Anleitung zu Blatt 3 Differentialgleichungen II. Wellengleichung

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1 Department Mathematik der Universität Hamburg SoSe 9 Dr. Hanna Peywand Kiani Aneitung zu Batt 3 Differentiageichungen II Weengeichung Die ins Netz gesteten Kopien der Aneitungsfoien soen nur die Mitarbeit während der Veranstatung ereichtern. Ohne die in der Veranstatung gegebenen zusätzichen Eräuterungen sind diese Unteragen unvoständig (z. Bsp. fehen oft wesentiche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfeher, die rechtzeitig auffaen, werden nur mündich während der Veranstatung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfogt NICHT! Eine Veröffentichung dieser Unteragen an anderer Stee ist untersagt!

2 Homogene Anfangwertaufgabe (AWA) auf R (Cauchy-Probem) u tt c u xx = x R, t > c >, u(x, ) = u (x) = f(x), u t (x, ) = v (x) = g(x) x R. Forme von d Aembert u(x, t) = [ f(x + ct) + f(x ct) ] + c x+ct x ct g(ψ) dψ. Hereitungsmethode wird für Aufgabe benötigt. Das ging so: Mit Hife der Substitution α = x + ct, µ = x ct, v(α, µ) = u(x, t) erhät man u x = v α α x + v µ µ x = v α + v µ u t = v α α t + v µ µ t = cv α cv µ u xx = v αα α x + v αµ µ x + v µα α x + v µµ µ x = v αα + v αµ + v µµ u tt = cv αα α t + cv αµ µ t cv µα α t cv µµ µ t = c (v αα v αµ + v µµ ) Damit erhät man u tt c u xx = c v αµ = v αµ = v α = φ(α) = v(α, µ) = Φ(α) + Ψ(µ) = u(x, t) = Φ(x + ct) + Ψ(x ct) Anfangsbedingungen: u(x, ) = Φ(x) + Ψ(x) = f(x), u t (x, ) = cφ (x) cψ (x) = g(x) Abeiten der ersten Geichung iefert cφ (x) + cψ (x) = cf (x), u t (x, ) = cφ (x) cψ (x) = g(x) Addieren bzw. Substrahieren der Geichungen cφ (x) = cf (x) + g(x), Φ (x) = f (x) + c g(x), cψ (x) = cf x) g(x) Ψ (x) = f (x) c g(x) x x x x Φ(x) = f (σ)dσ + g(σ)dσ, Ψ(x) = f (σ)dσ x c x x c u(x, t) = x+ct x+ct x f (σ)dσ + g(σ)dσ + c x = (f(x + ct) + f(x ct)) + c x+ct x ct x ct x g(σ)dσ. f (σ)dσ c x ct Bei u tt + (a + b)u tx + abu xx anaog mit Substitution α = x bt, µ = x at. x x g(σ)dσ g(σ)dσ

3 3 Anfangsrandwertaufgabe für die Weengeichung zunächst : homogene Dg. mit homogenen Randdaten u tt c u xx = c >, x (, ), t > u(x, ) = u (x) x (, ), u t (x, ) = v (x) x (, ), u(, t) = t >, u(, t) = t >, Produktansatz u(x, t) = X(x) T (t) iefert X(x) T (t) = c X (x) T (t) c X X X = λx = T T = λc und T = λc T Die homogenen Randbedingungen iefern u(, t) = X()T (t) = t > = X() = T u(, t) = X()T (t) = t > = X() = T Für nichttriviae Lösungen erhät man aso die Randwertaufgabe: X (x) = λx(x), X() = X() = Nach Übungsbatt gibt es nur für positive λ nichttriviae Lösungen, und zwar Wegen X() = git c = X λ (x) = c sin( λx) + c cos( λx) X() = c sin( λ) = = λ = k = λ k = ( k ) Oder mit der übichen Bezeichnung : X k (x) = sin(kωx) ω = /, λ k = ( ) k = (kω), k N T = λc T = (ckω) T iefert T k (t) = A k cos(ckωt) + B k sin(ckωt) Jede Funktion u k (x, t) := T k (t) X k (x) öst die homogene Weengeichung und erfüt die Randbedingungen. Damit tun dies aber auch ae Linearkombinationen dieser Funktionen: u(x, t) = n (A k cos(ckωt) + B k sin(ckωt)) sin(kωx) da die DGL homogen und inear ist und die Randbedingungen homogen sind.

4 Zu erfüen beiben die Anfangsbedingungen. Die erste autet u(x, ) = n (A k cos() + B k sin()) sin(kωx) = u (x) x [, ] Für n erhät man u(x, ) = A k sin(kωx) = u (x) x [, ] Die A k sind bei gatten Anfangswerten die Fourierkoeffizienten der ungeraden periodischen Fortsetzung von u A k = ( ) kψ u (ψ) sin dψ Die zweite Anfangsbedingung iefert u t (x, ) = B k (ckω) sin(kωx) = v (x) mit den Fourierkoeffizienten der ungeraden periodischen Fortsetzung von v b k = ( ) kψ v (ψ) sin dψ muss aso geten oder B k = ck b k Damit erhaten wir die Lösung u(x, t) = A k = B k ck sin( k x) = b k sin( k x) (A k cos(ckωt) + B k sin(ckωt)) sin(kωx) ω = ( ) kψ u (ψ) sin dψ, B k = ck ( ) kψ v (ψ) sin dψ

5 5 Beispie: u tt u xx = x (, ), t > u(x, ) = { x x (, x (, ) Hier git: L =, ω k = k L u t (x, ) = sin(x) x (, ), u(, t) = u(, t) = t >, = k / = k, c = u(x, t) = [A k cos(cω k t) + B k sin((cω k t)] sin(ω k x), wobei A k und ck L B k die Fourierkoeffizienten der Funktionen u(x, ) bzw sin(x) bei Entwickung nach den Funktionen sin(kx) sind. Man iest unmittebar ab: B = / ()() = und B k = sonst. A k = L L = k u(x, ) sin (kx) dx = [ ] x cos(kx) + k + [ ] x cos(kx) k = ( ) k k sin u(x, t) = [ k k sin = sin(t) sin(x) + x sin(kx)dx + cos(kx)dx [ ] cos(kx) k cos(kx)dx ( ) ] k cos(ω k t) sin(ω k x) k sin ( x) sin(kx)dx + sin(t) sin(x) ( ) k cos(kt) sin(kx)

6 6 Inhomogene Randwerte : Homogenisierung der Randwerte u tt c u xx = c >, x (, ), t > u(x, ) = u (x) x [, ], u t (x, ) = w (x) x [, ], u(, t) = h(t) t, u(, t) = g(t) t, v(x, t) := u(x, t) h(t) x (g(t) h(t)) v(, t) = u(, t) h(t) (g(t) h(t)) = v(, t) = u(, t) h(t) (g(t) h(t)) = Neue DGL für v : u(x, t) := v(x, t) + h(t) + x (g(t) h(t)) u t (x, t) := v t (x, t) + ḣ(t) + x (ġ(t) ḣ(t)) u tt (x, t) := v tt (x, t) + ḧ(t) + x ( g(t) ḧ(t)) u x (x, t) := v x (x, t) + + (g(t) h(t)) u xx (x, t) := v xx (x, t) Das neue Probem besteht aus : i. d. R. inhomogener DGL, inhomogene Anfangswerte aber homogene Randdaten v tt c v xx = ḧ(t) + x ( g(t) ḧ(t)) v(x, ) = u(x, ) h() x (g() h()) =: v (x). v t (x, ) = u t (x, ) ḣ() x (ġ() ḣ()) =: ˆv (x). v(, t) =, v(, t) =.

7 7 Beispie: [Kausur 6, Obere/Kiani] Bestimmen Sie mit Hife der Fourier Methode die Lösung der fogenden Anfangsrandwertaufgaben. a) b) v tt = v xx < x <, t R +, v(x, ) = sin(x) < x <, v t (x, ) = sin(x) < x <, v(, t) = v(, t) = t >. u tt = u xx < x <, t R +, u(x, ) = x sin(x) < x <, u t (x, ) = sin(x) < x <, u(, t) = t >, u(, t) = t >. a) Es handet sich um eine homogene Anfangsrandwertaufgabe für die Weengeichung. c =, u (x) = sin(x), v (x) = sin(x), L =, ω = A k = B k = L b k ck = k u (α) sin(kα) dα A = A k = sonst und damit ( v(x, t) = A cos aso v (α) sin(kα) dα B = ) ( ) t sin x B k = sonst ( ) ( ) + B sin t sin x v(x, t) = sin(t) sin(x) cos(t) sin(x) b) Zur Homogenisierung der Randdaten führt man die Funktion v wie fogt ein: Die ARWA für v autet v(x, t) = u(x, t) x ( ) = u(x, t) x v tt = v xx < x <, t R +, v(x, ) = u(x, ) x = sin(x) < x <, v t (x, ) = u t (x, ) = sin(x) < x <, v(, t) = u(, t) = t >, v(, t) = u(, t) = t >. Dies ist gerade die homogene ARWA aus Tei a). Die Lösung autet aso u(x, t) = v(x, t) + x = x + sin(t) sin(x) cos(t) sin(x) Es fogt Zusammensteung geschossener Lösungsformen (ohne Gewähr, bitte vor der Kausur mit Voresung/Formesammung abgeichen! )

8 8 Weengeichung A) AWA, homogen: ũ tt c ũ xx =, ũ(x, ) = f(x), ũ t (x, ) = g(x), x R ũ(x, t) = [f(x + ct) + f(x ct)] + c B) AWA, inhomogen: x+ct x ct g(α) dα u tt c u xx = h(x, t), u(x, ) = f(x), u t (x, ) = g(x), x R u(x, t) = ũ + û ũ wie in A) û(x, t) = c t x c(s t) x+c(s t) C) ARWA, homogen, homogene Randwerte: h(ω, s) dω ds u tt c u xx =, x (, L), t > u(x, ) = u (x), u t (x, ) = w (x) x (, L) u(, t) = u(l, t) = t > [ ( ) ( )] ( ) ck ck k u(x, t) = A k cos L t + B k sin L t sin L x A k = L B k = ck L L u (α) sin( kα L ) dα w (α) sin( kα L ) dα D) ARWA, inhomogene Randwerte: u tt c u xx =, x (, L), t > u(x, ) = u (x), u t (x, ) = w (x) x (, L) u(, t) = h(t) u(l, t) = g(t) t > Randwerte homogenisieren v(x, t) = u(x, t) h(t) x (g(t) h(t)) L ergibt neue Aufgabe für v mit homogenen Randwerten. Fas neue Dg. homogen : Fa C) Fas neue Dg. inhomogen : Literatur!

9 9 Weengeichung 3D u tt = c u, x = x y R 3, u = u xx + u yy + u zz, r = x, t >, z u( x, ) = g( x ), u t ( x, ) = h( x ). Nach Voresung git für rotationssymmetrische Lösungen u( x, t) = ũ(r, t) Man kann Zeigen (Übung), dass dann ũ tt = c r (r ũ r ) r. v(r, t) := rũ(r, t) die Weengeichung im R öst. Das heißt: v tt = c v rr Beispie: Bestimmen Sie eine rotationssymmetrische Lösung u( x, t) = ũ(r, t) der fogenden Anfangswertaufgabe: u tt = c 3 u, x R 3, r = x, t >, u( x, ) = sin ( x ), u t ( x, ) =. Wir definieren v wie oben und erhaten c v rr = v tt, v(r, ) = r sin(r), v t (r, ) = aerdings nur für r >, t >. Um die Lösungsforme von d Aembert verwenden zu können, setzen wir die Anfangsdaten ungerade fort. Wir definieren neu: v (r) := v(r, ) = r sin(r), v t (r, ) = auf ganz R. Nach d Aembert git dann v(r, t) = [ r + ct sin(r + ct) + r ct sin(r ct) ] Uns interessiert nur die Lösung für r, t. Daher ist der Fa r + ct < irreevant. Wir unterscheiden nur nach dem Vorzeichen von r ct und erhaten:

10 v(r, t) = [v (r + ct) + v (r ct)] = [(r + ct) sin(r + ct) + r ct sin(r ct)] [(r + ct) sin(r + ct) + (ct r) sin(r ct)] r < ct = (r + ct) sin(r + ct) r = ct [(r + ct) sin(r + ct) + (r ct) sin(r ct)] r > ct [r cos(r) sin(ct) + ct sin(r) cos(ct)] r < ct = r sin(r) r = ct [r sin(r) cos(ct) + ct cos(r) sin(ct)] r > ct [r cos(r) sin(ct) + ct sin(r) cos(ct)] r r < ct ũ(r, t) = sin(r) r = ct [r sin(r) cos(ct) + ct cos(r) sin(ct)] r r > ct Diese Funktion öst sicher die Weengeichung. Wir testen noch die Anfangswerte. Wobei für t = stets der Fa r > ct voriegt ũ(r, ) = ũ t (r, t) t= = [r sin(r) cos() + cos() sin()] = sin(r) r [ rc sin(r) sin(ct) + c t cos(r) cos(ct) ] r = t=