15.5 Beschreibung von linearen Systemen

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2 5.5 Beschreibung von linearen Systemen Beschreibung von linearen Systemen Um das Übertragungsverhalten von Systemen zu bestimmen, untersucht man in der Regelungs- und Systemtechnik den Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal f (t) und dem zugehörigen Ausgangssignal g (t). 5.5 Abb Im Folgenden werden wir die für die Anwendungen wichtigen linearen Systeme charakterisieren. Es zeigt sich, dass ein lineares System durch die Impulsantwort (Reaktion des Systems auf die Impulsanregung) vollständig beschrieben wird: Durch die Kenntnis der Impulsantwort ist man in der Lage, die Reaktion des Systems auf ein beliebiges Eingangssignal f (t) zu berechnen. In vielen Fällen lässt sich aber besser die Fourier-Transformierte der Impulsantwort (= Systemfunktion) bestimmen. Ziel dieses Kapitels ist, den Zusammenhang zwischen Systemfunktion und Impulsantwort und deren Bedeutung aufzuzeigen LZK-Systeme Ein Analogsystem L ist eine Vorschrift, die jedem Eingangssignal f (t) ein Ausgangssignal g (t) zuweist. Ein Analogsystem ist also eine Transformation L, die jeder Eingangsfunktion f (Input) eine Ausgangsfunktion g (Output) zuordnet: g (t) = L [f (t)]. Da wir nur Analogsysteme betrachten, bezeichnen wir L im Folgenden immer nur durch den Begriff System. Ein System L heißt linear, wenn das Superpositionsprinzip gültig ist: (L) L [k f (t) + k 2 f 2 (t)] = k L [f (t)] + k 2 L [f 2 (t)] für beliebige Eingangsfunktionen f (t), f 2 (t) und Konstanten k, k 2 IR. Das Superpositionsgesetz besagt, dass die Antwort eines linearen Systems auf eine Überlagerung von Eingangsfunktionen dieselbe Überlagerung der Antwortfunktionen zur Folge hat. Wichtige Spezialfälle von linearen Systemen stellen solche Systeme dar, die sich durch lineare Differenzialgleichungen beschreiben lassen. Dabei setzen wir im Folgenden voraus, dass die Anfangsbedingungen verschwinden, d.h. für t < 0 ist keine Energie in dem System enthalten.

3 Fourier-Transformation Ein System L heißt zeitinvariant, wenn die Form der Reaktion des Systems unabhängig davon ist, wann das Eingangssignal eintrifft: (Z) g (t) = L [f (t)] g (t t 0 ) = L [f (t t 0 )]. Z.B. sind alle Netzwerke, die aus zeitlich konstanten Bauelementen (L, R, C) aufgebaut sind, zeitinvariante Systeme. Netzwerke mit zeitlich variablen Größen von (L, R, C) sind zeitvariante Systeme. Ein System heißt kausal, wenn die Reaktion des Systems g (t) erst dann einsetzt, wenn die Ursache f (t) wirksam ist: (K) f (t) = 0 für t < t 0 g (t) = L [f (t)] = 0 für t < t 0. Bei nichtkausalen Systemen kann die Reaktion schon einsetzen, wenn die Ursache noch nicht vorliegt ( idealer Tiefpass). Man beachte, dass nur kausale Systeme physikalisch sinnvoll sind. Im Folgenden beschränken wir uns auf die Beschreibung von linearen, zeitinvarianten, kausalen Systemen (LZK-Systemen). Dabei ist die Linearitätsvoraussetzung die schärfste Einschränkung. Beispiel CD.72. Die Differenzialgleichung g (t) + α g (t) = f (t) mit g (0) = 0 ist stellvertretend z.b. für die Beschreibung eines RC-Kreises. Dieses System stellt ein LZK-System dar. f (t) ist die Ursache, g (t) ist die Systemreaktion auf f (t). Für diesen RC-Kreis geben wir für das Eingangssignal δ ε (t) das zugehörige Ausgangssignal h ε (t) an: Abb Eingangs- und Ausgangssignal eines RC-Kreises

4 5.5 Beschreibung von linearen Systemen 967 Im Bereich 0 t ε wächst die Spannung am Kondensator gemäß α ε ( e α t ) an (Einschaltvorgang) und im Bereich t > ε klingt die Spannung wie α ε (eα ε ) e α t ab (Ausschaltvorgang), was man durch Einsetzen in die Differenzialgleichung bestätigt. Damit ist die Systemantwort auf δ ε (t) = ε (S (t) S (t ε)) gegeben durch α ε ( e α t ) 0 t ε h ε (t) = α ε (eα ε ) e α t t ε. Wir betrachten nun( den Fall ε 0, ) d.h. die Anregung des Systems erfolgt durch den δ-impuls δ (t) =lim δ ε (t). Da wir an dem Zeitverhalten der Funktion für t > 0 interessiert sind, nehmen wir die Funktionsvorschrift von h ε (t) ε 0 für t ε und bestimmen hiervon den Grenzwert ε 0. Für t > 0 gilt mit der Regel von l Hospital e α ε h (t) = lim h ε (t) = lim e α t ε 0 ε 0 α ε = 0 0 α e α ε lim ε 0 α e α t = e α t h (t) = e α t S (t). h (t) heißt Impulsantwort, da sie die Reaktion des Systems auf die Impulsfunktion δ (t) darstellt Impulsantwort Die Vorgehensweise, die wir im obigen Beispiel gewählt haben, führen wir für beliebige lineare Systeme durch: Sei L ein LZK-System und δ ε (t) die Familie von Rechtecktfunktionen. Für jedes δ ε (t) berechnet man das Antwortsignal h ε (t) = L [δ ε (t)]. Da δ ε (t) δ (t) für ε 0 und L ein lineares System, folgt [ ] h (t) =lim h ε (t) =lim L [δ ε (t)] = L lim δ ε (t) = L [δ (t)]. ε 0 ε 0 ε 0 h (t) ist die Antwort des Systems auf die Impulsfunktion (= Deltafunktion) δ (t) und heißt die Impulsantwort. Die Bedeutung der Impulsantwort wird durch den folgenden Satz hervorgehoben, der besagt, dass man die Systemreaktion g (t) auf ein beliebiges Ein-

5 Fourier-Transformation gangssignal f (t) berechnen kann, wenn die Impulsantwort des Systems bekannt ist: Faltungssatz: Sei L ein lineares, kausales, zeitinvariantes System. h (t) sei die Impulsantwort und f (t) ein beliebiges Eingangssignal. Dann ist die Antwort des Systems g (t) = L [f (t)] gegeben durch g (t) = (f h) (t) = f (τ) h (t τ) dτ. Die Systemreaktion g (t) = L [f (t)] auf ein beliebiges Eingangssignal f berechnet sich durch das Faltungsintegral der Impulsantwort h mit dem Eingangssignal f. Diesen zentralen Satz der Systemtheorie begründen wir: Abb Durch die Ausblendeigenschaft der δ-funktion, f (τ) δ (t τ) dτ = f (t), und der Definition der δ-funktion als Grenzwert der Funktionenfamilie δ ε (t), δ (t) = lim δ ε (t), gilt ε 0 f (t) = f (τ) δ (t τ) dτ = lim f (τ) δ ε (t τ) dτ. ε 0 Nach der algebraischen Definition des Integrals ersetzen wir das Integral durch eine Summe über Rechtecke τ j f (τ j ) δ ε (t τ j ): f (t) =lim lim ε 0 N j=0 N f (τ j ) δ ε (t τ j ) τ j. Die Antwort des Systems auf das Eingangssignal f (t) ist dann gegeben durch g (t) = L [f (t)] = L lim lim N f (τ j ) δ ε (t τ j ) τ j = lim lim L ε 0 N ε 0 N j=0 N f (τ j ) δ ε (t τ j ) τ j. j=0 Da L ein lineares System ist, darf man das Superpositionsgesetz anwenden: Die Reaktion des Systems auf eine Summe von Eingangssignalen ist gegeben

6 5.5 Beschreibung von linearen Systemen 969 durch die Summe der Antwortfunktionen N g (t) =lim lim f (τ j ) L [δ ε (t τ j )] τ j. ε 0 N j=0 Aufgrund der Zeitinvarianz, L [δ ε (t τ j )] = h ε (t τ j ), gilt weiter g (t) = lim lim ε 0 N j=0 = lim N j=0 N f (τ j ) h ε (t τ j ) τ j N f (τ j ) h (t τ j ) τ j = f (τ) h (t τ) dτ. Beispiel CD.73 (Berechnung der Impulsantwort). Gesucht ist die Impulsantwort für das lineare System, welches durch die folgende Differenzialgleichung beschrieben wird: g (t) + α g (t) = f (t) : Die Impulsantwort h (t) ist die Reaktion des Systems auf das Eingangssignal f (t) = δ (t): h (t) + α h (t) = δ (t). Wir wenden auf diese Differenzialgleichung die Fourier-Transformation an und verwenden die Ableitungsregel (F 7 ): F (h (t)) = i ω F (h (t)) : F (h (t)) + α F (h (t)) = F (δ (t)) i ω F (h (t)) + α F (h (t)) = Die zu α+i ω F (h (t)) (ω) = α + i ω. gehörende Zeitfunktion ist nach Beispiel 5.2 h (t) = e α t S (t).

7 Fourier-Transformation Anwendungsbeispiel CD.74 (Lösen von Differenzialgleichungen mit der Fourier-Transformation). Abb RL-Kreis U (t) = U 0 S (t), Ein Stromkreis siehe Abb ist gegeben durch eine Induktivität L und einen Ohmschen Widerstand R. Zur Zeit t = 0 wird der Stromkreis durch Anlegen einer äußeren Spannungsquelle geschlossen. Gesucht ist der Strom I (t) als Funktion der Zeit für die Spannungsverläufe 2 U (t) = U 0 sin (ω t) S (t). Nach dem Maschensatz gilt für eine beliebige Eingangsspannung L I (t) + R I (t) = U (t) I R (t) + L I (t) = L U(t). Wir bestimmen die Fourier-Transformierte der Impulsantwort gemäß dem Vorgehen in Beispiel 5.73 ( α = R L ), indem wir als spezielles Eingangssignal δ(t) wählen. Damit folgt h (t) + R h (t) = δ (t) L h (t) = e R L t S (t). Um den Stromverlauf für die Spannungen und 2 zu berechnen, genügt es nach der Kenntnis der Impulsantwort, die gegebene Eingangsspannung U(t) mit dieser Impulsantwort h(t) zu falten. Für den Spannungsverlauf U (t) = U 0 S (t) ist die rechte Seite der Differenzialgleichung f (t) = U0 LU (t) = L S (t). Durch Faltung von f mit der Impulsantwort h bestimmt sich die Systemreaktion auf f: I (t) = (f h) (t) = f (τ) h (t τ) dτ = U 0 L S (τ) e R L (t τ) S (t τ) dτ.

8 5.5 Beschreibung von linearen Systemen 97 Zum besseren Verständnis dieser Formel diskutieren wir zunächst die Funktion h (t τ). Dabei ist t ein Parameter und τ die Variable! Wir gehen wieder von der Funktion h (τ) = e R L τ S (τ) in (a) zu der gespiegelten (=gefalteten) Funktion h ( τ) über (b). h (t τ) erhalten wir anschließend, indem wir den Graphen von h ( τ) um t nach rechts verschieben (c). Das Produkt von h (t τ) mit U0 L S (τ) ist in (d) gezeichnet. Die hervorgehobene Fläche entspricht dem Wert des Faltungsintegrals zum Zeitpunkt t. Abb Berechnung des Ausgangssignals über die Faltung der Impulsantwort h(t) mit dem Eingangssignal f(t) Durch die graphische Argumentation aus Abb kommen wir zu dem Ergebnis I (t) = = U0 L t 0 [ = U0 L e R L t L U 0 L S (τ) e R L (t τ) S (t τ) dτ e R L (t τ) dτ = U0 L e R L t t 0 e R L τ dτ ] t R e R L τ = U0 R 0 ( e R L t ), welches in Abb (e) dargestellt ist.

9 Fourier-Transformation Bemerkung: Für t < 0 ist S (t τ) S (τ) = 0 für alle τ IR, so dass das Faltungsintegral den Wert 0 besitzt. Somit müsste man bei der Berechnung präziser schreiben. I (t) = U0 R ( e R L t) S (t) 2 Berechnung der Systemreaktion auf die zweite Spannung mit Maple. Durch Faltung der Impulsantwort mit dem Eingangssignal f(t) = U 0 L sin (ω t) S (t) bestimmt man die Systemreaktion auf f(t). Zur Berechnung des Faltungsintegrals verwenden wir nun Maple. Wir setzen mit dem alias-befehl abkürzend S = Heaviside und definieren die Eingangsfunktion U (t) sowie die Impulsantwort h (t) > alias(s = Heaviside): > U := t -> U0/L sin(w t) S(t): > h := t -> exp(-r/l t) S(t): Das Faltungsintegral ist dann > i(t) := int(u(tau) h(t-tau), tau = -infinity..infinity); i(t) := ( w L cos (w t) + R sin (w t)) U0 R 2 + w 2 L 2 w L U0 R 2 + w 2 L 2 + e R t L I (t) = U 0 R 2 + ω 2 L 2 ( ) ω L e R L t ω L cos (ω t) + R sin (ω t). Setzt man I 0 = U 0 R 2 +ω 2 L 2 ω L und tan ϕ =, so gilt I (t) = I 0 {sin (ω t + ϕ) + R } ω L R 2 + ω 2 L 2 e R L t. Die Lösung zerfällt somit in einen asymptotischen Zustand I 0 sin (ω t + ϕ), und in einen zeitlich exponentiell abklingenden Anteil e R L t. I 0 erweist sich als Stromamplitude, welche das Verhältnis von Spannungsamplitude U 0 und Scheinwiderstand R 2 + ω 2 L 2 ist. Der Wechselstrom besitzt die gleiche Frequenz wie die Wechselspannung, ist allerdings um den Phasenwinkel ϕ pha-

10 5.5 Beschreibung von linearen Systemen 973 Abb Stromverlauf I(t) bei einem RL-Wechselstromkreis senverschoben. Durch die Kenntnis der Impulsantwort ist man also über den Faltungssatz in der Lage, die Reaktion eines LZK-Systems auf ein beliebiges Eingangssignal zu berechnen. Es stellt sich somit die wichtige Frage, wie man die Impulsantwort bestimmen kann. Dazu gibt es prinzipiell zwei unterschiedliche Vorgehensweisen: () Zum einen kann man in manchen Fällen zunächst die Fourier-Transformierte der Impulsantwort bestimmen, wenn -wie in unserem Beispiel- das lineare System durch eine Differenzialgleichung beschrieben wird. Durch die inverse Fourier-Transformation berechnet sich anschließend die Impulsantwort. Es zeigt sich für elektrische Netzwerke, dass die Fourier- Transformierte der Impulsantwort über die Anordnung der R-, C-, L- Bauelemente direkt bestimmbar ist. Dies führt auf den Begriff der Übertragungs- bzw. Systemfunktion (5.5.3 und 5.5.4). (2) Wenn die Anordnung des linearen Systems nicht im Detail bekannt ist, das System also nur als black-box -System zur Verfügung steht, so kann man die Impulsantwort experimentell bestimmen, indem man das System mit der Impulsfunktion anregt. Die zugehörige Systemreaktion ist dann die Impulsantwort. Einfacher als die Impulsfunktion ist die Sprungfunktion (= Einschaltfunktion) realisierbar. Über die Sprungantwort (= Reaktion des Systems auf die Sprungfunktion S (t)) ist die Impulsantwort ebenfalls berechenbar. Den Zusammenhang zwischen Sprung- und Impulsantwort stellen wir in dar.

11 Fourier-Transformation Die Systemfunktion (Übertragungsfunktion) Das Konzept der Systemfunktion liefert ein Kalkül, die Fourier-Transformierte der Impulsantwort zu bestimmen.. Methode: Wir wählen als spezielles Eingangssignal für ein LZK-System L die komplexe Exponentialfunktion x (t) = e i ω t. Ist h (t) die Impulsantwort des Systems, bestimmt sich die Systemantwort y (t) über das Faltungsintegral von x (t) mit h (t): y (t) = (h x) (t) = e i ω (t τ) h (τ) dτ = e i ω t e i ω τ h (τ) dτ. Die Antwort des Systems ist wieder eine Exponentialfunktion multipliziert mit der komplexen Amplitude H (ω) := e i ω τ h (τ) dτ. () H (ω) wird als Systemfunktion oder Übertragungsfunktion bezeichnet. Die Systemfunktion ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort! Die Reaktion des LZK-Systems auf das Eingangssignal x (t) = e i ω t ist eine Funktion mit dem Zeitverhalten e i ω t und komplexer Amplitude H (ω). Regt man also ein LZK-System harmonisch mit der Frequenz ω und Amplitude an, so ist die Systemreaktion wieder eine harmonische Funktion mit gleicher Frequenz ω aber mit anderer (in der Regel betragsmäßig kleinerer) Amplitude H (ω). Da H (ω) eine komplexe Amplitude darstellt, sind hierin sowohl die Information über den Betrag der Ausgangsamplitude H (ω) als auch die Phasenbeziehung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal tan ϕ (ω) = enthalten. Im H(ω) Re H(ω) 2. Methode: Da y (t) = H (ω) e i ω t die Systemreaktion auf das Eingangssignal x (t) = e i ω t ist, gilt y (t) = L [x (t)], H (ω) e i ω t = L [ e i ω t] H (ω) = L [ e i ω t] e i ω t.

12 5.5 Beschreibung von linearen Systemen 975 Die Systemfunktion ist demnach gegeben durch H (ω) = y (t) x (t) x(t)=e i ω t. (2) Man erhält die Übertragungsfunktion H(ω) zu einer vorgegebenen Frequenz ω, wenn man speziell für die Eingangsfunktion x(t) = e i ω t das Verhältnis von zugehöriger Ausgangs- zu Eingangsfunktion im Zeitbereich bildet. Beispiel CD.75. In Beispiel 5.73 wurde die Fourier-Transformierte von h (t) bestimmt, indem als Eingangsfunktion δ (t) gewählt wurde. Jetzt berechnen wir nochmals die Systemfunktion für das System g (t) + α g (t) = f (t), ( ) indem wir f (t) = e i ω t und zugehörig g (t) = H (ω) e i ω t setzen. f und g in die Differenzialgleichung ( ) eingesetzt, liefert i ω H (ω) e i ω t + α H (ω) e i ω t = e i ω t H (ω) = α + i ω. Dies ist dasselbe Ergebnis wie wir in Beispiel 5.6 als Fourier-Transformierte der Impulsantwort erhalten haben. Erkenntnis: Impulsantwort und Systemfunktion sind äquivalente Kenngrößen für lineare Systeme, die sich mittels der Fourier- Transformation umrechnen lassen. Systeme mit gleicher Impulsantwort bzw. Systemfunktion reagieren auf gleiche Eingangssignale mit gleichen Ausgangssignalen. 3. Methode: Wir geben neben Gleichung () und (2) noch eine dritte Möglichkeit an, die Systemfunktion zu bestimmen. Dazu gehen wir von einem beliebigen Eingangssignal f (t) aus. Sei g (t) das zugehörige Antwortsignal, dann ist nach dem Faltungssatz g (t) = (f h) (t). Wir wenden auf diese Gleichung die Fourier-Transformation an und benutzen das Faltungstheorem (F 9 ): F (g) = F (f h) = F (f) F (h). (3)

13 Fourier-Transformation Bezeichnet F (ω) die Fourier-Transformierte des Eingangssignals f (t), G (ω) die Fourier-Transformierte des Ausgangssignals g (t) und H (ω) die Fourier- Transformierte der Impulsantwort h (t), so schreibt sich Gleichung (3): G (ω) = F (ω) H (ω) H (ω) = G (ω) F (ω). (4) Gleichung (4) besagt, dass die Übertragungsfunktion H (ω) bestimmt werden kann, indem für ein beliebiges Eingangssignal f (t) das Spektrum des zugehörigen Ausgangssignals G (ω) durch das Spektrum des Eingangssignals F (ω) dividiert wird. Diese dritte Alternative zur Berechnung der Übertragungsfunktion ist die allgemeinste und enthält die Alternativen () und (2) als Spezialfälle. Zusammenfassung: (Systemfunktion). Es stehen drei äquivalente Möglichkeiten zur Berechnung der Systemfunktion H (ω) eines LZK- Systems zur Verfügung: () H (ω) ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort: H (ω) = h (t) e i ω t dt. (2) Für die spezielle Eingangsfunktion x (t) = e i ω t ist H (ω) die komplexe Amplitude der Antwortfunktion y (t) = H (ω) e i ω t : H (ω) = y (t). x (t) x(t)=e i ω t (3) Ist F (ω) das Spektrum des Eingangs- und G (ω) das Spektrum des zugehörigen Ausgangssignals, dann ist H (ω) = G (ω) F (ω).

14 5.5 Beschreibung von linearen Systemen 977 Beispiel 5.8 (Zusammenfassendes Beispiel). Gegeben ist ein System, das durch die Differenzialgleichung y (t) + a y (t) + a 0 y (t) = f (t) beschrieben wird. Wir bestimmen auf drei alternativen Wegen die Systemfunktion H (ω). () H (ω) ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort h (t) = L [δ (t)]. Setzen wir also f (t) = δ (t), dann ist y (t) = h (t) h (t) + a h (t) + a 0 h (t) = δ (t). Durch Anwenden der Fourier-Transformation auf die Differenzialgleichung ist F (h ) + a F (h ) + a 0 F (h) = F (δ). Wegen H (ω) = F (h) (Übertragungsfunktion = Fourier-Transformierte der Impulsantwort) folgt mit der Ableitungsregel (F 8 ) (i ω) 3 H (ω) + a i ω H (ω) + a 0 H (ω) = ( ) H (ω) = (i ω) 3 + a i ω + a 0. ( 2 ) (2) Setzen wir als spezielles Eingangssignal x (t) = e i ω t (= f (t)), ist die Systemantwort y (t) = e i ω t H (ω). In die Differenzialgleichung eingesetzt, folgt ( e i ω t H (ω) ) + a ( e i ω t H (ω) ) + a0 ( e i ω t H (ω) ) = e i ω t (i ω) 3 e i ω t H (ω) + a (i ω) e i ω t H (ω) + a 0 e i ω t H (ω) = e i ω t. Division dieser Gleichung durch e i ω t liefert ( ) und damit als Übertragungsfunktion ebenfalls ( 2 ). (3) Ist f (t) das Eingangssignal und g (t) das zugehörige Ausgangssignal, ist die Beziehung zwischen f und g durch die Differenzialgleichung gegeben g (t) + a g (t) + a 0 g (t) = f (t).

15 Fourier-Transformation Anwenden der Fourier-Transformation mit Ableitungsregel (F 8 ) ergibt F (g ) + a F (g ) + a 0 F (g) = F (f) (i ω) 3 F (g) + a (i ω) F (g) + a 0 F (g) = F (f). Mit F (ω) = F (f) und G (ω) = F (g) gilt ((i ω) 3 + a (i ω) + a 0 ) G (ω) = F (ω) H (ω) = G (ω) F (ω) = (i ω) 3 + a i ω + a 0. Dies ist dasselbe Ergebnis für H(ω) wie unter () und (2). Die Systemfunktion kann in vielen Fällen einfacher bestimmt werden als die Impulsantwort. Ist sie bekannt, so bestimmt sich die Impulsantwort durch die inverse Fourier-Transformation. Welche der drei Alternativen zur Berechnung der Systemfunktion genommen wird, hängt von der konkreten Problemstellung ab. Ein Vorteil der Systemfunktion (= Übertragungsfunktion) gegenüber der Impulsantwort liegt z.b. bei der Anwendung auf elektrische Netzwerke darin, dass die Systemfunktion direkt über die komplexen Widerstände bestimmt werden kann und man nicht erst die zugehörige Differenzialgleichung aufstellen und lösen muss, wie wir im nächsten Abschnitt exemplarisch zeigen werden.

16 5.5 Beschreibung von linearen Systemen Übertragungsfunktion elektrischer Netzwerke Bei elektrischen Netzwerken, bestehend aus Ohmschen Widerständen, Kapazitäten und Induktivitäten, sind die Spannungen beim Anlegen eines komplexen Wechselstromes I (t) = e i ω t gemäß den physikalischen Gesetzmäßigkeiten, bestimmt durch U Ω (t) = R I (t) U L (t) = L di dt = L i ω I (t) = ˆR L I (t) U C (t) = C I (τ) dτ = i ω C I (t) = ˆR C I (t) (Ohmsches Gesetz) (Induktionsgesetz) (Kondensatorspannung). Durch diese Gleichungen ordnet man der Induktivität und der Kapazität komplexe Widerstände entsprechend ˆR L = i ω L und ˆR C = i ω C zu (siehe 5.3.3). Die Übertragungsfunktion für RCL-Wechselstromkreise berechnet sich durch Division der Ausgangsspannung U a (t) = ˆR a I a (t) durch die Eingangsspannung U e (t) = ˆR ges I (t). Dabei ist ˆR ges der komplexe Gesamtwiderstand des Schaltkreises und ˆR a der Ersatzwiderstand für das Bauteil, an dem die Spannung U a (t) abgegriffen wird. Dies entspricht der Alternative (2) zur Berechnung der Übertragungsfunktion, da H (ω) = y (t) x (t) x(t)=e i ω t = U a (t) U e (t) = ˆR a I a (t) ˆR ges I (t). Der Vorteil der Einführung von komplexen Widerständen ist, dass die Berechnung der Ersatzschaltung analog dem Gleichstromkreis erfolgt: Der komplexe Gesamtwiderstand in Reihe geschalteter Bauelemente ist die Summe der komplexen Einzelwiderstände. Der komplexe Ersatzleitwert ˆR parallel geschalteter Bauelemente ist die Summe der komplexen Einzelleitwerte. Anwendungsbeispiel CD.76 (System mit einem Energiespeicher). Gesucht ist die Übertragungsfunktion und die Impulsantwort für die in Abb skizzierte Schaltung mit einem Energiespeicher. Abb System mit einem Energiespeicher

17 Fourier-Transformation Der Ersatzwiderstand ˆR a für die an der Spule abgegriffenen Spannung ist = ˆR a i ω L + R = R + i ω L R i ω L ˆR a = i ω R L R + i ω L, da Spule und Widerstand parallel geschaltet sind. Der Gesamtwiderstand ist gegeben durch H (ω) = U a U e = ˆR ges = R + ˆR a. ˆR a I (t) ˆR ges I (t) = i ω R L R+i ω L R + i ω R L R+i ω L = i ω L R + 2 i ω L. Man kann allgemein zeigen [Vielhauer, P.: Passive Lineare Netzwerke, Hüthig- Verlag, l974], dass die Übertragungsfunktion für ein System mit einem Energiespeicher gegeben ist durch H (ω) = a 0 + a i ω b 0 + i ω mit reellen Koeffizienten a 0, a ; b 0 > 0. Um aus der Übertragungsfunktion H (ω) die Impulsantwort zu bestimmen, formen wir H (ω) durch Polynomdivision um H (ω) = a + (a 0 a b 0 ) b 0 + i ω. Damit hat man die Fourier-Transformierte der Impulsantwort in zwei bereits bekannte Transformierte zerlegt: Folglich ist die Impulsantwort: F (δ) (ω) =, F ( e b0 t S (t) ) (ω) = b 0 + i ω. h (t) = a δ (t) + (a 0 a b 0 ) e b0 t S (t). Für unseren Spezialfall ist a 0 = 0, a = 2 und b 0 = R 2 L. H (ω) = i ω L R + i ω L = 2 i ω R 2 L + i ω h (t) = 2 δ (t) S (t) R 4 L e R 2 L t.

18 5.5 Beschreibung von linearen Systemen 98 Abb Impulsantwort für ein System mit einem Energiespeicher System mit einem Energiespeicher mit Maple Das gleiche Ergebnis hätte man auch direkt mit Maple gewinnen können. Für den allgemeinen Fall einer Übertragungsfunktion für ein System mit einem Energiespeicher gilt > with(inttrans): > assume(b0 > 0): > H(w) := (a0 + a I w) / (b0 + I w): > invfourier(h(w), w, t): > h(t) := simplify(%); h (t) := a0 e b0 t Heaviside (t) a b0 e b0 t Heaviside (t) + a Dirac (t) Anwendungsbeispiel CD.77 (System mit zwei Energiespeicher, mit Maple). Gesucht ist die Übertragungsfunktion und die Impulsantwort für die in Abb skizzierte Schaltung mit zwei Energiespeichern. Abb System mit zwei Energiespeichern Der Widerstand ˆR C für die an der Kapazität abgegriffene Spannung ist ˆR C = i ω C. Der Gesamtwiderstand für die in Reihe geschalteten Elemente ist ˆR ges = R + i ω L + i ω C. Damit ist die Übertragungsfunktion gegeben durch das Verhältnis von Ausgangssignal und Eingangssignal H 2 (ω) = U a (t) U e (t) = ˆR C I (t) ˆR ges I (t) = ˆR C ˆR ges

19 Fourier-Transformation = i ω C R + i ω L + i ω C = + (i ω) 2 L C + i ω R C. Bei Systemen mit zwei Energiespeichern hat die Übertragungsfunktion folgende allgemeine Form H 2 (ω) = a 0 + a i ω + a 2 (i ω) 2 b 0 + b i ω + (i ω) 2 wobei alle Koeffizienten reell und b 0 > 0, b > 0 sind [Vielhauer]. Durch Partialbruchzerlegung stellt sich H 2 (ω) dar als Summe von Brüchen H 2 (ω) = a 2 + A i ω p + A 2 i ω p 2 mit A = c 0 + c p, A 2 = c 0 + c p 2 und c 0 = a 0 a 2 b 0, c = a a 2 b ; p p 2 p 2 p Somit ist p = b 2 + b 2 4 b 0, p 2 = b 2 b 2 4 b 0. h (t) = a 2 δ (t) + A S (t) e p t + A 2 S (t) e p2 t die Impulsantwort. Man kann dieses Ergebnis auf Beispiel CD.77 übertragen oder direkt für H 2 (ω) die inverse Fourier-Transformation mit Maple berechnen. Für R=L=C= gilt > with(inttrans): > H2(w) := /( + I w + (I w)ˆ2): > invfourier(h2(w), w, t): > h(t) := simplify(%); h (t) = 2 ( ) 3 e 3 2 t Heaviside (t) sin 3 t 2 Abb Impulsantwort für ein System mit zwei Energiespeichern

20 5.5 Beschreibung von linearen Systemen Zusammenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion Als Sprungfunktion (Heavisidefunktion) bezeichnen wir die Funktion S (t) = { 0 für t < 0 für t >. Die Sprungfunktion nähert den Einschaltvorgang für Systeme an, die für t < 0 ausgeschaltet und für t > 0 eingeschaltet sind. Mit Hilfe von S (t) ist oft eine besonders einfache Bestimmung der Impulsantwort möglich. Da S (t) in t = 0 nicht stetig ist, kann man diese Funktion im Punkte t = 0 nicht ohne weiteres differenzieren. Es zeigt sich aber, dass die Ableitung von S (t) trotzdem gebildet werden kann, wenn man die Deltafunktion als Ergebnis zulässt! Zur Klärung betrachten wir die Bildfolge in Abb. 5.3 (a) - (d). Zunächst ist in (a) eine Familie S ε (t) abgebildet, die für ε 0 in die Sprungfunktion S (t) übergeht (b): S (t) = lim ε 0 S ε (t). Abb Von der Sprungfunktion zur Deltafunktion

21 Fourier-Transformation In (c) bilden wir die Ableitung S ε (t) = δ ε (t), die mit der Familie δ ε (t) identisch ist. Für ε 0 gilt: lim δ ε (t) = δ (t). ε 0 Als Ergebnis gewinnen wir die Beziehung d S (t) = δ (t). dt Mit dieser Beziehung lassen sich auch andere Funktionen differenzieren, die eine Sprungstelle aufweisen. Beispiel 5.9. Man differenziere die Funktion x (t). Abb Aus der Darstellung der Funktion x (t) erkennt man, dass x (t) = 3 S (t) 3 S (t 2). Mit Hilfe der Formel δ (t) = d dt S (t) erhalten wir mit den üblichen Regeln der Differenziation die Ableitung x (t) = 3 δ (t) 3 δ (t 2), welche Abb dargestellt ist. Abb Bei der Ableitung einer Funktion mit Sprungstelle bei t 0 muss neben der üblichen Ableitung noch die Deltafunktion δ (t t 0 ) mit dem Faktor der Sprunghöhe hinzuaddiert werden.

22 5.5 Beschreibung von linearen Systemen 985 Zusammenhang zwischen Impuls- und Sprungantwort. Wir definieren die Sprungantwort SA (t) als die Reaktion eines LZK-Systems auf die Sprungfunktion S (t): SA (t) = L [S (t)] (Sprungantwort). Aufgrund der Beziehung δ (t) = Sprungantwort d dt SA (t) = d L [S (t)] = L dt d dt S (t) gilt formal für die Ableitung der [ ] d dt S (t) = L [δ (t)]. L [δ (t)] ist die Reaktion des Systems auf die Impulsfunktion, also die Impulsantwort h (t). h (t) = d SA (t). dt Die Ableitung der Sprungantwort ist die Impulsantwort. Beispiel CD.78. Gegeben ist die Sprungantwort SA(t) des RC-Kreis. ( SA (t) = S (t) e t) R C. Gesucht ist die Impulsantwort. Durch die Beziehung h (t) = d dt SA (t) ist die Impulsantwort ( h (t) = SA (t) = δ (t) e t) R C + S (t) R C e R C t. Wegen der Eigenschaft der δ-funktion δ (t) f (t) = δ (t) f (0) gilt weiter h (t) = δ (t) 0 + S (t) R C e R C t = S (t) R C e R C t. Abb Zusammenhang zwischen Sprungantwort und Impulsantwort

23 Fourier-Transformation Zusammenfassung: (Impulsantwort). Ein lineares, zeitinvariantes, kausales System L (LZK-System) wird durch die Impulsantwort h (t) vollständig charakterisiert; denn nach dem Faltungssatz kann für ein beliebiges Eingangssignal f (t) das Ausgangssignal g (t) = L [f (t)] berechnet werden durch g (t) = (f h) (t) = f (τ) h (t τ) dτ. Es gibt drei alternative Möglichkeiten, die Impulsantwort h (t) eines Systems zu bestimmen: () Die Impulsantwort ist die Reaktion des Systems auf das Eingangssignal δ (t): h (t) = L [δ (t)]. (2) Die Impulsantwort ist die Ableitung der Sprungantwort SA (t) = L [S (t)]: h (t) = d SA (t). dt (3) Ist H (ω) die Systemfunktion (Übertragungsfunktion), dann ist h (t) die inverse Fourier-Transformierte von H (ω): h (t) = 2π H (ω) e i ω t dω.