Signale. und. Systeme. SoSe Übung 01. Charakterisierung. von Signalen
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- Paul Brauer
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1 Signale und Systeme SoSe 9 Übung Charakterisierung von Signalen
2 Aufgabe Zeichnen Siedie folgenden Signale und diskutieren Sie deren Eigenschaften: (a) Impulsfolgen: δ( k), δ( k 4) (b) Sprungfolgen: ε( k), ε( k) ; ε( k) (c) Rechteckimpuls: rectt ( t ) (d) Rampenfunktion: ρ ( t) (e) Dreieckimpuls: ρ( t + T) ρ( t) + ρ( t T) Handelt es sich bei diesen Signalen jeweils um ein (zeit )diskretes oder ein (zeit )kontinuierliches Signal? ein (zeit )begrenztes oder ein (zeit )unbegrenztes Signal und ggf. um einseitiges (links/rechts) oder zweiseitiges Signal? ein (wert )beschränktes oder (wert )unbeschränktes Signal? ein gerades oder ein ungerades Signal? Ein kausales oder antikausales Signal? ein Energie oder Leistungssignal und wenn ja, welche Energie bzw. Leistung besitzt es? Welche der oben Eigenschaften muss das Signal aufweisen?
3 Lösungen a/) Impulsfolgen: δ ( k) Der Einheitsimpuls (Impulsfolge) δ ( k) ist wie folgt definiert: δ ( k),5, k =, k =,5,5 5 5 k Das Signal ist Diskussion (zeit)diskret da, nur zur diskreten Zeitpunkten ein Wert zugewisen wird (zeit)kontinuierlich (zeit)begrenzt weil nur zu dem Zeitpunkt ein Wert zugewiesen wird ( ) (zeit)unbegrenzt linksseitg rechtsseitig zweiseitig weder noch! gerade Achsensymmetrisch ungerade (wert-)beschränkt Wert wird nicht überschritten (wert-)unbeschränkt kausal Weil die Werte auf der negativen Zeitachse sind ( τ ) a antikausal ein Energiesignal begrenzt + beschränkt Energiesignal ein Leistungssignal
4 a/) Impulsfolgen: δ ( k 4) ( k 4) δ ist ein um 4 Abtastintervalle nach rechts verschobener (verzögerte) Einheitsimpuls (Impulsfolge). δ ( k 4) ist wie folgt definiert: δ ( k 4),5, k 4 =, k = 4,5,5 5 5 k Das Signal ist Diskussion (zeit)diskret da, nur zur diskreten Zeitpunkten ein Wert zugewisen wird (zeit)kontinuierlich (zeit)begrenzt weil nur zu dem Zeitpunkt 4 ein Wert zugewiesen wird ( ) (zeit)unbegrenzt linksseitg rechtsseitig zweiseitig gerade ungerade weder noch! weder noch! (wert-)beschränkt Wert wird nicht überschritten (wert-)unbeschränkt kausal Weil die Werte auf der negativen Zeitachse sind ( τ ) a antikausal ein Energiesignal begrenzt + beschränkt Energiesignal ein Leistungssignal
5 b/) Sprungfolgen: ε ( k) Der Einheitssprung (Sprungfolge) ε ( k) ist wie folgt definiert: ε( k),5, k < =, k,5,5 5 5 k Das Signal ist Diskussion (zeit)diskret da, nur zur diskreten Zeitpunkten ein Wert zugewisen wird (zeit)kontinuierlich (zeit)begrenzt (zeit)unbegrenzt für k, ist immer mit ε ( k) linksseitg ε = rechtsseitig ( k), k,..., zweiseitig gerade ungerade (wert-)beschränkt Wert wird nicht überschritten (wert-)unbeschränkt = definiert kausal Weil die Werte auf der negativen Zeitachse sind ( τ ) a antikausal ein Energiesignal ein Leistungssignal keine begrenztheit kein Energiesignal
6 b/) Sprungfolgen: ε( k) Der Einheitssprung (Sprungfolge) ε( k) ist wie folgt definiert: ε( k), k =, k > Die Sprungfolge ε( k) ist an der Ordinatenachse gespiegelter Einheitssprung (Zeitinversion).,5,5,5 5 5 k Das Signal ist Diskussion (zeit)diskret da, nur zur diskreten Zeitpunkten ein Wert zugewisen wird (zeit)kontinuierlich (zeit)begrenzt (zeit)unbegrenzt für k, ist immer mit ε ( k) ε = linksseitg ( k), k,..., rechtsseitig zweiseitig = definiert gerade ungerade Weder noch! (wert-)beschränkt Wert wird nicht überschritten (wert-)unbeschränkt kausal antikausal Nicht kausal!!! ein Energiesignal ein Leistungssignal keine begrenztheit kein Energiesignal
7 b/3) Sprungfolgen: ε( k) Die Sprungfolge ε( k) ist wie folgt definiert: ε, k =, k > ( k),5,5,5 5 5 k Das Signal ist Diskussion (zeit)diskret da, nur zur diskreten Zeitpunkten ein Wert zugewisen wird (zeit)kontinuierlich (zeit)begrenzt (zeit)unbegrenzt für k, ist immer mit ε ( k) linksseitg ( k) = k rechtsseitig zweiseitig ε,,..., = definiert gerade ungerade Weder noch! (wert-)beschränkt Wert wird nicht überschritten (wert-)unbeschränkt kausal antikausal Nicht kausal!!! ein Energiesignal ein Leistungssignal keine begrenztheit kein Energiesignal
8 c) Rechteckimpuls: rect () t T Der Rechteckimpuls rect () t ist folgendermaßen definiert: rect T () t T, t < = T, t > T,5,5,5 5 5 T/ t T/ Das Signal ist Diskussion (zeit)diskret (zeit)kontinuierlich (zeit)begrenzt (zeit)unbegrenzt linksseitg rechtsseitig zweiseitig Weder noch! gerade Achsensymmetrisch ungerade (wert-)beschränkt Wert wird nicht überschritten (wert-)unbeschränkt kausal antikausal Nicht kausal!!! ein Energiesignal begrenzt + beschränkt Energiesignal ein Leistungssignal
9 d) Rampenfunktion: ρ ( t) Die Rampe (Rampenfunktion) wird auch als linear gewichtete Sprungfunktion ε ( t) bezeichnet. ρ( τ) = τ ( τ),5,5,5 5 5 t Das Signal ist Diskussion (zeit)diskret (zeit)kontinuierlich (zeit)begrenzt ρ > > (zeit)unbegrenzt () t, t linksseitg rechtsseitig zweiseitig gerade ungerade Weder noch! (wert-)beschränkt (wert-)unbeschränkt es gibt keine obere Schranke. kausal antikausal ein Energiesignal ein Leistungssignal keine Begrenzung + Beschränkung kein Energiesignal
10 e) Dreieckimpuls: ρ( t + T) ρ( t) + ρ( t T) Der Dreiecksimpulsist folgendermaßen definiert: t, t < T Λ T () t = T, t T,5,5,5 5 5 T t T Das Signal ist Diskussion (zeit)diskret (zeit)kontinuierlich (zeit)begrenzt t < T (zeit)unbegrenzt linksseitg rechtsseitig zweiseitig gerade Achsensymmetrisch ungerade (wert-)beschränkt wird nicht überschritten (wert-)unbeschränkt kausal antikausal Nicht kausal! ein Energiesignal begrenzt + beschränkt Energiesignal ein Leistungssignal
11 Der Dreieckimpuls läss sich als Summe von drei skalierten und zeitverschobenen Rampenfunktionen darstellen: ( t + T) ( t) + ( t T) ρ ρ ρ Teilfunktion : ρ ( t + T),5,5,5 5 5 T t T Teilfunktion : ρ( t),5,5,5 5 5 T t T
12 Zwischenergebnis: ρ( t + T) ρ( t),5,5,5 5 5 T t T,5,5,5 5 5 T t T Teilfunktion 3: ρ( t T),5,5,5 5 5 T t T
13 Dreiecksimpuls:,5,5,5 5 5 T t T
14 Aufgabe 3 Stellen Sie die folgenden Signale nur mit Hilfe von Sprung und Rampenfunktionen dar. Zerlegen Sie die Signale in ihren geraden und ungeraden Anteil. Skalieren Sie und Verschieben Sie anschließend diese Signale nach folgender Vorgabe: ( 4, ) 3 ( 4; ) ( 4) vt vt vt a) Resultierendes Signal,5,5,5,5 5 5
15 ( ) = ε( t + ) x( t) = ε( t) x t Skalierung um Verschiebung um nach links,5,5,5 Skalierung keine Verschiebung um nach rechts,5,5,5, () = ε( t ) x() t = ε( t 4) x t Skalierung um / Skalierung /4 Verschiebung um nach rechts Verschiebung um 4 nach rechts,5,5,5,5 5 5,5,5,5,5 5 5 x() t = ε( t + ) ε() t ε( t ) ε( t 4)
16 b) Resultierendes Signal,5,5, ( ) = ρ ( t) x( t) = ε( t) x t,5,5,5,5,5,5,5, ,5 x( t) = ρ( t) ε( t),5,5,5 5 5
17 ( ) = ρ( t ) x() t = ρ( t 4) x t,5,5,5, ,5,5,5, ,5,5,5, x() t = ρ() t ε() t ρ( t ) ρ( t 4),5 () = ρ ( t 6) x t,5,5, x() t = ρ() t ε() t ρ( t ) ρ( t 4) + ρ( t 6)
18 c) Skalieren Sie und Verschieben
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