Die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen, Teil 7

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1 Nachrichtentechnik > Fourier-ransformation WissenHeute Jg. 6 /28 Das hema im Überblick Im vorliegenden siebten eil über die Fourieranalyse und ihre Anwendungen werden die Eigenschaften von Leistungssignalen beschrieben. Durch Beurteilung der Leistungs signale lassen sich innere Verwandtschaften von Signalen feststellen, wie beispielsweise die Existenz eines Nachrichtensignals, welches von einem Rauschen verdeckt wird. Die Fourier-ransformation und ihre Anwendungen, eil 7 Mit diesem Beitrag wird die Reihe zur Fourier-ransformation und ihrer Anwendungen abgeschlossen. Dieser eil behandelt das Verhalten von Zufallssignalen unter verschiedenen Gesichtspunkten. Ebenfalls wird in diesem eil auf das Weiße Gaußsche Rauschen eingegangen. ( t )= ( t ) für t 6.5 Korrelation und spektrale Leistungsdichte Der Autor Prof. Dr.-Ing. Dietmar Rudolph war am Institut für Bildung und Hochschulkooperation (IBH) und dem An-Institut der FH elekom Leipzig beschäftigt und lehrte an der echnischen FH Berlin. Sein spezielles Arbeitsgebiet ist die digitale Funkkommunikation. Betrachtet man Leistungssignale sp(t) = (t), gilt für diese Signale: P = 2 ( t )dt 2 < (6.54) Wenn auch die Leistung endlich bleibt, geht jedoch die Energie des Signals E. Damit die vorher für Energiesignale abgeleiteten Beziehungen trotzdem verwendet werden können, wird das lang dauernde Signal zuerst auf das Intervall < t < begrenzt. Statt des Signals (t) betrachtet man daher (t), für welches gilt: (6.55) Dieses Signal hat eine Fourier-ransformierte (t) V( ), wobei V ( ) das Amplitudenspektrum ist. Die Gleichung 6.54 wird damit zu: 2( ) P = 2 t dt < (6.56) Für die Energie von (t) gilt mit dem Parsevalschen heorem37: 37 Parsevalsches heorem: In der Funktionsanalyse die allgemeinste Form des Satzes des Pythagoras (a2 + b2 = c2) für Innenprodukträume. Zugleich ist es wichtig für Orthogonalzerlegungen in diesen Räumen, insbesondere für die verallgemeinerte Fourier-ransformation. Benannt nach dem französischen Mathematiker Marc-Antoine Parseval (755 bis 836). 29

2 Nachrichtentechnik > Fourier-ransformation WissenHeute Jg. 6 /28 Bild 46 Messung der spektralen Leistungsdichte Für die gemessene Leistung ergibt sich damit: H(ω) P 2S W W ( ) Δ /2π (6.63) v(t) w(t) S w (ω) H(ω) ω c ω c S W (ω c ) S W (ω) ω Somit lässt sich nun umgekehrt aus der gemessenen Leistung P und der verwendeten Messbandbreite Δ auf die spektrale Leistungsdichte rückschließen: ω c : variabel S W W ( ) Ωc P _ π Δ = P/2Δƒ (6.64) ω c ω c ω Messung der spektralen Leistungsdichte mit dem Spektrum- Analyzer Bild 47 RF- Step Attenuator RF- Input Blockschaltbild eines Spektrum-Analyzers Mixer Local Oscillator IF- Resolution Bandwidth IF-Log Filter Amplifier Scan Generator Envelope Detector (IF to Video) Gate Video Bandwidth Filter RF Radio Frequency IF Intermediate Frequency Peak/ Sample Detector Display Logic Display Analog-Digital Converter Den gesamten Verlauf S W W ( ) über erhält man, wenn die Mittenfrequenz variiert, also gewobbelt wird. Praktisch wird eine derartige Messung mittels eines Spektrum-Analyzers durchgeführt, dessen Einstellungen entsprechend zur Leistungsmessung vorgenommen sind. Moderne Analyzer (Bild 47) sind unter anderem in der Lage, die Leistung zwischen zwei Frequenz-Markern zu berechnen Korrelationsfunktion und spektrale Leistungsdichte von Leistungssignalen 2 ( t )dt = V ( ) 2 d (6.57) 2π Mit den Gleichungen 6.57 und 6.56 erhält man die Leistung im Frequenzbereich: P = 2 { 2π V ( ) 2 d } (6.58) Mit dem Grenzübergang geht nun die Energie E, jedoch soll per Definition die Leistung P endlich bleiben. Aus diesem Grund darf in Gleichung 6.58 die Reihenfolge von und getauscht werden und man erhält P = = 2π 2π 2 V ( ) 2 { d S V V ( ) S VV ( )d (6.59) Der Integrand S VV ( ) in Gleichung 6.59 ist die: 6.5. Eigenschaften der spektralen Leistungsdichte Die spektrale Leistungsdichte hat folgende Eigenschaften: S V V ( ) positiv für alle S V V ( ) = S V V ( ) gerade in P mittel = 2π (6.6) S V V ( )d mittlere Leistung Physikalische Interpretation der spektralen Leistungsdichte Hierfür betrachtet man ein ideales Schmalbandsystem mit nachgeschaltetem Leistungsmesser (Bild 46). Die Durchlassbreite sei schmal, so dass H ( ) = für den Durchlassbereich angesetzt werden kann. Damit wird: Aus Gleichung 6.6 erhält man mit Gleichung (s. eil 4, WissenHeute /25): S V V ( ) = 2 V ( ) 2 = 2 V ( ) V ( ) (6.65) Mit dem Faltungssatz aus eil 4 38 gilt: V ( ) V ( ) ( τ ) ( τ ) (6.66) Für beide Seiten dieser Korrespondenz wird im Limes: 2 ( τ ) ( τ ) (6.67) 2 V ( ) V ( ) = S VV( ) Mit Gleichung 6.52 kann man von der Faltung auf die Korrelation È übergehen: S VV ( ) = 2 V ( ) 2 spektrale Leistungsdichte (6.6) S W W ( ) = S VV ( ) für c Δ /2 c + Δ /2 (6.62) 38 Siehe hierzu den Beitrag Die Fourier-ransformation und ihre Anwendungen, eil 4, WissenHeute /25, S. 576 ff. 3

3 WissenHeute Jg. 6 /28 2 ( τ ) ( τ )= 2 ( τ )È ( τ ) { = R ( τ ) 2 ( t ) ( t + τ )dt = R ( τ ) (6.68) Bild 48 Auto-Korrelations-Funktion der verschobenen Cos-Schwingung x(t) R( xxτ) A A²/2 Die Beschneidung von (t) zu (t) wird nun noch in die Integralgrenzen einbezogen, wodurch dann die endgültige Form der Korrelationsfunktion für Leistungssignale entsteht. t τ R ( τ ) = 2 ( t ) ( t + τ )dt S V V ( ) (6.69) Da beide Funktionen (t) im Integranden gleich sind, heißt R die AKF (Auto-Korrelationsfunktion) für Leistungssignale und es gilt: R ( τ ) S V V ( ) Wiener-Khintchine (AFK) (6.7) Das bedeutet nach Wiener-Khintchine 39 : (Auto-) Korrelationsfunktion und spektrale Leistungsdichte bilden ein Fourier-Paar. S V V ( ) = R ( τ ) = 2π R ( τ ) e j τ dτ S V V ( ) e j τ d (6.7) Der Zusammenhang nach Wiener-Khintchine gilt entsprechend auch für die Kreuzkorrelation und das Kreuz-Leistungsdichtespektrum. Wiener-Khintchine R ƒg ( τ ) S FG ( ) Wiener-Khintchine (KKF) (6.72) Damit gelten mit Wiener-Khintchine für den Zusammenhang zwischen den Korrelationsfunktionen und den Leistungsdichtespektren sämtliche Beziehungen der Fourier-ransformation, einschließlich der vereinfachten Faltung. 39 Wiener-Khintchine: Begriff aus der Mathematik, benannt nach dem russischen Mathematiker Alexander Jakowlewitsch Khintchine (894 bis 959) und dem amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener (894 bis 964) Eigenschaften der AKF von Leistungssignalen Die AKF für Leistungssignale hat die Eigenschaften R ( τ ) = R ( τ ) gerade Funktion R ( )= P mittel mittlere Leistung des Signals R ( τ ) R ( ) Maximum bei Verschiebung τ = Kreuzkorrelation von Leistungssignalen (6.73) Wendet man die Korrelation auf zwei verschiedene Funktionen an, so kommt man zur Kreuzkorrelation. Mit ihrer Hilfe lassen sich innere Verwandtschaften von Signalen feststellen, wie beispielsweise die Existenz eines Nachrichtensignals, welches von einem Rauschen verdeckt wird. Es seien ƒ(t) und g (t) zwei Leistungssignale. Dann bildet man die Kreuzkorrelation wie folgt: R ƒg ( τ ) = 2 R xx ( τ ) = ƒ ( t ) g ( t + τ )d τ (6.74) 2 { = 2 A2 2 Entsprechend zu Gleichung 6.53 gilt: R gƒ ( τ ) = R ƒg ( τ ) (6.75) Falls ƒ(t) und g (t) zueinander orthogonal sind, gilt für den Verschiebungszeitpunkt τ = : R ƒg ( )= A 2 cos ( t + ϕ ) cos ( [ t + τ ]+ ϕ )dt cos ( [ 2t + τ ]+ 2ϕ )dt + = A cos ( τ )= A2 2 ƒ ( t )g ( t )dt = (6.76) Die empfangsseitige Auswahl eines eilnehmers bei CDMA (Code Division Multiplex Access) lässt sich damit erklären. Falls ƒ(t) und g (t) nicht miteinander korreliert sind, gilt für alle τ: R ƒg ( τ )= (6.77) Dieser Fall tritt beispielsweise auf, wenn es sich einerseits um Nachrichtensignale und andererseits um Rauschen handelt Beispiele für Korrelationen Zunächst soll die AKF einer phasenverschobenen Cos Schwingung x (t) = A cos( t + ϕ) bestimmt werden. Es wurde ein Additionstheorem verwendet. Das erste Integral verschwindet dabei, weil cos ( τ )dt } 2 cos ( τ ) (6.78) 3

4 Nachrichtentechnik > Fourier-ransformation WissenHeute Jg. 6 /28 Bild 49 Auto-Korrelations-Funktion eines Signals, mit Rauschen überlagert ϕ ƒƒ ϕ NN τ ϕ SS Bild 5 Modell der Senderseite einer binären Datenübertragung Daten Impuls- Generator δ-impulse Symbol- Filter: s(t) Datensymbole a n d(t) c(t) Datentakt: t t t R ( t )= ( t )È ( t )= ( t ) ( t ) R ww ( t )= w ( t )È w ( t )= w( t ) w ( t ) R hh ( t )= h ( t )È h ( t )= h ( t ) h ( t ) (6.82) Die AKF des Ausgangssignals w (t) gewinnt man nun mit Gleichung 6.8. Dabei wird zur Umformung zunächst die Faltung verwendet, weil bei dieser die kommutativen und assoziativen Gesetze gelten. R ww ( τ ) = [ ( τ ) h ( τ )] [ ( τ ) h ( τ ) ] = [ ( τ ) ( τ )] [ h ( τ ) h ( τ ) ] = [ ( τ )È ( τ )] [ h ( τ )È h ( τ ) ] R ww ( τ ) = R ( τ ) R hh ( τ ) AKF des Ausgangs-Signals (6.83) Mit S W W ( ) für die spektrale Leistungsdichte am Ausgang des Übertragungssystems und S V V ( ) an dessen Eingang wird mit Gleichung 6.8 und mit Gleichung 6.69 (Wiener-Khintchine) die bereits bekannte Beziehung: über eine ganze Anzahl von Perioden = 2π/ integriert wird. Aus der AKF der verschobenen Cos-Schwingung (Bild 48) wird erkennbar, dass kein eindeutiger Rückschluss auf den Verlauf der Zeitfunktion möglich ist, denn die Phasenverschiebung ϕ geht verloren Korrelationsfunktion von Signal mit Rauschen Das Empfangssignal sei x (t) = u (t) + n (t), bestehe also aus einem Signal u (t) und einer Störung (z.b. weißes Rauschen) n (t). Damit ergibt sich für die Autokorrelationsfunktion R xx des Empfangssignals: zu Null. Somit besteht auch die Möglichkeit, gestörte Signale zu rekonstruieren. Ein Beispiel hierzu zeigt Bild Übertragung eines Leistungssignals über ein lineares zeitinvariantes System Wenn ein LI-System (Linear ime Invariant) mit der Impulsantwort h (t) ein Signal überträgt, so gilt gemäß Gleichung 52 (s. eil 4), wenn (t) die Eingangsfunktion sein soll und w (t) die Ausgangsfunktion: w ( t )= ( t ) h ( t ) W ( )= V ( ) H ( ) (6.8) S WW ( ) = S VV ( ) H ( ) 2 spektrale Leistungsdichte des Ausgangs- Signals (6.84) 6.5. Spektren digitaler Signale Hierfür wird das Bild 5 angenommen, wonach die Datensymbole c(t) nach einer Filterung der Daten (als - Impulse d(t)) durch ein Symbolfilter mit der Impulsantwort h (t) = s(t) entstehen. Damit gilt: c ( t )= d ( t ) s ( t ) Symbol-Formung (6.85) Bildet man die AKF dieser Leistungssignale, erhält man: R xx ( τ ) = = 2 R xx ( τ ) = R uu( τ ) { AKF + un( R τ ) { KKF + nu( R τ ) { KKF + nn( R τ ) { AKF (6.8) Für den normalen Fall, dass das Signal und die Störung unkorreliert sind, werden die KKF 2 x ( t )x ( t + τ )dt = 2 { u ( t )+ n ( t )}{ u ( t + τ )+ n ( t + τ )}dt { u ( t )u ( t + τ )+ u ( t )n ( t + τ )+ n ( t )u ( t + τ )+ n ( t )n ( t + τ )}dt (6.79) Zunächst wird der Zusammenhang zwischen den Korrelationsfunktionen der Eingangsbzw. Ausgangsgrößen bestimmt. Für die Korrelationsfunktionen von (t), h (t) und w (t) gilt (jeweils auch als Faltung geschrieben): R cc ( τ ) = R dd ( τ ) R ss ( τ ) AKF der Datensymbole (6.86) Die AKF R cc der Datensymbole ergibt sich damit aus der Faltung der AKF R dd der Daten mit der AKF R ss des Symbolfilters bzw. der Symbolform. Nach dem Satz von Wiener- Khintchine ist das Leistungsdichtespektrum die Fourier-ransformierte der AKF. Damit wird: S cc ( ) = S dd ( ) S ss ( ) spektrale (6.87) Leistungsdichte (PSD) der Datensymbole 32

5 WissenHeute Jg. 6 /28 Daraus folgt, dass sich das Leistungsdichtespektrum der Symbole S cc ( ) aus dem Produkt der Leistungsdichtespektrum der Daten S dd ( ) und dem Leistungsdichtespektrum der Symbolform S ss ( ) ergibt Daten mit statistischer Unabhängigkeit Bild 5.2 Spektrale Leistungsdichte von rechteckförmigen Datensymbolen, lineare Darstellung.8 Spektrum P(ω) P (ω) Sind die Daten statistisch von einander unabhängig, so ist deren AKF -förmig. R dd ( τ )= ( τ ) (6.88) Deren Leistungsdichtespektrum ist daher konstant, S dd ( ) =. Damit ist das Leistungsdichtespektrum der Symbole S cc ( ) nur durch das Symbolfilter festgelegt, wobei H s ( ) die Übertragungsfunktion des Symbolfilters ist. Leistungsdichte /2 ω N ω N 2ω/ω N (Kreis-) Frequenz S cc ( ) = S ss ( ) = H s ( ) H s ( ) = H s ( ) 2 PSD für Symbole mit statistischer Unabhängigkeit (6.89) Für unverrundete Datensymbole ergibt sich bei statistischer Unabhängigkeit der Daten somit ein Leistungsdichtespektrum P( ). Die lineare Darstellung zeigt Bild 5, die logarithmische Darstellung das Bild 52. Bild 52 Spektrale Leistungsdichte von rechteckförmigen Datensymbolen, logarithmische Darstellung db Spektrum P(ω) P(ω) / db B 3dB 2ω/ω N 2 sin ( /2 ) P ( ) = { /2 } (6.9) Weißes Gaußsches Rauschen Ein WGN (White Gaussian Noise) hat seine Entstehungsursache in der thermischen Bewegung von Ladungsträgern und tritt damit bei allen elektrischen Leitungsvorgängen auf. Damit ist das WGN die häufigste Störquelle bei einer Übertragung. hermisches Rauschen ist gleichanteilsfrei. Das WGN ist daher eine stochastische Funktion mit dem Mittelwert E {x (t)} = _ x (t)=. Die spektrale Leistungsdichte S xx ( ) von WGN ist konstant für alle Frequenzen; demzufolge ist die AKF von WGN eine -Funktion. Die AKF wird in Bild 53 gezeigt, die spektrale Leistungsdichte in Bild 54. Ein WGN ist also schon bei der geringsten Verschiebung τ nicht mehr mit sich selbst ähnlich. Für thermisches Leistungsdichte / db Rauschen gilt für die spektrale Leistungsdichte: S xx ( )= N /2 = k/2 = konstant; k =,38 23 VAs/Kelvin; in Kelvin ω N (Kreis-) Frequenz (6.9) ω N B 35dB Die theoretische Grenzfrequenz beträgt GHz bis GHz, abhängig von der absoluten emperatur. Praktisch ist beispielsweise auf Grund der Streuinduktivität und der Streukapazität von Widerständen nur eine vergleichsweise kleine Grenzfrequenz realisierbar. Über der natürlichen Frequenz und in einseitiger Darstellung aufgetragen gilt: S( ƒ )= k W/Hz (6.92) 33

6 Nachrichtentechnik > Fourier-ransformation WissenHeute Jg. 6 /28 Bild 53 Auto-Korrelations-Funktion von Weißem Rauschen Setzt man für die emperatur = 29K = 7 C ein, so erhält man: R xx ( τ )= E { x ( t )x ( t + τ )} R xx ( )= E { x 2 ( t )}= σ 2 (6.96) Bild 54 Bild 55 v(t) R W ( τ) N O 2 δ Spektrale Leistungsdichte von weißem Rauschen S W (ƒ) N O 2 τ ƒ S ( ƒ )= k = 4 2 W/Hz 74dB m /Hz (6.93) Auf Grund der physikalischen Entstehung von WGN, bei der viele, voneinander unabhängige Ladungsträger beteiligt sind, erhält man nach dem Zentralen Grenzwertsatz als Amplituden- Wahrscheinlichkeits-Dichte p(x) des WGN eine Gauß-Verteilung. Unter der Annahme, dass WGN bis geht, erhält man als mittlere P = Leistung S P. xx ( )d = R xx ( ) 2π = N 2 ( τ ) (6.94) = 2π N 2 d (6.95) Die Varianz wird σ 2, denn mit Gleichung 6.94 wird: Messanordnung zur Messung der Impulsantwort eines LI-Systems u e (t) WGN: R vv = δ KKF Kreuz-Korrelations-Funktion LI Linear ime Invariant Bild 56 Σ LI-System h(t) WGN White Gaussian Noise u a (t) R vw Effektive Bandbreite der spektralen Leistungsdichte eines iefpass-signals S xx (ƒ) w(t) v(t) KKF Da mit der Varianz σ 2 auch die Streuung (Effektivwert) σ geht, wird für diesen theoretischen Fall die Gauß-Glockenkurve flach und breit. Für die Analyse von Systemen ist jedoch das WGN von gleicher Bedeutung wie der -Impuls im deterministischen Fall Bestimmung der Impulsantwort eines Systems mit Hilfe der Korrelation Die zugehörige Blockstruktur zeigt Bild 55. Die Eingangsgröße sei (t) und die Ausgangsgröße des LI-Systems sei w (t). Ein Korrelator bildet damit die KKF R w. R w ( τ ) = ( τ )È w( τ ) = ( τ )È [ ( τ ) h ( τ )] = ( τ ) [ ( τ ) h ( τ )] = [ ( τ ) ( τ )] h ( τ ) = [ ( τ )È ( τ )] h ( τ ) R w ( τ )= R ( τ ) h ( τ ) (6.97) Man kann damit die Impulsantwort über eine Korrelation bestimmen. Hierdurch lässt sich in jedem Fall eine Übersteuerung des LI-Systems vermeiden. Für eine praktische Messung benötigt man eine Eingangsgröße, deren AKF -förmig ist. Ein weißes Rauschen hat eine derartige -förmige AKF, denn die spektrale Leistungsdichte des weißen Rauschens ist laut Definition für alle Frequenzen konstant. Damit lässt sich die Impulsantwort des LI-Systems sogar im laufenden Betrieb messen, wenn die Betriebssignale u e (t) nicht mit dem Rauschen korreliert sind. In einem solchen Fall ergibt sich: h( τ ) = R w ( τ ) für R ( τ )= ( τ ) Messung der Impulsantwort mit GWN und KKF (6.98) Equal areas S xx (O) Korrelationsdauer und effektive Bandbreite der spektralen Leistungsdichte B eff B eff ƒ Die effektive Bandbreite g = 2πB eff einer spektralen Leistungsdichte ist definiert als flächengleiches Rechteck (Bild 56). 34

7 WissenHeute Jg. 6 /28 S VV ( )d g = 2πB eff = 2S VV ( ) effektive Rausch-Bandbreite (6.99) Die effektive Bandbreite ist reziprok zur mittleren Korrelationsdauer. Diese ist definiert als: R ( τ )dτ τ c = R ( ) mittlere Korrelationsdauer (6.) Mit Hilfe der Gleichungen 6.7 und 6.54 folgt daraus der Zusammenhang zwischen effektiver Bandbreite und Korrelationsdauer: g = 2πB eff = τ π c τ c = π g = _ 2B eff (6.) 7 Fazit Die Fourier-ransformation und ihre Varianten sind in vielen Wissenschafts- und echnikbereichen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik, Gezeiten, Astrophysik) über viele eilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), der Signalverarbeitung und der Kryptografie bis zu Ozeanografie und Wirtschaftswissenschaften. (Ar) Literaturhinweise Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung, B.G. eubner, 3. A. 24. Kammeyer, K.D.; Kroschel, K.: Digitale Signalverarbeitung; Filterung und Spektralanalyse mit MALAB Übungen, B.G. eubner, 5. A. 22. Kammeyer, K.D.; Kühn, V.: MALAB in der Nachrichtentechnik, J. Schlembach Fachverlag, 2. Ohm, J.R.; Lüke, H.D.: Signalübertragung, Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme, Springer, 9. A. 25. Rudolph, D.: Kapitel 4 (excl. 4.3) von Bergmann, K.: Lehrbuch der Fernmeldetechnik, Fachverlag Schiele & Schoen, 5. A Sklar, B.: Digital Communications, 2nd ed. Prentice Hall, 2. Randall, R.B.; ech, B.A.: Frequency Analysis, Brüel & Kjaer, 3rd ed Bracewell, R. N.: he Fourier ransform and its Applications, McGraw Hill, 2nd ed. revised 986. Papoulis, A.: he Fourier Integral and its Applications, McGraw Hill, 962. Haykin, S.: Analog & Digital Communications, Wiley, 989. Haykin, S.: Communication Systems, Wiley, 3rd ed Haykin, S.: Communication Systems, Wiley, 4rd ed. 2. Carlson, G.E.: Signal and Linear System Analysis with MALAB, Wiley, 2nd. ed Haykin, S.; van Veen, B.: Signals and Systems, Wiley, 2nd. ed. 23. Verwendete Abkürzungen AKF Auto-Korrelations-Funktion CDMA Code Division Multiplex Access LI Linear ime Invariant WGN White Gaussian Noise Kamen, E.W.; Heck, B.S.: Fundamentals ofsignals and Systems using MALAB, Prentice Hall, 997. Kraniauskas, P.: ransforms in Signals and Systems, Addison-Wesley, 992 Poularkis, A. P.; Seely, S.: Signals and Systems, PWS-Kent, 99. Lathi, B.P.: Modern Digital and Analog Communication Systems, Hault-Saunders, 983. aub / Schilling: Principles ofcommunication Systems, McGraw-Hill, 989. Proakis, J.G.: Digital Communications, McGraw-Hill, 989. Lee, Y.W.: Statistical heory of Communication, Wiley, 96. Peebles, P.Z.: Digital Communication Systems, Prentice- Hall, 987. Sheingold, D. H.: Analog Devices, Analog Digital Conversion Handbook, Prentice Hall, 3rd ed Shanmugan, K.S., Breipohl, A.M.: Random Signals - Detection, Estimation and Data Analysis, Wiley, 988. bramowitz, M.; Stegun, A.I.: Handbook of Mathematical Functions, Dover, 964. Gradstheyn, I.S.; Ryzhik, I.M.: able of Integrals Series and Products, Academic Press, 965. ibbs, C.E., Johnstone, G.G.: Frequency Modulation Engineering, Chapman & Hall, 956. Lighthill, K.: heorie der Fourier Analysis, Hochschultaschenbücher Bd. 39, Bibliographisches Institut Mannheim. Unsere Leserinnen und Leser schätzen vor allem die fachlich wertvollen, gut recherchierten und aktuellen Informationen zu den hemen der I/K und Wirtschaft. Sie haben hier die Gelegenheit, Ihr fachliches Wissen und Können zu veröffentlichen. Schreiben Sie einen Beitrag für WissenHeute und liefern Sie den Leserinnen und Lesern wichtige Informationen und interessantes Hintergrundwissen. Wir unterstützen Sie redaktionell. Die Redaktion berät Sie gerne bei Ihrer hemengestaltung und der Manuskripterstellung. Sie können sicher sein, dass Sie mit Ihrem hema einen großen und motivierten Leserkreis erreichen. Rufen Sie uns an unter oder schicken Sie uns eine an 35