F = m g sin. = sin dt l l = Pendellänge ( vom Aufhängepunkt bis zum Mittelpunkt der Kugel)

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1 S1 Mathematisches und physikaisches Pende Stoffgebiet: Versuchszie: Literatur: Schwingungen agemein, mathematisches Pende, physikaisches Pende, Steinerscher Satz Mathematische Behandung von Schwingungsvorgängen (Näherungen, agemeine Lösungsmethoden), Messung der Erdbescheunigung g Lehrbücher der Physik, z.b. Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure Dobrinski, Krakau, Voge: Physik für Ingenieure Lindner: Physik für Ingenieure 1. Grundagen 1.1 Mathematisches Pende As mathematisches Pende kann näherungsweise eine Kuge dienen, die an einer Schnur aufgehängt wird. Die Masse des Fadens wird hierbei vernachässigt und die Masse des Pendekörpers wird im Schwerpunkt vereinigt gedacht. Der Pendekörper beschreibt bei einer Ausenkung aus der Geichgewichtsage einen Kreisbogen mit dem Radius. Wird das Pende um den Winke aus der Geichgewichtsage ausgeenkt, so wirkt eine rücktreibende Kraft F = m g sin Mit s = bekommt man dann aus der Newtonschen Geichung (Bescheunigung a hat entgegengesetzte Richtung wie die Ausenkung s): d s d F = m a = m = m = m g sin dt dt d g = sin dt = Pendeänge ( vom Aufhängepunkt bis zum Mittepunkt der Kuge) Die Differentiageichung dieser nicht harmonischen Schwingung ist nicht eementar ösbar. S1 1/7

2 Zur Vereinfachung beschränkt man sich deshab auf keine Pendeausschäge und kann dann näherungsweise sin setzen und bekommt hiermit die einfachere Differentiageichung: d dt g = As Lösung dieser Differentiageichung ergibt sich: = sin (ω t + k) 0 Hierbei ist k eine Integrationskonstante, 0 ist die Ampitude und die Kreisfrequenz ω ergibt sich zu: ω = Hieraus ergibt sich dann die näherungsweise Schwingungsdauer des mathematischen Pendes für keine Ausenkungen: g T = = (1a) ω g Ohne Beschränkung auf keine Pendeausschäge ässt sich die Schwingungsdauer durch eine Reihenentwickung darsteen: ) sin ) sin g T = [1 + ( + ( ] (1b) S1 /7

3 1. Physikaisches Pende As physikaisches Pende bezeichnet man jeden Körper, der unter dem Einfuß seines Gewichts eine Schwingung ausführt. Die Schwingungsdauer des physikaischen Pendes ist T = JA () m g s (Hereitung dieser Forme: siehe Versuch Maxwesches Rad) A s A = Aufhängepunkt S = Schwerpunkt r = reduzierte Pendeänge s = Abstand des Aufhängepunkts S JA= vom Schwerpunkt Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die durch den r A m = Aufhängepunkt gehende Achse Gesamtmasse des physikaischen Pendes Mit Hife des Steinerschen Satzes kann man Geichung () in fogender Form schreiben: JS + m s T = (3) m g s JS = Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die durch den Schwerpunkt gehende Achse, Achsenrichtung parae zur Achse in Geichung (). Die reduzierte Pendeänge r ist die Länge des mathematischen Pendes, das die geiche Schwingungsdauer besitzt wie das physikaische Pende: r = JS + m s m s S1 3/7

4 Hängt man nun das Pende im Schwingungsmittepunkt A (das ist der Punkt auf der Verbindungsgeraden Aufhängepunkt A - Schwerpunkt S im Abstand r von A) auf, so bekommt man die geiche reduzierte Pendeänge r = r. Aso ändert sich die Schwingungsdauer eines physikaischen Pendes nicht, wenn man den Schwingungsmittepunkt zum Drehpunkt macht. 1.3 Reversionspende Das Reversionspende dient zur Präzisionsbestimmung der Erdbescheunigung g. Dabei wird die Eigenschaft ausgenutzt, dass sich die Schwingungsdauer eines physikaischen Pendes nicht ändert, wenn man den Schwingungsmittepunkt zum Drehpunkt macht. Das Reversionspende besteht aus einem Metastab mit m 1 zwei verschiebbaren Metascheiben und zwei einander Schneide zugewandten Schneiden as Aufhängevorrichtungen. Lager Der Abstand der beiden Schneiden ist auf der Wandbefestigung Penderückseite eingraviert. Die eine Metascheibe mit der Masse m = 1400g ässt sich zwischen den beiden m Schneiden verschieben und die andere Scheibe mit der Masse m1 = 1000g außerhab der einen Schneide Schneide verschieben. Pendestange Um das Pende schwingen zu assen, benützt man eine Wandbefestigung, an der sich ein Lager befindet, in das das Pende mit der Schneide eingehängt wird. Man ässt das Pende abwechsend um eine der beiden Schneiden schwingen und kann durch Verschieben der beiden Massen erreichen, dass die Schwingungsdauer des Pendes um beide Schneiden geich wird. Dann ist die Länge geich der Länge eines geichschwingenden mathematischen Pendes und nach Geichung (1) kann hieraus die Erdbescheunigung berechnet werden. S1 4/7

5 . Versuchsdurchführung.1 Messverfahren: Mathematisches Pende.1.1 Messen Sie die Schwingungsdauer eines mathematischen Pende aus 50 Schwingungen (3ma)..1. Berechnen Sie die Erdbescheunigung aus der Schwingungsdauer des mathematischen Pendes..1.3 Berechnen Sie den reativen Feher der Erdbescheunigung aus den Fehern der einzenen Messgrößen und geben Sie eine Abschätzung für die Größe der sonstigen Feher an, die durch die Näherungsverfahren bei der Hereitung der Geichungen (1) und () entstehen.. Messverfahren: Physikaisches Pende..1 Durch Messen der Schwingungsdauern um die beiden Schneiden des Reversionspendes und Verschieben der inneren Masse wird die Steung der Masse gesucht, bei der die Schwingungsdauer um beide Schneiden geich ist. Praktisch geht man am besten so vor, dass man die innere, zwischen den Schneiden befindiche, Masse verschiebt. Am einfachsten findet man die Steung der Laufmasse, in der das Pende um beide Achsen geich ang schwingt, wenn man die Laufmasse von einer Schneide zur anderen in 10 cm - Abschnitten verschiebt und die Schwingungsdauer um beide Schwingungsachsen misst. Hierzu werden bei der Grobmessung 10 Schwingungen gemessen. Man trägt in ein Koordinatensystem auf der Abszisse die Steung der Laufmasse und auf der Ordinate die Periodendauer auf. Verbindet man die zur geichen Drehachse gehörenden Punkte, so erhät man zwei Kurven, die sich in zwei Punkten schneiden müssen. Hat man die Schnittpunkte ungefähr bestimmt, so wird in der Nähe des geeigneteren Schnittpunkts (Begründung!) eine Feinmessung nach demseben Prinzip durchgeführt. Dabei wird die Laufmasse in 1cm Abschnitten von 3 cm vor dem ungefähren Schnittpunkt bis 3 cm nach diesem verschoben und wieder die Periodendauer um beide Achsen gemessen. Hierzu werden bei der Feinmessung 0 Schwingungen gemessen. Die Messpunkte werden wie bei der Grobmessung aufgetragen und der gesuchte Schnittpunkt bestimmt. S1 5/7

6 Der Maßstab bei Grob- und Feinmessung sote so gewäht werden, daß die sich ergebenden Kurven über ein DIN-A4 - Batt gestreckt werden. Dabei sote zumindest die Feinmessung auf Miimeterpapier aufgezeichnet werden... Berechnen Sie die Erdbescheunigung aus der Schwingungsdauer des Reversionspendes...3 Berechnen Sie den reativen Feher der Erdbescheunigung aus den Fehern der einzenen Messgrößen und geben Sie eine Abschätzung für die Größe der sonstigen Feher an, die durch die Näherungsverfahren bei der Hereitung der Geichungen (1) und () entstehen..3.1 Berechnen Sie die Erdbescheunigung für Aaen mögichst genau. Hierzu sind die fogenden Formen zu benützen: g = 9,78049 m s 0 = Erdbescheunigung am Äquator in Meereshöhe gh=0 = Erdbescheunigung an einem Ort der geographischen Breite in Meereshöhe = (1 + 0, sin 0, sin ( ) ) h=0 0 g g - gh = Erdbescheunigung an einem Ort der geographischen Breite in der Höhe h (Freiuftkorrektur) g = g - c h mit c = 3, s 6 h h=0 1 1 gh erhöht sich zusätzich um g bei einer Gesteinspatte der Dichte und der Höhe h g=c ρ h mit m c = 4,19 10 kg s 3 10 Mittere Dichte der Erde an der Erdoberfäche: =,5 g/cm 3 Aaen: 48,83 0 nördiche Breite, Höhe: 477,1 m.3. Vergeichen Sie die Werte aus.1. und.. mit dem Wert von.3.1. Wie groß sind die prozentuaen Abweichungen? Vergeichen Sie die Ergebnisse mit den reativen Fehern. S1 6/7

7 3. Fragen zu Versuch und Stoffgebiet 3.1 Weche Näherungen werden bei der Hereitung der Formen für die Schwingungsdauern beim mathematischen und physikaischen Pende gemacht? 3. Von wechen Größen hängt die Erdbescheunigung an einem bestimmten Ort ab? Woran iegt das? 3.3 Weche Begriffe benutzt man in der Physik für die Beschreibung einer Schwingung? 3.4 Was versteht man agemein unter einer Schwingung und was spezie unter einer harmonischen Schwingung? 3.5 Wie eitet man die Geichungen () und (3) her? 3.6 Was besagt der Steinersche Satz? 3.7 Berechnen Sie den Feher in der Schwingungsdauer eines mathematischen Pendes ab, wenn man die Näherungsforme (1a) statt der Forme (1b) benützt für die Ampituden 0 = 5 0 und 0 = 10 0 S1 7/7