5. Fourier-Transformation

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1 5. Fourier-Transformation 5.1 Definition 5.2 Eigenschaften 5.3 Transformation reeller Funktionen 5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich 2.5-1

2 5.1 Definition Definition: Die Fourier-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert durch F = f t e i t dt Die untere und die obere Grenze streben unabhängig voneinander gegen Unendlich

3 5.1 Definition Beispiel 1: Rechteckimpuls t 0 : f t =0 0 t T : f t =1 t T : f t =0 1 F = f t e i t dt T t T = 0 e i t dt= 1 i e i T 1 = 1 i cos T 1 i sin T F = 1 sin T i cos T

4 5.1 Definition Wert für Ω = 0: 1 sin T = 1 T 1 3! T 3 =T 1 3! 2 T 3 1 cos T 1 = 1 1 2! T 2 = 1 2! T 2 Aus F 0 = f t dt folgt allgemein: F 0 =T Der Realteil von F(0) ist gleich der Fläche unter der Funktion f(t). Wenn f(t) reell ist, ist der Imaginärteil von F(0) Null

5 5.1 Definition T Re F(ω) Im F(ω) π/t 2π/T Ω 2.5-5

6 5.1 Definition Beispiel 2: Dreieckimpuls t T : f t =0 T t 0 : f t =1 t /T 0 t T : f t =1 t /T t T : f t =0 -T 1 T t F = 0 f t e i t dt=f = T 1 tt e i T t dt 1 0 tt e i t dt aus Formelsammlung: t e i t dt= e i t 2 i t

7 5.1 Definition Nach einiger Rechnung folgt: F = 1 2 e i T e i T = 2 2 T 2 T 1 cos T 2 T Mit 1 cos T =2sin 2 wird daraus F = 4 2 T sin2 T

8 5.1 Definition T F(Ω) Ω 2π/T 2.5-8

9 5.1 Definition Beobachtungen: Die Lage des ersten Nulldurchgangs ist umgekehrt proportional zur Impulsdauer T. Am Aufbau des Impulses sind alle Frequenzen beteiligt. Die Frequenzen bis zur ersten Nullstelle herrschen jedoch vor. Existenz der Fourier-Transformation: Eine notwendige Bedingung ist, dass die zu transformierende Funktion gegen Null geht, wenn die Zeit gegen Unendlich geht. Eine hinreichende Bedingung ist f t dt 2.5-9

10 5.1 Definition Inverse Transformation: Die inverse Fourier-Transformation ist gegeben durch f t = 1 2 F e i t d Bei der inversen Transformation müssen die Grenzen in gleicher Weise gegen Unendlich streben

11 5.1 Definition Deutung: Eine periodische Funktion f(t) kann als unendliche Summe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden (Fourier-Reihe). Die Frequenzen sind ein Vielfaches einer Grundfrequenz Ω 0 : f t = c n e i n t 0 n= Eine nichtperiodische Funktion ist aus unendlich vielen Schwingungen aller Frequenzen aufgebaut

12 5.1 Definition Jede dieser Schwingungen ist beteiligt mit der infinitesimalen komplexen Amplitude 1 2 F d Dadurch erhält man das Fourier-Integral f t = 1 2 F ei t d Die Funktion F(Ω) wird als Spektralfunktion, Spektraldichte oder Frequenzfunktion bezeichnet. Die Funktion F(Ω) wird als Amplitudendichte bezeichnet

13 5.2 Eigenschaften Linearität: Sei F 1 (Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f 1 (t) und F 2 (Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f 2 (t), und seien c 1 und c 2 zwei Konstanten. Dann folgt für die Fourier-Transformierte der Funktion f(t) = c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) : F =c 1 f 1 t e i t dt c 2 =c 1 F 1 c 2 F 2 f 2 t e i t dt

14 Maßstabsänderung: 5.2 Eigenschaften Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t). Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Funktion g(t) = f(at) mit reellem, von Null verschiedenem a gilt: G = f a t e i t dt Die Substitution =a t, d =a dt führt zu G = f e i a 1 a d = 1 a F a

15 Zeitverschiebung: 5.2 Eigenschaften Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t). Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Funktion g(t) = f(t-δt) mit reellem Δt gilt: G = f t t e i t dt Die Substitution =t t, d =dt führt zu G = f e i t d =e i t F

16 5.2 Eigenschaften Transformation der Ableitung: Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t). Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Ableitung g(t) = f'(t) gilt: G = f ' t e i t dt Partielle Integration führt auf f ' t e i t dt=[ f t e i t ] f t i e i t dt Da f(t) im Unendlichen verschwindet, ist der erste Summand auf der rechten Seite Null. Es bleibt f ' t e i t dt=i f t e i t dt=i F

17 5.2 Eigenschaften Beispiel: Schwingungsgleichung Schwingungsgleichung: m ẍ t d ẋ t c x t = f t Fourier-Transformation führt zu 2 m i d c X =F Dabei ist F(Ω) die Fourier-Transformierte von f(t) und X(Ω) die Fourier-Transformierte von x(t)

18 5.2 Eigenschaften Durch die Fourier-Transformation geht die lineare Differentialgleichung in eine lineare algebraische Gleichung über. Die algebraische Gleichung kann leicht nach X(ω) aufgelöst werden Durch inverse Transformation kann die Lösung x(t) bestimmt werden

19 5.2 Eigenschaften Faltung: Seien f(t) und h(t) zwei reelle Funktionen der Zeit t. Die Funktion g t = f h t d wird als Faltung bezeichnet. Beispiele: Berechnung der Antwort x(t) mit Hilfe der Impulsantwort oder der Sprungantwort

20 5.2 Eigenschaften Für die Fourier-Transformation der Faltung gilt: G =F H Dabei sind F(Ω), G(Ω) und H(Ω) die Fourier-Transformierten von f(t), g(t) und h(t). Durch die Fourier-Transformation geht das Faltungsintegral in ein Produkt zweier Funktionen über

21 5.3 Transformation reeller Funktionen Bei technischen Anwendungen ist die Funktion f(t) reell. Folgerungen für die Fourier-Transformation: Allgemein gilt: F = f t e i t dt= f t cos t dt i f t sin t dt Mit cos t =cos t, sin t = sin t folgt: F = f t cos t dt i f t sin t dt Für reelle Funktionen folgt: = f t cos t i sin t dt R F I F =R F = I F

22 5.3 Transformation reeller Funktionen Folgerungen für die inverse Transformation: Allgemein gilt: f t = 1 2 = 1 2 = 1 2 i 2 F e i t d R F i I F cos t i sin t d R F cos t I F sin t d R F sin t I F cos t d

23 5.3 Transformation reeller Funktionen Für reelle Funktionen f(t) gilt: R F cos t=r F cos t I F sin t=i F sin t R F sin t= R F sin t I F cos t= I F cos t Daraus folgt: f t = 1 R F cos t I F sin t d

24 5.3 Transformation reeller Funktionen Bei technischen Anwendungen kann der Nullpunkt der Zeitachse meist so gewählt werden, dass gilt: f t =0, t 0 Dann vereinfacht sich die Fourier-Transformation zu F = 0 f t e i t dt= 0 f t cos t dt i 0 f t sin t dt

25 5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich Fourier-Transformation der Schwingungsgleichung: m 2 F i d c X =F X = m 2 i d c Berechnung der Antwort mit Hilfe der Impuls-Antwort: t x t = 0 F h I t d Fourier-Transformation (Faltung): X =F H mit H = 0 h I t e i t dt

26 5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich Für die Fourier-Transformation der Impuls-Antwort gilt also: 1 H = m 2 i d c

27 5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich Überprüfung durch direkte Berechnung: 0 h I t e i t dt= 1 e i t sin m d t dt d 0 = 1 m d [ = 1 m d i t e i 2 d 2 i sin d t d cos d t ]t=0 d 2 2i = 1 m 2 i d c t=

28 5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich Lösung der Schwingungsgleichung: Last f(t) Fourier-Transformation Last F(Ω) Lösung Antwort x(t) inverse Transformation Antwort X(Ω)

29 5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich Mit der Fourier-Transformation kann die Lösung der Schwingungsgleichung gefunden werden, ohne dass eine Differentialgleichung gelöst werden muss. Die Schwierigkeit liegt dabei in der Regel in der Berechung der inversen Fourier-Transformation. In der Praxis werden beide Transformationen numerisch mit Hilfe der FFT (Fast Fourier Transform) durchgeführt

30 5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich Bei impulsartigen Lasten gilt F 0, wenn Ω größer als eine Frequenz Ω 0 ist. Gilt für die Kreisfrequenz ω der Schwingung 3 0, so antwortet der Schwinger quasi-statisch. Die Frequenz Ω 0 kann durch inverse Fourier-Transformation der bei Ω 0 abgeschnittenen Spektralfunktion F(Ω) überprüft werden