Einführung in die Systemtheorie

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1 Einführung in die Systemtheorie Von Professor Dr.-Ing. Bernd Girod Priv.-Doz. Dr.-Ing. habil. Rudolf Rabenstein und Dipl.-Ing. Alexander Stenger Universität Erlangen-Nürnberg Mit 259 Bildern B.G. Teubner Stuttgart 1997

2 Einleitung Signale Systeme Was ist ein System? Der Anspruch der Systemtheorie Lineare, zeitinvariante Systeme Linearität eines Systems Zeitinvarianz eines Systems LTI-Systeme Beispiele für Systeme Elektrische Netzwerke Weitere Beispiele für Systeme Einteilung von Systemen Übersicht über dieses Buch Aufgaben 15 Beschreibung kontinuierlicher LTI-Systeme im Zeitbereich Differentialgleichungen Systemanalyse Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Blockdiagramme Direktform I Direktform II Direktform III Warum realisiert man LTI-Systeme nicht mit Differenzierern? Elektrische Realisierung eines Integrierers mit einem Operationsverstärker Zustandsraumbeschreibung von LTI-Systemen Beispiel zur Zustandsraumbeschreibung Allgemeine Form der Zustandsraumbeschreibung 32

3 2.4 Differentialgleichung, Blockdiagramm und Zustandsraumbeschreibung Äquivalente Zustandsraumdarstellungen Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit Zusammenfassung Aufgaben 43 Beschreibung von LTI-Systemen im Frequenzbereich Komplexe Frequenzen 47 '3.1.1 Was ist eine komplexe Frequenz? Komplexe Frequenz: Beispielsignale Die komplexe Frequenz-Ebene Eigenfunktionen Was sind Eigenfunktionen? Eigenfunktionen von LTI-Systemen Beispiel: RLC-Netzwerk Impedanz Normierung Aufgaben 60 Laplace- Transformation Verallgemeinerung des Eigenfunktionsansatzes Definition der Laplace-Transformation Einseitige und zweiseitige Laplace-Transformation....' Beispiele zur Laplace-Transformation Konvergenzbereich der Laplace-Transformation Uneigentliche Integrale Singularitäten Eigenschaften des Konvergenzbereichs Existenz und Eindeutigkeit der Laplace-Transformierten Existenz der Laplace-Transformierten Eindeutigkeit der inversen Laplace-Transformation Eigenschaften und Sätze der Laplace-Transformation Linearität der Laplace-Transformation Verschiebung im Zeitbereich oder Frequenzbereich Skalierung der Zeitachse oder der Frequenzebene Differentiation und Integration im Zeitbereich Differentiationssatz und Integrationssatz für die einseitige Laplace-Transformation Differentiationssatz für stückweise glatte Signale Differentiation im Frequenzbereich Tabelle der wichtigsten Laplace-Transformierten Aufgaben 86

4 Komplexe Funktionentheorie und inverse Laplace-Transformation Wegintegral in der komplexen Ebene Hauptsatz der Funktionentheorie Ringintegrale um Singularitäten Integralformel von Cauchy Residuenberechnung Integration parallel zur imaginären Achse Bedeutung der Integralformel von Cauchy Inverse Laplace-Transformation Inverse einseitige Laplace-Transformation Inverse zweiseitige Laplace-Transformation Integrationsweg für die inverse Laplace-Transformation Berechnung der inversen Laplace-Transformation mit dem Residuensatz Praktische Berechnung der inversen Laplace-Transformation Aufgaben 105 Analyse zeitkontinuierlicher LTI-Systeme mit der Laplace-Transformation Systemreaktion auf zweiseitige Eingangssignale Berechung der Systemfunktion Pole und Nullstellen der Systemfunktion Berechnung der Systemfunktion aus Differentialgleichungen Zusammenfassendes Beispiel Kombination von einfachen LTI-Systemen Reihenschaltung Parallelschaltung Rückkopplung Kombination von LTI-Systemen mit mehreren Ein- und Ausgängen Reihenschaltung Parallelschaltung Rückkopplung Analyse von Zustandsraumbeschreibungen Aufgaben 126 Lösung von Anfangswertproblemen mit der Laplace-Transformation Systeme erster Ordnung Klassische Lösung von Anfangswertproblemen Externer und interner Anteil der Lösung Anfangswert und Anfangszustand Beispiel: Anfangswertproblem mit harmonischer Erregung. 136

5 xii Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung Systeme zweiter Ordnung Systeme höherer Ordnung Lösung der Zustandsraumdifferentialgleichung Berechnung des Anfangszustands aus den Anfangswerten Berechnung des internen Anteils im Zeitbereich Bewertung der Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen Aufgaben Faltung und Impulsantwort Motivation Zeitverhalten eines RC-Netzwerks Systemfunktion Reaktion auf einen Rechteckimpuls Reaktion auf sehr kurze Rechteckimpulse Der Delta-Impuls Einführung Ausblendeigenschaft Impulsantwort Rechenregeln für Delta-Impulse Linearkombination von Delta-Impulsen Skalierung der Zeitachse Multiplikation mit einer stetigen Funktion Derivation Integration Anwendung von Delta-Impulsen Faltung Systembeschreibung durch Impulsantwort Impulsantwort und Systemfunktion Berechnung des Faltungsintegrals Impulsantworten spezieller Systeme Integrierer Differenzierer Verzögerungsglieder Bausteine der Regelungstechnik Kombination einfacher LTI-Systeme Faltung durch Hinschauen Anwendungen Suchfilter (Matched Filter) ' Entfaltung Aufgaben 197

6 9 Fourier-Transformation Rückblick auf die Laplace-Transformation Definition der Fourier-Transformation Hintransformation Existenz der Fourier-Transformation Unterschiede zwischen Fourier- und Laplace-Transformation Beispiele zur Fourier-Transformation Fourier-Transformierte des Delta-Impulses Fourier-Transformierte der Rechteckfunktion Fourier-Transformierte einer komplexen Exponentialfunktion Fourier-Transformierte von j Symmetrien der Fourier-Transformation Gerade und ungerade Funktionen Konjugierte Symmetrie Symmetriebeziehungen für reellwertige Zeitsignale Symmetriebeziehungen für imaginäre Zeitsignale Symmetriebeziehungen für komplexwertige Signale Inverse Fourier-Transformation Sätze zur Fourier-Transformation Linearität der Fourier-Transformation Dualität Ähnlichkeitssatz Faltungssatz der Fourier-Transformation Multiplikationssatz Verschiebungssatz und Modulationssatz Differentiationssätze Integrationssatz Parsevalsches Theorem Korrelation deterministischer Signale Definition Eigenschaften Zusammenhang mit der Faltung Symmetrie Kommutativität Fourier-Transformierte von Korrelationsfunktionen Zeit-Bandbreite-Produkt Flächengleiches Rechteck Toleranzschemata Momente zweiter Ordnung Zusammenfassung Aufgaben 243

7 xiv Inhaltsverzeichnis 10 Bode-Diagramme Einführung Beiträge einzelner reeller Pole und Nullstellen Bode-Diagramm für mehrere reelle Pole und Nullstellen Regeln für Bode-Diagramme Betragsfrequenzgang Phasenverlauf Komplexe Pol- und Nullstellenpaare Aufgaben Abtastung und periodische Signale Einleitung Delta-Impulskamm und periodische Funktionen Delta-Impulskamm und seine Fourier-Transformierte Fourier-Transformierte periodischer Signale Faltung eines periodischen und eines aperiodischen Signals Periodische Faltung Abtastung Ideale Abtastung Abtasttheorem Abtasttheorem für komplexwertige Bandpaß-Signale Abtasttheorem für reellwertige Bandpaß-Signale Nichtideale Abtastung Nichtideale Rekonstruktion Abtastung im Frequenzbereich Aufgaben Diskrete Signale und ihr Spektrum Diskrete Signale Einfache Zahlenfolgen Diskreter Einheitsimpuls Diskreter Einheitssprung Exponentialfolgen Fourier-Transformierte einer Folge Definition der.f»-transformation Inverse.F.-Transformation Korrespondenzen der.f»-transformation ^»-Transformierte des diskreten Einheitsimpulses F»-Transformierte der ungedämpften komplexen Exponentialfolge ^»-Transformierte des diskreten Einheitssprungs ^»-Transformierte einseitiger Exponentialfolgen / «-Transformation einer Rechteckfolge 311

8 12.4 Abtastung kontinuierlicher Signale Sätze der.t 7»-Transformation Linearität Verschiebungs- und Modulationssatz Faltungssatz der T*-Transformation Multiplikationssatz Satz von Parseval Symmetrien der Fourier-Transformation diskreter Signale Aufgaben z-transformation Definition und Beispiele Definition der zweiseitigen z-transformation Beispiele zur z-transformation Anschauliche Deutung der z-ebene Konvergenzbereich der z-transformation Beziehungen zu anderen Transformationen z-transformation und Fourier-Transformation von Folgen z-transformation und Laplace-Transformation Sätze der z-transformation Inverse z-transformation Pol-Nullstellen-Diagramm in der z-ebene Aufgaben Zeitdiskrete LTI-Systeme Einführung Linearität und Zeitinvarianz Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Differenzengleichungen und Differentialgleichungen Lösung von linearen Differenzengleichungen Numerische Lösung Analytische Lösung Eigenfolgen und Systemfunktion diskreter LTI-Systeme Eigenfolgen Systemfunktion Berechnung der Systemfunktion aus der Differenzengleichung Beschreibung durch Blockdiagramme und im Zustandsraum Direktform I Direktform II Zustandsraumbeschreibung diskreter LTI-Systeme Diskrete Faltung und Impulsantwort Berechnung der Systemreaktion durch diskrete Faltung Faltungssatz der z-transformation 359

9 xvi Inhaltsverzeichnis Systeme mit endlich und unendlich langer Impulsantwort Berechnung der diskreten Faltung Aufgaben Kausalität und Hubert-Transformation Kausale Systeme Allgemeine Systeme Lineare Systeme LTI-Systeme Kausale Signale Zeitbereich Spektren kausaler Signale Kontinuierliche Signale Diskrete Signale Analytisches Signal Aufgaben Stabilität und rückgekoppelte Systeme BIBO, Impulsantwort und Frequenzgang Kontinuierliche LTI-Systeme Diskrete Systeme Beispiele Kausale stabile LTI-Systeme Allgemeine Eigenschaften Kontinuierliche Systeme Diskrete Systeme LTI-Systeme mit gebrochen rationaler Übertragungsfunktion Kontinuierliche Systeme Diskrete Systeme Stabilitätskriterien Kontinuierliche Systeme Diskrete Systeme Rückgekoppelte Systeme Invertierung eines Systems durch Rückkopplung Glättung des Frequenzgangs durch Gegenkopplung Stabilisierung eines Systems durch Rückkopplung Aufgaben Beschreibung von Zufallssignalen Einleitung Was sind Zufallssignale? Wie beschreibt man Zufallssignale? Erwartungswerte 412

10 Erwartungswert als Scharmittelwert Erwartungswerte erster Ordnung Rechnen mit Erwartungswerten Erwartungswerte zweiter Ordnung Stationäre Zufallsprozesse Definition Ergodische Zufallsprozesse Korrelationsfunktionen Korrelationsfunktionen reeller Signale Autokorrelationsfunktion Autokovarianzfunktion Kreuzkorrelationsfunktion Kreuzkovarianzfunktion Korrelationsfunktionen komplexwertiger Signale Kreuzkorrelationsfunktion Autokorrelationsfunktion Kreuzkovarianz- und Autokovarianzfunktion Leistungsdichtespektren Definition Leistungsdichtespektrum und quadratischer Mittelwert Symmetrieeigenschaften des Leistungsdichtespektrums Weißes Rauschen Beschreibung diskreter Zufallssignale Aufgaben Zufallssignale und LTI-Systeme Verknüpfungen von Zufallssignalen Multiplikation von Zufallssignalen mit einem Faktor Addition von Zufallssignalen Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichtespektrum Reaktion von LTI-Systemen auf Zufallssignale Stationarität und Ergodizität Linearer Mittelwert am Ausgang eines LTI-Systems Autokorrelationsfunktion am Ausgang eines LTI-Systems Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingang und Ausgang eines LTI-Systems Leistungsdichtespektrum und LTI-System Deutung des Leistungsdichtespektrums Messung des Übertragungsverhaltens eines LTI-Systems Signalschätzung durch Wiener-Filter 461

11 Herleitung der Übertragungsfunktion des Wiener-Filters Lineare Verzerrungen und additives Rauschen Ideale Übertragung und additives Rauschen Lineare Verzerrungen ohne Rauschen Aufgaben 467 A Lösungen der Aufgaben 473 B Korrespondenzen-Tabellen 569 B.l Korrespondenzen der zweiseitigen Laplace-Transformation 569 B.2 Sätze der zweiseitigen Laplace-Transformation 570 B.3 Korrespondenzen der Fourier-Transformation 571 B.4 Sätze der Fourier-Transformation 572 B.5 Korrespondenzen der zweiseitigen z-transformation 573 B.6 Sätze der zweiseitigen z-transformation 574 B.7 Korrespondenzen der Fourier-Transformation von Folgen 575 B.8 Sätze der Fourier-Transformation von Folgen 576 Literaturverzeichnis 577 Index 579