Quartiken als Summe von Potenzen in P 3

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1 Quartiken as Summe von Potenzen in P 3 Michae Sagraoff Dipomarbeit am mathematischen Institut der Universität Bayreuth Betreut durch Prof. Dr. Frank-Oaf-Schreyer 28.September

2 Zusammenfassung Wir betrachten eine homogene Form f vierten Grades in 4 Variaben und deren Darsteung f = s as Summe von s Potenzen von Linearformen. Für agemeine f geben wir das keinstmögiche s an und bestimmen die okae Geometrie aer Darsteungen von f, weche eine 5-dimensionae Famiie biden. Für agemeine f ist s = 10 ausreichend und keinstmögich. Bei gegebenem 1, 2 gibt es genau zwei verschiedene Koektionen Σ 1 = { 1,..., 8 } bzw. Σ 2 = { 1,..., 8 } von jeweis 8 Linearformen, die zusammen mit 1, 2 eine Darsteung von f wie oben iefern. Aus der minima freien Aufösung des durch F = V ( f) P 3 definierten apoaren Artinschen Gorensteinrings A F, f = f , erhaten wir die notwendigen Informationen über die Geometrie der Lösungen, um für gegebenes f und 1, 2 die beiden Koektionen Σ 1 und Σ 2 zu konstruieren. 2

3 Inhatsverzeichnis 0. Eineitung 5 Zusammenfasung der wichtigsten Ergebnisse 5 Notation Apoarität Quartiken as Summe von Potenzen Der Ausnahmefa (n,d)=(3,4) Beweis des Hauptsatzes Summe von Potenzen von 8 agemeinen Linearformen Syzygiendarsteungen Die minima freie Aufösung von T/I Γ Die minima freie Aufösung von A F Fip einer Matrix Geometrie der Darsteungen I Konstruktion der Darsteungen Geometrie der Darsteungen II: Die Regefäche X Die minima freie Aufösung von R X Konstruktion der Darsteungen 49 3

4 Anhang 52 A Habstetigkeitsemmata 1,2 52 B Lemma zur Schnittmutipizität 55 C Macauayscripten 57 Sebständigkeitserkärung 65 Literaturverzeichnis 66 4

5 0. Eineitung In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Darsteung von agemeinen homogenen Formen d-ten Grades in n+1 Variaben as Summe von Potenzen von Linearformen i, d.h. (*) f = d d s, Für einen minima mögichen Wert s(n, d) für s, wecher eine soche Darsteung zuäßt, assen sich fogende Abschätzungen angeben (Lemma 0.3. und 0.5): ( n+d ) ( d s(n, d) 1 n+d ) n+1 d Bis auf einige Ausnahmen für (n, d) git sogar s(n, d) = 1 ( n+d ) n+1 d. Dieses Ergebnis wurde in den Arbeiten von Aexander und Hirschowitz ([Aexander Hirschowitz]) bewiesen: 0.1. Satz (Aexander-Hirschowitz). Eine agemeine homogene Form f vom Grad ) d in n+1 Variaben ist darstebar as Summe von Potenzen von Linearformen, bis auf fogende Ausnahmen: 1 n+1 ( n+d d d = 2 mit s(n, d) = n + 1, oder d = 4 und n = 2, 3, 4 mit s(n, d) = 6, 10, 15, oder d = 3 und n = 4 mit s(n, d) = 8 (*agemein bedeutet: es existiert in jedem der betrachteten Fäe (n, d) eine nicht eere Zariski-offene Menge U, so daß für ae f U die jeweiige Behauptung des Satzes git). Hierbei werden jedoch nur agemeine homogene Formen f betrachtet. Für speziee f kann der für s minimae Wert sowoh keiner as auch größer werden. So ist bis jetzt auch agemein keine keinste obere Schranke s(n, d) bekannt, für die git, daß jede homogene Form vom Grad d in n + 1 Variaben as Summe von weniger as s(n, d) + 1 Potenzen von Linearformen geschrieben werden kann. Ebenso ist die Eindeutigkeit der Darsteung bzw. die Geometrie mögicher Darsteungen bisher nur in einigen Fäen bekannt ([Ranestad, Schreyer]). In dieser Arbeit studieren wir den Ausnahmefa (n, d) = (3, 4). 5

6 Im fogenden geben wir für agemeines f eine voständige Beschreibung, wie sich f as Summe von s(3, 4) = 10 Potenzen darsteen äßt. Dabei orientieren wir uns an der heuristischen Vorgehensweise Reyes ([Reye 1,2 und 3], 1874). Auf der Basis schnittheoretischer Ergebnisse ([Futon]) können wir in Verbindung mit computeragebraischen Berechnungen (Macauay2) und Habstetigkeitsargumenten die Ergebnisse Reyes beweisen. Der Beweis eraubt es uns zusätzich, genaue Aussagen über die Art und die Anzah der mögichen Darsteungen zu treffen (Hauptsatz 0.7.) : Sind mit 1, 2 zwei der 10 benötigten Linearformen vorgegeben, so gibt es genau 2 verschiedene Koektionen Σ 1 = { 1,..., 8 } bzw. Σ 2 = { 1,..., 8 } von jeweis 8 Linearformen, die zusammen mit 1, 2 eine Darsteung von f wie in (*) iefern. (Reye hatte vermutet, daß durch Angabe von 1, 2 die Darsteung von f eindeutig sei.) In den Kapiten 3 und 4 geben wir erstmas ein Konstruktionsverfahren an, daß bei gegebenem f und 1, 2 die beiden Koektionen der restichen 8 Linearformen iefert (Satz 0.10.). Die dafür benötigte Information über die Geometrie der Lösungen erhaten wir aus der minima freien Aufösung des durch F = V ( f) P 3, f = f , bestimmten apoaren Artinschen Gorensteinrings A F (zur Definition siehe Kapite 1) : Identifizieren wir die Linearformen i, i, i = 1,...,8, mit Punkten p i bzw. p i im Duaraum ˇP 3, so iegen die Punktmengen Γ = { p i } i und Γ = { p i } i auf einer durch f und 1, 2 bestimmten eiptischen Kurve E ˇP 3. Es gibt dann eine eiptische Kurve Ẽ P7 vom Grad 12 und einen Isomorphismus δ : E Ẽ. Ẽ iegt auf einer Regefäche X P7 über E und die beiden Punktemengen δ( Γ), δ( Γ) jeweis auf einem Schnitt vom Grad 4 von X Sei f k[x 0,..., x n ] d, n N, eine homogene Form vom Grad d N über einem agebraisch abgeschossenem Körper k mit char k d!. f kann dann für hinreichend große s N as Summe von d-ten Potenzen von Linearformen i k[x 0,..., x n ] 1, i = 1,..., s, geschrieben werden: f = d d s Denn identifizieren wir die Abbidung d für k[x 0,..., x 3 ] 1 mit der d-ten Veronese Einbettung P n P N d, wobei N d = ( ) n+d d 1, so wird P N d vom Bid dieser Abbidung erzeugt. Für eine beiebige homogene Form f wie 6

7 oben und N d + 1 agemein vorgegebenen Linearformen 1,..., Nd +1 können wir aso Skaare λ 1,..., λ Nd +1 k finden, so daß f = λ 1 d λ N d +1 d N d +1 = d d N d +1 wobei sich i as Produkt einer d-ten Wurze von λ i mit i ergibt. Identifizieren wir die durch eine Linearform k[x 0,..., x n ] 1 gegebene Hyperfäche V () P n mit dem entsprechenden Punkt p = V () ˇP n im Duaraum, so erhaten wir fogendes Ergebnis: 0.3. Lemma. Für eine beiebige homogene Form f k[x 0,..., x n ] d und N d + 1 = ( ) n+d d vorgegebene Punkte p1,..., p Nd +1 ˇP n in agemeiner Lage assen sich Linearformen i k[x 0,..., x n ] 1, i = 1,..., N d + 1 angeben, so daß V ( i ) = p i für ae i 0 und f = d d N d Beispie. Für f, eine beiebige homogene Form 4-ten Grades in 4 Variaben, und 35 Punkte p 1,..., p 35 ˇP 3 in agemeiner Lage assen sich Linearformen i k[x 0,..., x 3 ] 1, i = 1,...,35 angeben, so daß V ( i ) = p i für ae i 0 und f = Im Fogenden richtet sich unser Interesse auf den keinstmögichen Wert s(n, d), den s in (*) für agemeines f annehmen kann. Setzen wir in einer sochen Darsteung i = a (i) 0 x a n (i) x n mit a (i) j k, i = 1,..., s und j = 0, 1,..., n, so ist s von den s(n+1) Koeffizienten a (i) j abhängig, wohingegen f durch genau ( ) n+d d Parameter bestimmt ist. Wir erhaten demnach fogende Abschätzung für s(n, d): 7

8 0.5. Lemma. Für eine agemeines f k[x 0,..., x n ] d ist s(n, d) 1 ( n+d ) n+1 d Wie bereits in Satz 0.1. erwähnt git bis auf einige Ausnahmen für (n, d) auch s(n, d) = 1 ( n+d ) n+1 d. Daß der in dieser Arbeit betrachtete Fa (n, d) = (3, 4) ein socher Ausnahmefa ist, zeigt der fogende Satz: 0.6. Satz. Für f, eine agemeine homogene Form 4-ten Grades in 4 Variaben, benötigt man mindestens 10 Linearformen 1,..., 10 k[x 0,..., x n ] 1 für eine Darsteung wie in (*), wohingegen 9 = 1 4( 7 4) Linearformen nicht ausreichend sind. Es git aso: s(3, 4) = 10. Des weiteren stet sich die Frage, weche Punktemengen Γ = {p 1,..., p 10 } ˇP 3 überhaupt eine Darsteung f = mit p i = V ( i ) ˇP 3 zuassen. Der fogende Satz iefert uns eine voständige Antwort auf diese Frage: 0.7. Hauptsatz. a) Sei f eine agemeine homogene Form vom Grad 4 in 4 Variaben, p 1 ˇP 3 ein agemeiner Punkt und p 2 ein wikürich gewähter agemeiner Punkt auf der zu f bezügich p 1 apoaren Quadrik Q p1 ˇP 3 (zum Begriff der Apoarität siehe Kapite 1). Der Schnitt der zu f bezügich p 1 bzw. p 2 apoaren Quadriken Q p1 bzw. Q p2 ist dann eine gatte eiptische Kurve E vom Grad 4. b) Es existieren dann genau zwei paarweise verschiedene Punktmengen Γ 1 = { p 3,..., p 8 }, Γ 2 = { p 3,..., p 10 } und Linearformen 1, 2, 1,..., 8, 1,..., 8, so daß f = = mit p i = V ( i ) ˇP 3 für i = 1, 2 und p j = V ( j ) ˇP 3 bzw. p j = V ( j ) ˇP 3 für j = 1,...,8. Zudem erhaten wir, daß Γ 1, Γ 2 E und die Linearformen i, j, j bis auf 4-te Einheitswurzen eindeutig bestimmt sind. Hieraus kann man direkt fogern: 0.8. Satz. Seien i, i = 1,...,8, Linearformen mit Punkten p i = V ( i ) ˇP 3 in agemeiner Lage vorgegeben und f = Dann gibt es noch genau eine zweite, von der ersten verschiedene Darsteung f = , i k[x 0,..., x 3 ] 1, wobei die Punkte p i = V ( i ) ˇP 3 und p i = V ( i ) ˇP 3 ae auf dem Schnitt der beiden zu f apoaren Quadriken iegen. 8

9 0.9. Beispie. In einem konkreten Beispie für f as Summe von 8 Potenzen: f = (w + x + y) 4 + (w + x + z) 4 + (w + x + y + z) 4 + (w + y + z) 4 + +(w x y) 4 + (w y z) 4 + (w x z) 4 + (w 1.5x y z) 4 können wir anhand unseres Konstruktionsverfahrens (Satz 0.10.) die zweite Darsteung von f numerisch genähert angeben: f ( w x y z) 4 + +( w x y z) 4 + +( w x y z) 4 + +( w x y z) 4 + +( w x y z) 4 + +( w x y z) 4 + +( w x y z) ( w x y z) 4 Die Abweichung der jeweiigen Koeffizienten von f und der oben angegebenen Näherung iegt etwa im Bereich von Eine exakte Angabe der Koeffizienten as agebraische Zahen wäre in diesem Fa auch mögich, aerdings wären die Ausdrücke vie zu umfangreich. Ist f = wie in Satz 0.8. vorgegeben, so assen sich die Verschwindungsideae I Γ1, I Γ2 der beiden Punktemenge Γ 1 = {p 1,..., p 8 } ˇP 3 bzw. Γ 2 = { p 1,..., p 8 } ˇP 3. angeben. Hierzu wird entscheidend Gebrauch von der geometrischen Lage von Γ 1 und Γ 2 gemacht: Satz. Seien die Voraussetzungen wie in Satz 0.8 gegeben und Γ 1 = {p 1,..., p 8 } ˇP 3 bzw. Γ 2 = { p 1,..., p 8 } ˇP 3. Γ 1 und Γ 2 iegen dann auf einer eiptischen Kurve E vom Grad 4, dem Schnitt der beiden zu f apoaren Quadriken. Es existiert dann eine eiptische Kurve Ẽ P7 vom Grad 12 und ein Isomorphismus δ : E Ẽ. Weiter äßt sich eine Regefäche X über E angeben, die Ẽ enthät, sowie zwei ineare disjunkte Unterräume L 1, L 2 = P 3 in P 7 mit fogenden Eigenschaften: (1) L 1 Ẽ = δ (Γ 1) und L 2 Ẽ = δ (Γ 2) (2) Mit π 1 : Ẽ E 2 L 2 bzw. π 2 : Ẽ E 1 L 1 seien die Projektionen von L 1 auf L 2 bzw. von L 2 auf L 1 bezeichnet. Ẽ wird dann vermöge 9

10 π 1 bzw. π 2 auf die eiptische Kurve E 1 bzw. E 2 isomorph abgebidet. E 1 und E 2 sind dann jeweis Schnitte von X vom Grad 4. (3) L 1 = π 1 O L 2 (1) und L 2 = π 2 O L 1 (1) sind zwei invertierbare Garben auf Ẽ mit X = P(L 1 L 2 ). X ist durch O P(L1 L 2 )(1) in P 7 projektiv norma eingebettet und der homogene Koordinatenring R X von X, R = k[y 0,..., y 7 ] der homogene Koordinatenring von P 7, hat minima freie Aufösung F RX F RX : 0 R ( 8) ϑ 6 R 8 ( 7) ϑ 5 R 20 ( 6) ϑ 4 R 12 ( 4) R 16 ( 5) ϑ 3 ϑ 3 R 24 ( 3) R 2 ( 4) ϑ 2 R 12 ( 2) ϑ 1 R R X 0 (4) Sei ϑ3 : R 16 ( 5) R 2 ( 4) die Beschränkung der in F RX auftretenden Abbidung ϑ 3 : R 12 ( 4) R 16 ( 5) R 24 ( 3) R 2 ( 4). Dann git: V (ann coker ϑ 3 ) = L 1 L 2 Notation. Fortan bezeichne k einen agebraisch abgeschossenen Körper mit char k = 0 und S den homogenen Koordinatenring k[x 0,..., x n ] des P n bzw. T = k[ 0,..., n ] den homogenen Koordinatenring des ˇP n. Des weiteren wird Gebrauch vom Syzygientabeau eines graduierten S-Modus M gemacht: Sei aso 0 M F 0 F 1... F n 0 eine minimae freie Aufösung von M mit F i = S β ij ( j), dann schreiben wir das Syzygientabeau von M in der Form: β 00 β 11 β 22 βn, n β 01 β 12 β 23 β n,n+1 β 0m β 1,m+1 β 2,m+1 β n,n+m 10

11 Dabei bezeichne m die Castenuovo-Mumford Reguarität von M. Für ae Bettizahen β ij = 0 schreiben wir kürzer ein -. Für graduierte T-Modun gete entsprechendes. So nimmt beispiesweise das Syzygientabeau einer twisted cubic in P 3 die fogende Gestat an: Das Verschwindungsidea der twisted cubic hat aso drei quadratische Erzeuger, weche 2 inearen Reationen gehorchen. Mit dieser Notation hat die Aufösung F RX aus Satz 0.10.(3) fogendes Syzygientabeau: Sei R ein Ring, M ein endich erzeugtes R-Modu und R m ϕ R n M 0 eine Darsteung von M. Bei gewähten Basen in R m und R n äßt sich ϕ durch eine n m Matrix A mit homogenen Einträgen in R darsteen. Für 0 < k min(m, n) bezeichne dann I k (ϕ) bzw. I k (A) das Idea, weches durch die k k Minoren von A erzeugt wird. I(ϕ) = I(A) := I rankϕ (ϕ) ist dann unabhängig von der obigen Darsteung. 11

12 1. Apoarität Im fogenden Kapite führen wir eine Reihe von häufig benutzten Begriffen und Notationen ein, von denen wir vor aem in Kapite 2 des öfteren Gebrauch machen werden. Der Begriff der Apoarität wurde bereits, wenn auch in etwas anderer Weise, von Reye ([Reye 1]) eingeführt und spiet eine zentrae Roe in der Betrachtung von Darsteungen von agemeinen homogenen Poynomen as Summe von Potenzen von Linearformen. Sei S = k[x 0,..., x n ] und T = k[ 0,..., n ]. T operiert auf S durch Differentation: α (x β ) = α! ( ) β α x β α wenn β α und 0 sonst. α und β bezeichnen hier Mutiindizes und ( β α) = ( βi ) α i. Den agemeinen Fa erhaten wir durch ineare Fortsetzung. Ebenso operiert auch S auf T, indem wir diese Operation auf den Erzeugenden wie fogt definieren: x β ( α ) = β! ( ) α β α β Die Poare einer Form f S in einem Punkt a = (a 0 :... : a n ) P n ist dann durch P a (f) mit P a = a i i T gegeben. Mit obigen Notation ergeben sich demnach die fogenden Ergebnisse: 1.0. Lemma u. Definition. (a) P d a (f) = f(p d a ) = d!f(a) mit f k[x 0,..., x n ] d, d N (b) f(p m a ) = 0 f(a) = 0 für ae natürichen Zahen m d. Wir sagen dann, daß zwei homogene Formen f S und D T apoar sind, wenn f(d) = D(f) = 0. 12

13 Beweis. (a) Es reicht die Behauptung für ein Erzeugendensystem von S zu zeigen. Sei aso f = x µ xµn n, µ i k für i = 0,..., n und µ i = d. Dann git: Pa d (f) = ( a i i ) d d! (f) = ( µ 0!...µ (a n! 0 0 ) µ 0...(a n n ) µn )(x µ xµn n ) = = (x µ xµn n ) ( Pa d ) = d!a µ aµn n = d!f(a) (b) f(a) = 0 ff(a) = 0 f wegen (a) k[x 0,..., x n ] m d f(f(p m a )) = 0 f k[x 0,..., x n ] m d f(p m a ) = Definition und Lemma. Sei f eine homogene Form vom Grad d in n+1 Variaben und F = V (f) P n, dann definiere F = f = {D T : D(f) = 0} und A F = T/F. A F ist dann ein 0-dimensionaer Gorensteinring mit Socke im Grad d. Beweis. Wegen P a (D(f)) = 0 P a T 1 D(f) = 0 oder D T d hat A F eindimensionaen Socke. A F ist demnach ein 0-dimensionaer Gorensteinring mit Socke im Grad d (siehe auch [Eisenbud] Ex. 21.7). Fortan identifizieren wir S bzw. T mit dem homogenen Koordinatenring von P n bzw. ˇP n und F = V (f) P n sei eine Hyperfäche vom Grad d Definition. Eine Unterschema Γ ˇP n nennen wir apoar zu f : I Γ f T. 13

14 1.3. Lemma. Sei Γ = {p 1,..., p s } ˇP n eine Koektion von Hyperfächen in P n bzw. p i = V ( i ) ˇP n mit i k[x 0,..., x n ] 1 für i = 1,..., s und f k[x 0,..., x n ] d, F = V (f) P n. Dann git: Γ ist apoar zu F λ 1,..., λ s k : f = λ 1 d λ s d s. Beweis. : Ein Eement {D D(g)} Hom(T d, k) = S d, g S d, iegt in Hom(R d, k), R = T/I Γ, genau dann, wenn D(g) = 0 für ae D (I Γ ) d. Für D T d sind durch D( d i ) = 0 i, je nach Lage der Punkte p i, k s inear unabhängige Bedingungen an die Koeffizienten von D gestet, aso ist dimr d = k s. Andererseits erzeugen {D D( d i )} Hom(R d, k) einen k-dimensionaen Untervektorraum von Hom(R d, k), woraus wir Hom(R d, k) = {D D( d i )} i schießen. Da Γ apoar zu F vorausgesetzt war, haben wir (0) I Γ F. Dies induziert die Inkusion k = Hom(A F d, k) Hom(R d, k) Hom(T d, k) = S d die 1 k auf f S d abbidet. Es git demnach: D(f) = λ 1 D( d 1 ) λ s D( d s) = D(λ 1 d λ s d s) für geeignete λ 1,..., λ s k und fogich f = λ 1 d λ s d s. : f = λ i d i Lemma 1.0. g( d i ) = 0 für g I Γ, i = 1,..., s I Γ F. 14

15 2. Quartiken as Summe von Potenzen In diesem Kapite werden wir den eingangs formuierten Hauptsatz beweisen. Anaog zur Vorgehensweise Reyes ([Reye 3]) zeigen wir, daß jedes agemeine homogene Poynom f vierten Grades in 4 Variaben as Summe von 10, und nicht weniger, 4-ten Potenzen von Linearformen geschrieben werden kann. Darüber hinaus geben wir eine Aneitung, wie ae soche Linearformen zu bestimmen sind. Dabei ist es oft notwendig die von Reye gegebenen Aussagen, weche häufig eher Vermutungen as exakte Beweise darsteen, mit Hife schnittheoretischer Ergebnisse mathematisch genau zu formuieren und zu bestätigen. Um die Schnittmutipizitäten zu bestimmen, mußten wir dazu Gebrauch von computeragebraischen Berechnungen in einem Beispie für f verwenden, um dann mit Hife von Habstetigkeitsargumenten Aussagen für den agemeinen Fa treffen zu können (2.1.4.). Schießich erhaten wir ein Ergebnis (Hauptsatz 2.1.), daß in der Anzah der Darsteungen von f von Reye nicht erwartet worden war ([Reye 3] S.129). Wie bereits in der Eineitung erwähnt, kann bis auf wenige Ausnahmen für (n, d) ein agemeines f k[x 0,..., x n ] d as Summe von 1 ( n+d ) n+1 d d- ten Potenzen von Linearformen dargestet werden. Der Fa (n, d) = (3, 4) stet eine soche Ausnahme dar. So zeigt der fogende Satz, daß s(3, 4) > 4( 1 7 4) = 9 : 2.0. Satz. Eine agemeine homogene Form f vom Grad 4 in 4 Variaben äßt sich nicht as Summe von 9 vierten Potenzen von Linearformen schreiben. Beweis. Angenommen, es gäbe eine Darsteung f = λ λ 9 4 9, dann könnte man eine quadratische Form D T = k[ 0,..., 3 ] 2 angeben mit D I Γ A F, wobei Γ = {p 1,..., p 9 } ˇP 3, p i = V ( i ) für i = 1,...,9 und F = V (f). Sei D = a a a = α =2 a α α und f = β =4 c βx β mit Mutiindizes α, β. D(f) = 0 ist dann äquivaent zu einem inearen Geichungssystem in den Variaben a ij : D(f) = 0 ( α =2 a α α )( β =4 c β x β ) = 0 15

16 α =2, β =4 a α c β α! ( β α) x β α = 0 k,=0,...,3 k ( β =2 α =2 ( i,j=0,...,3 i j a α c α+β α! ( ) α+β ) x β = 0, α a γij c γij +γ k γ ij! ( γ ij +γ k γ ij ) ) x γ k = 0, wobei mit γ k der Mutiindize mit x γ k = x k x bezeichnet werde. Mit A ijk := c γij +γ k γ ij! ( γ ij +γ k ) γ ij ist D(f) = 0 äquivaent zu A ijk a ij = 0 k, = 0,...,3 mit k k,=0,...,3 k A 0000 A 0100 A 3300 A 0001 A 0101 A 3301 A 0033 A 0133 A 3333 a 00 a 01 a 33 = 0 Für Punkte p i in agemeiner Lage hat obige Matrix voen Rang, d.h. a 00 = a 01 =... = a 33 = 0 ist die einzige Lösung und somit D = 0, aso fogt die Behauptung. 16

17 2.1. Hauptsatz. a) Sei f k[x 0,..., x 3 ] 4 eine agemeine homogene Form vom Grad 4 in 4 Variaben, p 1 ˇP 3 ein agemeiner Punkt und p 2 ein wikürich gewähter agemeiner Punkt auf der zu f bezügich p 1 apoaren Quadrik Q p1 ˇP 3. Der Schnitt der zu f bezügich p 1 bzw. p 2 apoaren Quadriken Q p1 bzw. Q p2 ist dann eine eiptische Kurve E vom Grad 4. b) Es gibt dann genau zwei paarweise verschiedene Punktmengen Γ 1 = { p 3,..., p 8 }, Γ 2 = { p 3,..., p 10 } und Linearformen 1, 2, 1,..., 8, 1,..., 8, so daß f = = mit p i = V ( i ) ˇP 3 für i = 1, 2 und p j = V ( j ) ˇP 3 bzw. p j = V ( j ) ˇP 3 für j = 1,...,8. Zudem erhaten wir, daß Γ 1, Γ 2 E und die Linearformen i, j, j bis auf 4-te Einheitswurzen eindeutig bestimmt sind. Reye hatte in seinen Arbeiten ([Reye] S.129) vermutetet, daß durch Angabe der Punkte p 1 und p 2 die restichen 8 Punkte eindeutig bestimmt seien. Der Beweis des Hauptsatzes zeigt jedoch, daß Reye in diesem Punkt irrte. In den Kapiten 3 und 4 werden wir beide Lösungen expizit bestimmen. Der Beweis des Haupsatzes geht aus den fogenden 4 Unterpunkten ( ) hervor: Lemma. Sei f k[x 0,..., x 3 ] 4. Existieren 3 zu f apoare irreduzibe quadratische Formen D 1, D 2, D 3 k[ 0,..., 3 ] 2, deren Verschwindungsmengen Q 1, Q 2, Q 3 ˇP 3 sich in 8 verschiedenen Punkten Γ := {p 1,..., p 8 } ˇP 3 schneiden, so assen sich 1,..., 8 k[x 0,..., x 3 ] 1 angeben mit p i = V ( i ) oder i = 0 für i = 1,...,8 und f = Beweis. Q 1 Q 2 Q 3 = Γ ist ein voständiger Durchschnitt, d.h. I Γ = (D 1, D 2, D 3 ) ([Harris] Prop ). Γ ist demnach zu F = V (f) apoar und deshab fogt mit Lemma 1.3. die Behauptung Wir kommen nun zur zentraen Fragesteung, wie man zu einer agemein vorgegebenen homogenen Form f = β =4 c βx β in 4 Variaben Punkte p 1,..., p 10 ˇP 3 findet, die eine Darsteung (*) f = mit V ( i) = p i oder i = 0 für i = 1,...,10 17

18 erauben. Wir können o.e. annehmen, daß ae i ungeich 0 sein müssen, da sich ansonsten f as Summe von weniger as 10 vierten Potenzen von Linearformen schreiben ieße, was nach Satz 2.0. für agemeines f nicht mögich ist. Sei aso p = V () ˇP 3 ein beiebig gewähter Punkt mit = a 0 x a 3 x 3 k[x 0,..., x 3 ]. Gibt es eine Darsteung von f wie in (*) mit p = p i und = i für ein i {1,...,10}, dann iegen die neun Punkte {p 1,..., p 10 } \ {p i } auf einer eindeutig bestimmten Quadrik Q p. Da ( f ) = 0 ist p kein Punkt 2 auf Q p. Die diese Quadrik bestimmende Form D p = i,j=0,...,3 i j a ij i j = α =2 a α α mit a ij k nennen wir dann die zu f bezügich p apoare quadratische Form und ihre Verschwindungsmenge Q p = V (D p ) die zu f bezügich p apoare Quadrik. Man beachte, daß D p bis auf ein skaares Viefaches eindeutig bestimmt ist. D p hat fogende Geichung zu erfüen (zur Notation siehe Beweis von Satz 2.0): (**) D p (f) = D p ( 4 ) = λ 2 mit einem λ k ( α =2 = λ k,=0,...,3 k k,=0,...,3 k a α α )( ( β =4 i,j=0,...,3 i j c β x β ) = λ(a 0 x a 3 x 3 ) 2 a ij c γij +γ k γ ij! ( γ ij +γ k γ ij ) )xk x = γ k!a k a x k x (γ k wie im Beweis zu 2.0.) (**) ist aso äquivaent zu einem inearen Geichungssytem in den 11 Unbekannten a ij und λ, weches für ae k, = 0,...,3, k, und A ijk := c γij +γ k γ ij! ( ) γ ij +γ k γ ij fogende Form annimmt: (***) λγ k a k a + a 00 A 00k + a 01 A 01k a 33 A 33k = 0 18

19 Sei ξ = V (ξ 0 x 0 +ξ 1 x 1 +ξ 2 x 2 +ξ 3 x 3 ) ˇP 3, ξ 0,..., ξ 3 k, ein Punkt auf Q p, d.h. ξ erfüt die Geichung i,j=0,...,3 a ij ξ i ξ j = 0, dann iefert diese Bedingung i j an ξ auch eine ineare Geichung in den Variaben a ij. Zusammen mit den in (***) gegebenen Geichungen erhaten wir ein ineares Geichungssytem in den 11 Unbekannten a ij, λ bestehend aus 11 Geichungen: 0 ξ0 2 ξ 0 ξ 1 ξ3 2 a 2 0 A 0000 A 0100 A 3300 a 0 a 1 A 0001 A 0101 A 3301 a 2 3 A 0033 A 0133 A 3333 } {{ } =:A(ξ,a) mit a=(a 0,...,a 3 ) λ a 00 a 01 a 33 = 0 Dieses hat genau dann eine nichttriviae Lösung, wenn D(ξ, a) := det A(ξ, a) = 0. Für agemein gewähtes a ist D(ξ, a) eine bihomogene Form vom Bigrad (2,2) in den Variaben ξ 0,..., ξ 3 und a 0,..., a 3. Ersetzen wir in D(ξ, a) noch ξ i durch i, so erhaten wir die gesuchte quadratische Form D p. Darüber hinaus ist D(ξ, a) symmetrisch in den Einträgen ξ, a, d.h. D(ξ, a) = D(a, ξ). Liegt aso ein Punkt p auf Q p, so ist umgekehrt p ein Punkt der Verschwindungsmenge von D p. Ae sebstapoaren Punkte ξ ˇP 3 (Notation nach [Reye 3]), d.h. ξ Q ξ, iegen demnach auf einer Quartik im ˇP 3, die durch die Geichung D(ξ, ξ) = 0, wenn wir noch ξ i durch i ersetzen, gegeben ist Sei f Summe von 10 vierten Potenzen von Linearformen 1,..., 10 mit Punkten p i = V ( i ) ˇP 3 in agemeiner Lage. Durch die 8 Punkte p 3,..., p 10 assen sich dann genau zwei unabhängige irreduzibe Quadriken Q i = V (q i ), q i k[ 0,..., 3 ] 2, egen. Diese schneiden sich in einer gatten eiptische Kurve E vom Grad 4 ([Hartshorne] Ex. 7.2). D p1 und D p2 assen sich dann jeweis as Linearkombination von q 1 und q 2 schreiben. Für agemeine p 1 und p 2 ist somit E = Q p1 Q p2. Die Gattheit von Q p1 Q p2 fogt demnach auch für agemeines f. Wir kommen nun zur Konstruktion einer Darsteung von f wie im Hauptsatz 2.1. behauptet: Eraubt ein agemein gegebenes f eine Darsteung (*) in der p 1 vorkommt, dann ist D p1 (f) = D p1 ( 4 1 ) = D p1 ( 2 1 ) 2 = D p 1 ( 2 1 ) und somit 1 bis 19

20 auf 4-te Einheitswurzen eindeutig bestimmt. Sei nun weiter p 2 = V ( 2 ) ˇP 3 ein agemeiner Punkt auf der zu f bezügich p 1 apoaren Quadrik Q p1. Gibt es eine Darsteung (*) von f, in der p 2 vorkommt, so ist auch 2 bis auf 4-te Einheitswurzen eindeutig bestimmt. Die restichen 8 Punkte p i = V ( i ) ˇP 3, i = 3,...,10, müssen dann auf der eiptischen Kurve E := Q p1 Q p2 iegen. Des weiteren git für jeweis zwei Punkte p i, p j, i j, daß p i Q pj bzw. p j Q pi Satz. Sei f eine agemeine homogene Form vom Grad 4 in 4 Variaben und p 1 ˇP 3, p 2 Q p1 agemein gewähte Punkte. Existiert dann ein Punktetupe (p, q, r) E E E mit paarweise verschiedenen Punkten p, q, r und q Q p, r Q p, q Q r, so existiert genau eine Darsteung f = mit 1,..., 10 k[x 0,..., x 3 ] 1 mit V ( 1 ) = p 1, V ( 2 ) = p 2, V ( 3 ) = p, V ( 4 ) = q und V ( 5 ) = r (bis auf Anordnung der i ). Ae Linearformen i sind dann bis auf 4-te Einheitswurzen eindeutig bestimmt. Beweis. Seien 1, 2 wie in ( ) ausgeführt bestimmt. ( ) p, q, r k[x 0,..., x 3 ] 1 sind durch D p (f) = D p 4 p, Dq (f) = D q 4 ( ) q bzw. Dr (f) = D r 4 r und p = V (p ), q = V ( q ) bzw. r = V ( r ) bis auf 4-te Einheitswurzen eindeutig bestimmt. D 1, D 2 und D p sind drei zu f p apoare quadratische Formen, deren Verschwindungsmengen sich in 8 Punkten q, r, s 1,..., s 6 schneiden. Nach Lemma 2.0. gibt es dann Linearformen q, r, g 1,..., g 6 k[x 0,..., x 3 ] 1 mit q = V ( q ) q = 0, r = V ( r ) r = 0, s k = V (g k ) g k = 0 für ae k = 1,...,6 und (1) f p = 4 q + 4 r + g g4 6 Anaog erhaten wir drei zu f q apoaren quadratischen Formen D 1, D 2 und D q, deren zugehörige Quadriken sich in den 8 Punkten p, r, t 1,..., t 6 schneiden. Es assen sich dann Linearformen p, r, h 1,..., h 6 k[x 0,..., x 3 ] 1 mit p = V ( p) p = 0, r = V ( r) r = 0, t k = V (h k ) h k = 0 und (2) f q = p 4 + r 4 + h h4 6 20

21 angeben. Die Differenz der beiden Geichungen (1) und (2) ist dann: 0 = ( p 4 4 p) + ( 4 q q 4 ) + ( r 4 4 r) + h h4 6 (g g4 6 ) (3) 0 = 4 p + 4 q + 4 r + h h4 6 (g g4 6 ) mit Linearformen p, q, r k[x 0,..., x 3 ] 1 und p = V ( p ) p = 0, q = V ( q ) q = 0, r = V ( r ) r = 0. Anwendung von D p auf (3) ergibt (4) 0 = ˆ 2 p + ĥ ĥ2 6 wobei ĥk,ˆ p k[x 0,..., x 3 ] 1 und p = V (ˆ p ) ˆ p = 0, t k = V (ĥk) ĥk = 0 k. Streichen wir ae Terme in (4), die 0 sind, so erhaten wir eine Darsteung der 0 wie fogt: (5) 0 = w w2 i 0 mit i 0 7 und w k k[x 0,..., x 3 ] 1, e k = V (w k ) E Wir zeigen nun, daß i 0 = 0 sein muß: Da E voständiger Durchschnitt zweier irreduziber Quadriken ist, kann E keine drei koinearen Punkte enthaten. Wir schießen nun i 0 0 sukzessive aus. i 0 = 7 : Da deg E = 4 hat E mit einer Hyperebene in ˇP 3 genau 4 Punkte gemeinsam. Liegen vier der 7 Punkte e 1,..., e 7 auf einer Ebene L 1 = V (d 1 ) mit d 1 k[ 0,..., 3 ] 1, dann können wir durch zwei der übrigen Punkte eine weitere Ebene L 2 = V (d 2 ) mit d 2 k[ 0,..., 3 ] 1 egen, die den etzten Punkt, o.e. sei dieser der Punkt e 7, nicht enthät. Liegen keine vier der 7 Punkte e 1,..., e 7 auf einer Ebene, so sei L 1 eine Ebene durch e 1, e 2 und e 3 und L 2 eine Ebene durch e 4, e 5 und e 6, die e 7 nicht enthät. D = d 1 d 2 ist aso in jedem Fa eine quadratische Form mit 0 = D(w7 2 ). Fogich muß w 7 = 0 sein, aso i 0 7. i 0 = 1,...,6 führen wir auf anaoge Weise zum Widerspruch. Für die Darsteung in (4) ergibt sich fogich, daß ˆ p = ĥ1 =... = ĥ6 = 0. Da einer der Punkte t 1,..., t 6 nicht auf Q p iegt, o.e. sei dies der Punkt t 6, muß wegen D p (h 4 6 ) = ĥ2 6 = 0 auch h 6 = 0 sein, aso iefert (2) die gesuchte Darsteung: 21

22 f = ( p) q + ( r) 4 + h h4 5 Für f wie in ist p i = V ( i ) Q pj für ae i, j = 3,...,10, i j. Somit iefert jede soche Darsteung genau 3! ( 8 3) = 336 verschiedene Punktetupe (p, q, r) mit paarweise verschiedenen Punkten p, q, r, die fogende Bedingung erfüen: (B) (p, q, r) E E E mit q Q p, r Q p, q Q r, E = Q p1 Q p Hifssatz. Mit den oben eingeführten Bezeichnungen git: Es gibt genau 672 unterschiediche Punktetupe (p, q, r) mit paarweise verschiedenen p, q, r, die (B) erfüen. Es fogt daraus, daß f genau zwei voneinander verschiedene Darsteungen von f as Summe von 4-ten Potenzen von Linearformen besitzt, die genau die Linearformen 1 und 2 gemeinsam haben. Beweis. E E E äßt sich as Schnitt der Hyperfächen H 1 := Q p1 ˇP 3 ˇP 3, H 2 := Q p2 ˇP 3 ˇP 3, H 3 := ˇP 3 Q p1 ˇP 3, H 4 := ˇP 3 Q p2 ˇP 3, H 5 := ˇP 3 ˇP 3 Q p1 und H 6 := ˇP 3 ˇP 3 Q p2 darsteen. Darüber hinaus seien H 12 := {(x, y, z) ˇP 3 ˇP 3 ˇP 3 : y Q x }, H 23 := {(x, y, z) ˇP 3 ˇP 3 ˇP 3 : z Q y } und H 13 := {(x, y, z) ˇP 3 ˇP 3 ˇP 3 : z Q x } 22

23 die Hyperfächen in ˇP 3 ˇP 3 ˇP 3, die die gegenseitigen Apoaritätsbedingungen der Punkte p, q, r beschreiben. Ae Punktetupe (p, q, r), die (B) erfüen, iegen aso auf dem Schnitt der 9 Hyperfächen H 1,..., H 6, H 12, H 23, H 23. Für den Chow Ring A (ˇP 3 ˇP 3 ˇP 3 ) git, daß A (ˇP 3 ˇP 3 ˇP 3 ) = Z[s, t, r]/(s 4, t 4, r 4 ) ([Futon] 8). Dabei repräsentiert s 3 t 3 r 3 die Kasse eines Punktes, d.h. [pt] = s 3 t 3 r 3. Weiter git aufgrund der Bihomogenität von D(ξ, a) vom Bigrad (2,2), daß [H 1 ] = [H 2 ] = 2s, [H 3 ] = [H 4 ] = 2t, [H 5 ] = [H 6 ] = 2r und [H 12 ] = 2s + 2t, [H 23 ] = 2t + 2r, [H 13 ] = 2s + 2r. Für die Anzah N der Punktetupe (p, q, r) (mit Viefachheit), die (B) erfüen, ergibt sich demnach: [H 1 ] [H 2 ] [H 3 ] [H 4 ] [H 5 ] [H 6 ] [H 12 ] [H 23 ] [H 13 ] = = 2 9 s 2 t 2 r 2 (s + t)(s + r)(t + r) = 2 10 s 3 t 3 r 3 = 2 10 [pt] = N = 2 10 Ae sebstapoaren Punkte iegen auf einer Quartik Ω ˇP 3. Durch Rechnung in einem Beipie und Anwendung von Habstetigkeitsargumenten zeigen wir, daß Ω E für agemeines f und agemein gewähte Punkte p 1, p 2 nicht singuär ist, d.h. die Schnittmenge besteht aus genau 16 paarweise verschiedenen Punkten. Ebenso zeigt eine Beispierechnung, daß ae Punktetupe (p, p, p) mit p Ω E einfache Schnittpunkte der 9 obigen Hyperfächen sind. Davon gibt es somit genau 16 (siehe Anhang A.1.-A.2 und C.1.). Es so nun die Anzah N aer Punktetupe (p, q, r) aus (B) mit p = q r p = r q q = r p bestimmt werden. Für sebstapoare Punkte p E hat Q p außer p Ω E noch 7 von p verschiedene Punkte q 1,..., q 7 mit E gemeinsam. Rechnung in einem Beispie für f zeigt, daß diese Punktetupe einfache Schnitte der 9 Hyperfächen sind (siehe Anhang A.1.-A.2. und C.1.). Fogich git N = = 336. Für die Anzah M (mit Viefachheit) von Punktetupe (p, q, r) im Schnitt von H 1,..., H 6, H 12, H 23, H 23 mit paarweise verschiedenen Punkten p, q, r erhaten wir demnach: 23

24 M = = 672 = 2 3! ( ) 8 3 Es fogt aso die Existenz eines sochen Punktetupes (p, q, r) und somit auch die Existenz einer Darsteung von f wie in Wie bereits oben ausgeführt, iefert eine soche Darsteung genau 336 verschiedene Punktetupe (p, q, r) mit paarweise verschiedenen p, q, r, die (B) erfüen. Wieder zeigen wir durch Rechnung in einem Beipie und Zuhifenahme von Habstetigkeitsargumenten, daß diese Punktetupe einfache Schnittpunkte der Hyperfächen H 1,..., H 6, H 12, H 13 und H 23 sind (siehe Anhang A.1.-A.2., B und C.1.). Daraus fogt die Behauptung. Wir haben damit den Hauptsatz bewiesen. Eine unmittebare Fogerung desseben ist Satz. Seien i k[x 0,..., x 3 ] 1, i = 1,...,8, Linearformen mit Punkten p i = V ( i ) ˇP 3 in agemeiner Lage vorgegeben und f = Dann gibt es genau eine zweite, von der ersten verschiedene, Darsteung f = , i k[x 0,..., x 3 ] 1, wobei die Punkte p i = V ( i ) ˇP 3 und p i = V ( i ) ˇP 3 ae auf dem Schnitt der beiden zu f apoaren Quadriken iegen. Die auftretenden Linearformen sind bis auf 4-te Einheitswurzen eindeutig bestimmt. Beweis. Seien i k[x 0,..., x 3 ] 1, i = 1,...,8, Linearformen mit Punkten p i = V ( i ) ˇP 3 in agemeiner Lage vorgegeben und f = , dann kann man zwei weitere Linearformen, wähen, so daß {,, 1,..., 8 } eine agemeine Koektion von 10 Linearformen darstet. Auf f := wenden wir den Hauptsatz an: Bei festen, gibt es für f = noch genau eine weitere verschiedene Darsteung von f, wobei ae Punkte p i := V ( i ) ˇP 3 genau wie die Punkte p i auf dem Schnitt E der beiden zu f bezügich p = V () bzw. p = V ( ) apoaren Quadriken, iegen. Das Verschwindungsidea von 8 Punkten in agemeiner Lage enthät genau zwei quadratische Erzeuger. Die beiden durch diese quadratischen Erzeuger bestimmten Quadriken schneiden sich in einer eiptischen Kurve vom Grad 4, d.h. eine soche eiptische Kurve ist durch Angabe von 8 auf ihr iegenden Punkte eindeutig bestimmt. E ist daher nicht von der Wah der beiden Linearformen, abhängig. Es fogt die Behauptung. 24

25 Abschießend erhaten wir in diesem Zusammenhang noch ein Ergebnis, das wir im fogenden Kapite benötigen: Lemma. Sei f wie in Satz , dann git: dim (A F ) 2 = 2. Beweis. Wir übernehmen die Notationen aus dem vorangehenden Satz. Es gibt dann noch genau eine weitere Darsteung von f as Summe von 8 vierten Potenzen von Linearformen i. Die Punkte p i, p i iegen ae auf der eindeutig bestimmten eiptischen Kurve E, die durch den Schnitt zweier Quadriken, bestimmt durch quadratische Formen D 1 und D 2, hervorgeht. f enthät aso wenigstens 2 unabhängige quadratische Erzeuger. Angenommen f enthiete noch eine weitere von D 1, D 2 unabhängige quadratische Form D 3, dann hätten wir für i = 1, 2, 3 und f := f wie in , daß D i (f ) = D i ( 4 ) + D i ( 4 ) = λ i 2 + µ i 2 mit λ i, µ i k Es gäbe somit eine Linearkombination D = η i D i der quadratischen Formen D i mit D(f ) = 0, d.h. eine zu f apoare quadratische Form, im Widerspruch zu Satz 2.0. Fogich hat f genau zwei quadratische Erzeuger. 25

26 3. Syzygiendarsteungen In diesem Kapite iefern wir die notwendigen Informationen über A F und T/I Γ für ein f = mit Linearformen i k[x 0,..., x 3 ] 1 bzw. Punkten p i = V ( i ) ˇP 3 in agemeiner Lage um in Kapite 4 abschießend eine Konstruktion der Verschwindungsideae I Γ1, I Γ2 der beiden Punktemenge Γ 1 = {p 1,..., p 8 } ˇP 3 bzw. Γ 2 = { p 1,..., p 8 } ˇP 3 aus Satz angeben zu können. In 3.3. und 3.4 nehmen wir bereits einige Ergebnisse über die Geometrie der Punktmengen Γ 1 bzw. Γ 2 vorweg. So zeigen wir, daß es einen Isomorphismus δ zwischen der durch f bestimmten eiptische Kurve E vom Grad 4 (siehe ) und einer eiptischen Kurve Ẽ P7 vom Grad 12 gibt. Ẽ hat dann mit zwei inearen Unterräumen L 1, L 2 = P 3 jeweis genau die Punkte δ(γ 1 ) bzw. δ(γ 2 ) gemeinsam. In 3.1 und 3.2 werden minima freie Aufösungen von T/I Γ und A F bestimmt: 3.1. Lemma. Sei T/I Γ der homogenen Koordinatenring einer Punktemenge Γ = {p 1,..., p 8 } ˇP 3 von 8 Punkten in agemeiner Lage in ˇP 3, dann besitzt T/I Γ die minima freie Aufösung: θ F: 0 T/I 0 θ Γ T 1 T 2 ( 2) T 4 ( 3) θ 2 T 9 ( 4) θ 3 T 4 ( 5) 0 Beweis. M := T/I Γ ist Cohen-Macauay ([Eisenbud] Ex ), fogich besitzt M eine minima freie Aufösung der Länge 3 = codim(ann T/I Γ ) =codim(i Γ ) ([Eisenbud] Cor ). Ist x T 1 ein Nichtnuteier von T und M (die Geichung einer Hyperbene, die keinen der Punkte p i enthät), so hat die minima freie Aufösung von M as T-Modu das geiche Syzygientabeau wie die von M := M/xM as T = T/x-Modu. Sei nun θ F : 0 T/I 0 θ Γ T 1 F1... θ 3 F 3 0 mit freien T-Modun F 1,..., F 3 die minima freie Aufösung von M as T-Modu. Für F i = i,j T β ij ( j) git β ij = dimtor T i (k, M) j = dim Tor T i (k, M) j. Tor T i (k, M) j kann auch berechnet werden, indem wir anstatt einer freien Aufösung von M eine freie Aufösung von k mit freien T Modun betrachten und diese mit M tensorieren ([Eisenbud] 19.5.). Eine soche Aufösung von k ist durch den Koszukompex der Länge 3 gegeben: 26

27 0 k T T 3 ( 1) T 3 ( 2) T( 3) 0 Wir haben noch die Werte der Hibertfunktion H M von M zu bestimmen: Offensichtich git H M (0) = 1 und H M (1) = 4. Da sich durch 8 Punkte in agemeiner Lage genau ( ) 3+d d 8 Hyperfächen vom Grad d N egen assen, ergibt sich H M (d) = ( ) ( 3+d d ( 3+d ) d 8) = 8 und somit für die Werte der Hibertfunktion H M des T Modus M, daß H M(0) = 1, H M(1) = 3, H M(2) = 4 und H M(d) = 0 für ae d 3. Tensorieren des obigen Koszukompexes mit M iefert den Kompex: M T 3 ( 1) }{{} M T 3 ( 2) }{{} M( 3) }{{} M (0) M (1) M (2) M (3) 0 M ϕ 1 }{{} ϕ 2 ϕ 3 0 Unter Beachtung der Graduierung erhaten wir das fogende Tabeau: 0 M (0) ϕ 1 M (1) ϕ 2 M (2) ϕ 3 M (3) 0 M (0) 0 M (1) 1 M (2) ϕ (1) 1 ւ ϕ (2) 2 ւ M (0) 1 M (1) 2 M (2) ϕ (2) 1 ւ ϕ (3) 2 ւ 2 M (3) 3 ϕ (3) 3 ւ 3 M (3) 4 ϕ (4) 3 ւ M (0) 2 M (1) 3 M (2) 4 M (3) 5 wobei ϕ () k : M(k) M (k 1) die Zeregung der Abbidung ϕ k in die Anteie vom Grad darstet. Diese Abbidungen sind im obigen Tabeau durch die schräg veraufenden Pfeie dargestet. Sei c k = dim M (k), dann nimmt obiges Tabeau mit den Einträgen c k an Stee von M (k) fogende Form an: 0 M (0) ϕ 1 M (1) ϕ 2 M (2) ϕ 3 M (3) ւ ւ ւ ւ ւ ւ

28 Da die aternierende Summe der Dimensionen der Homoogien eines beiebigen Kompexes 0 W 0 W 1... W n 0 von R-Modun, R ein Ring, geich der aternierenden Summe n i=0 ( 1)i dimw i der Dimensionen von W i ist, können wir die Bettizahen β ij = dimtor T/x (k, M/xM) j mit Hife des obigen Tabeaus berechnen. Offensichtich git β 00 = 1 und β 0j = 0 für ae j > 0. Die Punkte Γ iegen nicht auf einer Hyperbene, woraus sich β 11 = 0 und damit auch β 22 = β 33 = 0 ergibt, aso β 12 = = 2. I Γ hat 2 quadratische Erzeuger q 1, q 2. Diese haben genau eine Syzygie, die Koszureation ( q 2 q 1 ), aso ist β23 = 0, woraus wir β 34 = 0 schießen. Damit git: β 13 = = 4 und β 24 = 12 3 = 9. Das Syzygientabeau von T/I Γ hat demnach fogende Form: i und somit T/I Γ die minima freie Aufösung: θ F: 0 T/I 0 θ Γ T 1 T 2 ( 2) T 4 ( 3) θ 2 T 9 ( 4) θ 3 T 4 ( 5) 0 28

29 3.2. Lemma. Für f = mit Linearformen i k[x 0,..., x 3 ] 1 bzw. Punkten p i = V ( i ) ˇP 3 in agemeiner Lage, hat A F die minima freie Aufösung: L: 0 A F φ 0 T φ 1 T 2 ( 2) T 8 ( 3) φ 2 T 18 ( 4) φ 3 φ 3 T 8 ( 5) T 2 ( 6) φ 4 T( 8) 0 Beweis. Für die Hibertfunktion H N von N = A F git, daß H N (0) = 1, H N (1) = 4, H N (d) = 0 für d > 4 und H N (2) = 10 2 = 8 wie bereits in gezeigt. Da A F Gorenstein ist, sind die Werte der Hibertfunktion symmetrisch, d.h. H N (4 d) = H N (d) für d = 0, 1,...,4, aso ist H N (3) = 4 und H N (4) = 1. Da I Γ A F muß die minima freie Aufösung von A F den F as Unterkompex enthaten. Darüber hinaus hat eine soche Aufösung: L: 0 A F φ 0 T φ 1 φ 2 φ 4 G 1... G4 0 mit freien T-Modun G 1,..., G 4 Länge 4 (=codim f ) und ist sebstdua, d.h. L = L as Kompexe und G 4 = T. ([Eisenbud] Cor ) Die Berechnung des Syzygientabeaus von A F mit Bettizahen β ij = dimtor T i (k, N) j erfogt in anaoger Weise wie die von T/I Γ in 3.1. Wir müssen dazu N mit dem Koszukompex der Länge 4 tensorieren, wecher uns eine freie Aufösung von k mit freien T Modun iefert: 0 k T T 4 ( 1) T 6 ( 2) T 4 ( 3) T( 4) 0 Wir erhaten dann den Kompex N T 4 ( 1) }{{} N T 6 ( 2) }{{} N (0) N (1) N (2) ψ 1 0 }{{} N ψ 2 ψ 3 ψ 3 ψ 4 N T 4 ( 3) }{{} N( 4) }{{} N (3) N (4) 0 29

30 wecher unter Beachtung der Graduierung fogende Gestat annimmt: 0 N (0) ψ 1 N (1) ψ 2 N (2) ψ 3 N (3) ψ 4 N (4) 0 N (0) 0 N (1) 1 N (2) ψ (1) 1 ւ ψ (2) 2 ւ N (0) 1 N (1) 2 N (2) ψ (2) 1 ւ ψ (3) 2 ւ N (0) 2 N (1) 3 N (2) ψ (3) 1 ւ ψ (4) 2 ւ N (0) 3 N (1) 4 N (2) ψ (4) 1 ւ ψ (5) 2 ւ 2 N (3) 3 N (4) 4 ψ (3) 3 ψ (4) 4 ւ ւ 3 N (3) 4 N (4) 5 ψ (4) 3 ւ ψ (5) 4 ւ 4 N (3) 5 N (4) 6 ψ (5) 3 ψ (6) 4 ւ ւ 5 N (3) 6 N (4) 7 ψ (6) 3 ւ ψ (7) 4 ւ N (0) 4 N (1) 5 N (2) 6 N (3) 7 N (4) 8 Dabei stet ψ () k : N (k) N (k 1) Anteie vom Grad dar. Mit d k = dim M (k) Einträgen d k an Stee von M (k) die Zeregung der Abbidung ψ k in die fogende Form an: nimmt obiges Tabeau mit den 0 N (0) ψ 1 N (1) ψ 2 N (2) ψ 3 N (3) ψ 4 N (4) ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ ւ Die Bettizahen β ij assen sich wie in 3.1. sukzessive bestimmen: Offensichtich ergibt sich β 01 = β 02 = β 03 = β 04 = 0. f enthät keine inearen 30

31 Erzeuger, aso git β 11 = 0 und damit auch β 22 = β 33 = β 44 = 0. Nach Lemma ist β 12 = 2. β 23 = β 34 = β 45 = 0 fogt anaog wie in 3.1. Die Duaität des Kompexes L iefert dann β 14 = β 34 = 0, β 47 = β 01 = 0, β 25 = β 23 = 0 und β 36 = β 12 = 2. Schießich erhaten wir β 35 = β 13 = 32 4 (24 4) = 8 und β 24 = 48 (16 1) (16 1) = 18. Wir können nun das Syzygientabeau von A F angeben: Die minima freie Aufösung von A F ist demnach: L : 0 A F φ 0 T φ 1 T 2 ( 2) T 8 ( 3) φ 2 T 18 ( 4) φ 3 φ 3 T 8 ( 5) T 2 ( 6) φ 4 T( 8) 0 31

32 Um die eingangs angedeutete Isomorphie E = Ẽ P7 zu zeigen, betrachten wir den fip einer Matrix: 3.3. Fip einer Matrix. Sei A ( 0,..., 3 ) = (A ij ) ij eine m n Matrix, m, n N, mit inearen Einträgen A ij = a (0) ij a (3) ij 3 k[ 0,..., 3 ] 1, i = 1,.., m, j = 1,.., n. Setzt man für 0,..., 3 feste Werte ξ 0,..., ξ 3 k ein, so erhät man eine durch A (ξ0,...,ξ 3 ) = (a (0) ij ξ a (3) ij ξ 3) ij gegebene ineare Abbidung A (ξ0,...,ξ 3 ) : k n k m. Mit y = (y 0,..., y n 1 ) t k n git dann: A (ξ0,...,ξ 3 ) y = = a (0) 11 ξ a (3) 11 ξ 3 a (0) 1n ξ a (3) 1n ξ 3 a (0) m1 ξ a (3) m1 ξ 3 a (0) mnξ a (3) mnξ 3 y 0 y n 1 = = y 0 (a (0) 11 ξ a (3) 11 ξ 3) y n 1 (a (0) 1n ξ a (3) 1n ξ 3) y 0 (a (0) m1 ξ a (3) m1 ξ 3) y n 1 (a (0) mnξ a (3) mnξ 3 ) = = a (0) 11 y a (0) 1n y n 1 a (3) 11 y a (3) mny n 1 a (3) 1n y n 1 a (0) m1 y a (0) m1 y a (3) mny n 1 }{{} =:A (y 0,...,y n 1 ) ξ 0 ξ 3 A (y 0,...,y n 1 ) ist dann bei veränderichen y 0,..., y n 1 eine m 4 Matrix mit inearen Einträgen in R = k[y 0,..., y n 1 ], weche wir den Fip von A ( 0,..., 3 ) nennen. A (y 0,...,y n 1 ) induziert dann auch eine Abbidung A (y 0,...,y n 1 ) : R4 R m bzw. einen Vektorraumhomomorphismus A (η 0,...,η n 1 ) : k4 k m für feste Werte η 0,..., η n 1 k. Wir woen nun dieses Ergebnis auf die Einschränkung φ 3 : T 8 ( 5) T 18 ( 4) der in der freien Aufösung von A F 32

33 L : 0 A F φ 0 T φ 1 T 2 ( 2) T 8 ( 3) φ 2 T 18 ( 4) φ 3 φ 3 T 8 ( 5) T 2 ( 6) φ 4 T( 8) 0 vorkommenden Abbidung φ 3 anwenden. φ 3 kann durch eine 18 8 Matrix B ( 0,..., 3 ) mit inearen Einträgen in k[ 0,..., 3 ] dargestet werden. Mit B(y 0,...,y 7 ) bezeichnen wir dann den Fip von B ( 0,..., 3 ), der eine 18 4 Matrix mit inearen Einträgen in k[y 0,..., y 7 ] ist Lemma. Sei Ẽ := V (ann coker (B (y 0,...,y 7 ) )) P7 und E = V (q 1, q 2 ), wobei q 1 und q 2 die beiden quadratischen Erzeuger von f bzw. I Γ sind, dann existiert ein Isomorphismus δ : E Ẽ. Beweis. Sei p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) (= V (ξ 0 x ξ 3 x 3 )) ein beiebiger Punkt in ˇP 3, dann erhät man nach Lokaisation von L in p, unter Beachtung von A F p = 0, den exakten Kompex: φ 1p L p : 0 T p Tp 2 ( 2) Tp 8 ( 3) φ 2p Tp 18 ( 4) φ 3p φ 3p T 8 p ( 5) T 2 p ( 6) φ 4p T p ( 8) 0 L p stet aso eine freie Aufösung der 0 dar und ist somit trivia ([Eisenbud] Lemma 20.1), d.h. eine direkte Summe von Kompexen der Form 0 A 1 A mit einem Ring A Ein socher Kompex beibt auch nach Tensorierung mit κ(p), dem Restkassenkörper von T in p, exakt: L(p) :=L p κ(p) : 0 k φ(p) 1 k 2 k 8 φ(p) 2 k φ(p) 18 3 k 8 k 2 φ(p) 4 k 0 33

34 L(p) geht aso aus L hervor, indem wir in den Matrizen, weche die Abbidungen φ i bestimmen, 0,..., 3 durch ξ 0,..., ξ 3 ersetzen und damit die Vektorraumhomomorphismen φ (p) i erhaten, d.h. L(p) ergibt sich durch Einsetzen des Punktes p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) in L. L ist sebstdua, somit werden beim Einsetzen eines Punktes p E sowoh die beiden quadratischen Erzeuger von Im φ 1, durch die E bestimmt ist, as auch die quadratischen Terme des Erzeugers von Im φ 4 geich 0. φ (p) 4 wird aso durch eine 10 1 Matrix der Form ( ) t repräsentiert. Der Vektorraumhomomorphismus φ (p) 3 : k 8 k 2 k 18 hat fogich 1-dimensionaen Kern ker(φ (p) 3 ) = (η 0,..., η 7, 0, 0) t, d.h. die Matrix B (ξ0,...,ξ 3 ) aus 3.3. besitzt 1-dimensionaen Kern kerb (ξ0,...,ξ 3 ) = (η 0,..., η 7 ) t. Damit hat B, (y 0,...,y 7 ) der Fip von B ( 0,..., 3 ), für (y 0,..., y 7 ) = λ(η 0,..., η 7 ), λ k beiebig, einen nichttriviaen Kern, der (ξ 0,..., ξ 3 ) t enthät. B hat aso Rang 3, (η 0,...,η 7 ) und somit ist wegen V (ann coker B ) = V (I (y 0,...,y 7 ) 4(B )) ([Eisenbud] (y 0,...,y 7 ) Prop. 20.7): (η 0 :... : η 7 ) V (ann coker B ). (y 0,...,y 7 ) Wir erhaten fogich eine Abbidung δ : E Ẽ indem wir dem Punkt p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) E den Punkt q = (η 0 :... : η 7 ) P 7 zuordnen. Für p E ist rang B (ξ0,...,ξ 3 ) = 8 1 = 7. Innerhab einer Zariski-offenen Menge U von p besitzt B (ξ0,...,ξ 3 ) aso eine 7 7 Untermatrix, deren Determinante auf U nicht verschwindet. Die Einträge η 0,..., η 7 der Nustee (η 0,..., η 7 ) t kerb (ξ 0,...,ξ 3 ), (ξ 0 :... : ξ 3 ) U E, assen sich mit Hife der Cramerschen Rege as Quotient zweier homogener Poynome geichen Grades (Grad 7) in ξ 0,..., ξ 3 darsteen. Den Nenner dieses Quotienten stet die Determinante der 7 7 Matrix von B (ξ 0,...,ξ 3 ), weche auf U voen Rang besitzt. δ beschreibt demnach einen Morphismus von E nach Ẽ. Uns beibt aso noch zu zeigen, daß δ auch eine Umkehrung δ 1 : Ẽ E besitzt. Sei dazu q = (η 0 :... : η 7 ) Ẽ gegeben und damit: rang B (η 0,...,η 7 ) 3. Somit gibt es ein nichttriviaes Eement (ξ 0,..., ξ 3 ) t ker B(η 0, :...,η 7 ). Aus B (η 0 :...:η 7 ) (ξ 0,..., ξ 3 ) t = 0 erhaten wir mit Hife von 3.3., daß B (ξ0,...,ξ 3 ) (η 0,..., η 7 ) t = 0. Mit p := (ξ 0 :... : ξ 3 ) git wegen dim ker φ (p) 3 = 1, daß kerφ (p) 3 = (η 0,..., η 7, 0, 0) t und damit Im φ (p) 4 k 8 0. Die beiden quadratischen Terme des Erzeugers von Im φ 4 werden aso beim Ersetzen von 0,..., 3 durch ξ 0,..., ξ 3 geich 0, aso muß p auf E iegen. Wir definieren fogich δ 1 (q) := p. Diese Abbidung ist wohdefiniert: Angenommen, es gäbe noch ein weiteres Eement ( ξ 0,..., ξ 3 ) t ker B(η 0,...,η 7 ) \ (ξ 0,..., ξ 3 ) t, dann würde auch die Gerade durch p und p := ( ξ 0 :... : ξ 3 ) auf E iegen. Da E voständiger 34

35 Durchschnitt von zwei irreduziben Quadriken ist, erhaten wir einen Widerspruch. Wie oben sehen wir, daß δ 1 einen Morphismus definiert. Darüber hinaus git offensichtich, daß δ δ 1 = δ 1 δ = id Lemma. Es existieren zwei ineare Unterräume L 1, L 2 = P 3 in P 7, so daß L 1,L 2 jeweis genau die 8 Punkte δ(γ 1 ) bzw. δ(γ 2 ) mit der eiptischen Kurve Ẽ gemeinsam haben. Darüber hinaus git: deg Ẽ = 12. Beweis. Seien F 1 bzw. F 2 die minima freien Aufösungen von T/I Γ1 bzw. T/I Γ2, die nach 3.1. jeweis fogende Darsteung besitzen (i = 1, 2) : θ i,0 F i : 0 T/I Γ T θ i,1 T 2 ( 2) T 4 ( 3) θ i,2 T 9 ( 4) θ i,3 T 4 ( 5) 0 Syzygientabeau von F i : θ i,3 wird durch eine 9 4 Matrix C (i) ( 0,..., 3 ) mit inearen Einträgen in k[ 0,..., 3 ] repräsentiert. Den zugehörigen Fip bezeichnen wir mit C (i) (y 0,...,y 7 ). Lokaisation von F i in einem Punkt p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) = V (ξ 0 x ξ 3 x 3 ) ˇP 3 und anschießende Tensorierung mit κ(p) iefert einen Kompex F i (p) = (F i ) p κ(p) : 0 (T/I Γ ) p κ(p) θ(p) i,0 k θ(p) i,1 k 2 k 4 θ(p) i,2 k 9 θ(p) i,3 k 4 0 der für p / Γ i exakt ist. F i (p) geht aus F i anaog wie oben durch Einsetzen von p hervor. Ersetzt man 0,..., 3 durch ξ 0,..., ξ 3, so erhaten wir für k = 0,...,3 aus den Abbidungen θ i,k die k Vektorraumhomomorphismen, weche durch die Matrizen C(i) (ξ 0,...,ξ 3 ) repräsentiert werden. Da T/I Γ i Cohen-Macauay ist, git depth I(θ i,1 ) = depth I Γi = dim I Γi = 1 und somit (Eisenbud Cor ): θ (p) i,k 35

36 rad I Γi = rad I(θ i,1 ) = rad I(θ i,2 ) = rad I(θ i,3 ) = rad I 4 (θ i,3 ) V (ann coker t C (i) ( 0,..., 3 ) ) = V (I 4(C (i) ( 0,..., 3 ) )) = V (I Γ i ) = Γ i Fogich hat C (i) (ξ 0,...,ξ 3 ) genau dann nichttriviaen Kern, wenn (ξ 0 :... : ξ 3 ) Γ i. Wegen I Γ1, I Γ2 A F enthät die minima freie Aufösung L von A F die Kompexe F 1, F 2 as Unterkompexe. Es assen sich aso invertierbare Matrizen P (i) GL(18, k) und Q (i) GL(8, k) angeben mit P (i) B ( 0,..., 3 )Q (i) = ( C (i) ( 0,..., 3 ) 0 ) Seien nun, bei festem i, (η 0,..., η 3 ) t, ( η 0,..., η 3 ) t ker C (i) (ξ 0,...,ξ 3 ) für p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) Γ i, dann git: 0 = B (ξ0,..,ξ 3 )Q (i) (η 0,..., η 3, 0,..,0) t = B (ξ0,..,ξ 3 )Q (i) ( η 0,.., η 3, 0,..,0) t Q (i) (η 0,.., η 3, 0,..,0) t, Q (i) ( η 0,.., η 3, 0,..,0) t kerb (ξ0,..,ξ 3 ) Wegen dim ker B (ξ0,..,ξ 3 ) = 1 müssen (η 0,..., η 3 ) t und ( η 0,..., η 3 ) t inear abhängig sein, aso ist dim kerc (i) (ξ 0,...,ξ 3 ) = 1, p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) Γ i und dim kerc (i) (ξ 0,...,ξ 3 ) = 0 für ae Punkte p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) / Γ i. Wir zeigen, daß ae Punkte aus Γ i vermöge der oben eingeführten Abbidung δ in einen 3 dimensionaen inearen Unterraum L i P 7 abgebidet werden: Sei dazu p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) Γ i, dann zeigen obige Ausführungen, daß kerc (i) (ξ 0,...,ξ 3 ) = (η 0,..., η 3 ) t und damit ker B (ξ0,..,ξ 3 ) = Q (i) (η 0,..., η 3, 0,...,0) t. Daraus fogern wir: δ(γ i ) Q (i) (k 4 0)/ =: L i 36

37 wobei (w 0,..., w 7 ) t ( w 0,..., w 7 ) t : (w 0,..., w 7 ) t = λ( w 0,..., w 7 ) t für ein λ k. L i ist aso ein 3 dimensionaer inearer Unterraum in P 7. Sei nun q = (η 0 :... : η 7 ) (L i Ẽ)\δ(Γ i), d.h. (η 0,..., η 7 ) t = Q (i) ( η 0,..., η 3, 0,...,0) t und somit B (ξ0,..,ξ 3 )Q (i) ( η 0,.., η 3, 0,..,0) t = 0 für p = (ξ 0 :... : ξ 3 ) = δ 1 (q). Dann ist ( η 0,..., η 3 ) t kerc (i) (ξ 0,...,ξ 3 ), woraus p Γ i und damit auch q δ(γ i ) fogt. L i hat somit mit Ẽ genau die 8 Punkte δ(γ i) gemeinsam. Es beibt noch der Grad von Ẽ zu bestimmen: Wir wissen bereits, daß es einen 3 dimensionaen inearen Unterraum, o.e. sei dies L 1, in P 7 gibt, der mit Ẽ genau 8 Punkte gemeinsam hat. Geben wir uns 3 beiebige zusätziche Punkte auf Ẽ vor, so können wir durch diese und die 8 anderen eine Hyperbene H P 7 egen, die L 1 enthät. Dies iefert uns eine erste Abschätzung: deg Ẽ 11. Seien nun q, r Ẽ \ L 1 zwei feste Punkte auf Ẽ und G = P 1 eine Gerade in P 7, die weder in L 1 iegt noch einen Punkt mit Ẽ gemeinsam hat. Ist s G ein Punkt auf der Geraden G, so äßt sich eine Hyperbene H s durch die 11 Punkte {q, r, s} δ(γ 1 ) egen. Angenommen, deg Ẽ = 11, dann hätte H s zusätzich zu den 10 Punkten {q, r} δ(γ 1 ) genau einen weiteren Schnittpunkt P s H s Ẽ mit Ẽ. Durch die Abbidung γ : G Ẽ, weche s G den Punkt P s zuordnet, wäre somit eine P 1 - Parametrisierung der eiptischen Kurve Ẽ gegeben, aso Widerspruch. Es fogt: deg Ẽ 12. Die Berechnung von deg Ẽ in einem Beispie für f ergibt wie behauptet: deg Ẽ = 12. Ein Habstetigkeitsargument iefert dann die Richtigkeit der Aussage im agemeinen Fa (siehe Anhang A.1.-A.2. und C.2.). 37