Martin Werner. Signale und Systeme

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1 Martin Werner Signale und Systeme

2 Martin Werner Signale und Systeme Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB -Übungen und Lösungen 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 256 Abbildungen, 48 Tabellen und zahlreichen Beispielen, sowie integriertem Online-Übungsteil mit 118 gelösten Aufgaben und MATLAB -Übungen STUDIUM

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. 1. Auflage , vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage , vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Reinhard Dapper Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN

4 V Vorwort Signale und Systeme ist als Lehr- und Arbeitsbuch für Studierende der Informationstechnik, Nachrichtentechnik, der Informatik und verwandter Fächer gedacht. Da es den Lehrstoff anhand praxisnaher Aufgaben mit ausführlichen Lösungswegen entwickelt, ist es auch für Ingenieure und Informatiker in der beruflichen Praxis zum Selbststudium geeignet. Die Grundlagen werden in kompakter Form vorgestellt. Durch die Gegenüberstellung von zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen und Systemen wird das gemeinsame Konzept deutlich hervorgehoben und eine Synergie des Lernens möglich. Wegen der Zusammenstellungen der wichtigsten Formeln in Tabellen und der vielen gelösten Aufgaben eignet es sich auch als Nachschlagewerk. Die rasante Entwicklung der Informationstechnik hat in den Anwendungen der Signal- und Systemtheorie zu einer Verschiebung des Schwerpunkts geführt: von der klassischen Theorie der Filter, Netzwerke und Leitungen hin zu komplexen Algorithmen der digitalen Signalverarbeitung. Das vorliegende Buch trägt dieser Entwicklung Rechnung, indem es die klassischen Methoden straff behandelt und der digitalen Signalverarbeitung sowie den stochastischen Signalen in der Informationstechnik breiteren Raum gibt. Zur 3. Auflage Die Neuauflage des Buches bot Gelegenheit, das Konzept konsequent auf die seit einigen Jahren beobachteten Veränderungen anzupassen. Viele Studierende sind heute mit dem Programmieren und Anwenden von Computern mehr vertraut als mit den physikalischen Grundlagen der Informationstechnik. In der 3. Auflage werden deshalb die Themen zunächst an zeitdiskreten Beispielen eingeführt und dann auf den zeitkontinuierlichen Fall übertragen: Die Differenzengleichung ist der Differenzialgleichung und die z-transformation der Laplace-Transformation vorangestellt. Dadurch wird es möglich, zunächst mit relativ einfachen Beispielen am PC die Zusammenhänge zu veranschaulichen. Dementsprechend wurde der Übungsteil vollständig überarbeitet, erweitert und mit zahlreichen MATLAB -Beispielen 1 ergänzt. Um den studentenfreundlichen Preis zu halten, wird der umfangreiche Übungsteil als Online- Ressource zur Verfügung gestellt. Wie die zum Buch erstellten MATLAB-Programme und Lösungen ist er kostenlos über den Vieweg+Teubner Verlag erhältlich unter www. viewegteubner.de. Außerdem wurden zahlreiche Verbesserungen und Ergänzungen vorgenommen. Die Lösung von Differenzengleichungen wird ausführlicher behandelt. Die in der Audio- und Bildcodierung wichtige diskrete Kosinus-Transformation rundet nun den Abschnitt zur diskreten Fourier-Transformation ab. Fulda, Mai 2008 Martin Werner 1 MATLAB ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma The MathWorks, Inc., U.S.A. MATLAB ist auch in einer Studentenversion verfügbar und wird mit einer ausführlichen Online-Hilfe sowie Online-Einführungskursen ausgeliefert. Für mehr Informationen siehe oder

5 VII 1 Einführung Grundbegriffe der Signal- und Systemtheorie Klassifizierung von Signalen Standardsignale Exponentielle Signale Sprungfunktion und Rechteckimpuls Impulsfunktion Klassifizierung von Systemen Systembegriff Systemeinteilung nach Signalklassen Systeme mit und ohne Gedächtnis Kausale Systeme Lineare und zeitinvariante Systeme Stabile Systeme Beispiele Gleitender Mittelwert Medianfilter Gleitender Mittelwert und Median in der Bildverarbeitung Lineare zeitinvariante Systeme Zeitdiskrete LTI-Systeme Impulsantwort Sprungantwort Kausalität Stabilität Eigenfunktion Beispiel: Barker-Code Zeitkontinuierliche LTI-Systeme Impulsantwort Sprungantwort Kausalität Stabilität Eigenfunktion Beispiel: RC-Glied Gegenüberstellung I: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme Systeme mit linearen Differenzengleichungen Einführung Signalflussgraph Übertragungsfunktion Eigenschwingungen... 46

6 VIII 4.5 Ein- und Ausschwingen, Transienten Homogene Lösung der DGL 1. Ordnung Partikuläre Lösung der DGL 1. Ordnung Transiente, stationärer Anteil, Ein- und Ausschwinganteil Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität Systemfunktionen für ein rekursives System 1. Ordnung Impulsantwort Sprungantwort Übertragungsfunktion Lösungen für rekursive Systeme 1. Ordnung Rekursive Systeme 2. Ordnung Lösungen der homogenen DGL 2. Ordnung Stabilität Lösung der DGL 2. Ordnung für exponentielle Erregungen Systemfunktionen für ein rekursives System 2. Ordnung Beispiele zu DGL und Systemen mit DGL Widerstandsnetzwerk Zinsformel System 2. Ordnung Zeitdiskretes Analogon zum Schwingkreis Systeme mit linearen Differenzialgleichungen Einführung Lineare DGL N-ter Ordnung Signalflussgraph Übertragungsfunktion Ein- und Ausschwingen, Transiente Homogene Lösung der DGL Partikuläre Lösung der DGL Lösung der DGL mit Anfangsbedingungen Ein- und Ausschwingen Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität Impulsantwort und Übertragungsfunktion Beispiele mit RLC-Netzwerken System 1. Ordnung Reihenschwingkreis Gegenüberstellung II: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme z-transformation und LTI-Systeme Einführung Die z-transformation Definition Existenz Eigenschaften z-transformierte von Standardsignalen... 93

7 IX 6.3 Anwendung der z-transformation bei LTI-Systemen Übertragungsfunktion BIBO-Stabilität Impulsantwort und Sprungantwort Eingangs-Ausgangsgleichung im Bildbereich Inverse z-transformation Komplexe Umkehrformel Inverse z-transformation rationaler Funktionen Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Beispiel: Konvergenzgebiete und inverse z-transformation Inverse z-transformation mit der Potenzreihenentwicklung Beispiel: System 3. Ordnung Einseitige z-transformation und ihre Anwendung Laplace-Transformation und LTI-Systeme Einführung Die Laplace-Transformation Definition Existenz Eigenschaften Laplace-Transformierte von Standardsignalen Anwendung der Laplace-Transformation bei LTI-Systemen Übertragungsfunktion BIBO-Stabilität Impulsantwort und Sprungantwort Eingangs-Ausgangsgleichung im Bildbereich Inverse Laplace-Transformation Komplexe Umkehrformel Inverse Laplace-Transformation rationaler Funktionen Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Beispiel: T-Glied Einseitige Laplace-Transformation und ihre Anwendung Differenziationssatz der einseitigen Laplace-Transformation Ersatzschaltbild für Laplace-Transformierte Gegenüberstellung III: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme Fourier-Transformation für zeitkontinuierliche Signale Fourier-Reihen Trigonometrische Form Harmonische Form Komplexe Form Parsevalsche Gleichung Periodische Quellen in RLC-Netzwerken Spektrum periodischer Signale und Frequenzgang von LTI-Systemen

8 X 8.4 Die Fourier-Transformation Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation Definition der Fourier-Transformation Existenz Zusammenhang mit der Laplace-Transformation Eigenschaften der Fourier-Transformation Fourier-Transformierte von Standardsignalen Bandbreite Zeitdauer-Bandbreite-Produkt Anwendung der Fourier-Transformation bei zeitkontinuierlichen LTI-Systemen Frequenzgang Lineare Verzerrungen und verzerrungsfreie Übertragung Lineare Filterung Übungsbeispiele zur Fourier-Transformation Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale Einführung Definition der Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale Eigenschaften der Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale Fourier-Transformierte von Standardsignalen Bandbreite Anwendung der Fourier-Transformation bei zeitdiskreten LTI-Systemen Frequenzgang Lineare Filterung Vergleich zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter LTI-Systeme im Frequenzbereich Übungsbeispiele zur Anwendung der Fourier-Transformation auf zeitdiskrete Signale Diskrete Fourier-Transformation (DFT) Definition und Eigenschaften der DFT Zyklische Verschiebung, aperiodische und zyklische Faltung Zyklische Faltung Schnelle Faltung Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Einführung Radix-2-FFT-Algorithmus Beispiel: Tiefpassfilterung eines Bildsignals mit der FFT Orthogonale Transformation Diskrete Kosinus-Transformation (DCT) Von der DFT zur DCT DCT als orthogonale Transformation Beispiel: Anwendung der DCT auf ein Bildsignal

9 XI 11 Digitale Verarbeitung analoger Signale Einführung Abtastung von Signalen Ideale Abtastung Abtasttheorem und Spektren abgetasteter Signale A/D- und D/A-Umsetzung Zeitdiskrete Simulation analoger Systeme Impulsinvariante Transformation Bilineare Transformation Beispiel: Butterworth-Tiefpass Analoger Butterworth-Tiefpass Beispiel: Impulsinvariante Transformation Beispiel: Bilineare Transformation Anpassung der Abtastrate Unterabtastung Interpolation Beispiel: Interpolation für die D/A-Umsetzung Übungsbeispiele zur digitalen Verarbeitung analoger Signale Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung Zufallsexperimente und stochastische Variablen Charakterisierung stochastischer Variablen Mehrere stochastische Variablen Übungsbeispiele zu stochastischen Variablen Stochastische Signale und LTI-Systeme Stochastische Prozesse Einführung Definition stochastischer Prozesse Kenngrößen reellwertiger und ergodischer stochastischer Prozesse Beispiele für Korrelationsfunktionen und Leistungsdichtespektren Weißes Rauschen Reaktion von LTI-Systemen auf stochastische Signale Zeitdiskrete stochastische Prozesse und LTI-Systeme Zeitkontinuierliche stochastische Prozesse und LTI-Systeme Thermisches Rauschen Detektion und Matched-Filter-Empfänger Detektion Optimales Suchfilter Matched Filter Beispiel: Mehrkanal-Tokographie Beispiel: Chirp-Signal Übungsbeispiele zu stochastischen Prozessen

10 XII 14 Zustandsraumdarstellung Einführung Zustandsgrößen und Zustandsraumdarstellung Systeme 2. Ordnung Systeme höherer Ordnung Allgemeine Struktur Übertragungsfunktion und Impulsantwort Charakteristische Gleichung, Diagonalform und Ähnlichkeitstransformation Charakteristische Gleichung und Eigenwerte Modalmatrix und Diagonalform Ähnlichkeitstransformation und Normalform Zusammenfassung Anhang A.1 Formelzeichen A.2 Abkürzungen A.3 Tabellenverzeichnis Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis