Die geometrische Interpretation des mittleren Punktfehlers bei der trigonometrischen Punktbestimmung

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1 Paper-ID: VGI Die geometrische Interpretation des mitteren Punktfehers bei der trigonometrischen Punktbestimmung Pau Geinsvik 1 1 Norges Landbrukshögskoe, Voebekk, Norwegen Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen 52 (6), S BibT E Tite = {Die geometrische Interpretation des mitteren Punktfehers bei der trigonometrischen Punktbestimmung}, Author = {Geinsvik, Pau}, Journa = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen}, Pages = { }, Number = {6}, Year = {1964}, Voume = {52} }

2 166 Die geometrische Interpretation des mitteren Punktfehers bei der trigonometrischen Punktbestimmung Von Pau Geinsvik, Voebekk/Norwegen In der voriegenden Studie beschäftigen wir uns mit der geometrischen Interpretation des Gewichtskoeffizienten des mitteren Punktfehers bei fogenden Arten der trigonometrischen Einzepunktbestimmung: 1. Punktbestimmung durch äußere Richtungen 2. Punktbestimmung durch innere Richtungen 3. Punktbestimmung durch Triateration Die Untersuchung basieii auf einem agemeinen Fa mit überschüssigen, ungeichgewichtigen Messungen, auf Grund von wechen die endgütige Lage des Neupunktes durch Ausgeichung nach der Methode der keinsten Quadrate abgeeitet wird. 1. Punktbestimmung durch äußere Richtungen Für jeden der n Festpunkte, in wechen Richtungsbeobachtungen zur Bestimmung des Neupunktes vorgenommen wurden, äßt sich die Richtungsserie durch eine einzige Fehergeichung von fogender Form ersetzen (geichgewichtige Einzebeobachtungen vorausgesetzt): v; = a; x + b; y + fi (i = 1, 2,... n), wobei die Richtungskoeffizienten a und b bekanntich durch sin Cf>; cos cp; a; = - p ---S:- und b; = p ---S:-. (1).(2) gege ben sind. Das Gewicht dieser Fehergeichung ist geich s: s + 1, wobei s die Anzah der Anschußrichtungen ist. (Wenn nachfogend bei der Punktbestimmung durch äußere Richtungen die Rede von Beobachtungen und Gewichten ist, so beziehen diese Ausdrücke sich auf die Fehergeichung (1), weche die primären Beobachtungen ersetzt.) Wenn die Lage des Neupunktes durch Ausgeichung nach der Methode d. k. Q. abgeeitet wird, ist der Gewichtskoeffizient des mitteren Punktfehers bekanntich gegeben durch: [paa] + [pbb] Z QMM = [paa][pbb] - [pab]2 Bei Berücksichtigung von (2) ergibt sich für Z: _ 2 11 (sin 2cp; cos2cp; ) _ Z - P P; + s2; N - P 2 s 2; 11 )2_ Der Ausdruck für N äßt sich in fogender Weise umformen: N = (P1 a21 + P2 a Pn a 2) (P1 b21 + P2 b Pn b 2) -. (3)

3 +P1P3a23b P1P a2nb21 +P1P2G21b2 2 +P2 2 a2 2 b2 2 + (2) (1) + P2P3 a23 b P2P a2 b2 2 + PP3 a21 b23 + pzp3 a2 2 b23 + (4) (5) (3) + P23 a23 b p3p a 2 b P Pi a 21 b2 + P2Pn a2 2 b2n + (2) w + p3p a23 b p2 a z b2 -P21 a z I b21 -P2 2 a2 2 b2 2 -p23 a23 b23 - (6) p2 a2b2-2pip2a1a2bi b2-2pip3 a1 a3bib3- - 0) w -2p1pa1a b1b -2p2p3a2a3b2b3-. -2pzp a2ab2b p3pa3 a b3b -... (6) Die unterstrichenen Gieder faen weg, wei sie paarweise mit entgegengesetztem Vorzeichen auftreten. Die Gieder mit geichen Kammernummern fassen wir zusammen und erhaten: N =PI Pz (a21 b2 2 + a2 2 b2i - 2 ai az b1 b2) + P1 p3 (a21 b23 + a23 b a I a 3 b 1 b 3) PI Pi (a21 b2n + a2 b2i - 2 ai a b1 b ) + P2P3 (a2 2 b23 + a23 b a2 a3 b2 b3) P2Pn (a2z b2n + a2n b2 2-2 Cz a b2 b ) + + P3P (a23 b2 + c/z b23-2 a3 a b3 bn) +... = PIP2 (ai b2 - a2 b1)2 + P1P3 (a1 b3 - a3 bi)2 + P1P4 (ai b4 - a4 b1)2 + (4) + P1P11 (ai b - an bi)2 + pzp3 (a2 b3 - a3 b2)2 + pzp4 (a2 b4 - a4 b2) pzp (a2 b -a bz)2 Zusammenfassend können wir dafür schreiben: + p3p4 (a3 b4 - a4 b3) P3P11 (a3 b - a b3)2 N = L: p; Pi (a; bi -ai b;)2 für ae i =!= j, ein Ausdruck, der bei Berücksichtigung von (2) übergeht in: N = p 4 L:p;pi { s/si sin (<pi - rp;) r + P-1 p (an-1 b - a bn-1>2. (4) 167. (5) Sowoh Z as auch N assen sich geometrisch interpretieren. Zu diesem Zweck führen wir eine Hifsfigur, die sogenannte reziproke Figur ein, weche fogende Reationen zu der ursprüngichen hat: 1. Konformität in dem Neupunkt. 2. Reziprozität in bezug auf die Längen der Seiten. Wie wir sehen werden, spiet diese Hifsfigur bei Genauigkeitsuntersuchungen über Punktbestimmungen eine grundegende Roe, geichgütig, ob die Bestimmung durch äußere oder innere Richtungen oder Triateration erfogt.

4 168 In Fig. 1 ist P, I, II, III, IV die Originafigur, während P, I, 2, 3, 4 die reziproke Figur darstet. Der Ausdruck für Z hat somit nach (3) fogende Interpretation: z = p2 Pi s2i, wobei si =. die Seite der reziproken Figur zwischen den Punkten P und i ist. p IV Fig. 1 Das agemeine Gied in (5 ) äßt sich ebenfas mit Hife von Seiten- und Fächeneementen der reziproken Figur interpretieren : Pi Pi { S i wobei Aii die Fäche des Dreiecks Pi} bedeutet, d. h. Wir haben somit gezeigt, daß Si sin (cpi - cpi)} 2 =Pi Pi {si si sin (cpi - cpi)}2 = 4 Pi Pi A;/. N = 4p 4 PiPi A2;i für ae i =!= j (i = 1, ) (j = 1, ). (6) dabei ist aso Pi s2i geich der Summe der Quadrate aer in der reziproken Figur von P ausgehenden Seiten mutipiziert mit dem Gewicht der dazugehörigen Richtungsbeobachtung; Pi Pi Aii2 dagegen ist geich der Summe der Quadrate der Fächen a?er Dreieckskombinationen der reziproken Figur, in wecher P as Dreieckspunkt eingeht, mutipiziert mit den zwei Gewichten, die jeder Dreieckskombination zugeordnet sind. (Bei Punktbestimmung durch äußere Richtungen ist es mögich, den Gewichtskoeffizienten des mitteren Punktfehers noch einfacher zu interpretieren, as wir es hier gemacht haben. Wir müssen nur in der reziproken Figur statt s;. =. die L angen s; = s-;- au ft ragen un d wur d en d ann [" ur Q er 1 rn t en : 1 s2 Q = 4p2 A2 '

5 Für die Punktbestimmung durch innere Richtungen aber würde die Figur mit den Seitenängen s; = ; von keinem Nutzen sein. Um eine einheitiche Darsteung für beide Bestimmungsarten zu gewinnen, haten wir daher an der ersten Interpretation fest. ) 2. Punktbestimmung durch innere Richtungen Nachdem die Orientierungsunbekannte des Fehergeichungssystems des Stationspunktes nach dem Gauß'schen Verfahren vorgängig eiminiert wurde, ergibt sich das fogende reduzierte System: ( [pa]) ( [pb 1) (, [pf] ). v; = a;- x+ b; - y+ };- (1 = 1,2,..., 11) 169 = a'; X + b'; Y + f' Mit diesen Bezeichnungen der Fehergeichungskoeffizienten ist der Gewichtskoeffizient des mitteren Punktfehers gegeben durch:, [pa' a'] + [pb' b'] Q MM = [pa' a'] [pb' b'] - [pa' b']2 Z' N'. (7) Für die hier auftretenden Summengieder ergibt sich: [pa' a'] = Z: p ( a - [pa] ) 2 = [paa] - [pa]2 [pb' b'] = Z:p ( b - ( [pbj ) 2 = [pbb] - [ p b] 2 [ p ] [pa' b'] = Z: p ( a - [pa] ) (b - [pb] ) = [pa b] - [pa] [pb]. (8) Wir formen den Ausdruck für [pa' a'] weiter um zu: [paa] [pa' - [pa]2 a'] = 1 = [pf { + P1P2 a P1P P1P2 a21 + P2 2 a P2 p a 2" p2" a2 - p21 a21 -P2 2 a p2 a P1P2 a1 a2-2p1p3 a1 a p1p ai a - 2P2JJ3 a2 a P2P4 a2 a P2P11 a2 a - - 2Pn-1 p a11-1 an} Die unterstrichenen Gieder treten paarweise mit entgegengesetzten Vorzeichen auf. Die restichen Gieder fassen wir zusammen: [pa' a'] = [ ] fr1p2 (a1 - a2)2 + PIP3 (a1 - a3) 2 + PIP4 (a1 - a4) P1P11 (a1 - a11)2

6 P2P3 (a2 - a3)2 + P2P4 (a 2 - a4) P2P11 (a 2 - a11)2 + p3p4 (a3 - a4) p3p11 (a3 - a )2 + p _, p (a _, - a )2 1 J 1 J --t- = p p (a - a )2 für ae i --1' Wir führen nun die fogenden Abkürzungen ein : wobei [pa' a'] sich auf Pi Pi = P1ii und (a; - ai) = R;i,.. 1 [pa' a'] = [ ; ] :,p' RR reduziert. In anaoger Weise ergibt sich für [pb' b']: [pb' b'] p p (b - b )2 = p' ss = J J indem wir ( b; - bj) = sij gesetzt haben, und für [pa' b']: [pa' b'] = _! p' RS Wenn diese Ausdrücke in (7) eingeführt werden, erhaten wir: Z' = [ ] PiPi {(a; - ai)2 + (b; - bi)2} N' = {[p' RR] [p' SS] - [p' RS]2} 2. (9) Der Kammerausdruck in N' hat diesebe Struktur" wie N = [paa] [pbb] - [pab]2. Somit kann anaog zu (4) N' fogendermaßen geschrieben werden : N' = [ ]2 p'11p'v (Ru Sv - Rv S11)2 für ae u =f v, wobei u und v ae mögichen Kombinationen der Indizes i und j sind. Der nachfogenden Abeitung egen wir ein konkretes n, nämich n = 4, zugrunde, in wechem Fae der Kompex PuPv (R" Sv - Rv S11)2 sich aus den fogenden Giedern zusammensetzt: p' 12P113 (R12 S13 - R13 S12)2+p'12P123 (R12 S23 - R23 S12)2 + + p' 13p' 2 3 (R13 S23 - R23 S13) + p' 12P114 (R12 S14 - R14 S12)2+p'12P124 (R12 S24 - R24 S12)2 + + p' 14P124 (R14 S24 - R24 S14)2 + p' 13p' 14 (R13 S14 - R14 S13)2+p'13P134 (R13 S34 - R34 S13)2 + + P114p'34(R14 S34 - R34 S14)2

7 171 + p' 23P124 (R23 S24 - R24 S23)2 + p' 23P134 (R23 S34 - R34 S23)2 + + p' 2 4P134 (R24 S34 - R34 S24)2 + p' 12 p' 34 (R12 S34 - R34 S12)2+p'13 p' 2 4 (R13 S24 - R24 S13)2 + + P114P123(R14 S23 - R23 S14)2 Wenn wir hier für R uns S Werte einsetzen, zeigt sich z. B daß: (R12 S13 - R13 S12) = (R12 S23 - R23 SIZ) = (R13 S23 - R23 S13). (10) oder ganz agemein, daß ae Kammerausdrücke, weche dieseben drei Indizes enthaten, einander geich sind, d. h. (Rij sik - Rik Su) = (Rij sjk - Rjk sij) =(Ru. sjk - Rjk sik) = (i,j, k) (Die Bezeichnung (i, j, k) so zum Ausdruck bringen, daß die zugehörigen R und S mit den Indizes i, j und k versehen sind.) Die Summe von (10) ergibt sich durch zeienweise Summation: 1. Zeie: (p1 + P2 + p3)p1p2p3 (1, 2, 3)2 2. Zeie: (p1 + P2 + p4)p1p2p40,2,4)2 3. Zeie: (P1 + p3 + p4) P1 p3p4 (1, 3, 4) 2 4. Zeie: (p2 + p3 + p4) P2P3P4 (2, 3, 4)2 5. Zeie: P1P2P3P4 {(1, 2, 3)2 + (1, 2, 4)2 + (1, 3, 4)2 + (2, 3, 4)2} mit der Totasumme : (p1 + P2 + P3 + p4) {P1P2P3 (1, 2, 3)2 + P1 P2P4 (1, 2, 4)2 +Pt p3p4 (1, 3, 4)2 + + P2 P3 P4 (2, 3, 4)2} Für N' ergibt sich somit: N ' = [ ] {pi P2P3 (1, 2, 3)2 + P1P2P4 (1, 2, 4)2 + P1P3P4 (1, 3, 4)2 + +P2P3P4 (2, 3, 4)2} (11) Das Bidungsgesetz von (11) ist ganz einfach: In den Kammern, weche jeweis drei Indizes enthaten, kommen ae mögichen Dreierkombinationen der vier Indizes vor, und jeder Kammer sind drei Gewichte mit denseben Indizes zugeordnet. Dieses Bidungsgesetz git auch für beiebige n, d. h.: N' = [ ] PiPiPk (i,j, k)2 für ae i =i=i :i= k :i= i. (12) Sowoh Z' as auch N' äßt sich nun geometrisch interpretieren. Für Z' haben wir nach (9) : Hier ist: Z' = _ p p ' ]{(a 1 - a )2 ] + (b - b )2} J (ai - ai)2 + (bi - bi)2 = p2 {(si sin <fi - si 3in <fi)2 + (si cos <fi - si cos cpj)2},

8 172 wecher Ausdruck geich p2 s;/ ist (siehe Figur 2, weche den mit den Indizes i undj versehenen Tei der reziproken Figur darstet), d. h.: p, SJ J Fig. 2 Das agemeine Gied in (12) äßt sich ebenfas interpretieren: { sin Cf>i cos cp; _ sin Cf>; cos Cf>i + sin Cf>k cos Cf>J sin cp1 cos Cf>k + (i, j, k) p2 _ = + sin cp; cos Cf>k sin Cf>k cos Cf>;} 2 { S; s. ( - - -s.-. - = S p s; si sm Cf>i - cp; i + s1 s sm Cf>k - cp1) + 1. ( wobei A;11, die Fäche des Dreiecks ijk ist (siehe Fig. 3, die den mit den Indizes i, j und k versehenen Tei der reziproken Figur darstet) d. h.:, 4 p4 1 A2 d Q' Pi Pi s;/ N = - [ ] "-'PiPJP k ijk un MM= P 42}:; P PiPJPk A2 ijt. (13) p Fig. 3 Hier ist aso }:; p; Pi s;/ geich der Summe der Quadrate aer Seiten der reziproken Figur, weche P nicht as Endpunkt haben, mutipiziert mit den den Endpunkten zugeordneten zwei Gewichten. }:; Pi Pi p Aiik2 dagegen ist geich der Summe der Quadrate der Fächen aer Dreieckskombinationen der reziproken Figur, weche P nicht as Dreieckspunkt enthaten, mutipiziert mit den jeder Dreieckskombination zugeordneten drei Gewichten.

9 Punktbestimmung durch Triateration Ausgehend von der Beobachtungsgeichung einer Streckenmessung: S2ip = ()'p - Yi)2 + (Xp - Xi)2, wobei P der Neupunkt und i einer der n Festpunkte ist, gewinnen wir durch Linearisierung derseben die agemeine Fehergeichung: vi = cos <p;p x + sin <f!ip y + fi = a" x + b" y + f" Für den Gewichtskoeffizienten des m. Punktfehers Z" [pa" a"] + [pb" b"] Q" IM = [pa" a" ] [pb" b"] - [pu11 b11]2 N" - ergibt sich somit: während N" nach (4) geich Z" =, N11 = Pi Pi (a"i b"i - a"i b"i)2 = Pi Pi sin 2 '/.ij ist, wobei '/.ij der Schnittwinke im Neupunkt zwischen den Seiten i und j ist, d. h.: Pi f" II =1=. Q" =.,., ur a e1 J. LJ Pi Pi sm 2 r:t.u Um diese Forme in Beziehung zu der reziproken Figur zu bringen, schreiben wir (14) in fogender Weise: _ 1 p. si2 Q" I PiPi A2;i (14). (15) wobei in dieser Forme sämtiche Werte fiir s geich groß und zwar geich eins zu setzen sind. In der Forme für Q11 111I kommen aso ae mögichen Seiten und Dreiecke der reziproken" Figur vor, weche P as End- oder Dreieckspunkt enthaten. 4. Zusammenfassung ist es uns geungen, den Gewichtskoeffizienten des m.. Punktfehers bei den drei behandeten Bestimmungsarten: Punktbestimmung durch äußere und innere Richtungen sowie durch Triateration mit Hife von Seiten- und Fächeneementen der reziproken Figur geometrisch zu interpretieren (bei Q" MM handet es sich aerdings um eine fiktive reziproke Figur mit aen Seitenängen geich eins). Der Unterschied von Q11111 I und Q'111M iegt im fogenden: Bei der Punktbestimmung durch äußere Richtungen kommen ae mögichen Seiten und Dreiecke der reziproken Figur, die den Punkt P as End- oder Dreieckspunkt enthät, vor, während dagegen bei der Punktbestimmung durch innere Richtungen ae mögichen Seiten und Dreiecke vorkommen, die den Punkt P nicht as End- oder Dreieckspunkt enthaten.

10 174 Für den Fa, daß es sich um geichgewichtige Beobachtungen handet, vereinfachen sich die abgeeiteten Formen zu: Q MM = [' sin2 rx;i '. (16) wobei + p bedeutet, daß die betreffenden Seiten- und Fächeneemente den Punkt P enthaten, während - p sinngemäß bedeutet, daß sie P nicht enthaten. Für 11 = 3 und geichgewichtige Beobachtungen gehen die Formen für QMM und Q'MM in die bekannten Eggert'schen Formen der Gewichtskoeffizienten des m. Punktfehers beim Vorwärts- und Rückwärtseinschneiden über. Es ist auch kar, daß dieses so sein muß, wei diese beiden Punktbestimmungsarten nur Speziafäe der vorher behandeten genereen Ausgeichungsaufgaben repräsentieren, die dann eintreten, wenn die Anzah der Überbestimmungen geich nu ist. Bemerkenswert ist der Zusammenhang zwischen dem aus der Ausgeichung resutierenden Gewichtskoeffizienten des m. Punktfehers und den entsprechenden Gewichtskoeffizienten, die sich ergeben, wenn die Punktbestimmung ohne Überbestimmungen erfogt. Wenn sich nämich der Neupunkt auf Grund der voriegenden Beobachtungen auf q verschiedene Weisen ohne Überbestimmungen bestimmen äßt (z. B. ist q geich 3 bei 3 äußeren Richtungen und geich 4 bei 4 inneren Richtungen), wobei die dazugehörigen Gewichtskoeffizienten des m. Punktfehers geich. Z2. Z3 Ni N2 N3 '.... Zq Nq sind, so ist der entsprechende Gewichtskoeffizient, der sich durch eine Ausgeichung des gesamten Beobachtungsmaterias nach der M. d. k. Q. ergibt, gegeben durch (ü ist die Anzah der Überbestimmungen): eine Reation, die für sämtiche drei behandeten Bestimmungsarten git. * Abschießend seien die Formen der QMM und Q' MM mit einem Beispie beeuchtet (es werden in beiden Fäen geichgewichtige Beobachtungen vorausgesetzt, deren Gewicht as Gewichtseinheit gewäht wird):

11 175 Punktbestimmung durch äußere Richtungen Originafigur: P, I, II, IJI Reziproke Figur: P, 1, 2, 3 Punktbestinunung durch innere Richtungen Originafigur: P,, II, III, IV Reziproke Figur: P, 1, 2, 3, / /" 1 / 1 / Pot r-----_.,m Fig ,;s2+P QM\I = 4 p2 2,; A2+P = ' 1 2.:s2 _p Q ii = 4 p2 2.: A2_p s21p + s2 2 P + s23p 1 s s213 + s214 + s s s234 4 p2 A A A A Verwendung von Spiegeinstrumenten in der Hydromet'ie Franz Embacher, Bundesstrombauamt, Wien Die Hydrometrie befaßt sich mit der Feststeung verschiedener Gewässereigenschaften wie Wassertiefe, Fießgeschwindigkeit, Schwebstofffuß, Geschiebetrieb usw. Soche Erhebungen sind in genau vorgeschriebenen, meist profiförmig aneinandergereihten Punkten auszuführen. Mit der Größe des Gewässers wachsen daher die vermessungstechnischen Probeme. Vom Wasserfahrzeug aus äßt sich das Meßprofi eicht auffinden, wenn es am Ufer mit weithin sichtbaren Stangen abgesteckt wird. Dagegen kann das Festegen der einzenen Meßpunkte (Meßotrechten), aso die Bestimmung ihres Uferabstandes, mit Schwierigkeiten verbunden sein. Wenn es die Verhätnisse gestatten, findet dazu ein mit Entfernungsmarken versehenes Stahsei (Peieine) Verwendung. Bei Meeresküsten, Seeufern, breiten Strömen ode' ebhaftem Schiffsverkehr kann nur ein indirektes Meßverfahren zur Anwendung kommen. Optische Distanzmessung oder Vorwärtseinschneiden vom Land aus ist umständich, wenig genau und an eine Verständigungseinrichtung zwischen Ufer und Schiff gebunden. Entfernungsmessungen vom Wasserfahrzeug aus mittes Basisdistanzmesser sind ebenfas zu ungenau. Schne und präzise äßt sich der Abstand durch Rückwärtseinschneiden bestimmen, wenn am Ufer eine Basis abgesteckt und am Schiff ein Spiegeinstrument