, II und III (jeweis Biegesteifigkeit EI und Dehnsteifigkeit EA ), ist wie dargestet geagert und wird an der Stee A durch eine horizontae Kraft F und ein Moment M beastet sowie durch eine Feder (Federkonstante c), weche in der dargesteten Lage entspannt ist, gestützt. z 1 x 1 EI I c III z 2 x 3 x 2 A z 3 M F II Bestimmen Sie das Potentia der inneren Kräfte Π i und das Potentia der äußeren Lasten Π a für das dargestete Bakensystem. Integrae soen nicht geöst und die zu berücksichtigenden Verschiebungsfunktionen nicht spezifiziert werden. Verwenden Sie die vorgegebenen Koordinatensysteme. (2,0 Punkte) Π = Π i +Π a mit Π i = und Π a =

42 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 4) b) Der skizzierte Träger (Biegesteifigkeit EI) ist wie dargestet geagert und wird inks durch eine Kraft F beastet. F z x EI Geben Sie ae kinematischen Randbedingungen an. (0,5 Punkte) Spezifizieren Sie damit einen für das Ritz-Verfahren zuässigen Näherungsansatz vom Typ w(x) = a 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3. (1,5 Punkte) w(x) =

43 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 4) c) Der skizzierte Biegeträger (Biegesteifigkeit EI) ist am inken Rand wie dargestet durch einfestagersowieeinedrehfeder(drehfederkonstantec T )geagertundwirddesweiteren durch eine inear veränderiche Streckenast (Ampitude q 0 ) beastet. q 0 c T x EI z Das Gesamtpotentia des Biegeträgers autet Π = 1 2 ˆ 0 EIw (x) 2 dx+ 1 2 c Tw (x = 0) 2 ˆ 0 q(x)w(x)dx Bestimmen Sie die Freiwerte a 1 und a 2 für den zweigiedrigen Näherungsansatz vom Typ w(x) = a 1 x+a 2 x 2 unter Verwendung des Ritz-Verfahrens. Tragen Sie sowoh das Ergebnis für die Koeffizienten a 1 und a 2 as auch wesentiche Zwischenschritte der Rechnung auf der fogenden Seite ein. (4,0 Punkte) d) Geben Sie für das System aus c) das Drehfedermoment M T in Abhängigkeit gegebener Größen an. (2,0 Punkte) M T =

44 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 4 von 4) Lösung zu Aufgabentei c):

45 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Die rechts dargestete Kreisscheibe (Innenradius R, Außenradius 2 R) wird durch einen konstanten Innendruck p beastet. Der äußere Rand der Scheibe ist unverschiebich geagert. Das Materia, aus dem die Scheibe besteht, ist inear eastisch isotrop (Eastizitätsmodu E, Querkontraktionszah ν). Es git die Annahme eines ebenen Verzerrungszustands (EVZ). 2R y p r ϕ x R a) Die Airysche Spannungsfunktion F, weche zur Berechnung dieser rotations-symmetrischen Probemsteung angewandt werden kann, autet in ihrer agemeinen Form F = C 0 +C 1 n(r)+c 2 r 2 +C 3 r 2 n(r), wobei C i reee Koeffizienten darsteen. Die daraus fogenden Funktionen für die Spannungskomponenten σ rr und σ ϕϕ ergeben sich zu σ rr = C 1 r 2 +2C 2 +C 3 (1+2 n(r)), σ ϕϕ = C 1 r 2 +2C 2 +C 3 (3+2 n(r)). Im Fogenden ist C 3 = 0 anzunehmen. Geben Sie die Dehnung ε ϕϕ in Abhängigkeit der übrigen Koeffizienten sowie die daraus fogende Verschiebungsfunktion u r (r) an. (2,0 Punkte) ε ϕϕ = u r (r) =

46 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) NennenSie dierandbedingungenzur Bestimmung der Koeffizienten C 1 undc 2 undgeben Sie deren Werte an. (2,5 Punkte) Randbedinungen: C 1 = C 2 = b) Die radiae Verschiebung der Kreisscheibe ist nun durch die kinematisch zuässige Funktion u r = K r2 4R 2 r vorgegeben, wobei K einen reeen Koeffizienten darstet. Geben Sie die aus dieser Verschiebungsfunktion herzueitenden Dehnungen ε rr und ε ϕϕ in Abhängigkeit des Koeffizienten K an. (1,0 Punkte) ε rr = ε ϕϕ =

47 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie die daraus fogende Spannung σ rr in Abhängigkeit des Koeffizienten K an. (1,0 Punkte) σ rr = Berechnen Sie aus der nicht-triviaen Spannungs-Randbedingung (siehe (a)) den Koeffizienten K. (1,0 Punkte) K = c) Gegeben ist die Airysche Spannungsfunktion F = C 1 r n(r) cos(ϕ)+c 2 ϕ 2 mit den reeen Koeffizienten C 1 und C 2. Geben Sie die daraus fogenden Spannungskomponenten σ rr, σ ϕϕ und σ rϕ an. (2,5 Punkte) σ rr = σ ϕϕ = σ rϕ =

48 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete System, bestehend aus einem in Punkt A geagerten, abgewinketen Rahmen und zwei geenkig angebrachten Stäben, befindet sich im Schwerefed. Ae Teistücke haben jeweis die Länge und die Masse m. In Punkt B greift eine Einzekraft F an. Ferner sind an dem System zwei Federn (Federsteifigkeit c) und eine Drehfeder (Drehfedersteifigkeit k) befestigt. Für q 1 =q 2 =0 sind ae Federn entspannt. F B,m g c NN,m k c q 1 A,m,m q 2 Steen Sie das Gesamtpotentia Π des Systems bezügich des angegebenen Nuniveaus NN in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (4,0 Punkte) Π =

49 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System, ist das Gesamtpotentia durch [ 3 Π = k 2 q2 1 2q 1q 2 +q ] [ ] 5 4 sin2 (q 1 ) mg 2 sin(q 1)+sin(q 2 ) M q 2 +F cos(q 1 ) in Abhängigkeit einer Kraft F, eines Momentes M und der Freiheitsgrade q 1 und q 2 gegeben. Geben Sie die Geichgewichtsbedingungen dieses Systems an. (2,0 Punkte) Geben Sie zudem die Bedingungen für F und M an, so dass für q 1 =π/6 und q 2 = π/4 eine Geichgewichtsage besteht. (2,0 Punkte)

50 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Abschießend so die Stabiität dieser Geichgewichtsage (q 1 =π/6, q 2 = π/4) für die von Ihnen errechneten Größen F und M für k = 4mg anaysiert werden. Treffen Sie eine Aussage darüber, ob diese Geichgewichtsage stabi ist. Begründen Sie diese Aussage durch entsprechende, eindeutige Terme im nachfogenden Kästchen. (2,0 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen wird mit 0 Punkten gewertet, sote keine Begründung für die getroffene Aussage erfogen.

51 Frühjahr 2014

52 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Der obere Baken (Länge 2, Biegesteifigkeit EI 1 ) des dargesteten Bakensystems wird von einer inear ansteigenden Streckenast q(x 1 ) mit dem Maximawert q 0 beastet. Der untere Baken (Länge 3, Biegesteifigkeit EI 2 ) wird bei x 2 = 3 von einer Feder (Federkonstante c) gestützt. Die Feder ist entspannt, wenn das Gesamtsystem unbeastet ist. Ae Baken sind dehnstarr (EA ), der vertikae Verbindungsstab ist zudem auch biegestarr (EI ). z 2 x 2 x 1 z 1 3,EI 2 II I 2,EI 1 q 0 EI EA c a) Geben Sie sämtiche kinematische Rand- und Übergangsbedingungen zur eindeutigen Bestimmung der Biegeinien-Funktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) an. (2,5 Punkte)

53 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Spezifizieren Sie die Federkraft F c in Abhängigkeit der Bakenverschiebung an der Federangriffsstee x 2 = 3. Geben Sie zudem die konkrete Funktionfür q(x 1 ) an. (1,0 Punkte) F c = q(x 1 ) = c) Bestimmen Sie das Potentia Π i der inneren Lasten. Hinweis: Integrae soen nicht geöst werden und die Verschiebungsfunktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) soen nicht weiter spezifiziert werden. (1,5 Punkte) Π i = Bestimmen Sie nun das Potentia Π a der äußeren Lasten. (1,5 Punkte) Π a =

54 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) d) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist das Gesamtpotentia Π = ˆ EI[w (x)] 2 dx F w() und die Randbedingungen w(x = 0) = 0 und w (x = 0) = 0 gegeben. Ein mögicher Ritz-Ansatz autet w(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2. Bestimmen Sie zwei der Ansatz-Freiwerte durch Auswertung der Randbedingungen.(1,0 Punkte) Bestimmen Sie den verbiebenen Freiwert mittes des Rayeigh-Ritz-Verfahrens. Hinweis: wichtige Zwischenschritte bitte ebenfas in das Kästchen eintragen.(2,5 Punkte)

55 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) DiedargesteteHabkreisscheibe (Dicket) wirdaufder Innenseite (Oberfäche Ω 0 )durch die konstante Fächenast p 0 und an der Oberfäche Ω 1 durch die konstante Fächenast p 1 beastet. p 1 O Ω 1 ϕ r i p 0 Ω 0 r a r a) Bestimmen Sie sämtiche Verschiebungs- und Spannungsrandbedingungen im angegebenen Poarkoordinatensystem (r, ϕ). (4,0 Punkte). Verschiebungsrandbedingungen: Spannungsrandbedingungen:

56 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) Die Habkreisscheibe (Innenradius r i = R, Außenradius r a = 2R, Dicke t, Zeichnung nicht maßstäbich) wird nun durch zwei entgegengesetzt wirkende Momente M 0 beastet. M 0 M 0 O Ω 1 ϕ r i r a Ω 0 r b) Die Airysche Spannungsfunktion für diese Probemsteung ist durch F = C 1 r 2 nr +C 2 r 2 C 3 nr+c 4 gegeben. Hierbei sind C 1, C 2, C 3 und C 4 nicht weiter spezifizierte Konstanten. Für die Spannungskomponenten σ rr und σ ϕϕ des ebenen Spannungszustands git σ rr = 2C 1 nr +2C 2 C 3 r +C 2 1 σ ϕϕ = 2C 1 nr +2C 2 + C 3 r +3C 2 1 Bestimmen Sie die Spannungskomponente σ rϕ. (1,0 Punkte). σ rϕ =

57 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Bestimmen sie des Weiteren mittes des Cauchy-Postuats den Spannungsvektor t 1 auf dem Rand Ω 1. Geben Sie ebenfas die Randbedingungen für die Ränder Ω 0 und Ω 1 an. Nennen Sie auch soche Randbedingungen, weche im Mitte erfüt sein müssen. (3,0 Punkte). t 1 = Randbedingungen: Geben Sie die Größe des Einzemomentes M 0 in Abhängigkeit von R, t und den Konstanten C 1, C 2, C 3, C 4 an. Geben Sie wichtige Zwischenschritte für die Berechnung des Endergebnisses an. Nutzen Sie dafür den Patz im unteren Kästchen. (2,0 Punkte) Hinweis: xnx = x2 4 ( 1+2nx) M 0 =

58 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus 3 Teistäben. Am Punkt B, wecher sich genau in der Mitte von Stab 1 (Masse m 1, Länge 1 ) befindet, ist Stab 2 (Masse m 2, Länge 2 ) geenkig angebracht. Zusätzich sind an diesem Punkt die Stäbe 1 und 2 über eine Drehfeder der Drehsteifigkeit c T miteinander verbunden. AmPunkt Cgreift eine horizontaekraftf an, währendder horizontaebaken(masse m 3,Länge 3 ) durcheinefeder der Federsteifigkeit czwischen denpunktendundeabgestütztwird. DieFedernsindfürq 1 = π/2undq 2 = 0 ungespannt. A q 1 y m 1, 1 B c T g x q 2 m 2, 2 m 3, 3 F c E N.N C D a) Steen Sie das Gesamtpotenzia Π des Systems in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (4,0 Punkte) Π =

59 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist das Gesamtpotenzia Π durch Π = M 0 q 1 + mg q mg 2 sin(q 1)[ sin(q 1 ) 2q 2 ] in Abhängigkeit eines eingeprägten Momentes M 0 und der Freiheitsgrade q 1 und q 2 gegeben. Die Geichgewichtsage des Systems so dabei für q 1 = π/4 bestehen. Geben Sie die Bedingungen für q 2 und M 0 an, so dass der angegebene Wert für q 1 tatsächich einen Geichgewichtszustand beschreibt. (3,0 Punkte) q 2 = M 0 = Abschießend so nun die Stabiität dieser Geichgewichtsage charakterisiert durch die angegebenen Werte für q 1 sowie Ihr Ergebnis für q 2 und M 0 anaysiert werden. Geben sie die dazu notwendige(n) und auf die Aufgabensteung spezifizierte(n) Größe(n) an und kassifizieren Sie die Art der vorgegebenen Geichgewichtsage unter Angabe einer eindeutigen Begründung. (3,0 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen(Fortsetzung auf nächster Seite) wird mit 0 Punkten gewertet, sote edigich die Art der Geichgewichtsage genannt werden.

60 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)

61 Herbst 2013

62 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Das Bakensystem, bestehend aus dem horizontaen Baken I (Biegesteifigkeit EI/4, Gesamtänge 2 ) und dem vertikaen Baken II (Biegesteifigkeit EI/2, Länge /2) weist wie dargestet eine biegestarre Verbindungsstee auf und wird über eine horizontae Kraft F beastet. Für die Dehnsteifigkeiten der Baken so jeweis EA geten. Ae weiteren Größen und Zwangsbedingungen sind der Zeichnung zu entnehmen. x z 3 F z x 3 II /2 z 1 x 1 I a) Bestimmen Sie sämtiche kinematischen Rand- und Übergangsbedingungen des Systems. Wähen Sie dazu geeignete und unmissverständiche Bezeichnungen. (2 Punkte) b) Bestimmen Sie für das gegebene System das Gesamtpotentia Π = Π i + Π a der inneren und äußeren Lasten. Integrae soen nicht geöst werden. Verwenden Sie die vorgegebenen Koordinatensysteme. (2 Punkte) Π =

63 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) c) Im Fogenden ist das unten dargestete System gegeben, weches aus einem zweiseitig eingespannten Baken (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA ) besteht. Ae weiteren reevanten Größen sind der Zeichnung zu entnehmen. z x q 0 q 0 x Unter Ausnutzung der Symmetrie ässt sich das Gesamtpotentia des Systems mit Π = 1 EIˆ ( w (x)) 2 dx 2 0 ˆ 2 3 q 0 w(x) dx 1 3 bestimmen. Spezifizieren Sie die Freiwerte a 0,a 1,a 2,a 3 der Ansatzfunktion w(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 unter Verwendung des Ritz-Rayeigh Verfahrens. Tragen Sie dazu die wesentichen Rechenschritte ebenfas in die fogenden Kästchen ein (siehe nächste Seite). (6 Punkte) 3 3 3

64 Herbst 2013

65 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Ω 1 p 0 Der dargestete Kragbaken mit veränderichem Querschnitt (Dicke t) ist einseitig eingespannt und wird auf der Oberfäche Ω 1 durch die konstante Fächenast p 0 beastet. x 2 α r ϕ h x 1 L Ω 2 a) Bestimmen Sie sämtiche Spannungsrandbedingungen in den Poarkoordinaten (r, ϕ) und sämtiche Verschiebungsrandbedingungen in kartesischen Koordinaten (x 1,x 2 ). (3 Punkte) Spannungsrandbedingungen: Verschiebungsrandbedingungen: b) Mittes der Airyschen Spannungsfunktion F = C ( r 2 (α ϕ)+r 2 sinϕ cosϕ r 2 cos 2 ϕ tanα ) können für den ebenen Spannungszustand fogende Spannungen σ rr = 2C ( α ϕ cosϕ sinϕ sin 2 ϕ tanα ) σ rϕ = 2C cosα sin(α ϕ)sinϕ ermittet werden. Bestimmen Sie die fehenden Spannungen des ebenen Spannungszustands. (1 Punkt)

66 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) Bestimmen Sie des Weiteren mittes des Cauchy-Postuats die Spannungsvektoren t 1 und t 2 auf den Rändern Ω 1 und Ω 2. (2 Punkte) Berechnen Sie den Wert der Konstanten C. (1,5 Punkte) C = c) Der gegebene Kragbaken ist nun einer Einzekraft F ausgesetzt. F a C C C x 2 C L h x 1 t b FürdenvertikaenSchnittC C andersteex 1 = aässtsichimfogendendiespannung ( ) σ 11 (x 1 = a,x 2 ) = C 0 x 3 2 b3 4 ermitten. Die übrigen Spannungen des ebenen Spannungszustandes sind vernachässigbar kein. Bestimmen Sie die unbekannte Konstante C 0. (2,5 Punkte) C 0 =

67 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Das dargestete System besteht aus homogenen, starren Stangen, die geenkig miteinander verbunden sind und sich im Schwerefed der Erde (Erdbescheunigung g) befinden. Der im Punkt A über eine Drehfeder (Federkonstante k 1 ) geenkig angebundene Stab 1 habe die Masse m 1, die Länge 1 und den Drehfreiheitsgrad q 1. Am Ende des ersten Stabes ist im Punkt B über eine weitere Drehfeder (Federkonstante k 2 ) ein weiterer Stab (Masse m 2, Länge 2, Drehfreiheitsgrad q 2 ) angebunden. Am Ende des zweiten Stabes befindet sich zudem eine Kreisscheibe der Masse m 3. Beide Federn seien entspannt für q 1 = q 2 = 0. A q 1 g k 1 2,m 2 1,m 1 m 3 q 2 k 2 B a) Steen Sie die potentiee Gesamtenergie des Systems auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (3 Punkte) E pot = Steen Sie die Bedingung(en) für Geichgewichtszustände dieses Systems auf. (2 Punkte)

68 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist die potentiee Energie hypothetisch durch E pot = 3mg cos(q 1 )+5mg[ cos(q 1 )+2 cos(q 2 )]+ 1 2 k[2q2 1 +q2 2 ] gegeben. Ein mögicher Geichgewichtszustand ist dabei durch q 1 = 0, q 2 = π/6 für bestimmte, ebenfas nicht näher spezifizierte Werte für m, und k vorgegeben. Geben Sie die Bedingung für die Masse m in Abhängigkeit der Größen k, g und an, so dass die angegebenen Werte für q 1 und q 2 tatsächich einen Geichgewichtszustand beschreiben. (2 Punkte) Abschießend so nun die Stabiität dieser Geichgewichtsage charakterisiert durch die angegebenen Werte für q 1 und q 2 sowie Ihr Ergebnis für m anaysiert werden. Geben sie die dazu notwendige(n) und auf die Aufgabensteung spezifizierte(n) Größe(n) an und kassifizieren Sie die Art der vorgegebenen Geichgewichtsage. (3 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen wird mit 0 Punkten gewertet, sote edigich die Art der Geichgewichtsage genannt werden.

69 Frühjahr 2013

70 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das fogende Bakensystem so mittes des Ritz-Verfahrens approximiert werden. Die Baken weisen eine Dehnsteifigkeit von EA und eine Beigesteifigkeit von EI auf. 2F 2F 2F 2L 2F 2L a) Unter Ausnutzung der Symmetriebedingungen wird nun ein Ersatzsystem betrachtet. Kreuzen Sie das richtige Ersatzsystem an und geben Sie die Rand- und Übergangsbedingungen der Bakenfunktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) an. Hinweis: Es git EA. x 2 F x 2 F F x 1 F x 1 x 2 F x 2 2F F x 1 x 1 2F Rand- Übergangsbedingungen:

71 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Wie autet das Gesamtpotentia Π der inneren und äußeren Lasten (Π = Π i +Π a ) für das unter a) dargestete System? Für das Potentia der inneren Kräfte soen dabei nur Beiträge infoge des Biegemoments berücksichtigt werden. Hinweis: Integrae müssen nicht geöst werden und die Verschiebungsfunktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) sind bekannt. Π = c) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes Bakensystem sind die fogenden Randbedingungen für die Verschiebungsfunktion w(x) bekannt: w(x = L) = w 0, w (x = L) = 0 w 0 stet dabei eine gegebene Größe dar. Bestimmen Sie einen gütigen Ritz-Ansatz w(x) aus der Funktion: ( π ) ( π ) w(x) = a 0 cos L x +a 1 sin L x +a 2 x 3 w(x) =

72 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) d) Das Gesamtpotentia des Systems sei nun mit Π = ˆL 0 ( w (x)) 2 dx q 0 L ˆL 0 w (x) dx angegeben. Ein zuässiger Ritz-Ansatz autet w(x) = b 1 x 3. Bestimmen Sie den Freiwert b 1 mittes des Rayeigh-Ritz-Verfahrens. Hinweis: Wichtige Zwischenschritte bitte ebenfas ins Kästchen eintragen.

73 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 1 von 4) Das nachfogende System so mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. F L 2L L L a) Bestimmen Sie die Anzah n der einzusetzenden Fießgeenke um eine Fießgeenkkette zu erhaten. n = b) Bestimmen Sie nun ae mögichen Fießgeenkketten, wobei die Anzah dieser so gering wie mögich sein so. Zeichnen Sie dazu die Fießgeenkketten quantitativ in den verformten Lagen ein. Berücksichtigen Sie hierbei nur die Konfigurationen, die aufgrund der Kraft eine äußere Arbeit eisten. Zeichnen Sie ebenfas die Randbedingungen ein.

74 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 2 von 4) c) Das nachfogende System so mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. Spannungen infoge Quer- und Normakräften können dabei vernachässigt werden. Das Materia des Systems weist in jedem Querschnitt jeweis das pastische Grenzmonent M p,y auf. 2L F L L L In nachfogender Skizze (siehe nächste Seite, Querformat-Darsteung) sind die hier reevanten Fießgeenkpositionen und die mit 1.), 2.) und 3.) bezifferten Fießgeenk-Konfigurationen schon in den ausgeenkten Lagen dargestet. Geben Sie die jeweiigen Beziehungen zwischen den Winken in sämtichen Systemen an und zeichnen Sie zudem die pastischen Momente ein.

75 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 3 von 4) 1.) 2.) 3.)

76 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 4 von 4) Ermitten Sie für ae Fießgeenkkonfigurationen jeweis die Tragkraft F T. Geben Sie des Weiteren den zuässigen Grenzwert F grenz an. 1.) F T = 2.) F T = 3.) F T = F grenz =

77 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) a) Das abgebidete System aus starren Stäben ist durch die richtungstreuen Kräfte F 1 und F 2 beastet und durch vier Federn der Steifigkeiten c 1, c 2, c 3 und c 4 gestützt. In der dargesteten Geichgewichtsage seien die Federn ungespannt. Der Einfuss der Schwerkraft ist zu vernachässigen. Die zu verwendenden kinematischen Freiheitsgrade sind der unteren Skizze zu entnehmen. c 2 c 3 3 c 1 c 4 F 1 F ϕ ψ Steen Sie das Potentia Π i der in den Federn gespeicherten Energie und das Potentia Π a der äußeren Kräfte für finite Ausenkungen des Systems in Abhängigkeit der vorgegebenen kinematischen Freiheitsgrade ϕ und ψ für die dargestete Lage auf. Π i (ϕ,ψ) = Π a (ϕ,ψ) =

78 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Für bestimmte, nicht näher spezifizierte, Längenverhätnisse und Zusammenhänge zwischen den Federkonstanten und den äußeren Kräften erhät man Π ϕ = 2c2 (sinϕcosϕ+cosϕsinψ) Fsinϕ Π ψ = 2c2 (sinψcosψ +sinϕcosψ)+3c 2 sinψcosψ Fsinψ für die partieen Abeitungen des zu Grunde iegenden Potentias nach den Freiheitsgraden ϕ und ψ. Berechnen Sie die maßgebende kritische Last F krit, bei wecher die durch ϕ = 0 und ψ = 0 gegebene Geichgewichtsage instabi wird. Hinweis: Da die vorgegebene Geichgewichtsage der Ausgangskonfiguration des Systems entspricht, ist es mögich und eventue sinnvo, bestimmte Terme zu inearisieren. Geben Sie ebenfas sinnvoe Zwischenschritte für die Berechnung des Endergebnisses an. Nutzen Sie dafür den Patz im unteren Kästchen. F krit =

79 Herbst 2012

80 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) F Gegeben ist das nebenstehende Bakensystem. In den Bereichen 0 x und 3 x 4 beträgt die Biegesteifigkeit des Bakens EI. Im mitteren Bereich x 3 (schraffiert) ist der Träger as biegestarr (EI ) anzusehen. z x 2 2 a) Geben Sie unter Ausnutzung der Symmetrie die kinematischen Randbedingungen für die inke Bakenhäfte 0 x an und bestimmen Sie einen zuässigen Ritzansatz w(x) aus dem Poynom w(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3. Randbedingungen: w(x) = b) Wie autet das Gesamtpotentia Π der inneren und äußeren Lasten (Π = Π i +Π a ) für das dargestete System? Für das Potentia der inneren Kräfte soen dabei nur Beiträge infoge des Biegemoments berücksichtigt werden. Hinweis: Integrae müssen nicht geöst werden. Π =

81 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) c) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes Bakensystem ergibt sich ein Gesamtpotentia von ˆ ˆ 1 Π = 0 2 c 1(w (x)) 2 dx c 2 xw(x) dx. 0 Die Größen c 1 und c 2 steen dabei Konstanten dar. Bestimmen Sie für den kinematisch zuässigen Ritzansatz w(x) = ax 2 den Freiwert a mittes des Ritz-Rayeigh-Verfahrens. a = Im Fogenden ist das rechts dargestete Tragwerksystem gegeben. Die schraffierten Bereiche ( x 3) des Bakensystems sind as biege- und dehnstarr anzusehen. Die nicht schraffierten Bereiche weisen die Biegesteifigkeit EI auf. Dehnungen aus Quer- und Normakräften sind zu vernachässigen. An der Kraftangriffsstee befindet sich ein Geenk, weches die Baken verbindet. z x 2 F 2 d) Bestimmen Sie unter Ausnutzung der Symmetrie die kinematischen Randbedingungen der inken Systemhäfte an der Stee x = 0, sowie die Übergangsbedingungen an den Steen x = und x = 2 für die Verschiebungsfunktion w(x).

82 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) e) Wie autet das Gesamtpotentia Π as Funktion der vertikaen Verschiebungen w(x)? Hinweis: Integrae müssen nicht geöst werden. Π(w(x)) =

83 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 1 von 4) Das nachfogend dargestete System so mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. F F 2 a) Ermitten Sie dazu zunächst den Grad der statischen Unbestimmtheit p. p = Bestimmen Sie nun ae mögichen Fießgeenkketten, wobei die Anzah dieser so gering wie mögich sein so. Es ist dabei ausreichend die entsprechenden Fießgeenke in die unverformten Lage des Systems einzuzeichnen.

84 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 2 von 4) b) Das nachfogende System so ebenfas mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. Spannungen infoge von Quer- und Normakräften können dabei vernachässigt werden. Das Materia des Systems weist in jedem Querschnitt jeweis das pastische Grenzmonent M p,y. F 2F 2 In nachfogender Skizze (siehe nächste Seite, Querformat-Darsteung) sind die hier reevanten Fießgeenkpositionen und die mit 1.), 2.) und 3.) bezifferten Fießgeenk-Konfigurationen dargestet. Für die Konfigurationen 1.) und 2.) sind die ausgeenkten Lagen bereits vorgegeben. Zeichnen Sie die ausgeenkte Lage der dritten Konfiguration ein. Geben Sie zudem die jeweiigen Beziehungen zwischen den Winken in sämtichen Systemen an.

85 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 3 von 4) 1.) 2.) 3.)

86 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 4 von 4) d) Ermitten Sie für ae vorgegebenen Fießgeenkkonfigurationen jeweis die Tragkraft F T. Geben Sie des Weiteren den maßgebenden zuässigen Grenzwert F grenz an. 1.) F T = 2.) F T = 3.) F T = F grenz =

87 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) a) Das abgebidete System aus starren Stäben ist durch die richtungstreuen Kräfte F 1 und F 2 beastet und durch zwei Federn der Steifigkeiten c 1 und c 2 gestützt. Steen Sie das Gesamtpotentia Π für finite (große) Ausenkungen um die dargestete Geichgewichtsage (Federn sind ungespannt) auf. Der Einfuss der Schwerkraft ist zu vernachässigen. Die zu verwendenden kinematischen Freiheitsgrade sind der fogenden Skizze zu entnehmen. F F 2 c 1 c 2 ϕ ϕ ψ Steen Sie das Gesamtpotentia Π für finite Ausenkungen des Systems in Abhängigkeit der vorgegebenen kinematischen Rotationsfreiheitsgrade ϕ und ψ um die dargestete Lage auf. Π(ϕ,ψ) =

88 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Für bestimmte, nicht näher spezifizierte Längenverhätnisse und Zusammenhänge zwischen den Federkonstanten und den äußeren Kräften erhät man Π ϕ = c2 (2sinϕcosϕ+cosϕsinψ) 3 2 Fsinϕ Π ψ = c2 (sinψcosψ +sinϕcosψ) Fsinψ für die partieen Abeitungen des zu Grunde iegenden Potentias nach den Freiheitsgraden ϕ und ψ. Berechnen Sie die maßgebende kritische Last F krit, bei wecher die durch ϕ = 0 und ψ = 0 gegebene Geichgewichtsage instabi wird. Hinweis: Da die vorgegebene Geichgewichtsage der Ausgangskonfiguration des Systems entspricht, ist es mögich und eventue sinnvo, bestimmte Terme zu inearisieren. F krit =