Die schwingende Saite

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1 Stephan h.t. Zahrte Inhat periodische Lösungen der Weengeichung Proseminar Fourier-Anaysis im Sommersemester Bezeichnungen, Definitionen... Die Weengeichung.... Was ist eine Wee?.... Hereitung der Weengeichung der schwingenden Saite... 3 Lösungsansätze...5. Separation Das Eigenwertprobem Eigenschwingungen Fourier-Reihen Euers Anayse Die gezupfte Saite Schwingungen und Töne Etwas Harmonieehre... Definition der musikaischen Intervae... Bruchrechnung der Intervae Grund- und Obertöne Literatur...4 Queen zur schwingenden Saite...4 Grundagen, Weiterführendes...4 Abbidungen / Tabeen Titeseite Oberschwingung einer Saite (3. Harmonische) Abbidung Nach inks/rechts aufende Wee... 3 Abbidung Die ausgeenkte Saite... 4 Abbidung 3 Fourier-Poynome der Rechteck-Funktion... 8 Abbidung 4 Fourier-Poynome der Sägezahn-Funktion... 8 Abbidung 5 Euers Konstruktion von f (x)... 9 Abbidung 6 Schwingungsverauf der gezupften Saite... 0 Abbidung 7 Die Knickfunktion k / gezupfte Saite... 0 Abbidung 8 Obertonanteie an verschiedenen Steen gezupfter Saiten... Abbidung 9 Weenformen einiger Obertöne... 3 Tabee Die musikaischen Intervae... Tabee Kompementärintervae... 3 Tabee 3 Intervazusammensetzung einiger Obertöne b

2 0 Bezeichnungen, Definitionen Definition Ausenkung in Abhängigkeit vom Ort x und der Zeit t () u(x, t) œ (, ) sowie () v(x), w(t) œ (, ) Orts- bzw. Zeitkomponente von u (für Separation) (3) f (x), g(x) œ (, ) Ausenkung, Geschwindigkeit für t = 0 Definition u (4) u ú ; u ú x Definition Partiee Abeitungen nach Ort bzw. Zeit Konstanten u u ; u& ú x t ; u& & ú (5) œ >0 - Saitenänge; Abstand der Steen, an denen die Saite eingespannt ist. ( (6) ) (6) c œ >0 - Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Wee ( Weengeichung (4) ) π (7) k ú ; ú k π c w ; w 0 ú k c = ; n0 ú = 0 ; t0 ú π (8) A, B, C, D, A n, B n œ ; n œ - agemeine Konstanten Die Weengeichung u t = ; d, s - Bedeutung s.u. c Die Weengeichung beschreibt die Ausbreitung von Ween in Raum und Zeit unter bestimmten vereinfachenden Vorraussetzungen. Sie ist eine partiee Differentiageichung (pdgl), d.h. es treten partiee Abeitungen nach verschiedenen Variaben auf (hier x und t). Wir betrachten später nur die eindimensionae Weengeichung, d.h. mit nur einer räumichen Dimension. Es ist i.d.r. mögich, diese pdgl auf mehrere gewöhniche DGLn (gdgln) zurückzuführen, die nur noch eine Variabe und deren totae Abeitung enthaten.. Was ist eine Wee? Wir geben zunächst die agemeine Weengeichung für drei Raumdimensionen an: Satz Agemeine Weengeichung (d Aembert) für x = (x, x, x 3 ) n 0 (9) u& & = c D u; mit D u ú 3 k= x u k (Lapace-Operator) Definition u(x, t) œ ( 3 ä, ) heißt Wee : u erfüt die Agemeine Weengeichung (9) Im Fa einer Raumdimension reduziert sich x zum Skaar, D u auf u und u(x, t) œ ( ä, ). Beispie: (eindimensionae nach inks aufende Wee) (0) u(x, t) = f (x+ct); f (x) œ (, ) () u& & = c & f (x+ct) = c f (x+ct) = c u ( & f = f, da f nur von einer Variaben abhängt) Die Funktion f muss nicht notwendig zweima differenzierbar im bekannten Sinne sein. Mit dem erweiterten Abeitungsbegriff für Distributionen kann die Weengeichung trotzdem erfüt sein. Wir nehmen hier vereinfachend an, dass es genügt, wenn die Geichung fast übera erfüt ist, d.h. außerhab einer Numenge, z.b. aus endich (oder abzähbar) vieen Punkten. Stephan h.t. Zahrte

3 Abbidung zeigt eine gemäß (0) mit der Geschwindigkeit c = nach inks bzw. rechts aufende Wee für die Knickfunktion, die wir bei der gezupften Saite wiederfinden ( Abschnitt.6). u (x, t) f (x+ct) t f (x ct) 4 f (x) x Abbidung Nach inks/rechts aufende Wee. Hereitung der Weengeichung der schwingenden Saite Wir formuieren und eräutern zunächst die Geichungen, bevor wir eine Hereitung angeben. Wie aus der Anaysis-Voresung bekannt ist, benötigt man bei einer gdgl der Ordnung n () y (n) = f (x, y, y,.., y (n-) ); n œ für eine eindeutig bestimmte Lösung y(x) z.b. n Anfangsbedingungen (AB) (3) y (k) (x 0 ) = y k ; k = 0..n Die Kombination von () und (3) nennt man Anfangswertaufgabe (AWA). Satz Weengeichung der schwingenden Saite. Die Ausenkung u(x, t) der schwingenden Seite ist Lösung der Randwertaufgabe (RWA) (4) u& & = c u (5) u(0, t) = u(, t) = 0; t 0 beiebig (6) u(x, 0) = f (x); u& (x, 0) = g(x); x œ [0; ] beiebig Die Geichungen (5) heißen Randbedingungen (RB) da sie im Gegensatz zu Anfangsbedingungen die Funktionswerte an verschiedenen Steen angeben. I.d.R. benötigt man bei Ordnung n ebenfas n Randbedingungen. Diese müssen aber die Lösung nicht immer eindeutig bestimmen. Die Geichungen (6) entsprechen bei festem x den zwei Anfangsbedingungen, die bei einer gdgl. Ordnung die Lösung eindeutig festegen. Stephan h.t. Zahrte

4 Hereitung: ( [HeuG, 8, S. 9], kein Beweis im mathematischen Sinne) Wir machen die Annahmen, dass die Saite homogen ist, d.h. eine konstante Längendichte d (Masse pro Längeneinheit) besitzt, sowie vokommen eastisch und biegsam ist. Sie weist aso keine Steifigkeit auf, und erzeugt eine konstante Spannung s, d.h. innere Kraft. Außerdem wird jede Dämpfung vernachässigt, z.b. aufgrund innerer und äußerer Reibung. An einer Stee x werde die Saite ein wenig um u(x) ausgeenkt ( Abbidung ). Die Masse Dm eines Teistückes von x bis x+dx für ein (infinitesima) keines Dx ist dann (7) Dm = ddx (Längendichte ma Länge) Für die Kraft F z in z-richtung git daher nach dem Newtonschen Gesetz (F = m a) (8) F z = Dm a = ddx u& & S(x) sei die tangentiae Spannung. Da die Abbidung Die ausgeenkte Saite Spannung in x-richtung konstant s ist, git für die horizontaen Komponenten (9) S(x+Dx)cos b = S(x)cos a = s und für die vertikaen, d.h. in z-richtung, ergibt die Differenz die Resutierende F z (0) S(x+Dx)sin b S(x)sin a = F (8) z = ddx u& & Teit man (0) durch s und nutzt dabei die beiden Geichheiten aus (9), so fogt: S( x + x)sin β S( x)sinα δ () = xu&& S( x + x)cos β S( x)cosα σ δ () tan β tanα = x u& σ (3) tan b = u (x+dx); tan a = u (x) (der Tangens gibt die Steigung an) f (4) u ( x + x) u ( x) x δ = u& & σ Durch Grenzübergang DxØ0 erhät man schießich die Weengeichung: (5) u& & = c u ; c ú σ δ Die Randbedingungen (5) ergeben sich direkt aus den physikaischen Vorgaben. Die Geichungen (6) geben für jedes feste x die gemäß (3) nötigen Anfangsbedingungen an. Die Konstante c hat die Einheit einer Geschwindigkeit: (6) [c kg m ] = N / = kg m s m m = kg s f [c] = s m und beschreibt bei einer aufenden Wee deren Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die Bedeutung bei einer stehenden Wee zeigt sich in Abschnitt.5. Ñ Stephan h.t. Zahrte

5 Lösungsansätze. Separation Durch sogenannte Separation der pdgl (4) erhät man gdgln. Dazu nimmt man an, dass sich die Lösung u as Produkt einer rein orts- bzw. zeitabhängigen Funktion schreiben ässt. Man nennt dies auch synchrone Schwingungen. (7) u(x, t) = v(x) w(t) (8) u& & (x, t) = v(x) w& & (t); u (x, t) = v (x) w(t) Bei v und w handet es sich um totae Abeitungen, da sie nur von einer Variabe abhängen. Eingesetzt in (4) ergibt dies: (9) v(x) w& & (t) = c v (x) w(t) Fas v(x) = 0 oder w(t) = 0, git auch u(x, t) = 0 und nach (9) muss die jeweis andere Funktion verschwinden, so dass mit (8) die Weengeichung (4) erfüt ist. Wir nehmen daher an, dass (30) v(x) 0; w(t) 0 und erhaten dann (3) w& & ( t) = c v ( x) w( t) v( x) Da die inke Seite nur von t und die rechte nur von x abhängt, müssen beide Seiten konstant sein. Diese Konstante nennen wir c mit œ und erhaten (3) w& & ( t) = c ; w( t) v ( x) = f v( x) (33) w& & (t) = c w(t); v (x) = v(x) Seien nun umgekehrt w(t) und v(x) Lösungen von (4) und u(x, t) = v(x) w(t). Dann git: (34) u& & = v w& & = c vw = c v w = c u und u(x, t) ist Lösung der Weengeichung (4). Mit (33), partieer Integration und da v nur konstant ist, fas uª0, erhät man: (35) 0 (36) > 0 v dx Wir setzen daher = 0 v vdx = v v dx = 0 [ v v + ( v ) dx = ( v ) dx > 0 f ] Stephan h.t. Zahrte

6 Definition (37) k ú - Weenzah (beschreibt die räumiche Schwingung) (38) w ú k c - Kreisfrequenz (beschreibt die zeitiche Schwingung) und erhaten insgesamt die Satz 3 Schwingungsgeichungen. Sind v(x) und w(t) Lösungen der fogenden gdgln, so ist u = vw eine Lösung der Weengeichung (4) (39) v = k v (40) w& & = w w (4) w = k c; k, w œ R >0. Das Eigenwertprobem Mit den inearen Differentiaoperatoren Definition (4) W ú ( ); V ú {v œ ([0; ]) v(0) = v() =0} (43) L: VØV; v# v (44) L : WØW; w# c w& & sind die Geichungen (39) bis (4) zusammen mit der RB (5) für v(t) ein Satz 4 Simutanes Eigenwertprobem zu den Schwingungsgeichungen (45) Lv = v; L w= w; = k Man muss aso geichzeitig Eigenvektoren von L und L zum seben Eigenwert finden. Dies ist Ausdruck der Koppung der beiden DGLn durch w = k c (4). Die RB (6) für w(t) ist hierbei noch nicht berücksichtigt..3 Eigenschwingungen Wie aus der Anaysis bekannt ( [Kön], [For]) haben die DGLn (39) und (40) für festes k, w die agemeinen Lösungen: (46) v(x) = Csin(k x) + Dcos(k x); C, D œ (47) w(t) = Asin(w t) + Bcos(w t); A, B œ Aus den RBn (5) erhät man für die Konstanten von v(x) (48) D = 0; k = n p; n œ N f (49) k = nk ; k ú π ; n œ (50) w = n w 0 ; w 0 ú k c; n œ Die Geichungen (49) und (50) beschreiben eine Quantisierung. Die Eigenwerte und -vektoren von (45) auten damit Stephan h.t. Zahrte

7 (5) = n ú n ; ú k π = ; n œ (5) v(x) = v n (x) ú sin(nk x) (53) w(t) = w n (t) ú A n sin(nw 0 t) + B n cos(nw 0 t); A n, B n œ Die Ausenkung der Saite für einen festen Eigenwert ist aso (54) u(x, t) = u n (x, t) ú sin(nk x)[a n sin(nw 0 t) + B n cos(nw 0 t)]; A n, B n œ Diese Lösung nennt man reine Schwingung. Sie enthät nur eine Frequenz n, ganzzahiges Viefaches der Eigenfrequenz n 0 mit zugehöriger Periode t 0 : (55) pn 0 = w 0 = k c = π c f (56) n 0 ú c (5) = σ ; t0 ú = δ n 0 c Die Eigenfrequenz n 0 gibt die Grundfrequenz des von der Saite erzeugten Tones an. Sie hängt bei fester Saitenänge von der Spannung s und der Dichte d ab. Dies sieht man bei den meisten Saiteninstrumenten, z.b. Vioine und Kavier, deutich. Die tieferen Saiten werden immer dicker (höhere Längendichte d). Je stärker eine Saite gespannt wird (größeres s), um so höher ist der Ton. Bei Instrumenten wie der Harfe wird die Tonhöhe hingegen v.a. durch bestimmt. Eine reine Schwingung mit n = n n 0 nennt man n-te Harmonische bzw. (n )-ten Oberton. As Lösung für v(x) bei beiebiger RB (6) erwartet man nun as eine Überagerung aer mögichen Schwingungen, gemischte Schwingung genannt, ein trigonometrisches Poynom vom Grad N oder im Grenzfa NØ eine unendiche Reihe mit noch zu bestimmenden Koeffizienten. Für die Lösung findet man damit die Form n= (57) u(x, t) = sin( nk x) [ A sin( nw t) + B cos( nw t ] n= n 0 n 0 ) (58) u& (x, t) = sin( nk x) nw [ A n cos( nw t) B sin( nw t ] 0 0 n 0 ) ; A n, B n œ Aus (6) erhät man schießich Bedingungen für die Koeffizienten: (59) f (x) = B n sin( nk x) = u(x, 0); x œ [0; ] beiebig = n (60) g(x) = nω 0 A n sin( nkx) = u& (x, 0); x œ [0; ] beiebig = n Deren Bestimmung und ob dies bei beiebigen RBn mögich ist, ist Bestandtei der Fourier- Entwickung ( Satz 5), die in späteren Vorträgen behandet wird. Für den Fa g(x)ª0 (Saite zu Beginn in Ruhe; Abschnitt.5) erhät man A n = 0; n œ. In der Literatur wird oft (6) = p f k = ; w 0 = c und evt. auch noch c = gesetzt ( Satz 5). Dadurch werden die Formen etwas einfacher und assen sich durch Skaierung von Ort x und Zeit t wieder auf den agemeinen Fa zurückführen. Stephan h.t. Zahrte

8 .4 Fourier-Reihen Wir geben hier nur die Formen für die Fourier-Entwickung an ( [Heu, S. 4], [Kön, S. 36], [For, 3]). Die Hereitung und Bedingungen für ihre Gütigkeit, insbesondere für die Konvergenz der Reihe und Geichheit von Reihe und entwicketer Funktion f fogen in späteren Vorträgen. Satz 5 Fourier-Entwickung und Euer-Fourier-Formen für die Koeffizienten. Unter bestimmten Vorraussetzungen git für eine p-periodische Funktion f (6) f (x) = a0 + = p n ( a n cos nx + b n sin nx) ; mit (63) a n ú f ( x)cos( nx) dx ; n = 0,,... p p p (64) b n ú f ( x)sin( nx) dx ; n =,,... p p Die Interpoation durch abbrechende trigonometrische Poynome wird wie bei den Tayor- Poynomen oder den Interpoations-Poynomen der Numerik mit steigendem Grad am Rand oft stark osziierend, besonders an Unstetigkeitssteen. Beispiee von Fourier-Poynomen zeigen die fogenden Abbidungen ( [Fora, S. 98], [Forn, S. 75]) Abbidung 3 Fourier-Poynome der Rechteck-Funktion Abbidung 4 Fourier-Poynome der Sägezahn-Funktion Stephan h.t. Zahrte

9 .5 Euers Anayse Nach [Bri, S. 60ff] hat Euer die Weengeichung (Satz ) unter der vereinfachenden Annahme untersucht, dass die Saite zum Zeitpunkt t = 0 in Ruhe ist, d.h. g(x)ª0: (65) u& & = c u (66) u(0, t) = u(, t) = 0; t 0 beiebig (67) u(x, 0) = f (x); u& (x, 0) = 0; x œ [0; ] beiebig Er nimmt weiter an, dass u, f œ. Dann setzt er die zunächst nur auf dem Interva [0; ] definierte Funktion f wie fogt fort auf [ ; ]: Definition (68) f (x) ú f ( x); f ( x); für 0 x für - x 0 und erweitert diese dann -periodisch auf ganz. (69) f (x+) = f (x); x œ beiebig Abbidung 5 Euers Konstruktion von f (x) As Lösung der Weengeichung der schwingenden Saite verwendete er eine Kombination von mit der Geschwindigkeit c aufenden Ween: (70) u(x, t) = [ f (x ct) + f (x+ct)] Es handet sich um die Linearkombination einer nach rechts und einer nach inks aufenden Wee, und beschreibt eine stehende Wee, weche die Weengeichung und die Randbedingungen erfüt (t 0; x œ [0; ] beiebig): (7) u& & = c [ &~ f & (x ct) + &~ f & (x+ct)] = c ~ ~ [ f (x ct) + f (x+ct)] = c u (7) u(, t) = (f ( ct) + f (+ct)) = (f ( ct) + f (+ct)) = ( f (+ct) + f (+ct)) = 0 (73) u(0, t) = (f ( ct) + f (ct)) = ( f (ct) + f (ct)) = 0 (74) u(x, 0) = (f (x) + f (x)) = f (x) = f (x) Stephan h.t. Zahrte

10 .6 Die gezupfte Saite Die gezupfte Saite ist vor dem Losassen in Ruhe und erfüt daher die Bedingung der Anayse von Euer. Die Ausenkung zu Beginn wird näherungsweise beschrieben durch eine stückweise ineare Knickfunktion f = k ( Abbidung 6). Diese ist in den Knicksteen nicht differenzierbar, besitzt aber eine Fourier-Reihe. Setzt man die Funktion k ein in die Geichung (70) von Euer, dann erhät man einen Schwingungsverauf wie in Abbidung 7 as Überagerung einer nach inks und einer nach rechts aufenden Wee. Für die Ausenkung der gezupften Seite findet man mit = p und c = für die Fourier-Entwickung nach Satz 5 ( [Bri, S. 7]) a (75) u(x, t) = b( π b) n= sin( nb) sin( nx)cos( nt) n Hieraus ässt sich abesen, wie stark bei festem x die Obertöne in Abhängigkeit von b sind, d.h. der Stee, an der gezupft wird. Abbidung 8 stet graphisch die reative Ampitude der ersten 0 Harmonischen dar für verschiedene Steen, an denen gezupft wird. Laut [Bri] iegt die musikaisch optimae Stee zum Zupfen etwa bei b = 0,. ( Abbidung 8, Farbe Grün). Die. bis 4. Harmonische (Oktave, Quinte und Terz) sind recht stark, die höheren, ab der 7. z.t. unreinen ( Tabee 3), dagegen unterdrückt. Bei Zupfinstrumenten wie der Gitarre iegt diese Stee über dem Scha-Loch (ca. von 0,5 bis 0,3 geegen); bei Streichinstrumenten wie Vioine, Vioa, Vioonceo hingegen über den ersten Zentimetern des Griffbrettes. Dies iegt daran, dass diese primär für das Streichen gebaut sind. k (x) a x 0 b Abbidung 6 Die Knickfunktion k / gezupfte Saite Abbidung 7 Schwingungsverauf der gezupften Saite Bei b = 0,5 (in der Mitte der Saite; Abbidung: Farbe Schwarz) fehen ae geraden Harmonischen und damit insbesondere ae Oktaven. Der Ton kingt hoh und dumpf. Bei b = 0,05 und weniger (zum Rand/Steg hin) sind auch die hohen, z. T. unreinen Obertöne ab der 7. Harmonischen stark und bewirken einen scharfen, harten Kang. Die n-te Harmonische hat hier bereits fast genau den Antei /n, wie im Grenzfa bø0 ( Abbidung: Farbe Weiß). Für die gestrichene Saite assen die Ergebnisse eine ähniche Variation des Obertonspektrums vermuten. Mathematisch ist dies mit diesem Ansatz nicht zu ermitten, da es sich nicht um eine freie, sondern um eine erzwungene Schwingung handet, die nicht mehr der Weengeichung in der diskutierten Form genügt. Nach praktischen Erfahrungen iegt das Optimum aerdings deutich näher zum Steg (bei ca. 0,) und der musikaisch erwünschte Bereich ist erhebich keiner abgesehen von besonderen Techniken wie su ponticeo, bei der durch Streichen sehr nahe am Steg Känge erzeugt werden, in denen der Grundton fast vöig feht, und deren sphärischer Kang stark vom übichen Streicherkang abweicht. Stephan h.t. Zahrte

11 Reative Ampitude Reative Ampitude (bezogen auf Grundton) (bezogen auf Grundton) 00% 00% 00% 00% 90% 80% 70% 60% / /3 0, 0,05 -->0 50% 49% 50% 40,5% 33% 3% 40% 5% 3% 0% 30% 5% 7% 8,0% 8% 4% 4% % 0% % % 0% 9% 6,3% 8% 0%,% 6% 6% -->0 0,0%,8% 3,3% 0% 4%,5% 0,05 0% 0,0% 0% %,% 0,0% 4,0% % 0,0% 0,. 0,0%,0% 0% %. /3 3. 0,0% 4.,% b ,0% / Harmonische (Grund-/Oberton) b / Harmonische "Zupfstee" (Grund-/Oberton) Zupfstee Reative Ampitude Reative Ampitude (bezogen auf Grundton) (bezogen auf Grundton) 00% 00% 00% 00% 00% 00% 90% 80% 70% 60% / /3 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 -->0 48% 50% 50% 40% 30% 0% 0% 0% 0,0%,% 9% 40,5% 9% Harmonische (Grund-/Oberton) Stephan h.t. Zahrte % 5% 0% 7% 4% 9% 8,0% 3% % % 0% 9% 4% 5% 5% 6,3% 3% % 0,0%,8% 3,3% 0% 5%,5%,% % 0,0% % % % 0% 0,0% 4,0% 0,0%,0% 0,0%,% 0,0% / /3 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 -->0 b b / "Zupfstee" Zupfstee Abbidung 8 Obertonanteie an verschiedenen Steen gezupfter Saiten

12 3 Schwingungen und Töne 3. Etwas Harmonieehre Definition der musikaischen Intervae Man unterscheidet in der Musik zwischen reiner und temperierter Stimmung. Bei reiner Stimmung (im Barock und bis gegen 800) wird für jedes Interva ein exakter Bruch as Frequenzverhätnis angenommen. In der temperierten Stimmung (gegen 750 eingeführt) wird hingegen die Oktave in geiche Habtöne mit dem Frequenzverhätnis aufgeteit, und jedes Interva ist as Zusammensetzung von Habtönen definiert ( Tabee ). Die reine Stimmung entspricht dem Höreindruck bei rein, d.h. harmonisch kingenden Akkorden. Bei ihr haben aerdings z.b. 7 Oktaven und Quinten nicht genau das geiche Verhätnis und immer nur eine einzige Tonart kingt absout rein. Sie findet vor aem Anwendung bei Chor- Gesang und Meodie-Instrumenten wie der Vioine. In der temperierten Stimmung wird der Feher dagegen geichmäßig auf ae Habtöne und Tonarten verteit. Sie wird heute bei Tasteninstrumenten wie dem Kavier verwendet. Die pythagoreische Stimmung ist benannt nach Pythagoras. Bei ihr wird nur der Feher der Quinten im Vergeich zu den Oktaven ausgegichen, das sogenannte pythagoreische Komma : (76),5 U9,75 8 = 7 ( Quinten 7 Oktaven, obwoh x7 = 7x) Name des Intervas Frequenzverhätnis reines Interva in Habtönen ( temperiert ) Prime : = 0:,0000 Oktave : = :,0000 Quinte 3 : =,5 7:,4983 Quarte 4 : 3 U,3333 5:,3348 Große Terz 5 : 4 =,5 4:,599 Keine Terz 6 : 5 =, 3:,89 Große Sekunde 9 : 8 =,5 :,5 Keine Sekunde 6:5 U,047 :,0595 Keine Sexte 8 : 5 =,6 8:,5874 Große Sexte 0: 6 U,6667 9:,688 Keine Septime 6: 9 U,7778 0:,788 Große Septime 5:8 =,875 :,8877 verminderte Quinte / Tritonus (9:8) 3 =79:5U,438 ( Diabous in Musica ) 6:,44 Tabee Die musikaischen Intervae Bruchrechnung der Intervae Die Addition, d.h. das aufeinander Schichten von Intervaen ergibt sich durch Mutipikation der Verhätnisse, die Subtraktion durch entsprechende Division. Kompementärintervae ergänzen sich jeweis zur Oktave ( Tabee ), da Töne im Abstand einer Oktave sehr ähnich kingen. Auch andere Intervae können as Summe von keineren gebidet werden, z.b. die Quinte aus großer und keiner Terz: (6 : 5) x (5 : 4) = (6 : 4) = (3 : ). Stephan h.t. Zahrte

13 Quinte Quarte (3 : ) x (4 : 3) = ( : ) Große Terz Keine Sexte (5 : 4) x (8 : 5) = ( : ) Keine Terz Große Sexte (6 : 5) x (0: 6) = ( : ) Große Sekunde Keine Septime (9 : 8) x (6: 9) = ( : ) Keine Sekunde Große Septime (6:5) x (5: 8) = ( : ) 3. Grund- und Obertöne Tritonus Tritonus ( : ) x ( : ) = ( : ) Tabee Kompementärintervae Die Harmonischen einer Schwingung setzen sich zum großen Tei aus reinen Intervaen zusammen, wie die fogende Abbidung und Tabee zeigen. Abbidung 9 Weenformen einiger Obertöne Harmonische / Name Frequenzverhätnis. Grundton (Prime) :. Oktave : 3. Quinte über der Oktave) 3 : = (3 : ) x ( : ) 4. Doppeoktave (-Okt.) 4 : = ( : ) 5. Große Terz über der -Okt. 5 : = (5 : 4) x (4 : ) 6. Quinte über -Okt. 6 : = (3 : ) x (4 : ) 7. unreine Septime über -Okt. 7 : = (kein reines Interva) 8. Dreifachoktave (3-Okt.) 8 : = ( : ) 3 9. Große Sekunde über 3-Okt. 9 : = (9 : 8) x (8 : ) 0. Große Terz über 3-Okt. 0: = (5 : 4) x (8 : ). unreine Quarte über 3-Okt. : = (kein reines Interva). Quinte über 3-Okt. : = (3 : ) x (8 : ) 3. unrein 3: = (kein reines Interva) 4. unrein 4: = (kein reines Interva) 5. Große Septime über 3-Okt. 5: = (5 : 8) x (8 : ) 6. Vierfachoktave (4-Okt.) 6: = ( : ) 4 Tabee 3 Intervazusammensetzung einiger Obertöne Stephan h.t. Zahrte

14 4 Literatur Queen zur schwingenden Saite [Heu] Harro Heuser: Anaysis, 980, 6. Auf. 99, 3/3, 44/5, S. 8ff, 74ff {Schwingende Saite Einführung/Fourier-Reihen} [HeuG] Harro Heuser: Gewöhniche Differentiageichungen, 988,. Auf. 99, 8, 8, 34, 45, S. 00ff, 9ff, 37ff, 438ff {Historisches, Hereitung der Weengeichung} [Bri] Egbert Brieskorn: Lineare Agebra und anaytische Geometrie II,. Auf. 985,.7, Anhang S. 60ff {Schwingende Saite Eigenwertprobem} [Gre] Water Greiner: Theoretische Physik, Bank : Mechanik II, 977,. Auf. 977, 8, S. 8ff {Hereitung Weengeichung, schwingende Saite} Grundagen, Weiterführendes [Kön] Konrad Königsberger: Anaysis, 990, 6. Auf. 004, 0.4, 6, S. 8ff, 3ff {Schwingungsgeichung, Fourier-Reihen} [Fora] Otto Forster: Anaysis, 976, 4. Auf. 985, 3, S. 89ff {Fourier-Reihen, Abb. Recheck} [Forn] Otto Forster: Anaysis, 976, 8. Auf. 006, 3, S. 65ff {Fourier-Reihen, Abb. Sägezahn} [For] Otto Forster: Anaysis, 976, 7. Auf. 006, 4, S. 74ff {Lösung der Schwingungsgeichung} Stephan h.t. Zahrte