Laplacetransformation

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1 Laplacetransformation Fakultät Grundlagen Februar 206 Fakultät Grundlagen Laplacetransformation

2 Übersicht Transformationen Transformationen Bezugssysteme Definition der Laplacetransformation Beispiele 2 Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung 3 Lösungsschema Differenzialgleichungen Systeme von Differenzialgleichungen Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 2

3 Philosophisches Transformationen Bezugssysteme Definition der Laplacetransformation Beispiele Ein mathematischer oder physikalischer Sachverhalt lässt sich häufig in unterschiedlichen Bezugssystemen darstellen. Je nach Blickwinkel und Aufgabenstellung sind die verschiedenen Darstellungen von Vorteil. Beispiel: Licht: Wellennatur Korpuskelnatur Beugung am Spalt Druck des Sonnenlichts Je nach Aufgabenstellung benutzt man das Wellenmodell bzw. das Modell eines Teilchens. Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 3

4 Transformationsgedanke I Koordinationtransformation: Gleichung der Ellipse lässt sich in einem geschickten Koordinatensystem einfacher darstellen. 5x 2 + 5x x x 2 22x 26x = 0 Verschiebung in Nullpunkt: x = y + x 2 = y eliminiert lineare Glieder: 5y 2 + 5y y y 2 = 2 Drehung: eliminiert Produktglied: y = 2 [z + z 2 ] y 2 = 2 [ z + z 2 ] 2z 2 + 8z2 2 = 2 bzw. z 2 + z2 2 ( 2) 2 = Bezugssysteme Definition der Laplacetransformation Beispiele Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 4 x 2 y 2 y z 2 z x

5 Transformationsgedanke II Zeitbereich: Bezugssysteme Definition der Laplacetransformation Beispiele x(t) = + cos(t) 2 sin(2t) 3 cos(3t) + 4 sin(4t) x(t) = + cos(t) + 2 cos(2t + π 2 ) + 3 cos(3t + π) + 4 cos(4t π 2 ) x x(t) T t Frequenzbereich: Bei bekannter Schwingungsdauer T besitzt Amplitude und Phase denselben Informationsgehalt wie die Zeitfunktion x(t)! Amplitude Phase π k k Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 5

6 Transformation von Funktionen Laplacetransformation Bezugssysteme Definition der Laplacetransformation Beispiele Die Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0 und die Frequenzfunktion F (s) bilden ein Laplace-Transformationspaar, wenn sie folgenden Transformationsgleichungen genügen: F (s) = L {f (t)} = t=0 f (t) = L {F (s)} = 2πj f (t) e st dt; α+j s=α j F (s) e st ds s C Zur Beschreibung der Zusammengehörigkeit von f (t) und F (s) verwendet man das nachfolgende Korrespondenzsymbol. f (t) F (s) Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 6

7 Bezugssysteme Definition der Laplacetransformation Beispiele Definitionsbereich der Laplacetransformation Im In der Definition wird stillschweigend die Existenz der uneigentlichen Integrale vorausgesetzt. Besitzt die Funktion f (t) die Eigenschaft f (t) e α 0t 0 für t mit einem bestimmten reellen Parameter α 0, dann existiert das Laplace-Integral für alle s = α + jω mit α > α 0. α + j α α j Re Zu einem Laplace-Integral gehört also stets eine Konvergenzhalbebene Re(s) > α ; α ist das Minimum aller Werte α 0, für die die obige Grenzbeziehung erfüllt ist. Die Konvergenzbedingung bedeutet anschaulich, dass f (t) nicht stärker anwachsen darf als eine Exponentialfunktion. Da f (t) = 0 für t < 0, spielt das Verhalten des konvergenzerzwingenden Faktors e st für negative Werte keine Rolle. Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 7

8 Beispiel I Transformationen Bezugssysteme Definition der Laplacetransformation Beispiele f (t) = e at σ(t), a C e 0.5 t L {e at } = t=0 = a s e at e st dt = Es gilt: e (a s)t 0 für T Korrespondenz: [ e at s a e (a s)t dt = e(a s)t a s t=0 ] lim T e(a s)t = s a, falls Re(s) > Re(a) ; Re(s) > Re(a) t t=0 Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 8

9 Beispiel II Transformationen f (t) = cos(ωt) σ(t) f 2 (t) = sin(ωt) σ(t) e ±jωt σ(t) s jω ω IR Eulersche Formel (e jα = cos α + j sin α) : cos(ωt) = [ 2 e jωt + e jωt] 2 sin(ωt) = [ 2j e jωt e jωt] 2j Argumentation ohne σ(t)! Bezugssysteme Definition der Laplacetransformation Beispiele sin(5t) cos(2t) [ s jω + s + ] jω [ s jω s + jω cos(ωt) s s 2 + ω 2 sin(ωt) ω s 2 + ω 2 ; Re(s) > 0 t = s s 2 + ω 2 ] = ω s 2 + ω 2 Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 9

10 Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) F (s) Die Linearität des Integrals ergibt sofort die Linearität der Laplacetransformation f (t) F (s) f 2 (t) F 2 (s) a f (t) + a 2 f 2 (t) a F (s) + a 2 F 2 (s) Eine lineare Substitution beim definierenden Integral (Nachrechnen!) ergibt den Ähnlichkeitssatz : f (at); a > 0 a F ( s a ) Interpretieren wir s als Frequenz, dann ergibt sich daraus das Grundgesetz der Nachrichtentechnik: Zeitdauer eines Signals und die Bandbreite des Spektrums sind zueinander umgekehrt proportional. Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 0

11 Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) F (s) L {f (t a) σ(t a)} = t=a... = f (τ) e s(τ+a) dτ = e as τ=0 τ=0 f (t a) e st dt =... τ = t a dτ = dt t a τ 0 f (τ)e sτ dτ = e as F (s) f (t) σ(t) f (t a) σ(t a) F (s) t a Verschiebungssatz: e as F (s) t Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie:

12 Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) F (s) Eine Verschiebung im Frequenzbereich entspricht im Zeitbereich einer Multiplikation mit einer e-funktion (analoger Nachweis durch Substitution beim Umkehrintegral) e at f (t) F (s + a) Die Bezeichnung Dämpfungssatz folgt aus der Tatsache, dass für a > 0 die Zeitfunktion f (t) gedämpft wird. Die Endwertsätze stellen einen Zusammenhang zwischen Anfangsbzw. Endwerten der Zeitfunktion f (t) und den End- bzw. Anfangswerten der Frequenzfunktion F (s) her. lim f (t) = lim s F (s) t s 0 lim t 0 f (t) = lim s s F (s) Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 2

13 Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) F (s) Welche Rechenoperation im Frequenzbereich entspricht der Differenziation im Zeitbereich? L {f (t)} = f (t)e st dt t=0 Höhere Ableitungen: = f (t) e st t=0 }{{} =0 f (0+) = s F (s) f (0+) partielle Integration f gdx = fg fg dx ( s) t=0 f (t) e st dt } {{ } =F (s) L {f (t)} = L {g (t)} mit g(t) = f (t) s F (s) f (0+) = s L {g(t)} g(0+) = s L {f (t)} f (0+) = s [s F (s) f (0+)] f (0+) = s 2 F (s) s f (0+) f (0+) Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 3

14 Beispiel zum Differenziationssatz Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung Bei Anfangswertproblemen werden die Anfangswerte bei der Transformation automatisch berücksichtigt. Beispiel: y + y = 0 ; y(0) = 5 Laplace-Transformation des Anfangswertproblems: Bezeichnung: L {y(x)} = Y (s) ; x entspricht t L { y + y } = L {0} s Y (s) 5 + Y (s) = 0 Man erhält eine algebraische Gleichung für Y (s) Y (s) = 5 s + Die Rücktransformation liefert die gesuchte Lösung im x-bereich y(x) = 5 e x Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 4

15 Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) F (s) Eine Differenziation im Frequenzbereich entspricht im Zeitbereich der Multiplikation mit t. Dabei sind keine Anfangswerte zu berücksichtigen. t f (t) d ds F (s) Diese Eigenschaft kann man bei der Rücktransformation nutzen. L {t cos ωt} =? cos ωt s s 2 + ω 2 L {t cos ωt} = d ds L {cos ωt} = d ds ( s s 2 + ω 2 ) = s2 ω 2 (s 2 + ω 2 ) 2 Für höhere Ableitungen im Frequenzbereich gilt entsprechend t n f (t) ( ) n d n ds n F (s) Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 5

16 Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) F (s) Integrationssatz: Der Integration (als Umkehrung der Differenziation) im Zeitbereich entspricht im Frequenzbereich die Division durch s. Faltungssatz: Der Multiplikation im s-bereich entspricht die Faltung im t-bereich. F (s) F 2 (s) f (t) f 2 (t) = t τ=0 f (τ)f 2 (t τ)dτ Wegen f (t) = 0 für t < 0 erhält man für die untere Integrationsgrenze stets 0. Da die Reihenfolge der Multiplikation im s-bereich keine Rolle spielt, kann bei der Faltung die Reihenfolge vertauscht werden: f (t) f 2 (t) = f 2 (t) f (t) Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 6

17 Beispiel zur Faltung Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung g(t) = ( e t ) σ(t) { g(τ) e t für 0 t r(t) = g(t τ) 0 sonst f (t) = ( g r ) f (τ) r(τ) (t) g(t τ) { e t te t +, 0 t τ = e e t +, t > 0 t t t t f (t) = r(τ) g(t τ) dτ = e τ [σ(τ) σ(τ )] ( e (t τ)) σ(t τ) dτ 0 0 t 0 t f (t) = e τ ( e (t τ) ) dτ = 0 }{{} e τ e t < t f (t) = 0 MATLAB: faltung.m e τ ( e (t τ) ) }{{} dτ = e τ e t [ e τ τe t ] t 0 [ e τ τe t ] 0 = e t te t + = e e t + Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 7

18 Elementare Eigenschaften Differenziation Integration, Faltung Laplacetransformation periodischer Funktionen Die Funktion f 0 (t) sei auf 0 < t < t definiert. Durch periodische Fortsetzung für t > 0 entsteht die Funktion f (t) mit f (t + t ) = f (t). f 0 (t) f (t) t t t t 2t 3t F 0 (s) F 0 (s)?? e t s Verschiebung von f 0 (t) um k t : f k (t) Fk (s) = F 0 (s) e kts Addition der Einzelimpulse: [e t s ] k f (t) = f k (t) F (s) = F k (s) = F 0 (s) {}}{ e kts = F 0(s) e ts k=0 k=0 k=0 gültig für e ts <, d. h. Re(s) > 0 vgl. Skript Reihen! Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 8

19 Lösungsschema Transformationen Lösungsschema Differenzialgleichungen Systeme von Differenzialgleichungen Der Differentiation im t-bereich entspricht die (mathematisch wesentlich einfachere) Multiplikation mit s im Frequenzbereich; eine Differentialgleichung geht durch Laplace-Transformation in eine algebraische Gleichung über. Anfangswertprobleme lassen sich nach folgendem Schema behandeln: DGL + Anfangsbedingungen L algebraische Gleichung Zeitbereich Algebra s-bereich Lösung der DGL L Bildfunktion Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 9

20 Lösungsschema Differenzialgleichungen Systeme von Differenzialgleichungen Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) F (s) Transformation einer linearen Differenzialgleichung f (t) F (s) f (t) sf (s) f (0+) f (t) s 2 F (s) f (0+) s f (0+) f (n) s n F (s) f (0+) s n f (0+) s n 2... f (n ) (0+) Differentiation im Zeitbereich } Multiplikation mit einer Potenz der Variablen s + Polynom in s, dessen Koeffizienten Anfangswerte von f, f,... sind ergibt algebraische Gleichung für F (s). Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 20

21 Beispiel DGL 2. Ordnung I Lösungsschema Differenzialgleichungen Systeme von Differenzialgleichungen AWP: ẍ + x = t ; x(0) =, ẋ(0) = 2 () L-Transformation des AW-Problems: X (s) = L{x(t)}: L {ẍ + x} = L {ẍ} + L {x} = {s 2 X (s) s + 2} + X (s) L {t} = s 2 AWP (s 2 + ) X (s) s + 2 = s 2 (2) Lösung im s-bereich: Die algebraische Gleichung für die Bildfunktion X (s) hat die Lösung X (s) = s 2 (s 2 + ) + s s s 2 + Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 2

22 Beispiel DGL 2. Ordnung II Lösungsschema Differenzialgleichungen Systeme von Differenzialgleichungen (3) L -Transformation: X (s) = s 2 (s 2 + ) + s s s 2 + Partialbruchzerlegung des ersten Terms: s 2 (s 2 + ) = a s + b s 2 + cs + d s 2 + Multiplikation mit dem Hauptnenner und Koeffizientenvergleich... s 2 (s 2 + ) = s 2 s 2 + Damit geht die Bildfunktion X (s) über in X (s) = s 2 + s s s 2 + x(t) = t + cos t 3 sin t Tabelle! Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 22

23 Beispiel System I { ẋ + 2y = 3t ẏ 2x = 4 } x(0) = 0 ; y(0) = Lösungsschema Differenzialgleichungen Systeme von Differenzialgleichungen () LT des AW-Problems (L {x(t)} = X (s), L {y(t)} = Y (s)) s X + 2Y = 3 s 2 s X + 2Y = 3 s Y 2X = 4 s 2 2 s s 2X + sy = 4 s + s ( 2) (2) Lösung des Gleichungssystems für X (s), Y (s) 2s X + 4Y = 6 s 2 2s X + s 2 Y = 4 + s s 2 X + 2sY = 3 s 4 X 2sY = 8 s 2 Y (4 + s2 ) = 6 s s X (4 + s2 ) = 5 s 2 Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 23

24 Beispiel System II Lösungsschema Differenzialgleichungen Systeme von Differenzialgleichungen X (s) = 5 s(s 2 + 4) 2 s Y (s) = 4 s s 2 (s 2 + 4) + s s (3) L -Transformation (Partialbruchzerlegung, Tabelle,...) X (s) = 5 4 s s s s 2 +4 x(t) = cos 2t sin 2t Y (s) = 3 2 s 2 + s s s y(t) = 2 t + cos 2t sin 2t Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 24

25 Lösungsschema Differenzialgleichungen Systeme von Differenzialgleichungen Lösen von DGL mittels Laplacetransformation Wegen des. Differentiationssatzes werden bei der Laplacetransformations-Methode die Anfangsbedingungen automatisch berücksichtigt. Interessiert man sich für die allgemeine Lösung, dann kann man allgemeine Anfangswerte verwenden, die dann die Rolle der Integrationskonstanten übernehmen. Die Laplace-Transformationsmethode ist besonders einfach bei linearen Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten. Als Bildfunktionen ergeben sich gebrochen rationale Funktionen, die sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung und einer Korrespondenztabelle transformieren lassen. Im Nenner der Bildfunktion tritt dabei jeweils das charakteristische Polynom auf; die Eigenwerte der klassischen Lösungsmethode sind Nennernullstellen. Resonanzfälle müssen nicht gesondert behandelt werden! Fakultät Grundlagen Laplacetransformation Folie: 25