f = T φ ist negative für nacheilende Funktionen φ ist positive für voreilende Funktionen 2 Signale im Zeitbereich 2.1 Harmonische Funktionen

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1 2 Signale im Zeitbereich 2.1 Harmonische Funktionen = Xˆ sin( ω t) 1 f = T Einheiten: [ f ] = Hz ω = 2 π -1 [ ω] = s f mit Phasenverschiebung (hier: nacheilend) : = Xˆ sin( ω t - ϕ) φ ist negative für nacheilende Funktionen φ ist positive für voreilende Funktionen Sinusfunktion 90 (π/2) voreilend, oder Kosinusfunktion : = Xˆ sin( ω t + = Xˆ cos( ω t) π ) 2 1

2 2.2 Exponentialfunktionen Exponentielles Wachstum: Exponentielle Abnahme: 1 - exponentielle Abnahme: 2

3 2.3 Die Sprungfunktion Die Einheitssprungfunktion: Bezeichnung: ε (t) (griech. Epsilon) - ε (t) kann nur zwei Werte annehmen: 0 oder 1 - ε (t) ändert Wert bei t = 0 - ε (t) ist dimensionslos - ε (t) beschreibt Einschaltvorgänge (beschreibt den Zeitpunkt eines Einschaltvorgangs) Die Antwort eines Systems auf einen Einheitssprung als x e nennt man Übergangsfunktion: h (t) Die skalierte Sprungfunktion: - Skalierungsfaktor c beschreibt auf welchen Wert gesprungen wird - Skalierungsfaktor c gibt der Sprungfunktion eine Einheit - ε (t) beschreibt den Zeitpunkt, zu dem gesprungen wird 3

4 2.4 Die Impulsfunktion (auch: DIRAC Impuls, Delta Impuls, Nadel Impuls) Bezeichnung: δ (t) (griech. Delta) Ideal: Real: In Praxis: - Amplitude des δ (t) so hoch wie möglich - Dauer des δ (t) so kurz wie möglich - dabei: Fläche des Impulses = 1 einhalten! Die Antwort eines Systems auf einen DIRAC-Impuls als x e nennt man Gewichtsfunktion: g (t) 4

5 2.5 Die Anstiegsfunktion (auch: Rampenfunktion) Die Einheitsanstiegsfunktion: Bezeichnung: ρ (t) (griech. Rho) Die skalierte Anstiegsfunktion: - k : Anstieg der Rampe - k gibt der Rampenfunktion eine Einheit 5

6 2.6 Zeitverschiebungen z.b. nacheilende Sprünge: z.b.: t s = 5 s t (in s) t - t s ε (t - t s ) , , , z.b. voreilende Sprünge: 6

7 2.7 Signalkombinationen Ein- und Ausschalten von Sprüngen, Rechteckfunktionen Rechteckfunktionen erzeugt man durch das zeitversetzte Ein- & Ausschalten von Sprungfunktionen. 7

8 2.7.2 Ein- und Ausschalten von Rampen, Dreieckfunktionen Dreieckfunktionen erzeugt man durch das zeitversetzte Ein- & Ausschalten von Rampenfunktionen. 8

9 2.7.3 Ein- und Ausschalten beliebiger Funktionen Beliebige Funktionen schaltet man Ein bzw. Aus durch die Multiplikation mit Einheitssprüngen. 9

10 2.7.4 Erzeugen beliebiger Funktionen Beliebige Funktionen können durch die Multiplikation von Grundfunktionen erzeugt werden. 10

11 2.8 Weitere Einteilungen Kontinuierlichkeit ( kontinuierlich / diskret ) Bei zeitkontinuierlichen Signalen liegt ein Signalwert zu jedem beliebigen Zeitpunkt vor. Bei zeitdiskreten Signalen liegen nur Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten vor. Wertekontinuierliche Signale können jeden beliebigen Wert annehmen. Wertediskrete Signale können nur diskrete Werte annehmen. 11

12 2.8.2 Symmetrieeigenschaften a) Ein Signal bezeichnet man als "gerade", wenn gilt: (Gerade Signale sind symmetrisch zur Ordinatenachse.) = x (-t) Beispiel: Kosinus-Funktion: b) Ein Signal bezeichnet man als "ungerade", wenn gilt: (Ungerade Signale sind symmetrisch zum Koordinatenursprung.) = - x (-t) Beispiel: Sinus-Funktion: c) Ein Signal besitzt Halbwellen-Symmetrie, wenn gilt: Beispiel: Bipolare Pulsfolge: T = - x ( t + 2 ) 12