Ein Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen

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1 Ein Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung paraboischer Differentiageichungen Dissertation zur Erangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.) der Mathematisch Naturwissenschaftichen Fakutät der Rheinischen Friedrich Wihems Universität Bonn vorgeegt von Danie Oetz aus Bornheim-Sechtem Bonn 26

2 Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch Naturwissenschaftichen Fakutät der Rheinischen Friedrich Wihems Universität Bonn 1. Referent: Prof. Dr. Michae Griebe 2. Referent: Prof. Dr. Rof Krause Tag der Promotion:

3 Zusammenfassung In der voriegenden Arbeit werden effiziente adaptive Diskretisierungsverfahren zur numerischen Lösung paraboischer Probeme vorgestet. Hierbei geingt es erstmaig, aufbauend auf spezieen diskreten Funktionenräumen, den sogenannten Raum- Zeit Dünngitterräumen, paraboische Probeme mit der geichen Kompexität im Speicher- und Rechenaufwand wie stationäre eiptische Probeme zu ösen. Obwoh wesentich weniger Freiheitsgrade as bei kassischen paraboischen Diskretisierungsverfahren benötigt werden, erreichen wir mit den vorgesteten Verfahren die (bis auf einen ogarithmischen Faktor) geichen Konvergenzraten wie bei herkömmichen Diskretisierungen. Hierzu werden edigich etwas stärkere Gattheitsvoraussetzungen an die Lösung des paraboischen Probems benötigt. Es wird jedoch in dieser Arbeit gezeigt, dass diese Gattheitsvoraussetzungen bei geeigneten Annahmen an das Gebiet, die rechte Seite und die Anfangs- und Randbedingungen für die Lösung paraboischer Probeme erfüt sind. Ferner steen wir für den Fa, dass die zu approximierende Funktion nicht genügend gatt ist, eine adaptive Erweiterung des Verfahrens in Raum und Zeit vor. Die resutierenden adaptiven Diskretisierungen weisen in den numerischen Experimenten für Probeme mit nicht gatten Lösungen nahezu die geiche Effizienz wie die nicht adaptiven Diskretisierungsverfahren für Probeme mit genügend gatten Lösungen auf. Besonders bemerkenswert ist hierbei, dass das vorgestete adaptive Verfahren automatisch zu okaen Zeitschritten (oca time stepping) führt, deren Umsetzung bei herkömmichen Diskretisierungen agorithmisch aufwändig ist. Zur effizienten Lösung der bei der Diskretisierung anfaenden inearen Geichungssysteme werden in dieser Arbeit Mutieveöser in Raum-Zeit entwicket. Wir untersuchen die Konvergenzeigenschaften der Löser an numerischen Beispieen, die zeigen, dass die Konvergenzraten von der Feinheit der Diskretisierung unabhängig sind. Zum Abschuss verwenden wir die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen zur numerischen Lösung der zu instationären verteiten Kontroprobeme gehörenden Sattepunktsprobeme. Während bisherige Arbeiten zur Diskretisierung dieser Sattepunktsprobeme auf Grund der hohen Zah an Freiheitsgraden kassischer Diskretisierungsverfahren hierbei edigich zwei Ortsdimensionen behanden, sind wir mit den Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen in der Lage, erstmas auch Probeme in drei Ortsdimensionen zu behanden. Hierzu erweitern wir die Mutieveöser und die Adaptivität auf die Lösung von Systemen paraboischer Differentiageichungen. Unterschiediche numerische Beispiee demonstrieren dabei die Effizienz der adaptiven Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung zur Lösung der Sattepunktsprobeme in bis zu drei Ortsdimensionen.

4 Danksagung An dieser Stee möchte ich es nicht versäumen, den Personen Dank auszusprechen, die auf die eine odere andere Art dazu beigetragen haben, dass es mögich war, diese Arbeit zu beginnen, durchzuhaten und zu einem erfogreichen Abschuss zu bringen. Zunächst gebührt an dieser Stee mein Dank Prof. Michae Griebe, der mich in dieses Thema eingeführt und mir mit zahreichen Ideen und Ratschägen weiter gehofen hat. Ebenso möchte ich mich bei Prof. Rof Krause für die Übernahme des Zweitgutachtens und für die Zeit, die er stets für Diskussionen mit mir übrig hatte, bedanken. Dip. Math. Jürgen Braun und Nino Meurer git mein Dank für das Korrekturesen. Einen ganz besonderen Dank git Herrn Dr. Marc Aexander Schweitzer dafür, dass er immer ein offenes Ohr und viee Denkanstöße für mich hatte und mir bei jegichen Computerprobemen zur Seite stand. As weitere wichtige Person, ohne die ich nur hab so vie Freude bei der Arbeit gehabt hätte, sei meinem Koegen Herrn Dip. Phys. Lukas Jager Dank gesagt, der viee meiner Launen mit getragen hat und mit dem ich jede Idee ausführich besprechen konnte. Schießich möchte ich aen Koegen und Mitarbeitern des Instituts für Numerische Simuation der Universität Bonn für die angenehme und inspirierende Arbeitsatmosphäre danken. Bonn, im März 26 Danie Oetz

5 Inhatsverzeichnis 1 Eineitung 1 2 Raum-Zeit Dünngitter Notation Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter Eindimensionae Mutiskaenzeregungen Verwendung der hierarchischen Basis Paraboische Probeme und Reguarität Notation Reguarität der Lösung paraboischer Differentiageichungen Diskretisierung Das Crank-Nicoson Verfahren Das Discontinuous-Gaerkin Verfahren Das Unidirektionae Prinzip Numerische Ergebnisse Lösung des inearen Geichungssystems Iterationsverfahren über dem Erzeugendensystem Die Zeiteveweise angeordnete Bock-Gauß-Seide Iteration Die Ortseveweise angeordnete Gauß-Seide Iteration Numerische Ergebnisse Adaptivität in Raum-Zeit A posteriori Feherschätzer und Feherindikatoren Numerische Ergebnisse Adaptivität für ineare Funktionae Numerische Ergebnisse i

6 ii Inhatsverzeichnis 7 Instationäre verteite Kontroprobeme Instationäre Kontroprobeme Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung Die Lösung des diskretisierten Optimaitätssystems Adaptivität Zusammenfassung und Ausbick Anhang Beweis von Satz Literaturverzeichnis 153

7 Kapite 1 Eineitung Die numerische Simuation hat in den etzten Jahren eine immer bedeutendere Roe in der Forschung und Entwickung eingenommen. Kostenintensive oder in der Reaität gefähriche Experimente werden heute zunehmend durch Simuationen auf dem Computer ersetzt. Zusätzich können Prozesse simuiert werden, deren Beobachtung nur sehr schwer oder sogar unmögich wäre, da die zu beobachtenden Phänomene auf zu keiner oder zu großer Größen- oder Zeitskaa stattfinden. As Anwendungsgebiete assen sich hier beispiesweise die Simuation von Crash-Tests, der eektronische Windkana, die Optionspreisbewertung oder die Wettervorhersage anführen. Für die Simuation socher Prozesse wird zunächst ein mathematisches Mode benötigt, das ae Größen, an deren Beobachtung Interesse besteht, mögichst genau reproduziert. Bei diesen mathematischen Modeen handet es sich um Näherungen an die Wirkichkeit, wobei nicht jedes Mode unumstritten ist. Häufig werden soche Modee durch partiee Differentiageichungen beschrieben. Aufgrund der den reaen Probemen zugrunde iegenden Kompexität sind diese partieen Differentiageichungen in aer Rege jedoch nicht anaytisch ösbar. Aus diesem Grund versucht man mit Hife des Computers edigich eine Näherungsösung zu berechnen. Dabei hat es nicht nur die außerordentiche Leistungsentwickung der Computer ermögicht, soche kompexen Prozesse auf heutigen Rechnern zu ösen. Es ist auch vor aem der Entwickung effizienter Agorithmen für die entsprechenden Probemsteungen zu verdanken, dass gegenwärtig immer mehr Probeme schne durch die Anwendung numerischer Verfahren auf dem Computer mit der gewünschten Genauigkeit geöst werden können. Für den Gesamt-Rechenaufwand zur Berechnung einer Näherungsösung sind einerseits die Anzah der benötigten Freiheitsgrade und andererseits die pro Freiheitsgrad benötigten Rechenoperationen von ausschaggebender Bedeutung. Daher ist die Minimierung der Anzah benötigter Freiheitsgrade und des Rechenaufwands pro Freiheitsgrad, d.h. die Entwickung effizienter Agorithmen, das zweite große 1

8 2 Kapite 1. Eineitung Forschungsgebiet des wissenschaftichen Rechnens und der numerischen Simuation. In dem Kontext dieses zweiten Zweiges des wissenschaftichen Rechnens und der numerischen Simuation ist es der Anspruch der voriegenden Arbeit einen Beitrag zur Bewätigung der angesprochenen Schwierigkeiten zu eisten. Hierbei betrachten wir die numerische Lösung paraboischer Geichungen. Dieser Typ partieer Differentiageichungen resutiert aus der Modeierung verschiedenster zeitabhängiger Phänomene in den Natur-, Ingenieurs- und Wirtschaftswissenschaften und beschreibt die Entwickung bestimmter Größen im Ort, z.b. der Temperatur, unter vorgegebenen äußeren Einfüssen in Abhängigkeit von der Zeit. Zur Lösung paraboischer Geichungen existieren bereits Ansätze. Dabei wird im Wesentichen zwischen drei Verfahrenstypen unterschieden: In der ersten Methode, der so genannten Linienmethode (method of ines, MOL), wird zunächst der Ort mittes Finiter Differenzen oder Finiter Eemente diskretisiert was das Ursprungsprobem in ein System gewöhnicher Differentiageichungen transformiert, vg. [7, 16]. Dieses System kann nun mit herkömmichen Integrationsschemata geöst werden. Die Genauigkeit im Ort kann dabei durch kassische a posteriori Feherschätzer für stationäre Probeme kontroiert werden. Aerdings ist es technisch schwierig, Veränderungen der Ortsdiskretisierung in der Zeit zu behanden. Vergichen mit der Linienmethode wird bei der Rothe Methode genau entgegengesetzt vorgegangen und zunächst die Zeit diskretisiert [7]. Dies führt zu einer Sequenz von eiptischen Probemen, die durch Standardtechniken adaptiv geöst werden können. Hierbei ist nun eine adaptive Behandung der Zeit technisch aufwändig. Bei der Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung [49, 5, 51, 52, 53] werden schießich Raum und Zeit zugeich diskretisiert wodurch die Theorie im Hinbick auf die Feherschätzung und Adaptivität vereinfacht wird. In der Praxis zerfät diese Methode aerdings, wie bei den beiden vorherigen Ansätzen, zu einem Zeitschrittverfahren, d.h. dass eine Sequenz von Ortsprobemen geöst werden muß. Damit ist die geichzeitige Adaptivität bzg. des Ortes und der Zeit in der praktischen Umsetzung auf dem Computer technisch schwierig und aufwändig. Die Diskretisierung mit Hife dieser drei Verfahren führt etztendich immer zu einer Sequenz von diskreten Probemen, deren Lösungen die Lösung des Ursprungsprobems an den verschiedenen diskreten Zeitpunkten approximieren. Wird etwa ein geeignetes Diskretisierungsschema auf einem uniformen Gitter mit einem Feher der Ordnung p im Ort mit N d Freiheitsgraden und einem Feher der Ordnung q in der Zeit angewendet, so benötigen wir O(N d+p/q ) Freiheitsgrade in Raum und Zeit um insgesamt eine Feherordnung von p zu erhaten. So resutiert beispiesweise für das

9 impizite Euerverfahren mit q = 1 und bei entsprechender Ortsdiskretisierung mittes Finiter Differenzen oder inearer Finiter Eemente eine Feherordnung p = 2 und ein Gesamtaufwand O(N d+2 ), während wir für das Crank-Nicoson Verfahren, für das q = 2 git, einen Gesamtaufwand von O(N d+1 ) feststeen können. Die Lösung besitzt aso eine Genauigkeit von O(N 2 ) wenn wir O(N d+1 ) bzw. O(N d+2 ) Freiheitsgrade verwenden. Sebst wenn die bei den Verfahren anfaenden Ortsprobeme mit O(N d ) Unbekannten noch reativ schne geöst werden können, führen die O(N) oder O(N 2 ) Zeitschritte dazu, dass auch auf modernsten Computern sehr ange gerechnet werden muß, bis eine Lösung mit zufrieden steender Genauigkeit approximiert ist. Aus diesem Grund ist die Untersuchung und Entwickung von numerischen Verfahren zur Lösung von paraboischen Geichungen Gegenstand aktueer Forschung. Hierbei wird von einer für die Lösung von paraboischen Probemen typischen Eigenschaft Gebrauch gemacht: Die im Ort hochfrequenten Lösungsanteie entwicken sich auf einer gröberen Zeitskaa as die niederfrequenten Anteie. Auf dieser Beobachtung basierend sind bereits Ansätze zur schneen Lösung paraboischer Probeme entwicket worden. In [27, 28] wird mit der so genannten frozen τ Technik vorgeschagen, die Lösung zu verschiedenen Zeitpunkten auf unterschiedich feinen Gittern zu berechnen. Bei diesem Ansatz wird die Steuerung, weches Gitter zu wechem Zeitschritt zur Berechnung verwendet werden so, während der Berechnung eines Zeitschrittes über die Größe von Mehrgitterkorrekturen heuristisch bestimmt. Dieses Vorgehen macht eine a priori Feheranayse sehr schwer und führt zusätzich dazu, dass unter Umständen an manchen Zeitschritten auf zu feinen Gittern gerechnet wird, was wiederum die Kompexität verschechtert. Ein der frozen τ Technik ähniches Verfahren wird in [36, 37] für paraboische Probeme mit periodischen Randbedingungen auf dem Einheitswürfe diskutiert. Hierbei wird der Ort aerdings nicht mit Hife einer Gitterhierarchie zeregt, sondern mit einer Fourierbasis diskretisiert, wobei dann die unterschiedichen Ortsfrequenzen mit verschiedenen Zeitschritten integriert werden. Durch die Verwendung von Fourierbasen ist dieser Ansatz aerdings auf Probeme mit periodischen Randbedingungen auf dem Einheitswürfe beschränkt, wobei der eiptische Tei des paraboischen Operators durch den Lapace-Operator beschrieben wird. Die Ergebnisse dieser Arbeiten begründen die Hoffnung, dass wesentich effizientere Verfahren zur Lösung paraboischer Probeme existieren, as die oben beschriebenen kassischen Zeitschrittverfahren. Insbesondere drängt sich die Frage auf, ob und wie es mögich ist, die durch die Zeit entstandene, um den Faktor O(N) bzw. O(N 2 ) vergichen mit rein stationären Probemen erhöhte Kompexität zu reduzieren. Betrachten wir die Zeit as zusätziche Dimension, so sehen wir, dass die Dimension des paraboischen Probems im Vergeich zu einem rein stationären Probem 3

10 4 Kapite 1. Eineitung um eins größer ist. Der Effekt, dass die Zah der Freiheitsgrade exponentie mit wachsender Dimension steigt, während die Approximationsrate konstant beibt, ist as Fuch der Dimension wohbekannt [15]. Der Faktor O(N) bzw. O(N 2 ) um den sich die Kompexität der Zeitschrittverfahren vergichen mit Verfahren zur Lösung zeitunabhängiger Probeme verschechtert, kann demnach einfach as ein Beispie für den Fuch der Dimension aufgefasst werden. Dieser Fuch der Dimension kann aerdings stark verringert werden, wenn man das Probem auf die Approximation von Funktionen aus bestimmten Funktionenkassen einschränkt. Hierbei haben die so genannten Dünngitter in den etzten Jahrzehnten eine immer stärkere Bedeutung erangt. Dünngitter wurden bereits erfogreich bei einer Reihe von Probemen angewendet, wie etwa in der Quantenmechanik [57, 73, 125], zur Lösung von stochastischen Differentiageichungen [11], bei der Quadratur von hochdimensionaen Funktionen in der Physik und Finanzmathematik [1, 18, 58, 9] und zur Lösung von eiptischen partieen Geichungen [5, 6, 29]. Unter zusätzichen Gattheitsannahmen approximieren Dünngitter Funktionen mit (fast) geicher Rate wie voe Gitter, obwoh in d-dimensionen Dünngitter mit O(N og(n) d 1 ) Freiheitsgraden wesentich weniger Freiheitsgrade benötigen as voe Gitter, die O(N d ) Unbekannte haben. Tatsächich wurden in [94, 99] paraboische Probeme mit Hife dünner Gitter (in Raum und Zeit) und der Kombitechnik geöst, während in [5] eine Gaerkinartige Dünngitterdiskretisierung paraboischer Probeme mit Hife des unidirektionaen Prinzips vorgestet wurde. In [91] werden schießich innerhab einer p-version zur Zeitdiskretisierung dünne Gitter zur Lösung der anfaenden stationären Probeme verwendet. Obwoh die numerischen Experimente dieser Arbeiten vie versprechend sind, beiben dennoch die für Dünngitter typischen Probeme erhaten. So ist die Behandung von beiebigen variaben Koeffizienten im Differentiaoperator sehr schwierig und die Reguaritätsannahmen an die Lösung des Probems im Fa von Dünngittern sind ausgesprochen restriktiv. Eine weitere Probematik stet die Behandung von beiebigen Geometrien dar [1, 46, 47, 98]. Diese Probeme treten im Fa großer Dimensionen, d.h. d > 3, in den Hintergrund, da in diesem Fa nahezu ae auftretenden Gebiete eicht auf den Einheitswürfe transformiert werden können. Aus diesem Grund scheint die Dünngitterdiskretisierung für hochdimensionae Probeme (d > 3) durchaus Erfog versprechend [56]. Für den Fa d 3 konnten sich Dünngitter aus den genannten Gründen in der Praxis aerdings nicht durchsetzen. Wir steen in dieser Arbeit as Veragemeinerung der kassischen Dünngitter die Raum-Zeit Dünngitter vor. Ist das dem paraboischen Probem zugrunde iegende Ortsgebiet Ω zeitunabhängig, so besitzt der zugehörige Raum-Zeit Zyinder Ω (, T ) offensichtich eine triviae Tensorproduktstruktur, die wir bei den Raum-Zeit Dünngittern ausnutzen werden. Hierbei konstruieren wir die Dünngitterfunktionen as Tensorprodukt von einer eindimensionaen Mutievebasis in der Zeit und ei-

11 ner d-dimensionaen Mutievebasis im Ort. Es wird sich erweisen, dass die oben erwähnten Probeme kassischer Dünngitter mit diesem Prinzip umgangen werden können. Zusätzich werden wir zeigen, dass damit Raum-Zeit Diskretisierungen mögich sind, die anstee der O(N d+1 ) oder O(N d+2 ) Freiheitsgrade einer kassischen paraboischen Diskretisierung mit beispiesweise dem Crank-Nicoson oder dem impiziten Euer Verfahren edigich O(N d ) Freiheitsgrade benötigen, wobei unter geeigneten Gattheitsvoraussetzungen die Konvergenzordnung (nahezu) unverändert erhaten beibt. Des Weiteren wird in dieser Arbeit ein Mutieveverfahren in Raum-Zeit entwicket, mit dem die bei der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung entstehenden inearen Geichungssystem mit einem zur Zah der Unbekannten proportionaen Aufwand geöst werden können. Die mit diesem Mutieveverfahren erzieten Konvergenzraten sind dabei unabhängig von der Feinheit der Diskretisierung. Somit führt die Kombination aus dem Diskretisierungsverfahren mit dem effizienten Löser zu einem Gesamtverfahren, das bei genügender Gattheit eine numerische Lösung des paraboischen Probems mit dem geichem Aufwand wie die Lösung eines stationären Probems ermögicht. Für den Fa, dass die Lösung des paraboischen Probems die benötigten Gattheitsvoraussetzungen nicht erfüt, steen wir eine adaptive Erweiterung der vorgesteten Diskretisierungsmethoden vor. Es wird anhand einiger numerischer Beispiee gezeigt werden, dass der Einsatz der vorgesteten Adaptivität in Raum-Zeit die Lösung von Probemen mit singuären Lösungen mit einem vergeichbaren Aufwand wie die Lösung von Probemen mit gatten Lösungen eraubt. Schießich wird auch die Erweiterung der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen auf instationäre verteite Kontroprobeme untersucht werden. Die numerische Lösung der zu dem Kontroprobem gehörigen Sattepunktsprobeme ist aufgrund der hohen Kompexität herkömmicher Verfahren bisher edigich für die Untersuchung von zweidimensionaen Probemen eingesetzt worden. Mit Hife der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen sind wir hingegen erstmaig in der Lage, auch soche Sattepunktsprobeme in drei Ortsdimensionen adaptiv zu ösen und geben einige numerische Ergebnisse in bis zu drei Ortsdimensionen an. Wir gehen bei unserer Untersuchung der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen in der voriegenden Arbeit wie fogt vor. In Kapite 2 führen wir zunächst die Raum-Zeit Dünngitter ein. Wir untersuchen dabei deren Eigenschaften bezügich der Dimension und der Approximationsrate in bestimmten Soboev-Räumen. Dabei betrachten wir zunächst den Fa, dass die in der Konstruktion verwendeten Mutievespittings gewisse Normäquivaenzen erfüen (wie sie etwa für Waveets geten). Da die Konstruktion socher Spittings auf agemeinen Geometrien aerdings ausgesprochen schwierig ist, untersuchen wir auch den Fa der Verwendung der hierarchischen Basis innerhab der Dünngitterkonstruktion, der auch in den weiteren Teien dieser Arbeit betrachtet wird. In Kapite 3 werden wir dann kassische Reguaritätsresutate für ineare paraboische Differentiageichungen betrachten. Dabei werden wir zeigen, dass die 5

12 6 Kapite 1. Eineitung Lösungen von paraboischen Probemen für die Approximation in den Dünngitterräumen wichtige Gattheitsannahmen erfüen, sofern gewisse Bedingungen an das zugrunde iegende Gebiet, den eiptischen Tei des paraboischen Operators und die Anfangs- und Randbedingungen erfüt sind. In Kapite 4 diskutieren wir auf den Raum-Zeit Dünngittern basierende Diskretisierungsverfahren. Wir untersuchen eine Raum-Zeit Dünngittervariante des Crank- Nicoson und des Discontinuous-Gaerkin Verfahrens. Für das Discontinuous-Gaerkin Verfahren mit stückweise inearen oder konstanten Funktionen in der Zeit werden wir zusätzich a priori Feherabschätzungen angeben, die den Feher nach oben gegen Interpoationsfeher des Raum-Zeit Dünngitters abschätzen. Schießich führen wir noch das Unidirektionae Prinzip ein, mit dem das Matrix-Vektor Produkt des mit den Raum-Zeit Dünngittern diskretisierten Systems effizient, d.h. mit einer zu der Zah der Unbekannten proportionaen Anzah an Rechenschritten, berechnet werden kann, obwoh die zugrunde iegende Matrix nicht dünn besetzt ist. Dazu veragemeinern wir das bereits in [5] vorgestete Prinzip auf beiebige Tensorprodukt- Biinearformen und steen auch neue, fexibere Varianten der in dem Agorithmus benötigten Teiagorithmen Bottom Up und Top Down vor. Schießich werden wir anhand einiger numerischer Experimente die Konvergenz der vorgesteten Diskretisierungsverfahren untersuchen. Da nicht nur die Anzah der zum Erreichen einer vorgegebenen Genauigkeit benötigten Freiheitsgrade, sondern auch die pro Freiheitsgrad benötigte Anzah an Rechenschritten zur Lösung des Probems für ein effizientes Verfahren von Bedeutung sind, werden wir in Kapite 5 Verfahren zur Lösung der anfaenden inearen Geichungssysteme betrachten. In Anehnung an [61] werden wir einen neuen Mutieve-Löser für die entstehenden Geichungssysteme as (Bock-) Gauss-Seide Verfahren über ein mittes des Erzeugendensystems assembierten singuären Systems entwicken. Ferner untersuchen wir die Konvergenzeigenschaften des Verfahrens an verschiedenen numerischen Beispieen. Die Experimente zeigen, dass das Verfahren mit einer von der Feinheit der Diskretisierung unabhängigen Rate konvergiert. Um Probeme, deren Lösungen nicht die geforderten Gattheitseigenschaften erfüen, effizient behanden zu können, diskutieren wir in Kapite 6 Adaptivität im Kontext der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen. Hierzu übertragen wir einen auf den hierarchischen Koeffizienten der diskreten Lösung basierenden Feherindikator für kassische Dünngitter [5, 32, 62] auf die vorgesteten Raum-Zeit Dünngitter und untersuchen die Effizienz dieses Feherindikators anhand einiger numerischer Beispiee. In den etzten Jahren hat die Feherschätzung bezügich inearer Funktionae in dem Kontext von adaptiven Finiten Eement Diskretisierungen eine immer stärkere Bedeutung erangt [8, 13]. Damit wird vor aem dem Zie Rechnung getragen, nicht unbedingt die Lösung sebst mögichst exakt zu bestimmen, sondern eventue nur gewisse gemittete Größen der Lösung zu berechnen. Hierzu zeigen wir

13 eine Mögichkeit der Konstruktion eines Feherindikators für ineare Funktionae im Kontext der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung auf. Zudem diskutieren wir die Effizienz dieses Feherindikators an einigen numerischen Ergebnissen. In Kapite 7 beschäftigen wir uns mit der Frage, wie die zunächst für den skaaren Fa vorgesteten Diskretisierungsverfahren auf die Diskretisierung von Systemen partieer Differentiageichungen übertragen werden können. As besonders interessante Anwendung werden wir dabei unsere Untersuchung auf instationäre verteite Kontroprobeme fokussieren, zu deren Lösung gekoppete Systeme von Vorwärts- und Rückwärtsgeichungen geöst werden müssen. Wir werden zeigen, dass sich die in den vorherigen Kapiten untersuchten Agorithmen auf diese Probemkasse übertragen assen und die geichen Konvergenzraten des Lösers und der Diskretisierung wie in den skaaren Beispieen erreicht werden. Man beachte, dass Raum-Zeit Diskretisierungen dieser Systeme auf voen Gittern wegen des enormen Speicherpatzbedarfes der Vogitterräume bisher nur für maxima zwei Ortsdimensionen durchgeführt wurden [22, 23, 24], während mit Raum-Zeit Dünngittern auf Grund der wesentich geringeren Kompexität, nun erstmas auch Ergebnisse in drei Ortsdimensionen diskutiert werden können. In Kapite 8 fassen wir schießich die Ergebnisse dieser Arbeit kurz zusammen und geben einen Ausbick auf offene Fragesteungen im Kontext der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen. 7

14 8 Kapite 1. Eineitung

15 Kapite 2 Raum-Zeit Dünngitter In diesem Kapite beschreiben wir die Konstruktion der Raum-Zeit Dünngitterräume und untersuchen einige Eigenschaften dieser Räume etwas genauer. Hierzu führen wir zunächst die benötigte Notation ein. Dann steen wir die Raum- Zeit Dünngitterkonstruktion vor und untersuchen die Dimension der resutierenden Räume. Im Kontext von [79] diskutieren wir außerdem die Approximationseigenschaft dieser Räume unter der Voraussetzung, dass gewisse Normäquivaenzen für die in der Konstruktion verwendeten Mutievebasen im Ort und in der Zeit geten. Da die Konstruktion von Basen, die diese Normäquivaenzen erfüen, in der Praxis auf beiebigen Geometrien sehr schwierig und aufwändig ist (oder sogar unmögich), werden wir auch ein Resutat vorsteen, bei dem edigich obere Abschätzungen für die entsprechenden Mutievebasen geten müssen. Wir steen zudem die eindimensionaen Mutievebasen vor, die wir in dieser Arbeit innerhab der Konstruktion der Raum-Zeit Dünngitter für die Zeitkomponente verwenden. Schießich diskutieren wir die Approximationseigenschaften der Raum-Zeit Dünngitterräume bei Verwendung dieser eindimensionaen Mutievebasen in der Zeit und der inearen bzw. d-inearen hierarchischen Basis im Ort, die aus einer Foge von ineinander geschachteten Finite Eement Räumen gewonnen wird. 2.1 Notation In diesem Abschnitt führen wir einige Funktionenräume und die dazugehörige Notation ein, die wir für die theoretische Betrachtung der Raum-Zeit Dünngitterräume benötigen. Diese Räume sind eine Veragemeinerung der in der Theorie über die kassischen Dünngitterräume vorkommenden Räume dominierender gemischter Gattheit, vergeiche [35, 14, 15]. Mit fett gedruckten Buchstaben bezeichnen wir im Fogenden Mutiindizes, d.h. k bezeichnet einen Vektor mit Komponenten k i, 1 i n, wobei n aus dem Kontext 9

16 1 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter hervorgeht. Wir verwenden die Normen und die Abkürzung k := max 1 i n k i, k f := k 1 x 1... k d x d f. k 1 := d i=1 k i, Sei Ω R d, d 1, ein beschränktes Gebiet. Wie übich definieren wir für festes m N und 1 p < die Norm und die Seminorm u m,p := k 1 m u m,p := k 1 =m Ω Ω k u p dx k u p dx 1/p 1/p (2.1), (2.2) wobei die so genannte schwache Abeitung k u von u, sofern sie existiert, definiert ist durch k u ϕ dx = ( 1) k 1 u k ϕ dx ϕ C (Ω). (2.3) Für p = erhaten wir anaog Ω u m, := Ω k 1 m k u. (2.4) Für m N, 1 p bezeichnen wir mit H m,p (Ω) wie agemein übich den Soboev-Raum H m,p (Ω) := {u L p (Ω) es existiert k u und k u L p (Ω) k 1 m}. Für den am häufigsten vorkommenden Fa p = 2 kürzen wir die Schreibweisen durch Wegassen von p ab, d.h. wir definieren m := m,2 und H m (Ω) := H m,2 (Ω). Sei T > fest und Ω T := Ω (, T ). Die Reguaritätstheorie für die Lösung paraboischer Probeme zeigt, dass die Lösung bzg. der Ortsvariaben und der Zeit durchaus unterschiedich gatt sein kann. Wir betrachten daher im Fogenden zusätzich den Raum H 2m,m (Ω T ) := {u L 2 (Ω T ) k u L 2 (Ω T ) k 1 + 2k d+1 2m}, (2.5) dessen Funktionen im Ort eine doppet so hohe Gattheit wie in der Zeit besitzen. Wir definieren nun die Räume dominierender gemischter Gattheit mittes Tensorproduktbidung.

17 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter 11 Definition 2.1. Für m, k N und 1 p, q definieren wir H (m,p),(k,q) mix (Ω T ) := H m,p (Ω) H k,q ((, T )) (2.6) mit der Norm u := (m,p),(k,q) H mix (Ω T ) i 1 m j k j t i x u L p (Ω) L q ((,T )). (2.7) Fas p = q = 2 git, schreiben wir auch kürzer H m,k mix (Ω T ) und H m,k m = k kürzen wir weiter durch Hmix m (Ω T ) und H m mix (Ω T ) ab. mix (Ω T ) und für Für eine etwas ausführichere Diskussion des Tensorproduktes verweisen wir auf [97, 116]. Wir merken an dieser Stee nur an, dass wir für zwei Funktionen u Ω H m,p (Ω) und u T H k,q ((, T )) das Tensorprodukt der beiden Funktionen mit dem Produkt dieser beiden Funktionen identifizieren, u Ω u T = u Ω u T. Zusätzich werden wir später ausnutzen, dass im Fa p = q = 2 für ein Orthonormasystem {e Ω i } von Hm (Ω) und {e T j } von Hk ((, T )) die Produkte e Ω i e T j wieder ein Orthonormasystem von H m,k mix (Ω T ) biden und insbesondere H m,k mix (Ω T ) wieder ein Hibertraum ist. Man beachte, dass wir bisher edigich die Produktstruktur des Raum-Zeit Zyinders ausgenutzt haben. Damit haben wir uns edigich auf in der Zeit konstante Gebiete Ω eingeschränkt und benötigen keinerei Produktstruktur des Ortsgebietes Ω. Aus diesem Grund können wir agemeinere Probeme as im Fa kassischer Dünngitter [79] behanden, deren Konstruktion nur auf Produktgebieten durchführbar ist. Besitzt hingegen Ω Produktstruktur, d.h. Ω = I 1... I d mit I i R, git H m (I 1 )... H m (I d ) H k ((, T )) H m,k mix (Ω T ) und die oben definierten Räume sind echt größer as die kassischen Räume dominierender gemischter Abeitungen, die in der Anayse kassischer Dünngitter eine zentrae Roe spieen. 2.2 Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter In diesem Abschnitt führen wir die Raum-Zeit Dünngitter ein, die as Veragemeinerung der kassischen Dünngitterräume aufgefasst werden können. Kassische Dünngitterräume werden von Tensorprodukten eindimensionaer Mutiskaenbasen unterschiedicher Leve aufgespannt, d.h. die Basisfunktionen des Dünngitterraumes sind im agemeinen stark anisotrop. Hiermit ist es mögich, dass diese Räume für

18 12 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter Funktionen, die genügend gatt sind, mit N Freiheitsgraden eine Approximationsgenauigkeit von O(N α ) erreichen, wobei α > unabhängig von der Dimension ist. Dies ist der große Vortei gegenüber anderen kassischen Ansatzräumen wie zum Beispie Finiten Eementen, deren Approximationsordnung sich exponentie mit der Dimension verschechtert. Dementsprechend sind in den etzten Jahren die Dünngitterräume insbesondere für Probeme in hohen Dimensionen untersucht und angewendet worden, wie zum Beispie in der Quantenmechanik [73, 57, 125], bei stochastischen Differentiageichungen [11], bei hochdimensionaer Quadratur in der Physik und Finanzmathematik [1, 18, 58, 9] und zur Lösung von hautpsächich eiptischen Differentiageichungen [5, 6, 29]. Insbesondere sei an dieser Stee auf den Übersichtsartike [35] und die Referenzen dort verwiesen. Dabei beruht das Konstruktionsprinzip der dünnen Gitter wesentich auf der Tensorproduktbidung eindimensionaer Funktionen. Diese Tensorproduktbidung führt aerdings zu Schwierigkeiten. So ist der Agorithmus, das so genannte Unidirektionae Prinzip, zur effizienten Berechnung des Matrix-Vektor Produktes bei der Gaerkin-Diskretisierung mit Dünngittern für eiptische Probeme zunächst nur im Fa von Koeffizientenfunktionen anwendbar, die Tensorproduktstruktur besitzen. In [46, 93] werden entsprechende Modifikationen vorgeschagen, so dass der Agorithmus auch auf agemeinere Fäe angewendet werden kann. Aerdings wird dazu die zugrunde iegende Biinearform derart modifiziert, dass unkar ist, mit wecher Rate die diskrete Lösung des derartig diskretisierten Probems gegen die exakte Lösung konvergiert. Eine weitere Schwierigkeit besteht in der Behandung agemeiner Gebiete, da die Tensorproduktkonstruktion zunächst nur auf Gebiten mit Produktstruktur durchgeführt werden kann. Für Gebiete, die sich as Vereinigung von d-dimensionaen Quadern darsteen assen, können herkömmiche Gebietszeregungsmethoden in Kombination mit der Dünngittertechnik, wie in [98] beschrieben, angewendet werden. Für krumminig berandete Gebiete wurde in [33, 46, 47, 98] vorgeschagen, die entsprechenden Gebiete mit Hife geeigneter Abbidungen auf den Einheitswürfe zu transformieren. Schießich wird in [1] eine Art Finite Eement Ansatz betrachtet, bei dem das zugrunde iegende Gebiet durch ein Gitter aufgeöst wird, wobei in jedem Quader des Gitters oka ein Dünngitterraum aufgesetzt wird. Bei diesen Lösungsansätzen treten aerdings weitere Schwierigkeiten auf. Während in den etzten Jahren die Entwickung von Gittergeneratoren vorangetrieben wurde und dementsprechend groß die Auswah von verfügbaren Gittergeneratoren ist, ist kein Programmpaket verfügbar, das die benötigten Gebietszeregungen mit den entsprechenden Transformationen auf den Einheitswürfe berechnet. Des Weiteren führt eine entsprechende Gebietstransformation in der Rege zu variaben Koeffizientenfunktionen, deren Behandung im Dünngitterfa, wie oben diskutiert, nicht ohne weiteres mit der geichen Effizienz mögich ist, wie im Fa von Tensorprodukt-Ko-

19 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter 13 effizientenfunktionen. Wie wir sehen, beruhen die beschriebenen Probeme hauptsächich auf der Tensorproduktkonstruktion der Dünngitterräume. Die Idee für zeitabhängige Probeme besteht nun darin, die dem Dünngitterprinzip immanente Idee nur auf die natüriche Produktstruktur zwischen Raum und Zeit anzuwenden. Für Ω R d und T > seien dazu im fogenden endich dimensionae Räume Vj Ω, j N, mit und V T j L 2 (Ω) = j V Ω j, L2 ((, T )) = j V T j, und Vj Ω Vj+1, Ω Vj T Vj+1 T gegeben. Des Weiteren seien Wj Ω und Wj T dazugehörige Überschußräume, d.h. es git Vj Ω Vj T = V Ω j 1 W Ω j, j 1, = V T j 1 W T j, j 1, und W Ω := V Ω, W T := V T. Ferner seien für jedes j N im Fogenden Basen {ψω j,i } bzw. {ψj,i} T von Wj Ω bzw. Wj T gegeben. Insbesondere äßt sich damit jede Funktion u Ω, bzw. u T eindeutig mit Hife geeigneter Koeffizienten u Ω j,i R bzw. u T j,i R darsteen as u Ω = u Ω j,i ψω j,i, ut = u T j,i ψt j,i. j,i j,i Später in diesem Kapite werden wir beispiesweise im Ort die aus einer Sequenz von Finiten Eement Räumen konstruierten hierarchischen Überschussräume und die dazugehörige hierarchische Basis [123] verwenden. Aerdings können auch gänzich andere Zeregungen Verwendung finden, wie etwa Zeregungen mit Hife von Fourieroder Poynombasen. Um die Agemeinheit des Konstruktionsprinzips zu zeigen, verzichten wir an dieser Stee deshab zunächst darauf, die Räume Wj Ω und Wj T näher zu spezifizieren. In den späteren Untersuchungen werden wir die für die Theorie benötigten Bedingungen an die Räume formuieren und erst zum Ende dieses Kapites werden wir unsere Betrachtungen auf konkret gegebene Zeregungen einschränken. Da L 2 (Ω T ) = L 2 (Ω) L 2 ((, T )) git, erhaten wir L 2 (Ω T ) = j N 2 V j, mit V j = V Ω j 1 V T j 2 und die Überschußräume W j = W (j1,j 2 ) := W Ω j 1 W T j 2 (2.8)

20 14 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter x t x t Abbidung 2.1. Die zu Ṽ 4 (inks) und V 4 (rechts) für d = 1 gehörigen Dünngitter, wobei zur Konstruktion der Mutievehierarchien die ineare hierarchische Basis in Raum und Zeit verwendet wurde (die Punkte markieren die Steen, an denen die entsprechenden Basisfunktionen den Wert 1 annehmen). sowie die Basen {ψ j,i := ψj Ω 1,i 1 ψj T 2,i 2 }. Zur Vereinfachung der Notation schreiben wir, sofern dies nicht zu Mißverständnissen führt, die Normen ohne Angabe des Integrationsgebiets, d.h. wir schreiben beispiesweise L 2 anstee von L 2 (Ω). Definition 2.2. Für N definieren wir die Vogitterräume und V Ṽ sowie die Raum-Zeit Dünngitterräume := j 1, j 2 2 := j V := 2j 1 +j 2 2 W j (2.9) W j (2.1) W j (2.11) und Ṽ := j 1 W j. (2.12) Unsere Definition des Raum-Zeit Dünngitterraumes Ṽ ist ähnich zu den kassischen Dünngitterräumen, vg. [34, 35, 63]. Aerdings sind die Träger der Basisfunktionen isotrop bzg. des Raumes und eine Anisotropie ist edigich zwischen Raum und Zeit vorhanden. Man beachte, dass der Vogitterraum V und der Dünngitterraum V in der Zeit doppet so fein wie im Ort aufgeöst sind und deshab mehr Unbekannte enthaten as die entsprechenden Räume Ṽ und Ṽ.