Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk
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- Alwin Holst
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1 Universität der Bundeswehr München Fakutät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Univ.-Prof. Dr.sc.math.habi. Joachim Gwinner Betreuung: Dip.-Math. Danie Mohr Erste Studienarbeit Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk Jessada Supruangthong Itti Yuthayanon 8. Apri 7
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3 Inhatsverzeichnis Eineitung 3 Fachwerk 5. Definition Kassifizierung statische Bestimmtheit einfache Beispiee für statische Bestimmtheit Grundagen 9 3. Geichgewicht Formänderung Stabverängerung Stoffgesetz Steifigkeit und Nachgiebigkeit Kinematisches Verfahren 3 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk 5 5. Beispie mit konstantem Querschnitt A Berechnung der Aufagerkräfte Zahenbeispie und Grafikdarsteung Beispie mit variaben Querschnitten A i Literaturverzeichnis 87
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5 Eineitung Ein Fachwerk ist eine Konstruktion, die aus geraden starren Stäben besteht und so Lasten aufnehmen, die von außen wirken. Fachwerke finden ihre Anwendungen: im Gebäudebau im Brückenbau in Kran- und Mastenbau im Maschinenbau Ist das Fachwerk statisch bestimmt geagert, können die Stabkräfte aein aus den Geichgewichtsbedingungen ermittet werden. Ist das Fachwerk dagegen statisch unbestimmt, müssen zur Ermittung der Stabkräfte auch das Stoffgesetz und die Verformung einbezogen werden. Zie dieser Arbeit ist aber die Berechnung der Stabkräfte des einfach statisch unbestimmten ebenen Fachwerks, d.h. das Stoffgesetz und die Verformung müssen hier berücksichtigt werden. Mit Hife des mathematischen Eiminationsverfahrens können die Berechnung der Stabkräfte des Fachwerks mit konstantem Querschnitt und auch die Berechnung der Stabkräfte des Fachwerks mit variaben Querschnitt angegangen werden. Es werden fogende Annahmen bei der Berechnung der Stabkräfte gemacht: Es werden nur keine Verformungen betrachtet. Diese können ae inear approximiert werden. 3
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7 Fachwerk. Definition Ein Fachwerk ist eine Konstruktion, weche aus geraden, starren, miteinander verbundenen Teien besteht, die durch reibungsfreie Geenke in den sog. Knotenpunkten verbunden sind und weche ausschießich durch äußere Kräfte, die in den Knotenpunkten angreifen, beastet werden, d.h. die Stäbe können nur auf Zug oder Druck beastet werden und nehmen keine Torsion auf. Fachwerke soen Lasten aufnehmen, die von außen wirken. In der Praxis verwendet man Fachwerke z. B. beim Bau von Brücken, Kränen oder Stützgerüsten wie sie beispieweise in Fugzeugen oder Dachkonstruktionen auftreten. Ihre Verbindung erfogt normaerweise über Schrauben oder Schweißverbindungen mit einer Patte.. Kassifizierung Der Berechnugsaufwand ässt sich durch Zuordnen des zu untersuchenden Fachwerks zu einer Kasse reduzieren. Eine Kassifizierung ist mögich in Bezug auf die Dimension und in Bezug auf die Grundstrukturen. Bezug der Dimension ebenes Fachwerk (zweidimensiona): besteht aus Stäben und äußeren Kräften, die ae in einer Ebene iegen. räumiches Fachwerk (dreidimensiona): besteht aus Stäben, die eine stabie dreidimensionae Konstrucktion biden und nicht in einer Ebene iegen. Bezug der Grundstrukturen einfaches Fachwerk: Man beginnt bei der Konstruktion eines einfachen Fachwerks mit einem dreieckigen Grundeement und schießt zwei Stäbe as weiteres Eement an. Mit zusätzichen Eementen, jeweis bestehend aus zwei Stäben und einem Knoten, wird ein einfaches Fachwerk zusammengesetzt. Für jedes einfache Fachwerk ist die Zah s der Stäbe mit der Zah k der Knoten wie fogt verknüpft : s k 3 bei ebenen Fachwerken, bzw. s 3k 6 bei räumichen Fachwerken Diese Bedingung für ein einfaches Fachwerk ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die statische Bestimmtheit eines Fachwerks. 5
8 6 Fachwerk nichteinfaches Fachwerk: Wenn man bei der Konstrucktion eine Fachwerks nicht mit einem dreieckigen Grundeement beginnt oder nicht zwei Stäbe mit einem Knoten as weiteres Eement anschießt, so nennt man dies nichteinfaches Fachwerk..3 statische Bestimmtheit Ein statisches Fachwerk ist statisch bestimmt geagert, wenn die Anzah seiner Lagerreaktionen (Aufagerbedingungen) der Anzah seiner Freiheitsgrade entspricht. Bei einem statisch bestimmten Fachwerk kann man die Stabkräfte aein aus den Geichgewichtsbedingungen ermitten. Ist das Fachwerk dagegen statisch unbestimmt, so müssen zur Ermittung der Stabkräfte auch das Stoffgesetz und die Verformung einbezogen werden. Grad der statischen Unbestimmtheit n : n r + s k bei ebenen Fachwerken, bzw. n r + s 3k bei räumichen Fachwerken r : Anzah der Reaktionen s : Anzah der Stäbe k : Anzah der Knoten Dann git für das statische System: für n < : statisch unterbestimmt, aso verschiebich, für n : statisch bestimmt, aso in Ruhe, für n > : statisch überbestimmt, in Ruhe (sicherer as statisch bestimmt - mehrere zwei- bzw. dreiwertige Lager).
9 . einfache Beispiee für statische Bestimmtheit 7. einfache Beispiee für statische Bestimmtheit Grad der statischen Unbestimmtheit n : ) n r + s k statisch bestimmt ) n r + s k + 7 einfach statisch unbestimmt 3) n r + s k 3 + -fach statisch unbestimmt Symboe : : Ein Festager fixiert ein Bautei in zwei Lagerreaktionen bei ebenes Fachwerk, ässt keine Bewegung zu (r ). : Ein Losager fixiert ein Bautei in einer Lagerreaktion bei ebenes Fachwerk, ässt aso Bewegung in einer Richtung zu (r ).
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11 3 Grundagen 3. Geichgewicht Das Geichgewicht ist der Zustand eines Körpers oder eines unbewegten, gekoppeten Systems von Körpern, in dem sich ae angreifenden Kräfte bzw. Momente gegenseitig aufheben. Zur Erhatung des Geichgewichts ist die Erfüung des ersten Newton schen Bewegungsgesetzes erforderich. Die Stäbe des Fachwerks sind gerade, in Richtung der Stabachse beastet und iegen ae in einer Ebene. Da das Momentengeichgewicht für den Knoten (reibungsfreies Geenk) automatisch erfüt ist, müssen für das Geichgewicht edigich diese Geichgewichtsbedingungen s S c q + F q für q,,..., k (3.) erfüt sein, wobei s : Anzah der Stäbe : Stabnummer, (,,...,s) S : Stabkraft c q : Richtungskosinus, c q e q e (κ) F q : Knotenast in q-richtung p, q oder t : Index für die Richtungen je Knoten. Indexbeispie für ebenes Fachwerk : Knoten Richtung Index p, q oder t I x y II x 3 y III x 5 y 6 IV x 7 y
12 3 Grundagen 3. Formänderung Anaog zur Indizierung von F q beschreibt V q die Verschiebung des entsprechenden Knoten in die entsprechende Richtung. Die Summe aer Knotenverschiebungen in q-richtung V q ist geich der negativen gesamten Stabverängerung in dieser Richtung: k V q c q (3.) q Hierbei hat der Index q nur jene Nummern zu durchaufen, die sich auf die Knotenpunkte beziehen. 3.3 Stabverängerung Mit der Stabkraft S, dem Stabquerschnitt A, dem Eastizitätsmodu E, der Normaspannung σ x und der Dehnung in Stabrichtung ε x git das Hook sche Gesetz: ε x σ x E Mit V x as Verschiebung in Stabrichtung fogt S (3.3) Nach Eimination von ε z aus diesen Geichungen ergibt sich ε x dv x dx. (3.) dv x dx Die Integration iefert mit x as Integrationsvariabe V x x x S. (3.5) S dx + V x. (3.6) Hierbei wurde zur Abkürzung (V x ) x V x geschrieben. Mit as Stabänge vor der Verformung ergibt sich für die Stabverängerung as Differenz der Verschiebungen der beiden Stabenden Ist die Stabkraft konstant, dann kann (3.7) in der kürzeren Form x S dx. (3.7) S c (3.8)
13 3. Stoffgesetz mit c x dx (3.9) geschrieben werden. Die Größe c heißt Steifigkeit, die Größe /c Nachgiebigkeit. Bei Homogenität ist E konstant, so dass c E x dx A (3.) gesetzt werden kann. Ist auch A konstant, so git die einfache Beziehung c. (3.) Bei einer Temperaturerhöhung ϑ ϑ ϑ (mit ϑ as Endtemperatur und ϑ as Bezugstemperatur) treten thermische Dehnungen unabhängig von der durch die Spannung hervorgerufenen Verformung auf. Bei inearem Wärmedehnungsgesetz wird die thermische Dehnung durch αϑ präsentiert, wobei α die ineare Wärmedehnzah ist. Durch Integration über die Stabänge ergibt sich die rein thermische Stabverängerung x αϑdx. (3.) Bei einem homogenen Stab ist α konstant. Ist auch ϑ innerhab des Stabes konstant (geichmäßige Erwärmung des ganzen Stabes), so fogt αϑ. (3.3) Die Gesamtverängerung des Stabes ergibt sich innerhab der inearen Theorie durch Addition der eastischen und thermischen Anteie : S c +. (3.) 3. Stoffgesetz In Zusammenhang stehen die Stabverängerungen durch das Hook sche Gesetz mit den Stabkräften und durch das Wärmedehnungsgesetz mit den Temperaturerhöhungen. Werden in (3.) ae auftretenden Größen mit der Stabnummer versehen, so ergibt sich das Stoffgesetz des Fachwerks S c +. (3.5)
14 3 Grundagen Werden mit Hife von (3.) die Stabverängerung durch die Verschiebungen ausgedrückt, so ergibt sich das erweitere Stoffgesetz des Fachwerks ) S c ( V q c q + q 3.5 Steifigkeit und Nachgiebigkeit. (3.6) Die Geichgewichts- und Formänderungsbedingungen bei geometrischer Linearität, sowie das Hook sche Gesetz biden das Geichungssystem der inearen Eastostatik. Der ineare Aufbau aer dieser Geichungen hat zur Foge, dass zwischen den äußeren Kräften und den Knotenverschiebungen, soweit sie ausschießich durch die äußeren Kräften erzeugt sind, ineare Geichungen fogender Form (ohne Temperaturänderung) bestehen: F p q a pq V q bzw. V p α pq F q. (3.7) q Die Koeffizienten a pq heißen Steifigkeitszahen, die Koeffizienten α pq heißen Nachgiebigkeitszahen. Hierbei repräsentiert der Index p dieseben Nummern wie q. Aus (3.6) fogt mit : S c c q V q (3.8) q und aus (3.) mit p statt q: Nach einsetzen von (3.8) ergibt sich F p S c p. (3.9) F p q c c p c q V q. (3.) Der Vergeich mit der inken Geichung (3.7) zeigt, dass sich die Steifigkeitszahen wie fogt berechnen assen: a pq c c p c q. (3.) Sie biden eine symmetrische Quadratmatrix mit s n Zeien, die auf Grund der Tragfähigkeit des Fachwerks reguär ist, d.h. ihre Determinante ist von Nu verschieden; denn wie aus (3.7) hervorgeht, biden die Nachgiebigkeitszahen α pq die zur Matrix der Steifigkeitszahen inverse Quadratmatrix (ebenfas reguär, symmetrisch) und können aus den inearen Geichungen { für q t a pq α pt δ qt (3.) p für q t berechnet werden, wobei zweckmäßig das Eiminationsverfahren, auch Gauss scher Agorithmus genannt, angewandt wird (der Index t repräsentiert dieseben Nummern wie p und q).
15 Kinematisches Verfahren Beim kinematischen Verfahren werden zunächst die kinematischen Größen berechnet. Durch Einsetzen von (3.6) in die Geichgewichtsbedingungen (3.) ergeben sich bei Verwendung der Steifigkeitszahen (vg. (3.)) und mit Einführung der fiktiven Thermokraft die Beziehungen Fp c c p (.) a pq V q F p Fp. (.) q Sie unterscheiden sich von den ohne Berücksichtigung von Temperaturänderungen getenden Geichungen (3.7) nur dadurch, dass von den Knotenasten die fiktiven Thermokräfte zu subtrahieren sind. Die Aufösung von (.) nach den Verschiebungen ergibt forma (anaog zu (3.7)) V q α pq (F p Fp ) (.3) p mit den Nachgiebigkeitszahen as Koeffizienten. Zur Kontroe seien durch Einsetzen dieses Ausdruckes in (3.) die Stabverängerungen und aus diesen mittes (3.6) die Stabkräfte gebidet. Dann fogt ) S c ( p α pq c q (F p Fp ) + q. (.) Nach Einsetzen in die Geichgewichtsbedingungen (mit t statt q) und bei Verwendung der Ausdrücke für die Steifigkeitszahen und die fiktiven Thermokräfte ergibt sich eine Beziehung, die wegen (3.) identisch erfüt ist. Bei der praktischen Durchführung der statischen Berechnung eines Fachwerks sind zunächst in der Systemskizze die Stabnummern festzuegen. Nach Einzeichnung der positiven Koordinatenrichtungen an den einzenen Knoten sind die q-nummern tabearisch, wie im Indexbeispie, festzuegen und die Richtungskosinus aus dem geometrischen Aufbau des Fachwerks zu ermitten. Aus Querschnitt, Länge, Eastizitätmodu und Wärmedehnzah der Stäbe errechnen sich gemäß (3.3) die Steifigkeiten c und bei gegebenen Temperaturänderungen die thermischen Stabverängerungen. Bei gegebenen Knotenasten F q sind fogende Rechenschritte numerisch durchzuführen: 3
16 Kinematisches Verfahren zu berechnende Größe angewandte Geichung Weg ) a pq a pq c c p c q direkt ) Fq Fq c c q direkt 3) V p (a pq V p ) F q Fq Eiminationsverfahren p ) V p c p direkt p 5) S S c ( ) direkt 6) F q F q S direkt Beispiesweise bei dem Rechenschritt 3) können die Geichungen auch in Matrix-Schreibweise geschrieben werden: a a... a p V. a a.. F F. V F F a q a qp V p F q Fq wobei q, p {,,..., k}, k : Anzah der Knoten Anaog ässt sich dies auch bei dem Rechenschritt ) schreiben. Beim etzten Rechenschritt 6) müssen sich an den von außen beasteten Knoten wieder die Knotenasten ergeben, bzw. an den unbeasteten Knoten die Knotenasten geich Nu sein (Kontromögichkeiten). An den aufgeagerten Knoten erhät man die Aufagerkräfte entweder durch die Geichgewichtsbedingung der vorher berechneten Stabkräfte beim Rechenschritt 5) oder durch den direkten Weg (siehe Beispie).
17 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk 5. Beispie mit konstantem Querschnitt A Das in dieser Abbidung ersichtiche ebene Fachwerk besteht aus Festager, 9 Stäbe und 6 Knoten, so ist r, s 9 und k 6. Berechnung der statischen Unbestimmtheit des Systems: n r + s k aternative Berechnung mit Ersatzsystem: einfach statisch unbestimmt Git Stab 9 zugeich as Aufagerstab, d.h. Stab 9 und Festager mit Knoten VI können durch ein Losager am Knoten IV ersetzen, so ist r 3, s 8 und k 5, dann fogt: n r + s k einfach statisch unbestimmt 5
18 6 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk Da Knoten V und Knoten VI unverschiebich sind, sind die acht q-nummern, die sich auf die Knoten I bis IV beziehen, die Nummern bis 8. Es sei vorausgesetzt, dass keine thermischen Effekte auftreten (Fq ) und ae Stäbe aus dem geichen Stoff (Eastizitätsmodu E) mit dem geichen Querschnitt A hergestet sind. Die gemeinsame Länge der Stäbe, 3, 5, 6, 7, 9 sei mit bezeichnet. Bei den Steifigkeiten tritt dann der gemeinsame Faktor /, bei den Nachgiebigkeiten /() auf. Kinematisches Verfahren (,, 3,..., 9). Die Steifigkeitszahen biden die erste symmetrische Quadratmatrix aus der Geichung a pq c c p c q. a) c : b) e q : c Knoten I : e Knoten II : e 3 Knoten III : e 5 Knoten IV : e 7 c c c 3 c c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 ( ), e ( ), e ( ), e 6 ( ), e 8 ( ), ( ), ( ), ( )
19 5. Beispie mit konstantem Querschnitt c) e (κ) : e (I) e (I) ( ), e (II) ( ), e (II) ( ) e (I) 3, e (II) 3 e (I) e (I) 5 e (I) 6 e (I) 7 e (I) 8 e (I) 9 ( ), e (III) ( ), e (IV) ( ) ( ), e (III), e (IV) ( ), e (III) 3 ( ) ( ), e (II), e (III) ( ), e (II) 5 ( ), e (II) 6 ( ), e (II) 7 ( ), e (II) 8 ( ), e (II) 9 ( ), e (III) 5 ( ), e (III) 6 ( ), e (III) 7 ( ), e (III) 8 ( ), e (III) 9 ( ), e (IV) 3 ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), e (IV), ( ), e (IV) 5 ( ), ( ) ( ), e (IV) 6, ( ), e (IV) 7 ( ), ( ) (, e (IV) 8 ( ), e (IV) 9 ( ) ),
20 8 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk d) c q e q e (κ) : c c c c 3 c c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 c c c c 3 c c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 c 3 c 3 c 3 c 33 c 3 c 35 c 36 c 37 c 38 c 39 c c 5 c c c 3 c c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 c 5 c 5 c 53 c 5 c 55 c 56 c 57 c 58 c 59 c 6 c 6 c 6 c 63 c 6 c 65 c 66 c 67 c 68 c 69 c 7 c 7 c 7 c 73 c 7 c 75 c 76 c 77 c 78 c 79 c 8 c 8 c 8 c 83 c 8 c 85 c 86 c 87 c 88 c 89
21 5. Beispie mit konstantem Querschnitt c c c c 3 c c 5 c 6 c 7 c 8 c 9, c c c c 3 c c 5 c 6 c 7 c 8 c 9, c 3 c 3 c 3 c 33 c 3 c 35 c 36 c 37 c 38 c 39, c c c c 3 c c 5 c 6 c 7 c 8 c 9, c 5 c 5 c 5 c 53 c 5 c 55 c 56 c 57 c 58 c 59, c 6 c 6 c 6 c 63 c 6 c 65 c 66 c 67 c 68 c 69, c 7 c 7 c 7 c 73 c 7 c 75 c 76 c 77 c 78 c 79, c 8 c 8 c 8 c 83 c 8 c 85 c 86 c 87 c 88 c 89
22 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk e) a pq c c p c q (komponenten-, zeienweise mutipizieren): a c c c ( + ) a c c c a 3 c c c 3 a c c c
23 5. Beispie mit konstantem Querschnitt A a 5 c c c 5 a 6 c c c 6 a 7 c c c 7 a 8 c c c 8
24 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a c c c a c c c ( + ) a 3 c c c 3 a c c c
25 5. Beispie mit konstantem Querschnitt a 5 c c c 5 a 6 c c c 6 a 7 c c c 7 a 8 c c c 8
26 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 3 c c 3 c a 3 c c 3 c a 33 c c 3 c 3 ( + ) a 3 c c 3 c
27 5. Beispie mit konstantem Querschnitt a 35 c c 3 c 5 a 36 c c 3 c 6 a 37 c c 3 c 7 a 38 c c 3 c 8
28 6 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a c c c a c c c a 3 c c c 3 a c c c ( + )
29 5. Beispie mit konstantem Querschnitt a 5 c c c 5 a 6 c c c 6 a 7 c c c 7 a 8 c c c 8
30 8 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 5 c c 5 c a 5 c c 5 c a 53 c c 5 c 3 a 5 c c 5 c
31 5. Beispie mit konstantem Querschnitt a 55 c c 5 c 5 ( + ) a 56 c c 5 c 6 a 57 c c 5 c 7 a 58 c c 5 c 8
32 3 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 6 c c 6 c a 6 c c 6 c a 63 c c 6 c 3 a 6 c c 6 c
33 5. Beispie mit konstantem Querschnitt a 65 c c 6 c 5 a 66 c c 6 c 6 ( + ) a 67 c c 6 c 7 a 68 c c 6 c 8
34 3 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 7 c c 7 c a 7 c c 7 c a 73 c c 7 c 3 a 7 c c 7 c
35 5. Beispie mit konstantem Querschnitt 3 a 75 c c 7 c 5 a 76 c c 7 c 6 a 77 c c 7 c 7 ( + ) a 78 c c 7 c 8
36 3 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 8 c c 8 c a 8 c c 8 c a 83 c c 8 c 3 a 8 c c 8 c
37 5. Beispie mit konstantem Querschnitt 5 a 85 c c 8 c 5 a 86 c c 8 c 6 a 87 c c 8 c 7 a 88 c c 8 c 8 ( + )
38 36 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 3 a 3 a 33 a 3 a 35 a 36 a 37 a 38 a pq a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 5 a 5 a 53 a 5 a 55 a 56 a 57 a 58 a 6 a 6 a 63 a 6 a 65 a 66 a 67 a 68 a 7 a 7 a 73 a 7 a 75 a 76 a 77 a 78 a 8 a 8 a 83 a 8 a 85 a 86 a 87 a F q, keine thermischen Effekte 3. Zur Aufösung der Geichungen a pq V p F q Fq p F q F q a pq V p F q p nach den Verschiebungen V p dient das Eiminationsverfahren. a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 V F a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 V F a 3 a 3 a 33 a 3 a 35 a 36 a 37 a 38 V 3 F 3 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 V a 5 a 5 a 53 a 5 a 55 a 56 a 57 a 58 V 5 F F 5 a 6 a 6 a 63 a 6 a 65 a 66 a 67 a 68 V 6 F 6 a 7 a 7 a 73 a 7 a 75 a 76 a 77 a 78 V 7 F 7 a 8 a 8 a 83 a 8 a 85 a 86 a 87 a 88 V 8 F 8
39 + 5. Beispie mit konstantem Querschnitt F + F F F + F + + F F F + F + + F F + + F F + F F + F + F F + + F F + V V V 3 V V 5 V 6 V 7 V 8 F F,.Zeie+.Zeie,.Zeie+5.Zeie,.Zeie+6.Zeie,.Zeie+7.Zeie, 6.Zeie+.Zeie, 6.Zeie+5.Zeie
40 38 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk F F + F F F F + F + F F + F F F F + F + F F + F F F F F F + F F + (+ )F F F F F F F + F F + (+ )F F (F F )+F F F F F +, 6.Zeie+7.Zeie,.Zeie+3.Zeie, 8.Zeie+7.Zeie, 8.Zeie+.Zeie, 5.Zeie+3.Zeie, ( ).Zeie+7.Zeie, ( ) 3.Zeie+5.Zeie, (, ( ) 7.Zeie+.Zeie ) 3.Zeie+.Zeie
41 5. Beispie mit konstantem Querschnitt F 3F (+ )F F F +(+ )F F F F F F 3F + (+ )F F F +(+ )F F (+ )F F F F + F 3F + (+ )F F F +(+ )F F (+ )F F F F + F F F 3F + F +(+ 3 )F F F +(+ )F F (+ )F F F F + F F F 3F + F +(3+ 3 )F F F +(+ )F F (+ )F F F F + F F, 7.Zeie+.Zeie, ( ).Zeie, 5.Zeie+6.Zeie,.Zeie+5.Zeie, 5.Zeie ( +,.Zeie ( +, 8.Zeie ( ).Zeie+8.Zeie ) 5.Zeie+.Zeie ) 6.Zeie+.Zeie
42 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk F F ( )F + 3 F F F +(+ )F F (+ )F F F F + F F ( 9 )F 5 F ( )F + 3 F F F +(+ )F ( 5 )F ( 5+ )F F F F + F F ( 9 )F 5 F ( )F + 3 F F F +(+ )F ( 5 )F +( 5+ )F ( )F + F F F + F F ( 9 )F 5 F ( )F + 3 F F F +(+ )F ( 5 )F +( 5+ )F ( )F + F F F ( 6 )F ( + 8 )F ( 9 )F 5 F ( )F + 3 F F F +(+ )F ( 5 )F +( 5+ )F ( )F + F F F ( )F +( +6 )F, ( + ).Zeie, 6.Zeie+.Zeie,.Zeie+.Zeie,.Zeie+5.Zeie,.Zeie+6.Zeie, () 5.Zeie, ( +, ( ) 8.Zeie ).Zeie+8.Zeie
43 5. Beispie mit konstantem Querschnitt A ( 9 )F 5 F ( )F + 3 F F F + ( + )F ( 5 )F + ( 5+ )F ( 5 F + (6 + 3, 8.Zeie+6.Zeie )F F F ( )F + ( +6 )F ( 9 )F 5 F 5 F + (6 + 3 )F ( )F + 3 F ( )F + ( +6 )F, Zeientauschen F ( 5 )F + ( 5+ )F F F F + ( + )F V V V V 3 V V 5 V 6 V 7 V 8 ( 9 )F 5 F 5 F + (6 + 3 )F ( )F + 3 F )F + ( +6 ( ( 5 F )F )F + ( 5+ F F F + ( + )F )F. Die gesamte Stabverängerung ist geich der negativen Summe aer Knotenveschiebungen in p-richtung V p entang des Richtungskosinus c p. V p c p p
44 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk V p c p (V c + V c + V 3 c 3 + V c + V 5 c 5 + V 6 c 6 + V 7 c 7 + V 8 c 8 ) p ( V + V 7 ) ( ( 5 ) )F F V p c p (V c + V c + V 3 c 3 + V c + V 5 c 5 + V 6 c 6 + V 7 c 7 + V 8 c 8 ) p ( V V + V 5 + V 6 ) ( ) ( )F + F 3 V p c p3 (V c 3 + V c 3 + V 3 c 33 + V c 3 + V 5 c 53 + V 6 c 63 + V 7 c 73 + V 8 c 83 ) p ( V + V ) ( ( ) )F + F V p c p (V c + V c + V 3 c 3 + V c + V 5 c 5 + V 6 c 6 + V 7 c 7 + V 8 c 8 ) p ( V 3 + V + V 7 V 8 ) ( ) ( )F F 5 V p c p5 (V c 5 + V c 5 + V 3 c 35 + V c 5 + V 5 c 55 + V 6 c 65 + V 7 c 75 + V 8 c 85 ) p ( V 3 + V 5 ) ( ( ) )F + F 6 V p c p6 (V c 6 + V c 6 + V 3 c 36 + V c 6 + V 5 c 56 + V 6 c 66 + V 7 c 76 + V 8 c 86 ) p (V 6 V 8 ) ( ( ) )F F 7 V p c p7 (V c 7 + V c 7 + V 3 c 37 + V c 7 + V 5 c 57 + V 6 c 67 + V 7 c 77 + V 8 c 87 ) p ( V 5 )) F
45 5. Beispie mit konstantem Querschnitt 8 V p c p8 (V c 8 + V c 8 + V 3 c 38 + V c 8 + V 5 c 58 + V 6 c 68 + V 7 c 78 + V 8 c 88 ) p ( V 7 V 8 ) F 9 V p c p9 (V c 9 + V c 9 + V 3 c 39 + V c 9 + V 5 c 59 + V 6 c 69 + V 7 c 79 + V 8 c 89 ) p ( V 7 ) (F F ) ( 5 )F F ( )F + F ( )F + F ( )F F ( )F + F ( )F F F F F F 5. Stabkräfte werden durch die Geichung S c berechnet. S c ( ( )F + ( ( 5 )F F ( 5 )F F ( S c ) ( )F + F F S 3 c 3 3 ( )F + F ( )F + F ) )
46 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk ( S c ( ( )F F S 5 c 5 5 S 6 c 6 6 ( )F F ) ( )F + F ( )F + F ( ( )F F ( )F F S 7 c 7 7 F F S 8 c 8 8 F F S 9 c 9 9 (F F ) F F ) ) S S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F
47 5. Beispie mit konstantem Querschnitt 6. Kontromögichkeiten, beim etzten Rechenschritt müssen sich an den von außen beasteten Knoten wieder die Knotenasten ergeben. F F F 3 S c F q S c q S c S c 3 ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F F F
48 6 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk F F 5 F 6 F 7 S c S c 5 S c 6 S c 7 ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F
49 5. Berechnung der Aufagerkräfte 7 F 8 S c 8 ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F F F F F 3 F F 5 F 6 F 7 F 8 F F 5. Berechnung der Aufagerkräfte ) durch die Geichgewichtsbedingung Knoten V: : F 9 + S 7 + S 8 cos 5 F 9 S 7 S 8 cos 5 F 9 F : F + S 8 sin 5 F S 8 sin 5 F F
50 8 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk Knoten VI: : F + S 9 F S 9 F F F : F ) durch den direkten Weg Knoten V: F 9 F 9 S c 9 mit c 9 e 9 e (V) ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F F
51 5. Berechnung der Aufagerkräfte 9 F S c mit c e e (V) F ( 5 )F F ( )F + F ( )F + F ( )F F ( )F + F ( )F F F F F F F Knoten VI: F S c mit c e e (VI) F ( 5 )F F ( )F + F ( )F + F ( )F F ( )F + F ( )F F F F F F F F
52 5 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk F F S c mit c e e (VI) ( 5 )F F )F + ( F ( )F + F )F ( F ( )F + F ( )F F F F F F F ist die Begründung für die Vereinfachung unter 5.. Ae äußeren Kräfte werden aso über die Lagerkräfte abgeführt: ( ) ( ) ( ) F F9 F + F F F ( ) F + F F F + ( ) F F Das Kräftegeichgewicht (Newton) ( F F ) ( ) F9 + + F ( F F ) ist aso erfüt.
53 5.3 Zahenbeispie und Grafikdarsteung Zahenbeispie und Grafikdarsteung Für F F : V V V V 3 V V 5 V 6 V 7 V , 636 7, 76, 396 7, 36, 3 3, 88 S S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S , 396, 8536, 396, 567, 396, 636,
54 5 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk Für F, F : V S Für F, F : V V V 3 V V 5 V 6 V 7 V 8 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S , 896, 5, 36, 396, 896, 896, 6, 36, 6, 36, 36 V S V V V 3 V V 5 V 6 V 7 V 8 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S , 5, 77, 5, 77, 5, 5,, 5, 6, 5 9, 76 5, 38, 88
55 5.3 Zahenbeispie und Grafikdarsteung 53 Für F, F : V S V V V 3 V V 5 V 6 V 7 V 8 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S , 99, 99,, 99, 77,, 99 5, 6, 99, 997 3, 5355, 88 Für F, F : V S V V V 3 V V 5 V 6 V 7 V 8 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S , 36 7, , , 888 9, , , 36 +, 567, 896, 677 +, 896, 36, 88 3
56 5 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i Im Vergeich zu dem vorherigen Beispie für einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk mit konstantem Querschnitt A, wird in diesem Abschnitt das geiche Beispie aber mit variaben Querschnitten betrachtet. Um nicht in Faunterscheidungen zu ersticken, werden geeignete Querschnitte in jedem Rechenschritt vorausgesetzt.
57 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 55 Kinematisches Verfahren. Die Steifigkeitszahen mit variaben Querschnitten biden die erste symmetrische Quadratmatrix aus der Geichung a pq c c p c q. a) c : c c c c 3 c c 5 c 6 c 7 c 8 c E A A A A 8 b) a pq c c p c q : a a c c c E c c c E A A A A 8 A A A A 8 (A + A E A ) E
58 56 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 3 c c c 3 E A A A A 8 a c c c E A A A A 8 a 5 c c c 5 E A A A A 8 A E a 6 c c c 6 E A A A A 8 A E
59 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 57 a 7 c c c 7 E A A A A 8 A E a 8 c c c 8 E A A A A 8 a c c c E A A A A 8 A E a c c c E A A A A 8 ( A + ) E
60 58 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 3 c c c 3 E A A A A 8 a c c c E A A A A 8 E a 5 c c c 5 E A A A A 8 A E a 6 c c c 6 E A A A A 8 A E
61 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 59 a 7 c c c 7 E A A A A 8 a 8 c c c 8 E A A A A 8 a 3 c c 3 c E A A A A 8 a 3 c c 3 c E A A A A 8
62 6 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 33 c c 3 c 3 E A A A A 8 ( A + ) E a 3 c c 3 c E A A A A 8 A E a 35 c c 3 c 5 E A A A A 8 E a 36 c c 3 c 6 E A A A A 8
63 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 6 a 37 c c 3 c 7 E A A A A 8 A E a 38 c c 3 c 8 E A A A A 8 A E a c c c E A A A A 8 a c c c E A A A A 8 E
64 6 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 3 c c c 3 E A A A A 8 A E a c c 3 c E A A A A 8 ( + A ) E a 5 c c c 5 E A A A A 8 a 6 c c c 6 E A A A A 8
65 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 63 a 7 c c c 7 E A A A A 8 A E a 8 c c c 8 E A A A A 8 A E a 5 c c 5 c E A A A A 8 A E a 5 c c 5 c E A A A A 8 A E
66 6 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 53 c c 5 c 3 E A A A A 8 E a 5 c c 5 c E A A A A 8 a 55 c c 5 c 5 E A A A A 8 ( A + + ) E a 56 c c 5 c 6 E A A A A 8 A E
67 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 65 a 57 c c 5 c 7 E A A A A 8 a 58 c c 5 c 8 E A A A A 8 a 6 c c 6 c E A A A A 8 A E a 6 c c 6 c E A A A A 8 A E
68 66 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 63 c c 6 c 3 E A A A A 8 a 6 c c 6 c E A A A A 8 a 65 c c 6 c 5 E A A A A 8 A E a 66 c c 6 c 6 E A A A A 8 ( A + ) E
69 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 67 a 67 c c 6 c 7 E A A A A 8 a 68 c c 6 c 8 E A A A A 8 E a 7 c c 7 c E A A A A 8 A E a 7 c c 7 c E A A A A 8
70 68 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 73 c c 7 c 3 E A A A A 8 A E a 7 c c 7 c E A A A A 8 A E a 75 c c 7 c 5 E A A A A 8 a 76 c c 7 c 6 E A A A A 8
71 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 69 a 77 c c 7 c 7 E A A A A 8 (A + (A + A 8 ) + ) E a 78 c c 7 c 8 E A A A A 8 a 8 c c 8 c E A A A A 8 a 8 c c 8 c E A A A A 8
72 7 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk a 83 c c 8 c 3 E A A A A 8 A E a 8 c c 8 c E A A A A 8 A E a 85 c c 8 c 5 E A A A A 8 a 86 c c 8 c 6 E A A A A 8 E
73 a 87 a Beispie mit variaben Querschnitten A i 7 c c 8 c 7 E c c 8 c 8 E A A A A 8 A A A A 8 ( A + + A 8) E a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 3 a 3 a 33 a 3 a 35 a 36 a 37 a 38 a pq a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 5 a 5 a 53 a 5 a 55 a 56 a 57 a 58 a 6 a 6 a 63 a 6 a 65 a 66 a 67 a 68 a 7 a 7 a 73 a 7 a 75 a 76 a 77 a 78 a 8 a 8 a 83 a 8 a 85 a 86 a 87 a 88 A + A A A A A A A + A A A + A A A A + A A A A A A + +A 7 A A A A A + A A A A + (A +A 8 )+ A A (A +A 8 )+ E
74 7 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk. F q, keine thermischen Effekte 3. Zur Aufösung der Geichungen a pq V p F q Fq p F q F q a pq V p F q p nach den Verschiebungen V p dient das Eiminationsverfahren. a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 V F a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 V F a 3 a 3 a 33 a 3 a 35 a 36 a 37 a 38 V 3 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 V a 5 a 5 a 53 a 5 a 55 a 56 a 57 a 58 V 5 a 6 a 6 a 63 a 6 a 65 a 66 a 67 a 68 V 6 a 7 a 7 a 73 a 7 a 75 a 76 a 77 a 78 V 7 a 8 a 8 a 83 a 8 a 85 a 86 a 87 a 88 V 8 A + A A A A A A A + A A A + A A A A + A A A A A A + +A 7 A A A A A A A A + (A +A 8 )+ A A F F A + (A +A 8 )+ A A A A + A A A + A A A A + A A + A F F F F F A A A A A + A (A +A 8 )+,.Zeie+.Zeie,.Zeie+5.Zeie,.Zeie+6.Zeie (A +A 8 )+
75 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 73 A A A A + A A A + A A A A A A F F F A F + F A + A A A (A +A 8 )+ F F (A +A 8 )+,.Zeie+7.Zeie, 6.Zeie+.Zeie, 6.Zeie+5.Zeie A A A A + A A F F F F A A A 6 A A F + F A A A A 6 A (A +A 8 )+ F (A +A 8 )+, 6.Zeie+7.Zeie,.Zeie+3.Zeie A A A A + A A A A 8 F F F F F + F A A (A +A 8 )+A 9 (A +A 8 ) F (A +A 8 )+, 8.Zeie+7.Zeie, 8.Zeie+.Zeie, 5.Zeie+3.Zeie
76 7 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk A A A A A F F A F A A 8 F F F A A A 8+ A F F (A +A 8 )+,.Zeie+7.Zeie, 3.Zeie+5.Zeie, 6.Zeie+.Zeie A A A A A F F A F A A 8 F F A 8+ A A + A (A +A 8 ) F F F, 5.Zeie+6.Zeie, 5.Zeie+8.Zeie A A F F A A A A F A 7 A A 8 F F A 3 A 8+ A F F A + A A +A 8 F, 3.Zeie, ( ).Zeie, ( ) 8.Zeie V 5 F
77 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 75 A A F F A A A A V 5 V 5 A A 8 F V 5 F V 5 A 8+ A F F A + A A +A 8 (A5 V 5 +F ), 3.Zeie+5.Zeie, 3.Zeie+6.Zeie, A 3.Zeie+.Zeie, 3.Zeie+8.Zeie A A F F V 5 A A A A V 5 V 5 A A 8 A F 8 V 5 F A 3 V 5 A 8 + A (F F ) A + A A +A 8 (A5 V 5 +F ), 6.Zeie+.Zeie, ( A 8 ).Zeie, ( ) 7.Zeie A A A A A A A 8 V 5 F V 5 A 8 + A A 8 F F V 5 ( +)A5 V 5 +F V 5 A F 8 F (+ A A 8 ) F A + A A +A 8 ( V 5 +F ), A.Zeie+7.Zeie, ( ) 5.Zeie+.Zeie
78 76 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk A F F V 5 A ( +) V 5 +F V 5 A F 8 A A A A A 8 V 5 F V 5 ( ) ( A 8 A 8 +A 8 A F A + A A +A 8 ( V 5 +F ) A 8, A Zeie, A 8 A V 7 ( A 8 A 8 + A 8 A A.Zeie ) A F ( ) A +A 8 A 8 +A 8 A F A + A 8 A 8 + A 8 A F F V 5 A +V 7 ( +)A5 V 5 +F V 5 A F A 8 A V 8 7 A A A V 5 F V 5 V 7 A + A A +A 8 ( V 5 +F ) ) F, ( A A 8 ) 7.Zeie+.Zeie, 7.Zeie+.Zeie V 8 A 8 F A A 8 V 7 A F F V 5 A +V 7 A A A ( +) V 5 +F V 5 V 8 V 5 F V 8 V 5 V 7 A + A (A5 V 5 +F ) (A +A 8 )V 8
79 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 77, ( ).Zeie+5.Zeie, (A + A 8 ).Zeie+8.Zeie A F F V 5 A +V 7 F (A +A ) A A A + + A F +( +) A V 5 V 7 V 5 V 8 V 5 F V 8 V 5 V 7 A A +,.Zeie+ A.Zeie, A A + ( ( V 5 +F ) (A +A 8 )V 8 ) A + 8.Zeie F F V 5 A +V 7 (A +A ) A A F A + + A F +( +) A V 5 V 7 A A + A + ( (A V 5 +F ) (A +A 8 )V 8 ) 5 V 5 V 5 V 5 F V 8 V 7 V 8, 3.,., 5., 6., 8.Zeientauschen Sei x (A +A ) A A, x F A + + A F + ( + ) A V 5 V 7 A F F V 5 A +V 7 x x A A + A + ( (A V 5 +F ) (A +A 8 )V 8 ) 5 x x V 5 V 5 V 5 F V 8 V 7 V 8,.Zeie+.Zeie
80 78 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk Sei x 3 A A +, x A 5 A + ( (A V F ) (A + A 8 )V 8 ) A F F V 5 A +V 7 x x x 3 x ( x + )x 3 (A3 x + )x x V 5 V 5 x 3 V 5 F V 8 +x V 7 V 8 Sei x 5, ( x + ) 3.Zeie+.Zeie, 3.Zeie+6.Zeie A F F V 5 A +V 7 x x x 3 x A 3 {(A ( x + )x 3 ( x + )x 3 x + )x x V 3 5 } V 5 x 3 x3 (x V 5 V 8 A F 5 A ) 5 V 7 V 8, ( x + )x 3.Zeie, x 3 6.Zeie ( x + )x 3, x 6 ( x + )x 3 {( x + )x x V 5 } A F F V 5 A +V 7 x x x 3 x x 5 x 6 V 5 x x 5 3 x3 (x V 5 V 8 A F 5 A ) x 6 5 V 7 V 8,.Zeie+6.Zeie
81 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 79 A F F V 5 A +V 7 x x x 3 x x 5 x 6 V 5 V 7 V 8 + x 3 x 5 ( V 5 +V 8 +F x )+ x 3 x 6 + x 3 x 5 x 3, 6.Zeie + x 3 x 5 V 6 + x 3 x 5 ( V 5 + V 8 + F x ) + x 3 x 6 + x 3 x 5 A F F V 5 A +V 7 x x +V 6 x 3 x x 6 x 5 V 6 V 5 V 6 V 7 V 8 A F F V 5 A +V 7 x x +V 6 x3 (x 5 V 6 x 6)+x x 6 x 5 V 6 V 5 V 6 V 7 V 8, x 5 6.Zeie+.Zeie, 6.Zeie+.Zeie, x 3.Zeie+3.Zeie
82 8 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk A F F V 5 A +V 7 x x 3 (x 6 x 5 V 6 ) x x +x +V 6 x 3 (x 5 V 6 x 6)+x x 6 x 5 V 6 V 5 V 6 V 7 V 8 A (x 3 (x 5 V 6 x 6)+x V 5 )+ F A F A +V 7 x x 3 (x 6 x 5 V 6 ) x x +x +V 6 x 3 (x 5 V 6 x 6)+x x 6 x 5 V 6 V 5 V 6 V 7 V 8, x 3.Zeie+.Zeie, A 3.Zeie+.Zeie A V 5 A V (x 3 (x 5 V 6 x 6) + x V 5 ) + F A F A + V 7 x V 3 x 3 (x 6 x 5 V 6 ) x x + x + V 6 x V V V 5 3 (x 5 V 6 x 6) + x E x 6 x 5 V 6 V V 6 5 V 7 V 6 V 7 V 8 V 8. Die gesamte Stabverängerung ist geich die negative Summe aer Knotenveschiebungen in p-richtung V p auf der Richtungskosinus c p. V p c p p
83 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 8 V p c p (V c + V c + V 3 c 3 + V c + V 5 c 5 + V 6 c 6 + V 7 c 7 + V 8 c 8 ) p ( V + V 7 ) ( A5 (x 3 (x 5 V 6 x 6 ) + x V A 5) + F F A A V p c p (V c + V c + V 3 c 3 + V c + V 5 c 5 + V 6 c 6 + V 7 c 7 + V 8 c 8 ) p ( V V + V 5 + V 6 ) ) E ( A5 A (x 3 (x 5 V 6 x 6 ) + x V 5) + F A F A + x x 3 (x 6 x 5 V 6) x x + x 3 V p c p3 (V c 3 + V c 3 + V 3 c 33 + V c 3 + V 5 c 53 + V 6 c 63 + V 7 c 73 + V 8 c 83 ) p ( V + V ) ( (x x 3 )(x 6 x 5 V 6) x x + x + V 6 ) E V p c p (V c + V c + V 3 c 3 + V c + V 5 c 5 + V 6 c 6 + V 7 c 7 + V 8 c 8 ) p ( V 3 + V + V 7 V 8 ) ( (x 3 + )(x 5 V 6 x 6 ) + x V 7 + V 8 ) E 5 V p c p5 (V c 5 + V c 5 + V 3 c 35 + V c 5 + V 5 c 55 + V 6 c 65 + V 7 c 75 + V 8 c 85 ) p ( V 3 + V 5 ) ( x 3 (x 5 V 6 x 6 ) + x V 5 ) E 6 V p c p6 (V c 6 + V c 6 + V 3 c 36 + V c 6 + V 5 c 56 + V 6 c 66 + V 7 c 76 + V 8 c 86 ) p (V 6 V 8 ) ( V 8 V 6 ) E 7 V p c p7 (V c 7 + V c 7 + V 3 c 37 + V c 7 + V 5 c 57 + V 6 c 67 + V 7 c 77 + V 8 c 87 ) p ( V 5 )) V 5 E ) E
84 8 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk 8 V p c p8 (V c 8 + V c 8 + V 3 c 38 + V c 8 + V 5 c 58 + V 6 c 68 + V 7 c 78 + V 8 c 88 ) p ( V 7 V 8 ) (V 7 + V 8) E 9 V p c p9 (V c 9 + V c 9 + V 3 c 39 + V c 9 + V 5 c 59 + V 6 c 69 + V 7 c 79 + V 8 c 89 ) p ( V 7 ) V 7 E Rücksubstitution: V 5 F V 7 ( A (x 3 (x 5 V 6 x 6)+x V 5 )+ F A F A ( ) A5 A (x 3 (x 5 V 6 x 6)+x V 5 )+ F A F A +x x 3 (x 6 x 5 V 6 ) x x +x A 8 A 8 + A 8 A V 8 A 8 F A A 8 V 7 (x x 3 )(x 6 x 5 V 6 ) x x +x +V 6 ((x 3 +)(x 5 V 6 x 6)+x V 7 +V 8 ) x 3 (x 5 V 6 x 6)+x V 5 V 8 V 6 V 5 (V 7 +V 8 ) ) F V 7 ( A + A 8 A 8 + A 8 A x (A + A ) A A x F + + F + ( + ) V 5 V 7 A A A A x 3 A + x A + ( ( V 5 + F ) (A + A 8 )V 8) x 5 ( x + )x 3 x 6 {( x ( x + )x 3 + )x x V A 5} 3 V 6 ( V 5 + V 8 + F x + ) + x 3 x 6 x 3 x 5 + x 3 x 5 ) E F
85 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 83 (A A +A A +A A + A + A )F (A A +A A + A )F A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A F E ( A F +(A A +A A + A )F ) A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A E ( A F +(A A +A + A )F )A A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A E ( A F +(A A +A + A )F ) A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A E ( A F +(A A +A + A )F ) A A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A E ( A F +(A A +A A + A )F )A A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A E 8 ((A A 8 )F F ) A A 8 A 8 9 (A 8 F (A +A 8 )F ) A A 8 A 8 E E E 5. Stabkräfte werden durch die Geichung S c berechnet. S c (A A +A A +A A + A + A )A F (A A +A A + A )A F A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A S c (A3 A F +(A A +A A + A )F )A A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A S 3 c ( A F +(A A +A + A )F ) A A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A S c
86 8 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk ( A F +(A A +A + A )F ) A A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A S 5 c ( A F +(A A +A + A )F ) A A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A S 6 c ( A F +(A A +A A + A )F )A A A A +A A A +A A A +A A + A A + A A S 7 c F S 8 c ((A A 8 )F F )A 8 A A 8 A 8 S 9 c (A 8 F (A +A 8 )F ) A A 8 A 8 6. Kontromögichkeiten, beim etzten Rechenschritt müssen sich an den von außen beasteten Knoten wieder die Knotenasten ergeben. F q S c q
87 5. Beispie mit variaben Querschnitten A i 85 F S c S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 F F S c S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 F F 3 S c 3 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 F S c S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9
88 86 5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk F 5 S c 5 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 F 6 S c 6 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 F 7 S c 7 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 ( A F + (A + + A 8 )F )(A A 8 ) A A 8 A 8 F 8 S c 8 S S S 3 S S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 (A 8F (A + A 8 )F )(A A 8 ) A A 8 A 8
89 Literaturverzeichnis [] Hibbeer, C. Russe: Technische Mechanik Statik;., überarbeitete Aufage: Pearson Studium, 5 [] Neuber, Heinz: Technische Mechanik Erster Tei Statik; Berin Heideberg New York: Springer, 97 [3] Neuber, Heinz: Technische Mechanik Zweiter Tei Eastostatik und Festigkeitsehre; Berin Heideberg New York: Springer, 97 87
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