C Mathematische Grundlagen

Transkript

1 C Mathematische Grundagen C.1 Summen Mit dem Summenzeichen werden Rechenanweisungen zum Addieren kompakt geschrieben. Sie assen sich oft mit Hife der Summenregen vereinfachen. C.1 Gibt es insgesamt n Werte in einer Zahenreihe für Variabe X, soschreibt man x für =1,...,n und =n =1 x bedeutet dann:,,summiere die x -Werte für =1bis = n. Noch kompakter schreibt man für,,summiere ae Werte von x x oder x Rechenbeispiee: Summen biden (n =4) Summe Schreibweise mit x y x =9 y = 1 a) x + y b) 3y c) 2x d) x y e) z (x + y )=8 (3y )= 3 ( 2x )= 18 x y =14 z = 3=12 z ist eine Konstante, da sie für ae denseben Wert hat. Regen für Summen Für Werte x und y mit =1,...,n und einer Konstanten c git: Rege 1: Die Summe von addierten x - und y -Werten ist geich der Summe der x -Werte addiert zur Summe der y -Werte. (x + y )= x + y

2 330 C. Mathematische Grundagen Rege 2: Die Summe der mit einer Konstanten c mutipizierten x -Werte ist geich der Summe der x -Werte mutipiziert mit c. cx = c x Rege 3: Die Summe von n Werten einer Konstante c ist geich der Anzah n mutipiziert mit der Konstanten c. c = nc Für n=4 erhät man ausführich geschrieben: für Rege 1) (x 1 + y 1 )+(x 2 + y 2 )+(x 3 + y 3 )+(x 4 + y 4 ) =(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )+(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) für Rege 2) cx 1 + cx 2 + cx 3 + cx 4 = c(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) für Rege 3) c + c + c + c =4c Summen mit Summationsgrenzen Soen nicht ae Werte aufsummiert werden, so gibt man am Summenzeichen die Summationsgrenzen an. Zum Beispie bedeutet 4 =2 x,,summiere x für =2 bis =4 und 3 x,,summiere ae x-werte deren Laufindex keiner geich 3 ist. Rechenbeispiee: Summen mit Summationsgrenzen (Werte aus der Tabee S. 329) 4 =2 x =x 2 + x 3 + x 4 =1+6+( 2) = 5 2 =2 x =x 2 =1 3 x = 3 =1 x = x 1 + x 2 + x 3 =4+1+6=11

3 C.1 Summen 331 Rechenbeispiee: Summenregen anwenden Beispie 1: Für die fogende Werte und c =3wirdsowoh x (y + c) as auch x y + c x berechnet Summen x y y + c x (y + c) x y x =9 x (y + c) =41 x y = 14; =41 Beispie 2: Für n =4sei x = 8 und y = 10. Daraus ergibt sich ( y ) = ( 1) y = 10 (x y ) = x y = 2 (2 + 3y ) = 2+ 3y =4 2+3 y =38 (y 2x +5)= y 2 x +4 5=14 Beispie 3: Vereinfachen (cx + x ) x (c +1) = = (c +1) x = c +1 x x x Beispie 4: Vereinfachen (x y ) 2 + 2x y 3(x 2 + y 2 ) = (x 2 2x y + y 2 )+ 2x y 3(x 2 + y 2 ) binomische Forme, Anhang C.3 = x 2 2 x y + y 2 +2 x y 3 (x 2 + y2 ) Regen (1), (2) = (x 2 + y 2 ) 3 (x 2 + y2 ) = 1 3 Rege (1) und (x 2 + y2 ), kürzen

4 332 C. Mathematische Grundagen C.2 C.2 Doppesummen Summen mit variaben Summationsgrenzen Mit Werten x ij für i =1,...I und j =1,...n I kennzeichnet man Werte x nach zwei Kriterien. So kann man zum Beispie den Wert jeder erson j innerhab Gruppe i zuordnen. x ij erson in Gruppe i Summe ersonenanzah Gruppe i j : x i+ n i In Symboen schreibt man die obigen Werte x i wie fogt: x ij j i x i+ n i 1 x 11 x 12 x 13 x 1+ n 1 2 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 2+ n 2 3 x 31 x 32 x 3+ n 3 So bezeichnet dann x 32 =4denWertfür die zweite erson in der dritten Gruppe. Die Summe in der ersten Zeie, ausführicher,,die Summe der Werte x 1j für j =1, 2, 3 ist x 1+ = n 1 j=1 x 1j = 3 j=1 x 1j =1+3+5=9 Die Summe der i-ten Zeie schreibt man x i+ = n i j=1 x ij = j x ij Die Summe aer Werte kann man in einer der fogenden Weisen schreiben: x ++ = I ni i=1 j=1 x ij = i j x ij = ij x ij = x ij Summen mit festen Summationsgrenzen Sind jeweis geich viee Werte J in jeder Gruppe i, soschreibtman: x ij für i =1,...,I und j =1,...,J.

5 C.2 Doppesummen 333 Es assen sich dann nicht nur Summen in jeder Zeie i sondern zusätzich die Summen in jeder Spate j biden. x ij j Summe i x i Summe: x +j x ++ =42 Regen für Doppesummen Für Werte x ij, y ij und z i mit i =1,...,I, j =1,...,J und eine Konstante c git Rege 1: Rege 2: Rege 3: ij (x ij + y ij )= ij x ij + ij y ij ij z ix ij = i z i j x ij ij c = IJc Rechenbeispiee: für I =2und J =3 Beispie für Rege 1 x ij y ij u ij = x ij + y ij j j j i x i+ i y i+ i u i x +j y +j u +j xij = i ( j x ij) = i x i+ = 1+7=6 = j ( i x ij) = j x +j =5+2 1=6 yij =5 2=3 xij + y ij =9 (xij + y ij )= u ij =9

6 334 C. Mathematische Grundagen Beispie für Rege 2 x ij z i v ij = z ix ij j j j i x i+ i Jz i i v i x +j z v +j i z ix ij = i z i j x ij = z i x i+ =3 ( 1) + 1 7=4 i z ix ij = v ij =4 Beispie für Rege 3 x ij c w ij = cx ij j j j i x i+ i Jc i w i x +j Ic w +j cxij = c x ij =2 6=12 cxij = w ij =12 ij c = i ( j c)= i Jc = IJc =2 3 2=12

7 C.3 Binomische Formen 335 C.3 Binomische Formen Die Forme (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 C.3 ässt sich geometrisch erkären. Die Fäche eines Quadrats mit Seitenänge (a + b) ist(a + b) 2. Sie setzt sich zusammen aus zwei Quadraten mit den Seitenängen a und b, sowie zwei Rechtecken, beide mit Fächeninhat ab Aternativ rechnet man ausführich (a + b) 2 =(a + b)(a + b) = a(a + b)+b(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 +2ab + b 2 Auf ähniche Weise ergeben sich die beiden anderen binomischen Formen, die oft zum Vereinfachen von Berechnungen benutzt werden: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, (a + b)(a b) =a 2 b 2.

8 336 C. Mathematische Grundagen C.4 C.4 Notwendige und hinreichende Bedingungen Notwendige, hinreichende und äquivaente Aussagen gehören in das Gebiet der Logik. Sie sind zum Beispie wesentich für mathematische Beweise. Es sind Aussagen A, B, C..., für die jeweis eindeutig entschieden werden kann, ob sie zutreffen. Man sagt, B fogt aus A (A B), oder B fogt nicht aus A (A B). Anhand der fogenden Vierecke kann man sich unterschiediche Arten von Bedingungen verdeutichen. (1) Die Aussage, A: ein Viereck ist ein Quadrat, ist hinreichend, aber nicht notwendig für die Aussage B: ein Viereck ist ein Rechteck. Hier fogt B aus A (A B), da jedes Quadrat vier rechte Winke hat, aso auch ein Rechteck ist, aber A fogt nicht aus B (A B), da in einem Rechteck nicht ae vier Seiten geich ang sein müssen. Da A B und A B git, sagt man A ist hinreichend, aber nicht notwendig für B. (2) Die Aussage, C: ein Viereck ist ein araeogramm, ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Aussage B: ein Viereck ist ein Rechteck. Hier fogt C aus B (B C), da jedes Rechteck jeweis zwei gegenüberiegende Seite hat, die parae veraufen, aso auch ein araeogramm ist, aber aus C fogt nicht B (B C), da ein araeogramm keine rechten Winke haben muss. Da B C und B C git, sagt man C ist notwendig aber nicht hinreichend für B. (3) Die Aussage, D: ein araeogramm hat rechte Winke und die Aussage, B: ein Viereck ist ein Rechteck, sind äquivaent (B D). Hier fogt B aus D, da ein araeogramm mit rechten Winken ein Rechteck ist und D fogt aus B, da jedes Rechteck auch ein araeogramm ist. Da sowoh B D as auch B D git, sagt man, die Aussagen B und D sind äquivaent (B D).

9 Anhang Statistische Ergebnisse D

10 D D Statistische Ergebnisse D.1 Methode der keinsten Quadrate D.2 Yates-Agorithmus D.3 Korreationen mit binären Variaben D.4 Korrektur für Ausgangswerte D.5 Lapace-Verteiung