1.3 Elektrothermische Energiewandlungsvorgänge in Gleichstromkreisen

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1 6 Vorgänge in eektrischen Netzwerken bei Geichstrom.3 Eektrothermische Energiewandungsvorgänge in Geichstromkreisen.3. Grundgesetze der Erwärmung und des ärmeaustauschs Erwärmung So ein örper der Masse m von einer Ausgangstemperatur T auf eine andere Temperatur T > T ärmt werden, so bedeutet das, dass eine Energie ( T T ) = m c (.73) aufgebracht werden muss. Dabei ist c die spezifische ärmekapazität des örpers (Materiakonstante). Das rodukt C = mc th (.74) wird auch as die ärmekapazität eines örpers bezeichnet. Die entsprechenden Einheiten sind J s J s c th = =. (.75) kg kg [] = =, [ C ] Da fr technische Berechnungen wegen der besseren Formuierbarkeit der Leistungsbianz sehr häufig die Leistung benötigt wird, die zur Erwärmung eines örpers aufgewendet werden muss, erhät man fr den Erwärmungsprozess bei zeitich verändericher Temperatur des örpers as Leistungsbedarf () t dt ( t) d dt = = m c Cth. (.76) = ird, was häufig vorkommt, nicht die absoute Temperatur zur Berechnung herangezogen, sondern die Temperaturdifferenz bezgich einer Bezugstemperatur T 0 (i. d. R. die Umgebungstemperatur), spricht man von der Übertemperatur ϑ des ärmten örpers. Man erhät dann () t = T () t T0 ϑ, (.77) dϑ m c dϑ = = C th (.78) Aus Geichung (.78) ergibt sich unmittebar ein fr die Berechnung von eektrothermischen Vorgängen sehr wichtiger Stetigkeitssatz. Es wird sofort deutich, dass jede sprungförmige Änderung der Temperatur eines örpers wegen des dann unendichen Differenziaquotienten eine unendich hohe Leistungszufuhr erfordern wrde.

2 .3 Eektrothermische Energiewandungsvorgänge in Geichstromkreisen 63 Da dies in natrichen Systemen unmögich ist, darf gefogert werden: ( t ) = ϑ ( t 0) ϑ (.79) 0 + Die Temperatur eines örpers kann sich nicht sprunghaft ändern. ärmebertragung Hat nun ein örper gegenber seiner Umgebung eine höhere Temperatur, so setzen rozesse ein, die auf eine iederhersteung des thermischen Geichgewichtes hinwirken. Es muss aso ärmeenergie vom wärmeren, aso energiereicheren örper zum käteren örper transportiert werden. Die zeitiche Abeitung, aso die ärmeeistung, wird auch as ärmestrom bezeichnet. Dieser ärmestrom ist grundsätzich vom wärmeren zum käteren örper bzw. innerhab eines Mediums mit unterschiedicher Temperaturverteiung in Richtung des maximaen Temperaturgefäes gerichtet. Fr den ärmetransport sind drei Vorgänge charakteristisch: ärmeeitung Im Rahmen dieses Buches so nur die eindimensionae ärmeeitung betrachtet werden. Fr einen im Bid.65 dargesteten Stab der Länge und des senkrecht vom ärmestrom L durchsetzten Querschnitts A ist der ärmetransport durch ärmeeitung vom wärmeren zum käteren Ende: L λ A λ A = ( T T ) = ϑ (.80) Geichung (.80) git jedoch nur fr den Fa, dass der ärmefuss ausschießich in der in Bid.65 dargesteten Richtung erfogt, die seitichen Fächen aso wärmeisoiert sind bzw. so betrachtet werden können. L A L R th T > T ϑ Bid.65 Darsteung der ärmeeitung (eindimensiona) Bid.66 Ersatzschatbid des ärmewiderstandes Die erkstoffkonstante λ wird as ärmeeitfähigkeit bezeichnet.

3 64 Vorgänge in eektrischen Netzwerken bei Geichstrom Ihre Einheit ist λ =. (.8) m [ ] In Anaogie zum eektrischen iderstand definiert man as ärmewiderstand (thermischen iderstand): R ϑ T = =, R [ ] th L thl = L L (.8) Der thermische iderstand wird häufig zur Beschreibung kompexer ärmetransportvorgänge herangezogen und durch ein ebenfas der Anaogie zu den eektrischen Stromkreisen entehntes Symbo dargestet (Bid.66). ärmebergang An der Grenzfäche zwischen Festkörpern und Fssigkeiten bzw. Gasen treten durch die Auftriebskräfte in ärmten Fssigkeiten und Gasen neben der ärmeeitung noch Strömungsvorgänge auf, die den ärmeaustausch wesentich beeinfussen. Dieser kompexe rozess des ärmeberganges wird as onvektion bezeichnet. Erfogt die Bewegung der Moeke der Fssigkeit bzw. des Gases ausschießich durch thermisch bedingte Auftriebskräfte, spricht man von freier onvektion. Im Fa einer durch Lfter o. ä. verursachten Strömung handet es sich um erzwungene onvektion. Der ärmestrom zwischen einer andoberfäche und einem strömenden Medium ergibt sich zu: ( ϑ ϑm ) α Aϑ = α A = (.83) A - wärmeabgebende Fäche, α - ärmebergangskoeffizient ϑ - Temperatur der andoberfäche, ϑ M - Temperatur des strömenden Mediums. Die Einheit von α ist [ α ] =. (.84) m Die Ermittung der onvektionskonstanten ist wegen der Überagerung von ärmeeitungs- und Strömungsvorgängen sehr schwierig und wird ebenfas häufig experimente vorgenommen. Fr unbewegte Luft (freie onvektion) kann in freier Umgebung α = 0 (.85) m as guter Mittewert angenommen werden. Fr onvektion in kompizierten Strukturen und mit knsticher Bewegung muss auf das einschägige Schrifttum viesen werden.

4 .3 Eektrothermische Energiewandungsvorgänge in Geichstromkreisen 65 Der ärmewiderstand bei onvektion ist: R th ϑ = = (.86) α A Temperaturstrahung (ärmestrahung) ie aus der hysik bekannt, sendet jeder örper, dessen Temperatur oberhab des absouten Nupunktes iegt, eektromagnetische een aus, deren eenänge in den Bereich der Temperaturstrahung fät. Der Strahungsfuss es des schwarzen örpers mit der thermodynamischen Temperatur T und der Oberfäche A beträgt 4 4 T es s 00 = σ AT = C A. (.87) Dabei ist σ = 5, m 4 die Stefan-Bozmann-onstante, C s = 0 8 σ. Der vom wärmeren zum käteren örper bergehende Austauschstrahungsfuss ist unter Anwendung des Stefan-Botzmann schen Strahungsgesetzes: 4 4 T = T e A C (.88) A - Oberfäche des wärmeren örpers mit der Temperatur T, C - Strahungsaustauschkonstante Fr einen grauen örper der Fäche, der vöig von einer grauen Fäche umht ist, ergibt sich z. B. die Strahungsaustauschkonstante C zu: C = ε + Cs A A ε (.89) ε, ε - habräumiche Emissionsgrade der Fächen und. Häufig git A << A, ε > 0,5. Damit wird fr die Strahungsaustauschkonstante nach Geichung (.89) C ε Cs =. (.90)

5 66 Vorgänge in eektrischen Netzwerken bei Geichstrom Fr keine Übertemperaturen (d. h. T ist nur wenig größer as T ) ässt sich der Austauschstrahungsfuss ber den Differenziaquotienten ausdrcken gemäß ( T ) = ( T ) d ( T ) ( T T ) e e e +. (.9) T = T Nach Einsetzen und Berechnung erhät man 3 4C ( ) T e T = A ( T T ) = A αst ( T T ). (.9) α St - ärmebergangskoeffizient der Strahung. Geht man davon aus, dass fr viee technische Aufgabensteungen keine Übertemperaturen auftreten, stet diese Linearisierung eine ntziche Vereinfachung der Berechnungsverfahren dar. Linearisierter ärmebergang Ganz agemein ässt sich der inearisierte eindimensionae ärmebergang durch fogende Geichung ausdrcken: ( T T ) α Aϑ = α A = (.93) α - ärmebergangskoeffizient, A - vom ärmestrom senkrecht durchsetzte Fäche. Der ärmebergangskoeffizient bercksichtigt insbesondere die Tatsache, dass bei den meisten ärmetransportvorgängen an Grenzfächen Festkörper - Luft o. ä. sowoh ärmestrahung as auch onvektion beteiigt sind. Er wird häufig fr vorgegebene Anordnungen experimente bestimmt..3. Erwärmungs- und Abkhungsvorgang Geht man davon aus, dass in einem eektrischen iderstand die dort umgewandete Leistung direkt in ärme umgesetzt wird, so ergibt die Leistungsbianz agemein +. (.94) e = Benutzt man zur Beschreibung der daraus fogenden Erwärmungsvorgänge den unter Geichung (.93) formuierten Zusammenhang fr geringe Übertemperaturen, entsteht: e ( t) dϑ = m c + α Aϑ () t (.95) Die Lösung der so entstehenden inearen Differenziageichung. Ordnung ergibt die Zeitabhängigkeit der Übertemperatur des Systems. Unter der Bedingung, dass