Thomas Frey. Martin Bossert. Signal- und Systemtheorie

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1 Thomas Frey. Martin Bossert Signal- und Systemtheorie

2 Informationstechnik herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Norbert Fliege, Mannheim und Prof. Dr.-Ing. Martin Bossert, Ulm Digitale Netze von Martin Bossert und Markus Breitbach Kanalcodierung von Martin Bossert GSM Global System for Mobile Communication von Jörg Eberspächer, Hans-Jörg Vögel, Christian Bettstetter Multiraten-Signalverarbeitung von Norbert Fliege Breitband-ISDN und ATM-Netze von Gerhard Hasslinger und Thomas Klein Video-Signalverarbeitung von Christian Hentschel Analyse und Entwurf digitaler Mobilfunksysteme von Peter Jung Digitale Sprachsignalverarbeitung von Peter Vary, Ulrich Heute, Wolfgang Hess Mobilfunknetze und ihre Protokolle 1, 2 von Bernhard Walke Im Teubner B. G. Teubner Stuttgart Leipzig, Wiesbaden

3 Thomas Frey, Martin Bossert Signal- und Systemtheorie Mit 117 Abbildungen, 26 Tabellen, 64 Aufgaben mit Lösungen und 84 Beispielen Im Teubner B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden

4 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Dr.-Ing. Thomas Frey, geb. 1967, studierte von 1988 bis 1993 an der TU Karlsruhe Elektrotechnik und promovierte im Anschluss in der Abteilung Informationstechnik an der Universität Ulm. Seit 1999 ist er Systemingenieur und Algorithmenentwickler im Mobilfunkbereich bei Siemens. Prof. Dr.-Ing. Martin Bossert, geb. 1955, hat das Studium der Elektrotechnik an der TU Karlsruhe 1981 abgeschlossen und promovierte 1987 an der TH Darmstadt. Nach einem einjährigen Forschungsaufenthalt an der Universität Linkoeping, Schweden, arbeitete er bei der Firma AEG Mobile Communication in Ulm u.a. bei der Spezifikation und Entwicklung des GSM-Standards. Seit 1993 ist er Professor an der Universität Ulm und Autor von mehreren Lehrbüchern. Seine Forschungsinteressen liegen auf dem Gebiet der zuverlässigen und sicheren Datenübertragung. LaTeX-Formatvorlage: Harald Harders 1. Auflage September 2004 Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004 Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 Vorwort Die Systemtheorie ist die Grundlage vieler Gebiete der Elektro- und Informationstechnik, etwa der Nachrichtentechnik, der Regelungstechnik, der digitalen Signalverarbeitung und der Hochfrequenztechnik, um nur einige zu nennen. Sie erweist sich als ein mächtiges Werkzeug des Ingenieurs sowohl zur Analyse als auch zur Synthese von Systemen und ermöglicht ein Verständnis durch Abstraktion auf wesentliche Eigenschaften und Zusammenhänge. Die elegante Theorie der linearen zeitinvarianten Systeme hat nicht nur die vielfältige Kommunikations- und Medienwelt ermöglicht, sondern hat auch Einzug in nahezu alle Bereiche von Gebrauchsgegenständen gehalten, wobei inzwischen die digitalen Systeme gegenüber den analogen dominieren. Das vorliegende Buch ist eine elementare Einführung in die Signal- und Systemtheorie, wie sie von Studierenden der Fachrichtungen Elektrotechnik, Informationstechnik und Informatik im Grundstudium benötigt wird. Es ist in seiner Didaktik auf die Denk- und Vorgehensweise von Ingenieuren ausgerichtet. Definitionen werden zunächst anband plausibler einfacher Beispiele motiviert, aus ihnen wird die mathematische Beschreibung und die Lösungsmethode hergeleitet. Auf eine streng mathematische Beweisführung wird dabei zugunsten von Beispielen, Plausibilitätsbetrachtungen und Hinweisen auf Zusammenhänge verzichtet. Außerdem enthält das Buch viele Zusammenfassungen, Übersichten und Tabellen in kompakter, übersichtlicher Darstellung sowohl im Text als auch im Anhang. Es ist daher auch gut zum Nachschlagen und als Formelsammlung geeignet. Die benötigten Kenntnisse in höherer Mathematik sind im Anhang zusammengestellt. Zunächst werden diskrete Systeme behandelt, da diese leichter nachvollziehbar sind, sei es von 'Hand' oder mit Hilfe eines Rechners. Der Leser kann sich dabei ganz auf die Systemtheorie konzentrieren. Die Notwendigkeit der z-transformation wird anhand eines einfachen Beispiels verdeutlicht und damit die abstrakte Denkweise im transformierten und nicht-transformierten Bereich aufgezeigt. Nach einer kurzen Behandlung der mathematischen Grundlagen der Distributionen werden die kontinuierlichen Systeme beschrieben und die wesentlichen Ideen der Systemtheorie wiederholt. Als Transformationen werden hier Fourier- und Laplace-Transformation behandelt. Die Beziehung zwischen diskreter und analoger 'Welt' erläutert das Abtasttheorem. Es werden die diskreten Fouriertransformationen eingeführt und die Zusammenhänge zu den anderen Transformationen aufgezeigt. Die aufgenommenen Aufgaben mit Lösungen sind so ausgewählt, daß sie den Stoff veranschaulichen und vertiefen; teilweise werden auch interessante ergänzende Themen behandelt. Dieses Buch basiert auf der Vorlesung 'Signale und Systeme', die seit dem Wintersemester 1993/94 an der Universität Ulm für Studierende der Fachrichtung Elektrotechnik, Informationstechnik und Informatik im dritten Semester gehalten wird. Die Vorlesung deckt inhaltlich die elementaren Grundlagen der kontinuierlichen und diskreten Systeme und stochastischen Signale, und der Systemtheorie ab, und führt in die systemtheoretischen Aspekte von Netzwerken ein. Das Buch wurde in Jb.TEX und die Bilder mit xfig erstellt, bei Funktionenverläufen mit Unterstützung durch Matlab. Unser Dank geht zunächst an die zahlreichen Studierenden, die durch Fragen, Kommentare und Anregungen zum vorhandenen Manuskript und zur ersten Buchversion beigetragen haben und die wir leider nicht namentlich auffuhren können.

6 VI Besonderer Dank gilt den wissenschaftlichen Mitarbeitern der Abteilung Telekommunikationstechnik und Angewandte Informationstheorie für ihre Mithilfe, vor allem für die wichtigen Diskussionsbeiträge über Inhalt und Darstellung des Stoffes. Über Anmerkungen und Anregungen, oder aber auch Kritik und Hinweise auf Fehler würden wir uns freuen. Hierfür haben wir eine Internetseite unter eingerichtet, auf der zusätzlich auch Links auf kostenlose Rechnertools und weitere Informationen zu finden sind. Ulm, im Juli 2004 Thomas Frey Martin Bossert

7 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Signale Systeme Zusammenfassung und Buchübersicht 2 Signale 2.1 Elementare Operationen und Eigenschaften Verschiebung, Spiegelung, Skalierung Komplexe Signale Gerade und ungerade Signale Periodische Signale Zeitbegrenzte, kausale und beschränkte Signale. 2.2 Spezielle Signale Sprungförmige Signale Impulsfolge Sprungfolge und Sprungfunktion Signumfolge und Signumfunktion Rechteck- und Dreieckimpuls Exponentialfunktion Schwingungen Komplexe Exponentialfunktion Sinus- und Kosinusfunktion si-funktion Weitere Eigenschaften und Verknüpfungen Energie und Leistung Skalarprodukt und Orthogonalität Korrelation deterministischer Signale 2.4 Zusammenfassung 2.5 Aufgaben Diskrete LTI-Systeme 3.1 Allgemeine Beschreibungsform und Lösungsansatz 3.2 Berechnung der Systemantwort mittels z-transformation 3.3 Lösung im Zeitbereich: Diskrete Faltung Herleitung und Definition Eigenschaften und anschauliche Deutung Darstellung von Mittelungsvorgängen Darstellung periodischer Signale

8 VIII Inhaltsverzeichnis Diskrete periodische Faltung Zusammenhang mit der Korrelation 3.4 Darstellungsformen und Eigenschaften Systemfunktion und Impulsantwort Pol-Nullstellen-Diagramm und Stabilität Anschauliche Deutung der Systemfunktion Einschwingvorgang und stationärer Zustand Stabilität Blockdiagramme und Systemstrukturen Rekursive (IIR-) Systeme Nichtrekursive (FIR-) Systeme Matrizendarstellung von FIR-Systemen Eigenfolgen von Systemen 3.5 Zusammenfassung 3.6 Aufgaben Die z-transformation 4.1 Definition und Konvergenz 4.2 Eigenschaften und Rechenregeln Linearität Verschiebung im Zeitbereich. Dämpfung / Modulation, Skalierung von z. Lineare Gewichtung, Ableitung im Bildbereich Zeitinversion und konjugiert komplexe Folgen Faltungsregel und Korrelationstheorem Multiplikation im Zeitbereich Grenzwertsätze der einseitigen z-transformation Weitere Eigenschaften Diskrete Ableitung und Integration Periodisch fortgesetzte Folgen Einfügen von Nullen, Upsampling Summation über Zeitsignal 4.3 Die Rücktransformation Partialbruchzerlegung Komplexes Urnkehrintegral Rekursive Lösung Reihenentwicklung 4.4 Anfangswertprobleme 4.5 Zusammenfassung 4.6 Aufgaben

9 Inhaltsverzeichnis IX 5 Kontinuierliche LTI-Systeme Allgemeine Beschreibungsform Mathematische Grundlagen Verallgemeinerte Funktionen Spezielle kontinuierliche Signale Dirac-Impuls Sprungfunktion Impulskamm Ableitung von Sprung- und Knickstellen Berechnung der Systemantwort mittels Laplace-Transformation Lösung im Zeitbereich: Faltung Herleitung und Definition Eigenschaften und anschauliche Deutung Darstellung der Integration Darstellung periodischer Signale Periodische Faltung Zusammenhang Faltung und Korrelation Darstellungsformen und Eigenschaften Systemfunktion und Impulsantwort Pol-Nu11stellen-Diagramm und Stabilität Anschauliche Deutung der Systemfunktion Einschwingvorgang und stationärer Zustand Stabilität Stabilitätskriterium nach Hurwitz Blockdiagramme Eigenfunktionen von Systemen Elektrische Netzwerke Grundelemente Komplexe Wechselstromrechnung Zweipole Vierpole Anwendungsgebiete Regelungstechnik Nachrichtentechnik Zusammenfassung Aufgaben Die Laplace- und Fourier-Transformation Definitionen und Konvergenz Laplace-Transformation Fourier-Transformation Vergleich von Laplace- und Fourier-Transformation Eigenschaften Linearität Verschiebung im Zeitbereich. 177

10 X Inhaltsverzeichnis Dämpfung / Modulation Lineare Gewichtung, Ableitung im Bildbereich Ableitung / Integration der Zeitfunktion Zeitskalierung und konjugiert komplexe Signale Faltungsregel und Korrelationstheorem Multiplikation im Zeitbereich Grenzwertsätze der Laplace-Transformation Spezielle Eigenschaften der Fourier-Transformation Dualität Reelle Signale, Symmetrieeigenschaften Kausale Signale, Hilberttransformation Periodische Signale, Fourier-Reihe Zeit-Bandbreite-Produkt ParsevaIsches Theorem Zusammenhang mit komplexer Wechselstromrechnung Spezielle Korrespondenzen der Fourier-Transformation Sprung- und Signumfunktion Rechteck- und Dreieckimpuls Komplexe Exponentialfunktionen und Schwingungen Impulskamm Die Rücktransformation Partialbruchzerlegung Komplexes Urnkehrintegral Weitere Verfahren Zusammenfassung Aufgaben Beschreibung und Analyse von LTI-Systemen im Frequenzbereich Übertragungsfunktion und Frequenzgang Systembeschreibung und Übertragungsfunktion Betragsfrequenzgang und Phasengang Abschätzung des Frequenzganges anhand des Pol-Nullstellen-Diagramms Komplexes Übertragungsmaß Phasen- und Gruppenlaufzeit Darstellungsformen Bode-Diagramme Ortskurven Filter und Allpässe Prinzipielle Filtertypen Allpässe und minimalphasige Systeme Verzerrungsfreie Systeme Zusammenfassung Aufgaben

11 Inhaltsverzeichnis XI 8 Zusammenhang zwischen diskreten und kontinuierlichen Signalen und Systemen Signalabtastung und -rekonstruktion Ideale Abtastung und Rekonstruktion Abtasttheorem Nichtideale Abtastung und Rekonstruktion Nichtideale Abtastung Nichtideale Rekonstruktion Diskrete Fourier-Transformationen Zeitdiskrete Fourier-Transformation Herleitung und Definition Eigenschaften und Rechenregeln Frequenzgang und Gruppenlaufzeit Fourier-Reihe Diskrete Fourier-Transformation (DFT) Zeitdiskrete Fourier-Reihe Definition der DFT und Eigenschaften Fast Fourier Transformation (FFT) 8.3 Zusammenhang der Transformationen 8,4 Zusammenfassung 8.5 Aufgaben Lösungen der Aufgaben 275 Anhang A Mathematischer Anhang A.1 Komplexe Zahlen und Funktionen A.2 Polynome und rationale Funktionen.. A.3 Nullstellenbestimmung von Polynomen A.4 Residuensatz.... A.5 Partialbruchzerlegung.. A.6 Kettenbruchentwicklung A.7 Distributionen.... A.8 Trigonometrische Formeln A.9 Wichtige mathematische Formeln B Hilfsblätter B.1 Wichtige Formeln und Definitionen B.2 z-transformation... B.3 Laplace-Transformation.... B,4 Fourier-Transformation.... B.5 Zeitdiskrete Fourier-Transformation B.6 Diskrete Fourier-Transformation

12 XII Inhaltsverzeichnis Formelzeichen und Darstellungskonventionen Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis