) ein lokales Minimum, oder ein lokales Maximum, oder kein Extremum? Begründen Sie das mit den ersten und zweiten Ableitungen.

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1 Mathematik 2 Klausur vom 22. November 23 Zoltán Zomotor Versionsstand: 2. Dezember 23, 9:2 This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3. Germany License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 7 Second Street, Suite 3, San Francisco, California, 94, USA. Name Vorname Drei Punkte pro Aufgabe. Mindestpunktzahl zum Bestehen: Punkte. Hilfsmittel: maximal acht einseitig oder vier beidseitig beschriftete DIN-A4-Spickzettel beliebigen Inhalts, möglichst selbst verfasst oder zusammengestellt; kein Skript, keine andere Formelsammlung, kein Taschenrechner, kein Computer, kein Mobiltelefon. Kochrezepte. Hat die Funktion f(x, y) y + e x y + x 2 an der Stelle (x y ) ( 2 2 ) ein lokales Minimum, oder ein lokales Maximum, oder kein Extremum? Begründen Sie das mit den ersten und zweiten Ableitungen. mit der Anfangsbe- 2. Finden Sie die Lösung der Differentialgleichung + x + 2x 2 y x dingung y(). Hinweis: Trennung der Variablen. y 3. Bestimmen Sie den Hauptnormaleneinheitsvektor e N der Bahnkurve, die durch die Vektorfunktion sin(3t) r(t) cos(3t) 4t beschrieben wird. Vereinfachen Sie den Term für e N soweit wie möglich. Hinweis: sin 2 (x) + cos 2 (x) ϕ (t) ϕ 4. Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte Φ(s) der Fundamentalmatrix Φ(t) 2 (t) ϕ 2 (t) ϕ 22 (t) sowie das Element ϕ (t) für folgendes Differentialgleichungssystem. Ordnung : ẋ 2x + x 2 x () ẋ 2 2x 3x 2 + u(t) x 2 () Hinweis: Auf den Seiten 3 und 4 finden Sie Rechenregeln und Korrespondenzen der Laplace-Transformation Bitte Rückseite berücksichtigen!

2 Kreative Anwendung. Schätzen Sie e. 7 durch lineare Näherung an der Stelle (; 6). 6. Bestimmen Sie das Volumen zwischen der Fläche (A) und der Fläche z x 2 dx dy, + y2 wobei (A) der Bereich ist, der außerhalb des Einheitskreises und innerhalb der Funktion r(ϕ) e sin ϕ (in Polarkoordinaten) liegt, siehe grüner Bereich in nebenstehender Skizze. 7. Bestimmen Sie die Steigung der Kurve 3 2 x2 2xy x + y y (A) r e sin ϕ x Einheitskreis in dem Schnittpunkt (x y ) mit der Geraden y x, für den x > gilt. 8. Bonusaufgabe: Leiten Sie folgende Korrespondenz her: Hinweise: L{t α } Γ (α) s α mit α > reell a) Nutzen Sie die Substitution r s t. b) Die Gamma-Funktion Γ ist für reelle α > definiert als Γ (α) t α e t dt 2

3 Rechenregeln für die Laplace-Transformation Linearitätseigenschaft c f (t) + c 2 f 2 (t) c F (s) + c 2 F 2 (s) Ähnlichkeitssatz f(at) a F ( s a ) Verschiebungssatz f(t T t ) F (s)e stt Dämpfungssatz e at f(t) F (s + a) Differentiation im Zeitbereich 2-fache Differentiation n-fache Differentiation Integration im Zeitbereich Faltungssatz t t df(t) dt sf (s) f() d 2 f(t) dt 2 s 2 F (s) sf() df dt d n f(t) dt n s n F (s) f(τ) dτ f (τ)f 2 (t τ) dτ s F (s) n i F (s) F 2 (s). Grenzwertsatz f(+) lim sf (s) Re(s) 2. Grenzwertsatz lim f(t) lim sf (s) t s s n i di f dt i 3

4 Einige Korrespondenzen der Laplace-Transformation mit f(t < ) Nr. f(t), t F (s) f(t)e st dt δ(t) 2 h(t) oder 3 t 4 t n, n, 2, 3,... s s 2 n! s n+ e at s + a 6 t n e at, n, 2, 3,... 7 cos ω t 8 sin ω t 9 e at cos ω t e at sin ω t t cos ω t n! (s + a) n+ s s 2 + ω 2 ω s 2 + ω 2 s + a (s + a) 2 + ω 2 ω (s + a) 2 + ω 2 s 2 ω 2 (s 2 + ω 2 )2 2 t sin ω t 2ω s (s 2 + ω 2 )2 3 e at a s(s + a) 4 e at + at a 2 s 2 (s + a) e at e bt b a (s + a)(s + b) 6 ae at be bt (a b)s (s + a)(s + b) 4

5 Lösungen. f x (x, y) e x y + 2x, f xx (x, y) e x y + 2 f xy (x, y) e x y f y e x y +, f yy (x, y) e x y f x ( 2, 2 ) f y( 2, 2 ) + mögliches Extremum H f ( 3 2, 2 ) Tiefpunkt det(h f ) 3 2 > 2. y y x + + 2x y dy y x ( x + + 2x ) dx [ [ln y] y ln x + x + x 2] x ln y ln x + x + x 2 ln 2 y e ln x+x+x cos 3t ṙ ṙ 3 sin 3t e T 4 9(cos 2 3t + sin 2 3t) + 6 ė T r 9 sin 3t r 9 cos 3t ė T e N e T ė T r/ 9/ r sin 3t 9 cos 3t ṙ 8(sin 2 3t + cos 2 3t) 9

6 4. Φ(s) (si A) [ ] s + 2 (si A) 2 s + 3 adj(si A) [ s + 3 ] 2 s + 2 si A (s + 2)(s + 3) 2 s 2 + s + 4 (s + 4)(s + ) [ ] s + 3 Φ(s) (s + 4)(s + ) 2 s + 2 s + 3 φ (s) Korr. und 6 (s + 4)(s + ) a 4, b φ (s) (4 )s 3 (s + 4)(s + ) 4 (s + 4)(s + ) φ(t) 4 3 e 4t 3 e t (e 4t e t ) φ(t) 3 e 4t e t. Lineare Näherung von f(x, y) e x y, f x e x y, f y e x 2 y f(., 4) f(, 6) + f x (, 6)(. ) + f y (, 6)(4 6) ( 4) + 4 (.) ( 2) V (A) π 2 x 2 dx dy + y2 r2 e sin ϕ dr dϕ r π x 2 + y 2, dx dy r dr dϕ π [ln r] e sin ϕ sin ϕ [ cos ϕ] π ( ) ( ) 7. F x 3x 2y F y 2x + 2y F F x 3x + 2y + F y 2x + 2y y x 3 2 x2 2x 2 x + x x 2 2x 3 x 2 ± ± 2 2 y x 3 F y (x, x ) senkrecht 6

7 8. L{t α } t α e st dt Substitution: dr dt dst dr s dt dt s Γ (α) s α (r) α e r s α dr s 7