Lösungen zum Crashkurs: Statik Teil 1 Thema: Gleichgewichtsbedingungen, Schnittgrö ßen und Fla chenschwerpunkte

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1 1 Lösungen zum Crashkurs: Statik Tei 1 Thema: Geichgewichtsbedingungen, Schnittgrö ßen und Fa chenschwerpunkte Aufgabe zum Fächenschwerpunkt y Gebe die Schwerpunktkoordinaten für das oben dargestete Profi bzg. des eingezeichneten Koordinatensystems an! In dieser Aufgabe zeige ich zwei Mögichkeiten zur Berechnung des Schwerpunktes auf. Einma verwende ich die baue Fäche, indem ich diese in Teifächen zeregen. Zum anderen betrachten wir ein gesamtes Quadrat der Länge 8*4 und ziehen die Aussparungen (ebenfas in Teifächen zeregt) von diesem Quadrat ab. Die zweite Berechnung so aufzeigen, wie mit Aussparungen gerechnet wird. Verwendete Formen: s = i A i A i y s = y i A i A i

2 2 Aufgabe zur Streckenast (Resutierende und Angriffspunkt) Bestimme fu r jeden beasteten Trager die Resutierende R der Streckenast sowie ihren Angriffspunkt R. Diese Aufgabe so euch aufzeigen, wie ihr mit Streckenasten umgehen müsst, wenn ihr z.b. Aufagerkräfte berechnen sot. In diesem Fa muss die Streckenast zu einer Resutierenden zusammengefasst werden, die dann in die Geichgewichtsbedingungen eingeht. Für die Momentengeichgewichtsbedingung muss zusätzich die Lage der Resutierenden bekannt sein, um den Hebearm bestimmen zu können. Ich zeige euch außerdem, wie ihr die Resutierende und die Lage der Resutierenden mittes Integration von q() ermittet. Hinweis: Parabefö rmige Streckenast in der Mitschrift - PDF

3 3 Aufgabe zur Kräftezeregung, Aufagerkräften und Schnittgrößen F A B 40 C 2a a a a Das skizzierte System ist durch eine konstante Streckenast q() und eine Einzekraft F beastet. Gegeben: a,, F = a a) Berechne die Aufagerkra fte! - Bide die Resutierende der Streckenast sowie den Angriffspunkt! - Fu hre die Kra ftezeregung durch! - Berechne die Aufagerkra fte aus den Geichgewichtsbedingungen! b) Bestimme die Schnittgrö ßenvera ufe fu r das gesamte System. Das System wird nun durch eine ineare Streckenast beastet. q() F A B 40 C a) Berechne die Aufagerkra fte! 2a a a a b) Bestimme die Schnittgrö ßenvera ufe fu r das gesamte System. Diese Aufgabe so euch zeigen, wie ihr die Streckenasten zur Berechnung von Aufagerkräften berücksichtigt, wie ihr Schnittgrößen mit und ohne Streckenasten berechnet sowie die Kräftezeregung durchführt.

4 4 Lösung Aufgabe 1) y In Teifa chen mit bekannter Schwerpunktage zeregen: y Wir haben das Dreieck in zwei rechtwinkige Dreiecke zeregt, fu r weche die Schwerpunktage bekannt ist. Vom rechten Winke ausgehend iegt der Schwerpunkt eines Dreiecks bei 1/3 der Lange und bei 1/3 der Hö he.

5 5 y /3 8/3 2 8 As nachstes kö nnen wir mit der Berechnung beginnen. Die Forme zur Berechnung eines Schwerpunktes fu r zusammengesetzte Fa che ist: Verwendete Formen: s = i A i A i y s = y i A i A i Wir beginnen mit dem Schwerpunkt in -Richtung: Fäche 1: Rechtwinkiges Dreieck 1 = Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt der 1. Fache in -Richtung 1 =2 2 3 = 4 3 A 1 = Facheninhat der 1. Facheninhat A 1 = =6 Fäche 2: Rechtwinkiges Dreieck 2 = Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt der 2. Fache in -Richtung 2 = =14 3

6 6 A 2 = Facheninhat der 2. Facheninhat A 2 = =24 Anwendung der Forme: s = i A i A i = 1 A A 2 A 1 +A 2 = = As nachsten betrachten wir den Abstand des Schwerpunktes der Gesamtfache vom Koordinatenursprung in y-richtung. y 1 = Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt der 1. Fache in y-richtung y 1 =2 y 2 = Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt der 2. Fache in y-richtung y 2 =2 Anwendung der Forme: y i A i y s = = y 1A 1 +y 2 A 2 = =2 A i A 1 +A

7 7 Aternative Berechnung über Aussparung: 2 2 Aussparung 1 8/3 Aussparung y 6 2/3 2 8 Berechnung der Gesamtfa che (Quadrat) und Subtraktion der Aussparungen. Fa che 1 Gesamtfäche Quadrat 1 = Abstand vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt der Gesamtfache in -Richtung Der Schwerpunkt eines Rechtecks iegt in der Mitte: 1 =5 A 1 =10 6=60 Fache 2 Dreieckige Fache 2 = Abstand vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt der 2.Fache in -Richtung 2 = 2 3 A 2 = =6 Fache 3 Dreieckige Fache

8 8 3 = Abstand vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt der 3.Fache in -Richtung 3 = =22 3 A 3 = =24 Anwenden der Forme: s = i A i A i = 1 A 1 2 A 2 3 A 3 A 1 A 2 A 3 = = Fu r die Schwerpunktage in y-richtung git: y 1 =3 y 2 =y 3 =4 y i A i y s = = y 1A 1 y 2 A 2 y 3 A 3 = =2 A i A 1 A 2 A

9 9 Lösung Aufgabe 2 Die Resutierende kann uber zwei Wege ermittet werden: Facheninhat der gegebenen Streckenast (sofern bekannt) oder Integration von q(). Der Angriffspunkt der Resutierenden der Streckenast iegt im Schwerpunkt der Fache. Der Schwerpunkt ist entweder bekannt oder kann u ber die Integration bestimmt werden.

10 10 Variante 1 - Fächeninhat und bekannter Schwerpunkt Fu r bekannte Fachen (rechteckige Streckenast, dreieckige Streckenast) kann die Resutierende einfach ermittet werden, indem der Fa cheninhat berechnet wird. Rechteckige Streckenast = rechteckige Fache Fäche Rechteck = Höhe ma Breite R= Fäche Dreieck = Höhe ma Breite durch zwei R= 2 Die Resutierende einer Streckenast greift immer im Schwerpunkt der Fache an. Fur Rechteck und Dreieck sote die Schwerpunktage bekannt sein. Schwerpunkt Rechteck = mittig R = ½

11 11 Schwerpunkt Dreieck = vom rechten Winke ausgehend bei 1/3 der Länge R = ½ 2/3 1/3 Variante 2 Resutierende und Schwerpunkt über Integration Diese Variante ist einma angewendet reativ einfach und unkompiziert und kann auch auch Streckenasten mit Fa chen angewendet werden, die nicht bekannt sind. Zunachst benö tigen wir hier die Funktion q(). Diese kö nnen wir erhaten, wenn wir ein Koordinatensystem hinzuziehen: q() q() Der Bakenanfang ist dabei der Koordinatenursprung: q() q()

12 12 As nächstes kann für ineare Funktionen die Geradengeichung herangezogen werden: q ()=m+b m = Steigung b = Beginn der Funktion auf der y-achse Fu r die inke Funktion git: b= m Und damit: q ()= Fu r die rechte Funktion git: b m= -Schritte in -Richtung (Nenner), -Schritte in y-richtung (Zaher). Beide positiv, wei Schritte in positive Achsenrichtungen. Und damit: q ()= Resutierende mittes Integration bestimmen Nachdem die Funktionen q() ermittet sind, kö nnen wir die Resutierende bestimmen, indem wir diese nach d integrieren: R= q()d Das Integra spieget nichts anderes as den Facheninhat wieder. Die Streckenast wirkt von = 0 bis =, dies sind auch die Grenzen: R= 0 q()d

13 13 Integration fu r die rechteckige Streckenast durchfu hren: R= 0 d=[ ] 0 = 0= Die rechteckige Streckenast mit konstantem hat aso eine Resutierende von: R= Integration fu r die dreieckige Streckenast durchfu hren: q R= 0 0 d= d= 0 [ = ]0 [ ]= 1 2 Der Schwerpunkt der Streckenasten ist der Angriffspunkt der Resutierenden und kann ebenfas mittes Integration bestimmt werden: q() d 0 R = q()d 0 Der Nenner ist hierbei die Resutierende, die wir bereits oben berechnet haben Wir berechnen aso noch den Za her: 0 1 q() d= 0 d=[ 2 2 = 1 ]0 2 2 Rechteckige Streckenast 0 q q() d= d= [ = 1 ]0 3 2 Dreieckige Streckenast Anwendung der Forme: R = = R = = q 3 0 Schwerpunkt der rechteckigen Streckenast Schwerpunkt der dreieckigen Streckenast

14 14 Lösung Aufgabe 3 Aufgabe zur Kräftezeregung, Aufagerkräften und Schnittgrößen F A B 40 C 2a a a a Das skizzierte System ist durch eine konstante Streckenast q() und eine Einzekraft F beastet. a) Berechne die Aufagerkra fte! - Bide die Resutierende der Streckenast sowie den Angriffspunkt! R=2a =2F Facheninhat rechteckige Fache R =a Schwerpunkt iegt in der Mitte, von -ausgehend bei =a R = 2a = 2F F A a B 40 C 2a a a a

15 15 - Fu hre die Kra ftezeregung durch! Die Kraft F iegt im 3. Quadranten. Damit zeigt die -Komponente in Richtung der negativen - Achse und die y-komponente in Richtung der negativen y-achse. y F 40 Kraftkomponente in -Richtung iegt am Winke, ist aso die Ankathete und damit wird der Kosinus verwendet: Fcos(40 ) Betrag der Kraftkomponente in -Richtung Kraftkomponente in y-richtung iegt nicht am Winke, ist aso die Gegenkathete und damit wird der Sinus verwendet: Fsin(40 ) Betrag der Kraftkomponente in y-richtung Zur Veranschauichung von Ankathete und Gegenkathete kann die grafische Vektoraddition der beiden Komponenten durchgefu hrt werden, die Resutierende ist dann die Kraft F: Ankathete Gegenkathete 40 Hypotenuse R = 2a = 2F F sin(40 ) A a B F cos(40 ) C 2a a a a

16 16 - Berechne die Aufagerkra fte aus den Geichgewichtsbedingungen! Zuna chst benö tigen wir den Freischnitt: R = 2a = 2F F sin(40 ) F cos(40 ) a A B v C 2a a a a As na chstes kö nnen wir die Aufagerkra fte aus den Geichgewichtsbedingungen berechnen: : Fcos(40 ) =F cos(40 ) :A v +B+C R F sin(40 ) Zu viee Unbekannte Auch bei de Momentengeichgewichtsbedingung werden mindestens zwei Unbekannte anfaen. Wir haben aso 4 Unbekannte und drei Geichgewichtsbedingungen fu r das Gesamtsystem gegeben. Da aber ein Geenk vorhanden ist, kö nnen wir das System in zwei Teisysteme zeregen und fu r jedes Teisystem die drei Geichgewichtsbedingungen anwenden. R = 2a F sin(40 ) G v G h G h F cos(40 ) a A G v B v C 2a a a a

17 17 Linkes Teisystem: Horizontae Geichgewichtsbedingung: : +G h G h = = F cos(40 ) Vertikae Geichgewichtsbedingung: :A v G v R Momentengeichgewichtsbedingung um A oder G (hier A): R a G v 2 a G v = R = F mit R = 2F 2 Anwendung der vertikaen Geichgewichtsbedingung fu hrt uns auf A v : A v =G v +R= F+2F=F Rechtes Teisystem: Vertikae Geichgewichtsbedingung: :G v +B+C F sin(40 ) Momentengeichgewichtsbedingung um B oder C (hier C): G v 3a B 2 a+fsin(40 ) a B2 a= G v 3 a+f sin(40 ) a nach B aufösen durch 2a teien B= 3 2 G v F sin(40 ) Einsetzen von G v = -F B= 3 2 F+ 1 2 F sin(40 )

18 18 B=F( sin(40 ))=1,82 F 2 Aus der vertikaen Geichgewichtsbedingung kö nnen wir C berechnen: C= G v B+Fsin(40 ) C=F 1,82 F+F sin(40 )=F(1 1,82+sin(40 ))= 0,18 F Es ergeben sich die fogenden Lagerkräfte: =F cos(40 ) A v =F B=1,82F C= 0,18F b) Schnittgrößen Danach kö nnen die Schnittgrö ßen berechnet werden. Hierzu betrachten wir zunachst das inke und rechte Schnittufer: Linkes (positives Schnittufer) Rechtes (negatives Schnittufer) M N Q y z Am inken (positiven) Schnittufer zeigen die Schnittgrö ßen in positive Achsenrichtung in Bezug auf das obige,y,z-koordinatensystem. Das Moment ist am inken Schnittufer ein inksdrehendes Moment, weches in der Physik as positives Moment definiert ist. Am rechten (negativen)

19 19 Schnittufer zeigen die Schnittgrö ßen in negative Achsenrichtung. Das Moment ist hierbei ein rechtsdrehendes Moment. Es werden Schnitte durchgefu hrt bei: Statische Unstetigkeiten Einzeasten, Knicke in Streckenasten. Geometrische Unstetigkeiten Knicke der Bakenachse, (z.b. Rahmen) Schnitte: F sin(40 ) F cos(40 ) a A B v C 2a a a a 1.Schnitt: M 1 N 1 A v Q 1

20 20 Anwendung der Geichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Schnittgrö ßen. Normakraft : +N 1 N 1 = = Fcos(40 ) Normakraftverauf fu r den 1. Bereich (0 <= <= 2a) Querkraft Mit Integra: Fu r die Querkraft wird das Integra q()d Richtung der Streckenast anzugeben. verwendet. Das Vorzeichen ist entsprechend der Für eine rechteckige Streckenast git q() =. :A v Q 1 0 q0 d Resutierende der Streckenast as Integra Q 1 0 q0 d Integra aufö sen Ohne Integra: Ohne Integra biden wir die Resutierende der Teistreckenast mit der Lange und der Hö he. Der Angriffspunkt ist im Schwerpunkt der Teistreckenast, bei der Ha fte der La nge (die La nge ist hier ). Der Angriffspunkt wird aber erst fu r die Momentengeichgewichtsbedingung reevant. R() = * M 1 :A v Q 1 R() N 1 Q 1 A v /2 /2 Q 1 Einsetzen von A v = F: Q 1 =F Querkraftverauf fu r den 1. Bereich (0 <= <= 2a)

21 21 Moment Mit Integra Fu r das Schnittmoment wird das Integra q() d d verwendet. Das Vorzeichen ist entsprechend der Drehrichtung der Streckenast auf den Schnitt zu wa hen. Für eine rechteckige Streckenast git q() =. : A v + 0 d d+m 1 Resutierende der Streckenast as Integra M 1 0 [ d ] d 0 [q0 ] d 1. Integra (inneres) aufö sen M 1 0 q0 d Integra aufö sen und Grenzen einsetzen Ohne Integra R() = * M 1 N 1 A v /2 /2 Q 1 Ohne Integra biden wir das Moment auf den Schnitt, indem wir die Teiresutierende R() mit ihrem Hebearm mutipizieren. Dieser betra gt /2: : A v +R () 2 +M 1 R() =

22 22 A v + 2 +M 1 M A v = F M 1 =F Momentenverauf fu r den 1. Bereich (0 <= <= 2a) Die Schnittgrö ßen fu r den 1. Schnitt sind bestimmt. Wir betrachten as nachstes den zweiten Schnitt (inkes Schnittufer). R = 2a = 2F M 2 A v a Q 2 N 2 2a Normakraft : +N 2 N 2 = = Fcos(40 ) Normakraftverauf fu r den 2. Bereich (2a <= <= 3a) Querkraft :A v R Q 2 Q 2 R=F 2 F= F Querkraftverauf fu r den 2. Bereich (2a <= <= 3a)

23 23 Moment A v +R ( a)+m 2 M 2 R ( a) M 2 =F 2F ( a) M 2 =F 2F +2 F a M 2 = F +2F a Momentenverauf fu r den 2. Bereich (2a <= <= 3a) As nachstes betrachten wir den 3. Schnitt und wahen das inke Schnittufer aus. R = 2F M 3 A v a B Q 3 N 3 2a a Normakraft : +N 3 N 3 = = Fcos(40 ) Normakraftverauf fu r den 3. Bereich (3a <= <= 4a) Querkraft :A v R+B Q 3 Q 3 R+B=F 2F+1,82 F,82F Querkraftverauf fu r den 3. Bereich (3a <= <= 4a)

24 24 Moment A v +R ( a) B ( 3 a)+m 3 M 3 R ( a)+b ( 3a) A v = F, R = 2F, B = 1,82 F M 3 =F 2F( a)+1,82 F ( 3a) M 3 =F 2F +2F a+1,82f 1,82F 3 a M 3,82 F 3,46 Fa Momentenverauf fu r den 3. Bereich (3a <= <= 4a) Wir betrachten as na chstes den 4. Schnitt und das rechte Schnittufer. M 4 Q 4 N 4 C 2a a a a Normakraft : N 4 N 4 Normakraftverauf fu r den 4. Bereich (4a <= <= 5a) Querkraft :C+Q 4 Q 4 = C,18 F Querkraftverauf fu r den 4. Bereich (4a <= <= 5a) Moment M 4 +C (5 a ) M 4 = 0,18F (5a )= 0,9F a+0,18f M 4,18F 0,9F a Momentenverauf fu r den 4. Bereich (4a <= <= 5a)

25 25 Lösung zur Aufgabe 3 Tei 2 2a a a a q() F A B 40 C Bide die Resutierende der Streckenast sowie den Angriffspunkt! R= a q =q a=f 0 0 Facheninhat dreieckige Fache R = a= 4 a Schwerpunkt Rechteck von Bakenanfang ausgehend (Beginn -Achse) 3 A 4/3 a R = ½ 2a = F B F sin(40 ) F cos(40 ) C 2a a a a - Berechne die Aufagerkra fte aus den Geichgewichtsbedingungen!

26 26 Zuna chst benö tigen wir den Freischnitt: R = ½ 2a = F F sin(40 ) F cos(40 ) 4/3 a A B v C 2a a a a As na chstes kö nnen wir die Aufagerkra fte aus den Geichgewichtsbedingungen berechnen: : Fcos(40 ) =F cos(40 ) :A v +B+C R F sin(40 ) Zu viee Unbekannte Betrachtung der Teisysteme: R = F F sin(40 ) G h G h G v F cos(40 ) 2/3 a A G v B v C 2a a a a

27 27 Linkes Teisystem: Horizontae Geichgewichtsbedingung: : +G h G h = = F cos(40 ) Vertikae Geichgewichtsbedingung: :A v G v R Momentengeichgewichtsbedingung um A oder G (hier A): R 4 3 a G v 2a G v = 2 3 F mit R = F Anwendung der vertikaen Geichgewichtsbedingung fu hrt uns auf A v : A v =G v +R= 2 3 F+F=1 3 F Rechtes Teisystem: Vertikae Geichgewichtsbedingung: :G v +B+C F sin(40 ) Momentengeichgewichtsbedingung um B oder C (hier C): G v 3a B 2 a+fsin(40 ) a B2 a= G v 3 a+f sin(40 ) a nach B aufösen durch 2a teien B= 3 2 G v F sin(40 ) Einsetzen von G v = -2/3 F

28 28 B= F+ 1 2 F sin(40 ) B=1,32F Aus der vertikaen Geichgewichtsbedingung kö nnen wir C berechnen: C= G v B+Fsin(40 ) C= 2 3 F 1,32F+F sin(40 )=F(2 3 1,32+sin(40 ))= 0,01 F Es ergeben sich die fogenden Lagerkräfte (auf 2 Nachkommasteen gerundet): =F cos(40 ) A v = 2 3 F B=1,32F C= 0,01F Schnittgrößen: Schnitte: F sin(40 ) F cos(40 ) A v B C 2a a a a

29 29 1.Schnitt: M 1 N 1 A v Q 1 Anwendung der Geichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Schnittgrö ßen. Normakraft : +N 1 N 1 = = Fcos(40 ) Normakraftverauf fu r den 1. Bereich (0 <= <= 2a) Querkraft Mit Integra: Fu r die Querkraft wird das Integra q()d Richtung der Streckenast anzugeben. verwendet. Das Vorzeichen ist entsprechend der Für eine rechteckige Streckenast git q() = /. Hier ist = 2a. :A v Q 1 q0 0 2 a d Q a d 4 a 2 Resutierende der Streckenast as Integra Integra aufö sen

30 30 Ohne Integra: Wir mu ssen in diesem Fa den Strahensatz anwenden, denn hier ist die Hö he des Kraftpfeis nicht bekannt. Strahensatz: Es verhaten sich die Abschnitte auf den Paraeen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheite S aus gemessenen Strecken auf jeweis derseben Geraden. A q C AB =q (gesucht) SB = Teistreckenast S B D CD = SD =2a Ausgangsstreckenast Strahensatz: AB SB = CD SD q = 2 a q = 2 a Wir haben mit q die Hö he der Teistreckenast bestimmt. Es kann dann der Facheninhat (=Resutierende) der dreieckigen Streckenast wie fogt berechnet werden (Hö he ma Lange durch 2). R= 1 2 q = 1 2 2a 2 R ( )= a 2 M 1 :A v Q 1 R() N 1 Q a 2 4a 2 A v 2/3 1/3 Q 1

31 31 Einsetzen von A v = 2/3 F: Q 1 = 2 3 F 4 a 2 Querkraftverauf fu r den 1. Bereich (0 <= <= 2a) Moment Mit Integra Fu r das Schnittmoment wird das Integra q() d d verwendet. Das Vorzeichen ist entsprechend der Drehrichtung der Streckenast auf den Schnitt zu wa hen. Für eine rechteckige Streckenast git q() = /. Hier ist = 2a. : A v a d d+m 1 Resutierende der Streckenast as Integra M 1 0 [ 2a d] d =A q v 0 [ 0 4 a 2 ] d 1. Integra (inneres) aufö sen M a 2 d = A v 12a 3 2. Integra aufö sen und Grenzen einsetzen Ohne Integra R ( )= a 2 M 1 N 1 A v 2/3 1/3 Q 1 Ohne Integra biden wir das Moment auf den Schnitt, indem wir die Teiresutierende R() mit ihrem Hebearm mutipizieren. Dieser betra gt 1/3 :

32 32 : A v +R () 3 +M 1 R ()= a 2 A v + 4 a M 1 M 1 12a 3 A v = 2/3 F M 1 = 2 3 F 12 a 3 Momentenverauf fu r den 1. Bereich (0 <= <= 2a) Die Schnittgrö ßen fu r den 1. Schnitt sind bestimmt. Wir betrachten as nachstes den zweiten Schnitt (inkes Schnittufer). R = ½ 2a = F M 2 N 2 A v 4/3 a 2/3 a Q 2 2a Normakraft : +N 2 N 2 = = Fcos(40 ) Normakraftverauf fu r den 2. Bereich (2a <= <= 3a) Querkraft :A v R Q 2 A v = 2/3 F, R = F

33 33 Q 2 R= 2 3 F F= 1 3 F Querkraftverauf fu r den 2. Bereich (2a <= <= 3a) Moment A v +R ( 4 3 a)+m 2 M 2 R ( 4 3 a) M 2 = 2 3 F F ( 4 3 a) M 2 = 2 3 F F +F 4 3 a M 2 = 1 3 F F a Momentenverauf fu r den 2. Bereich (2a <= <= 3a) As nachstes betrachten wir den 3. Schnitt und wahen das inke Schnittufer aus. R = F M 3 A v 4/3 a 2/3 a B Q 3 N 3 2a a Normakraft : +N 3 N 3 = = Fcos(40 ) Normakraftverauf fu r den 3. Bereich (3a <= <= 4a)

34 34 Querkraft :A v R+B Q 3 Q 3 R+B = 2 3 F F+1,32F,99 F mit A v = 2/3 F, R = F, B = 1,32 F Querkraftverauf fu r den 3. Bereich (3a <= <= 4a) Moment A v +R ( 4 3 a) B ( 3 a)+m 3 M 3 R ( 4 3 a)+b ( 3a) A v = 2/3 F, R = F, B = 1,32 F M 3 = 2 3 F F( 4 a)+1,32f ( 3 a) 3 M 3 = 2 3 F F + 4 F a + 1,32F 3,96F a 3 M 3 = 0,99F 2,63Fa Momentenverauf fu r den 3. Bereich (3a <= <= 4a) Wir betrachten as na chstes den 4. Schnitt und das rechte Schnittufer. M 4 Q 4 N 4 C 2a a a a

35 35 Normakraft : N 4 N 4 Normakraftverauf fu r den 4. Bereich (4a <= <= 5a) Querkraft :C+Q 4 Q 4 = C,01 F Querkraftverauf fu r den 4. Bereich (4a <= <= 5a) Moment M 4 +C (5 a ) M 4 = 0,01F (5a )= 0,05F a+0,01f M 4 = 0,01F 0,05 Fa Momentenverauf fu r den 4. Bereich (4a <= <= 5a)