KOMMUNIKATIONSSYSTEME

Transkript

1 KOMMUNIKATIONSSYSTEME Eine Einführung Jürgen H. Franz Fachhochschule Düsseldorf, Fachbereich Elektrotechnik Labor für Nachrichtenübertragungstechnik und Optische Nachrichtentechnik

2 Vorwort Das vorliegende Skript umfasst den Inhalt der Vorlesung Kommunikationssysteme, vormals Übertragungssysteme 1 und Übertragungssysteme 2. Es erspart Ihnen das Mitschreiben in der Vorlesung und eröffnet somit Raum für seminaristische Diskussionen und für eigene Arbeiten. Übungen finden nicht im Wochenrhythmus nach einem festgelegten Zeitplan statt, sondern immer dann, wenn ein Themenschwerpunkt abgeschlossen ist. Zum Semesterende werden wir darüber hinaus eine Klausur aus den vergangenen Semestern gemeinsam lösen. Das Bearbeiten der Übungsaufgaben und Klausuren sowie ein gründliches Studium des Skripts bzw. der Auswahl besprochener Themen sind die besten Voraussetzungen für ein erfolgreiches Abschneiden. In diesem Sinne wünsche ich Ihnen viel Freude in der Welt der Kommunikationssysteme und einen ihren Wünschen entsprechenden Abschluss. Jürgen H. Franz -2-

3 Inhalt 1 Einführung 1.1 Was sind Übertragungssysteme? 1.2 Geschichtlicher Überblick 1.3 Mensch und Übertragungstechnik 1.4 Ziel der Vorlesung Übung 1 2 Allgemeine Grundlagen 2.1 Signale 2.2 Spektralanalyse Zeitsignal und Spektrum Fouriertransformation Bandbreite 2.3 Der Diracimpuls 2.4 Systemtheorie Einführung Systemfunktion Impuls- und Sprungantwort Phasen- und Gruppenlaufzeit 2.5 Pegelrechnung Dämpfungs- und Verstärkungsfaktor Dämpfungs- und Verstärkungspegel Systemberechnung 2.6 Rauschen Autokorrelationsfunktion und Rauschleistungsdichtespektrum Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Filterung von Rauschen Tabelle: Gaußsches Fehlerintegral Übung 2 3 Amplitudenmodulation 3.1 Zeitsignal, Spektrum und Bandbreite Übertragung ohne Träger Übertragung mit Träger 3.2 Typische Zeitverläufe 3.3 Einseitenband-Amplitudenmodulation 3.4 Demodulation Synchrondemodulation -3-

4 3.4.2 Hüllkurvendemodulation 3.5 Lineare und nichtlineare Verzerrungen Übung 3 4 Winkelmodulation 4.1 Frequenz- und Phasenmodulation 4.2 Zeitsignal, Spektrum und Bandbreite 4.3 Varianten der Frequenzmodulation 4.4 Demodulation Synchrondemodulation Frequenzdiskriminator 4.5 Lineare und nichtlineare Verzerrungen Übung 4 5 Pulsmodulation 5.1 Trägerpuls 5.2 Pulsamplitudenmodulation Zeitsignal, Spektrum und Bandbreite Demodulation 5.3 Abtasttheorem 5.4 Pulsmodulationsarten 5.5 Pulscodemodulation Quantisierung und Codierung Quantisierungsfehler und -geräusch Signalrauschverhältnis Bandbreite Lineare Verzerrungen Charakteristika der PCM-Technik 5.6 Deltamodulation Übung 5 6 Multiplextechnik 6.1 Einführung 6.2 Frequenzmultiplex 6.3 Funktionenmultiplex Orthogonale Funktionen Quadraturmodulation Codemultiplex Spread Spectrum Technik und Frequency Hopping 6.4 Zeitmultiplex Modell und Funktion -4-

5 6.4.2 PCM-Zeitmultiplex Lineare Verzerrungen Übung 6 7 Digitale Übertragungssysteme 7.1 Einleitung 7.2 Impulsinterferenzen und Augenmuster 7.3 Fehlerwahrscheinlichkeit 7.4 Digitale Trägerfrequenzsysteme Systemanalyse Vergleich digitaler, binärer Trägerfrequenzsysteme 7.5 Mehrstufige Übertragungssysteme Klassifizierung Symbolrate Bandbreite Mehrstufige versus binäre Kommunikationssysteme Symbol- und Bitfehlerwahrscheinlichkeit Übung 7 8 Synchroner und asynchroner Übertragungsmodus 8.1 Synchroner Übertragungsmodus 8.2 Asynchrone Übertragungsmodus 8.3 Gegenüberstellung des synchronen und asynchronen Transportmodus Übung 8 9 Optimierung 9.1 Informationstheorie (folgt) 9.2 Signalangepasste Filter Herleitung der Systemfunktion und Impulsantwort Signalrauschverhältnis Vergleich von Filtern für AWGN-Kommunikationssysteme Korrelator Optimale Empfänger 9.3 Codierung (folgt) Mathematische Grundlagen der Blockcodierung Baum-, Netz- und Zustanddiagramm bei der Faltungscodierung Quellencodierung - zwei Beispiele Übung 9-5-

6 10 Ausblick - Klausurvorbereitung A A1 A2 Anhang Tabelle Trans-Atlantic-Transmission (TAT) Mathematische Grundlagen -6-

7 1 EINFÜHRUNG 1.1 WAS SIND ÜBERTRAGUNGSSYSTEME? Übertragungssysteme sind technische Systeme, die eine Übertragung, Verteilung und Vermittlung von Nachrichten oder Informationen ermöglichen. Sie bilden die Grundlage der globalen Kommunikationsinfrastruktur und somit anschaulich das Nervensystem der komplexen Weltwirtschaft. Das einfachste Übertragungssystem ist die im folgenden Bild dargestellte Punkt-zu- Punkt Übertragung, mit einem Sender, Übertragungskanal und Empfänger. Bild 1.1: Punkt-zu-Punkt Übertragung als einfaches Beispiel eines Übertragungssystems Die zur Realisierung von Übertragungssystemen erforderliche Technik bezeichnen wir als Nachrichtenübertragungstechnik (kurz: Übertragungstechnik), Telekommunikationstechnik oder einfach Kommunikationstechnik. Das allgemeine technische Ziel der Übertragungstechnik ist, eine möglichst große Informationsmenge über eine möglichst weite Strecke möglichst schnell und möglichst fehlerfrei zu übermitteln. 1.2 GESCHICHTLICHER ÜBERBLICK 800 v. Chr. Rauchzeichenübertragung 200 v. Chr. Codierte optische Übertragung mit Fackeln (Polybios) 1794 Optischer Telegraph nach Claude Chappe 1838 Drahtgebundene Telegraphie (Morse) 1861/1876 Telefon von Philipp Reis und von Graham Bell 1887 Elektromagnetische Welle (Heinrich Herz) 1895 Radio (Marconi) 1939 Abtasttheorem (Herbert P. Raabe) 1948 Informationstheorie nach Shannon 1962 Erste Satellitenübertragung mit Telstar (1965: Early Bird = Intelsat 1) 1975 Optische Übertragung mit Lichtwellenleitern Literatur: Aschoff, Volker: Geschichte der Nachrichtentechnik Bd. 1 und 2. Springer, Berlin/Heidelberg 1984 und Zur optischen Kommunikationstechnik siehe auch Skript der gleichnamigen Vorlesung. -7-

8 1.3 MENSCH UND ÜBERTRAGUNGSTECHNIK Die Übertragungs- oder Kommunikationstechnik befindet sich seit den neunziger Jahren des letzten Jahrhunderts in einer stürmisch verlaufenden Entwicklung. Durch die starke und rasche Ausbreitung des Internet, der Multimediakommunikation und vieler neuer Kommunikationsdienste verdoppelt sich derzeit der Bedarf an Übertragungskapazität etwa alle zweieinhalb Jahre. Beispiel: Trans-Atlantic Transmission (TAT) TAT-1 (Koaxialkabel) 84 Sprachkanäle 1983 TAT-7 (Koaxialkabel) 4000 Sprachkanäle 1988 TAT-8 (Glasfaser) Sprachkanäle 1997 TAT-12/13 (Glasfaser) ca Sprachkanäle (5 GBit/s) TAT-14 (16-WDM ) ca Sprachkanäle (16x10 GBit/s) 2002 Apollo (80-WDM, 4 Fasern) ca Sprachkanäle (4x80x10 GBit/s=3,2 TBit/s) Die rasante Entwicklung der Übertragungskapazitäten, insbesondere durch die Lichtwellenleitertechnik, führte dazu, dass das Leben des Menschen heute entscheidend durch die Kommunikationstechnik geprägt ist, so dass wir von der heutigen Zeit als Kommunikationszeitalter und von der derzeit lebenden Gesellschaft als Informationsgesellschaft sprechen. Verbunden mit der gesellschaftlichen Relevanz der Kommunikationstechnik werden Ingenieure und Studierende der Kommunikationstechnik zunehmend mit nicht-technischen Problemen und Begriffen konfrontiert. Hierzu gehören u.a. Datenschutz, gerechte Gebührenerfassung, Akzeptanzprobleme, wirtschaftliche, soziale und kulturelle Begleiterscheinungen, Sozialverträglichkeit, Ethik in der Informationsgesellschaft, Technikfolgenabschätzung und -bewertung. Im Rahmen der technisch orientierten Vorlesung Übertragungssysteme können diese Punkte trotz ihrer Relevanz nicht expliziert werden. Ihnen ist die Veranstaltung Philosophie und Technik des Bachelorstudiengangs und Technikfolgenabschätzung und -bewertung des Masterstudiengangs gewidmet. 1.4 ZIEL DER VORLESUNG Das Ziel der Vorlesung ist die Vermittlung grundlegender Verfahren und Methoden, die das Analysieren, Realisieren und Optimieren von Übertragungssystemen ermöglich. 1 2 Eine vollständige Übersicht findet sich im Anhang. WDM = Wavelength Division Multiplexing (Wellenlängenmultiplex) -8-

9 2 GRUNDLAGEN 2.1 SIGNALE Zur Übertragung von Information wie Sprache, Musik, Graphiken, Bewegtbilder (Video), Texte oder Daten, muss diese zunächst in ein technisches Signal, z.b. eine Spannung, gewandelt werden. Zur Anpassung dieser technischen Signale an den Übertragungskanal, z.b. ein Kupferkabel, eine Glasfaser oder der freie Raum, ist es weiterhin erforderlich, diese Signale zusätzlich zu codieren und durch Modulation in einen anderen Frequenzbereich zu überführen (Bild 2.1). Bild 2.1: Übertragungssystem mit Modulator (MOD) und Demodulator (DEM) Bedingt durch die große Vielfalt möglicher Modulations- und Demodulationsverfahren (siehe Blatt Modulationsarten), Codier- und Decodierverfahren, sind in einem Übertragungssystem die unterschiedlichsten Signalarten messbar. Die drei folgenden Beispiele geben einen ersten Überblick. Weitere Signale finden Sie auf den Blättern Signalverläufe I, II und III. Beispiel 1: Typische technische Nachrichtensignale Bild 2.2: Analoge Basisbandsignale (a) Sinussignal, (b) z.b. Sprache Bild 2.3: Digitales Basisbandsignal hier: binär und bipolar B - Bitfrequenz f = 1/T in Hz - Bitrate R = 1Bit/T in Bit/s -9-

10 Beispiel 2: Typische Trägersignale Bild 2.4: Harmonischer Träger (Sinusträger) Bild 2.5: Pulsträger g(t): Grundimpuls z.b. g(t)= (t) Amplituden- Winkelmodulation Pulsträger sind die Basis für alle Pulsmodulation modulationsverfahren wie PAM, PPM, AM, ASK, FM, FSK (CPFSK, PFM, PCM und M. OOK MSK, GMSK), PM, PSK, DPSK Beispiel 3: Typische Sendesignale (siehe auch Blätter Sendesignale I, II und III) Bild 2.6: AM-Signal mit analoger Nachricht Bild 2.7: FM-Signal mit digitaler Nachricht (FSK-Signal) Bild 2.8: PCM-Signal (a) NRZ (non return to zero), (b) RZ (return to zero) -10-

11 BLATT MODULATIONSARTEN Bild 2.9: Modulationsarten -11-

12 BLATT SIGNALVERLÄUFE I Bild 2.10: Zeitkontinuierliches Trägersignal und amplitudenkontinuierliches Nachrichtensignal -12-

13 BLATT SIGNALVERLÄUFE II Bild 2.11: Zeitkontinuierliches Trägersignal und amplitudendiskretes Nachrichtensignal -13-

14 BLATT SIGNALVERLÄUFE III Bild 2.12: Zeitdiskretes Trägersignal und amplitudenkontinuierliches Nachrichtensignal -14-

15 2.2 SPEKTRALANALYSE Nachdem im vorigen Abschnitt typische Signale von Übertragungssystemen untersucht wurden, wendet sich dieser Abschnitt den entsprechenden Spektren zu ZEITSIGNAL UND SPEKTRUM Zur Beurteilung ob ein Nachrichtensignal über einen Übertragungskanal übertragen werden kann bzw. welche Fehler dabei zu erwarten sind, ist es notwendig, nicht nur den Zeitverlauf des Signals zu kennen, sondern auch sein Frequenzspektrum. Dieses ist mathematisch über die Fouriertransformation mit dem Zeitsignal verknüpft. Messtechnisch werden das Zeitsignal mit dem Oszilloskop und das Spektrum mit dem Spektrumanalysator erfasst. Bild 2.13a: Zeitsignal (Oszilloskop) Bild 2.13b: Spektrum (Spektrumanalysator) FOURIERTRANSFORMATION Die Fouriertransformation ist ein Grundelement der Systemanalyse (siehe Abs. 2.4 Systemtheorie), also auch der Analyse von Übertragungssystemen. Statt der in dieser Grafik skizzierten Pfeile wird üblicherweise die folgende Symbolik verwendet, um die Verknüpfung zwischen Zeit- und Frequenzbereich anzuzeigen. Mathematisch sind Zeit- und Frequenzbereich über die beiden bekannten Gleichungen -15-

16 und verknüpft. Ist u(t) beispielsweise eine Spannung, dann folgt für das Spektrum U( f ) die Einheit V/Hz (spektrale Dichte). Für den praktischen Umgang mit der Fouriertransformation stehen eine Reihe von Gesetzen und Regeln zur Verfügung. Zur Analyse und zur Konzipierung von Übertragungssystemen sind insbesondere die folgenden beiden von Bedeutung. (A) Das Reziprozitätsgesetz Hieraus folgt: Dies bedeutet: - ein kurzer (schneller) Impuls besitzt ein breites Spektrum, - ein breiter (langsamer) Impuls besitzt ein schmales Spektrum. Hieraus folgt das Zeitgesetz der Übertragungstechnik: Je kürzer die Übertragungszeit (der Impuls oder das Bit) ist, umso größer ist die Bandbreite bzw. um so breiter ist das Spektrum! -16-

17 (B) Der Faltungssatz Die Faltung von Signalen oder Spektren wird durch das Symbol * gekennzeichnet und durch die folgenden beiden Gleichungen beschrieben: In vielen Fällen kann die mathematische Faltung mit Faltungsintegral durch eine einfache graphische Faltung ersetzt werden. Im Umfeld von Übertragungssystemen sind vor allem zwei Faltungsoperationen von besonderer Bedeutung: erstens die Faltung eines Signals oder Spektrums mit einem Diracimpuls (x) und zweitens die Faltung zweier gleich breiter Rechtecksignale. Bild 2.14: Faltung zweier Rechtecke, z.b. eines Bits mit einer rechteckförmigen Systemimpulsantwort Die Faltung eines Signals mit einem Diracimpuls (siehe Abs. 2.3) wird beispielsweise bei der Abtastung von analogen Zeitsignalen zum Zwecke ihrer Digitalisierung benötigt (Kap. 5). Die Faltung eines Spektrums mit einem Diracimpuls findet man insbesondere bei den analogen Modulationsverfahren (Kap. 3 und 4) und die Faltung zweier Rechtecksignale beispielsweise bei der Analyse digitaler Systeme, wobei die Systeme durch ihre Übertragungsfunktion H( f ) und durch ihre Impulsantwort h( t ) beschrieben sind (Abs. 2.4). -17-

18 (C) Fouriertransformationstabelle Neben den Gesetzen und Regeln der Fouriertransformation existieren umfangreiche Transformationstabellen, die den praktischen Gebrauch dieser Transformation wesentlich erleichtern. Die folgende Tabelle gibt einen kleinen Überblick. Sie enthält zehn Transformationen, die für die Analyse und Konzipierung von Übertragungssystemen besonders nützlich sind. Lfd. Nr. Zeitfunktion u(t) Spektrum U( f ) Anmerkung 1 1 (f) Gleichsignal 2 (t) 1 Impuls 3 (f-f 0) Komplexe harmonisch Schwingung jx -jx 4 cos(2 f t) 1/2 [ (f-f ) + (f+f )] cos(x)=1/2 (e + e ) jx -jx 5 sin(2 f t) 1/(2j) [ (f-f ) - (f+f )] sin(x)=1/(2j) (e - e ) Gaußimpuls 7 Rechteckimpuls der Breite 1/(2f ) g 8 Harte Bandbegrenzung (hard limited) 9 10 Tabelle 2.1: Zehn wichtige Fouriertransformationen -18-

19 Die nachfolgende Tabelle gibt abschließend nochmals einen kleinen Überblick über typische Signale, ihre Spektren und die dazugehörige mathematische Grundlage. Zeitsignal - Oszilloskop - Spektrum - Spektrumanalysator - Mathematische Grundlage Harmonisches Signal z.b. sin(2 f t) oder cos(2 f t) 0 0 eine bzw. zwei diskrete Frequenzen, nämlich f und -f 0 0 jx -jx cos(x) =1/2 e + 1/2 e jx -jx sin(x) = 1/(2j) e -1/(2j) e Periodisches Signal mit Periode T 0 und Grundfrequenz f = 1/T 0 0 unendlich viele, aber diskrete Frequenzen, nämlich ± n f 0 Fourierreihe Nicht-periodisches Signal kontinuierliches Frequenzspektrum Fourierintegral Tabelle 2.2: Signalarten und ihre Spektren BANDBREITE Die wichtigste Kenngröße des Spektrums eines Nachrichtensignals ist seine Bandbreite. Zur Bestimmung der Bandbreite gibt es gemäß folgender Grafik zumindest zwei unterschiedliche Möglichkeiten. Bild 2.15: Ermittlung der Bandbreite -19-

20 (A) ÄQUIVALENTE RECHTECKBREITE Entsprechend dem Reziprozitätsgesetz gilt f t = 1. Für die mathematische und physikalische Bandbreite folgt somit: (B) 3 db BANDBREITE Die 3 db Bandbreite wird in der englischsprachigen Literatur häufig als full width at half maximum (FWHM) bezeichnet. Gemäß der Pegelrechnung (Abs. 2.5) bedeuten eine Verringerung um 3 db eine Leistungshalbierung bzw. eine Verringerung der Spannung um den Faktor 1/ 2. Die 3 db Bandbreite bzw. das FWHM ist somit wie folgt definiert: (C) ÄQUIVALENTE RAUSCHBANDBREITE (siehe Abs. 2.6) (D) BEISPIEL: BANDBREITE EINER GAUßFÖRMIGEN ÜBERTRAGUNGSFUNKTION Ein Übertragungssystem mit gaußförmiger Übertragungscharakteristik folgt dem Frequenzgang Für die Ermittlung der Bandbreite dieses Systems stehen gemäß obiger Überlegungen die folgende Möglichkeiten zur Auswahl: (1) Flächengleiches Rechteck -20-

21 (2) Halbwertsbreite (FWHM, 3-dB Breite) (3) Rauschbandbreite (E) ALLGEMEINE REGELN In Übertragungssystemen sind grundsätzlich zwei Arten von Bandbreiten zu unterscheiden, erstens die Bandbreite der Signale und zweitens die Bandbreite der Übertragungssystems selbst bzw. seiner Komponenten, z.b. des Übertragungskanals (Kupferkabel, Glasfaser u.a.), der Verstärker, Filter usw. Nur wenn die Bandbreite des zu übertragenden Signals kleiner oder gleich der Bandbreite des Systems ist, ist eine fehlerfreie Übertragung möglich. Dabei gilt: Je breitbandiger (schneller) die Nachrichtensignale sind, umso größer sind die Anforderungen an die Bandbreite (Übertragungskapazität) des Übertragungssystems. Beispiel: Typische Bandbreiten von Nachrichtensignalen Analoges Telefon 4 khz Digitales Telefon (ISDN) 64 kbit/s 32 khz Analoges TV 7 MHz Kabel-TV mit ca. 35 Kanälen ca. 300 MHz -21-

22 Beispiel: Bandbreite von Übertragungssystemen System mit Kupferzweidrahtleitung 10 MHz System mit Koaxialkabel 500 MHz System mit Glasfaser > 10 GHz Bandbreite ist heute - ebenso wie die Energiequellen (z.b. Erdöl) - eine kostbare und nur begrenzt verfügbare Ressource! 1. Problem: Wachsender Bedarf an immer schnellerer Übertragung von immer größeren Informationsmengen bei begrenzter Bandbreite (und gleichzeitig kleiner Fehlerwahrscheinlichkeit) Vgl.: 3 Liter/100km Auto mit 3 Bit/Hz Übertragungssystemen Mögliche Lösungen: - Trägerfrequenzverfahren in noch nahezu unerschlossenen Frequenzbereichen, z.b. 60 GHz beim Satellitenfunk oder optische Frequenzen bei optischen Übertragungssystemen. - Redundanzreduktion durch Quellenkodierung, z.b. MPEG, MP3 u.a. - Neue Multiplextechniken, z.b. Wellenlängenmultiplex und optisches Zeitmultiplex - (ihre Zukunft als Ingenieur) 2. Problem: Je größer die Bandbreite ist, umso stärker die Störung durch Rauschen (Abs. 2.6) 2.3 DER DIRACIMPULS Der Diracimpuls ist ein unendlich schmaler und unendlich hoher Impuls mit der Impulsfläche eins. -22-

23 Darstellung: Bild 2.16: Der Diracimpuls Ausblendeigenschaft: Fouriertransformation: Bedeutung: Die Diracfunktion oder der Diracimpuls hat viele Anwendungen im Rahmen von Übertragungssystemen. Hierzu gehören u.a.: - die mathematische Annäherung kurzer Impulse bei der Analyse von Übertragungssystemen, - die zeitdiskreten Modulationsverfahren (Kapitel 5) und - die analogen Modulationsverfahren (Kapitel 3 und 4). 2.4 SYSTEMTHEORIE Die Systemtheorie behandelt die Methoden zur Analyse von Systemen, z.b. von Übertragungssystemen oder Teilen davon (z.b. des Übertragungskanals, der Filter u.a.) EINFÜHRUNG Die Systemtheorie geht von einer Black-Box-Betrachtung des Systems aus. -23-

24 Bild 2.17: Das System als Black-Box Hierbei sind u 1(t) und u 2(t) beliebige Signale und nicht notwendig Spannungen. Beide Signale können damit als Platzhalter interpretiert werden. Die Voraussetzung für die Anwendung der Systemtheorie sind lineare und zeitinvariante Systeme, also die praktisch wichtigste Klasse von Systemen. Linearität Zeitinvarianz Die Systemeigenschaften ändern sich bei zeitinvarianten Systemen nicht mit der Zeit. Folgerung Am Ausgang des Systems entstehen gegenüber dem Systemeingang keine neuen Frequenzen SYSTEMFUNKTION Jedes Übertragungssystem ist vollständig und eindeutig durch seine Systemfunktion -24-

25 bestimmt. Sind die Systemfunktion und das Eingangsspektrum bekannt, so kann das Spektrum des Systemausgangsignals wie folgt ermittelt werden. Als Synonyme für den Begriff der Systemfunktion findet man u.a. die Begriffe Übertragungsfunktion, Systemübertragungsfunktion und Frequenzgang (bestehend aus Amplituden- und Phasengang). Systemfunktion H( f ) und die Spektren U 1( f ) und U 2( f ) sind im Allgemeinen komplexe Größen, also Größen mit Real- und Imaginärteil bzw. mit Betrag und Phase. Zwei Beispiele (hier: Amplitudengang) Bild 2.18a: Hifi-Audio-Verstärker Bild 2.18b: Bandpassfilter mit f m=10,7 MHz (UKW- Bandbreite ca. 20 khz ZF) Bandbreite ca. 100 khz (A) Harmonisches Eingangsignal (Sinus- oder Cosinussignal) Das Eingangssignal ist in diesem Fall u 1(t) = A 1 cos(2 f 0 t + 1) bzw. wobei u 1(t) = Re{u 1(t)}. Beim Sonderfall des harmonischen Signals ist es zur Berechnung des Ausgangssignals nicht erforderlich (aber möglich) in den Spektralbereich zu gehen und u 2(t) über U 2( f ) und U 2( f ) = H( f ) U 1( f ) zu berechnen, wobei U 1( f ) = (f - f 0) ist. Hier genügt die folgende einfache Berechnung: -25-

26 Am Systemausgang haben sich folglich gegenüber dem Systemeingang sowohl die Amplitude als auch die Phase verändert. Die Frequenz ist dagegen gleich geblieben. Beispiel: Gegeben sei das Eingangsignal u 1(t) = 2V cos(2 f 0 t) und die Systemfunktion H( f ) an der Stelle f, nämlich H( f ) = 0,5 exp(-j /2) Schritt: u 1(t) = 2V exp(j2 f 0 t) = 2V cos(2 f 0 t) + j 2V sin(2 f 0 t) 2. Schritt: u 2(t) = u 1(t) H( f 0) = 1V exp(-j /2) exp(j2 f 0 t) 3. Schritt: u 2(t) = Re{ u 2(t)} wegen Linearität = 1V cos(2 f 0 t - /2) = 1V sin(2 f 0 t) (B) Periodisches Eingangsignal Ist das Eingangssignal periodisch, so kann es in seine harmonischen Spektralanteile zerlegt und damit als komplexe Fourierreihe dargestellt werden. Hierbei sind A n die komplexen Amplituden der harmonischen Teilschwingungen mit den Frequenzen n f 0 und f 0 die Grundfrequenz. Im Fall des periodischen Eingangsignals kann das Ausgangssignal nicht mehr über u 2(t) = u 1(t) H( f 0) berechnet werden. Dies gilt nur noch für die einzelnen Teilschwingungen A exp(j2 n f t). Es folgt: n 0 Die additive Überlagerung der einzelnen harmonischen Teilschwingungen A n H( nf 0) exp(j2 n f 0 t) am Systemausgang ist wegen der Linearität des Systems erlaubt. (C) Beliebiges Eingangssignal -26-

27 Auch hier setzt sich das Signal u 1(t) aus Einzelschwingungen zusammen, nämlich aus Als Antwort auf diese Einzelschwingung liefert das System an seinem Ausgang das Signal Die Überlagerung (Integration) aller Einzelschwingungen am Systemausgang liefert schließlich das Ausgangssignal Der allgemeine Weg zur Bestimmung des Systemausgangssignals u 2(t) bei einem beliebigen Signal u (t) am Systemeingang ist demnach wie folgt: 1 Als Alternative steht für die Berechnung von u 2(t) die Faltungsoperation zur Verfügung (nächster Abschnitt) IMPULS- UND SPRUNGANTWORT Die Impulsantwort folgt unmittelbar aus der Übertragungsfunktion H( f ): Bild 2.19: Die Impulsantwort eines Systems -27-

28 Ein lineares, zeitinvariantes System ist hinsichtlich seines Übertragungsverhaltens durch jeweils eine der beiden Funktionen, nämlich h( t ) und H( f ), eindeutig und vollständig beschrieben. Bild 2.20: Zwei Wege der Berechnung des Systemausgangssignals Die Sprungantwort (t) des Systems ist die Antwort des Systems auf einen Einheitssprung (t) am Systemeingang. Bild 2.21: Die Sprungantwort eines Systems Die Sprungantwort berechnet sich zu Dies bedeutet, die Impulsantwort des Systems ist gleich der zeitlichen Ableitung seiner Sprungantwort PHASEN- UND GRUPPENLAUFZEIT Die Phasenlaufzeit ist diejenige Zeit, die ein einzelner Spektralanteil, beispielsweise die harmonische Schwingung A exp (j 2 f 0 t), benötigt, um das System mit der Übertragungsfunktion H( f ) zu durchlaufen. Die Gruppenlaufzeit beschreibt dagegen die entsprechende Laufzeit eines Signalgemischs, also einer Frequenzgruppe. -28-

29 Beide Laufzeiten sind über den Phasengang b( f ) bzw. b( ) des Systems bestimmt, der wie folgt mit der System- oder Übertragungsfunktion H( f ) verknüpft ist: Hierbei sind: a( f ) der Amplitudengang (Dämpfung), der die Amplitude des zu übertragenden Signals beeinflusst und b( f ) der Phasengang, der die Phase und die Laufzeit des zu übertragenden Signals beeinflusst. (A) Phasenlaufzeit Die Phasenlaufzeit berechnet sich zu Ein Signal wird nur dann phasenverzerrungsfrei übertragen, wenn alle Spektralanteile des Signals, beispielsweise An exp (j 2 n f 0 t), die gleiche Laufzeit haben. Die Bedingung für Phasenverzerrungsfreiheit lautet demnach (B) Gruppenlaufzeit Die Gruppenlaufzeit ist Den Vergleich von Phasenlaufzeit und Gruppenlaufzeit verdeutlicht die folgende Grafik. -29-

30 Bild 2.22: Der Einfluss des Phasengangs eines Systems auf die Phasen- und Gruppenlaufzeit - Die Phasenlaufzeit ist für alle Spektralanteile gleich - Die Gruppenlaufzeit ist frequenzunabhängig - Die Phasenlaufzeit der einzelnen Frequenz- oder Spektralanteile ist unterschiedlich - Die Gruppenlaufzeit ist frequenzabhängig. Dies bedeutet, dass unterschiedliche Frequenzgruppen unterschiedliche Laufzeiten haben. Innerhalb einer Frequenzgruppe sind aber die Laufzeiten der einzelnen Frequenzanteile nahezu gleich, vorausgesetzt, dass der Phasengang b( ) des Systems innerhalb der Frequenzgruppe nahezu linear ist. 2.5 PEGELRECHNUNG Die Pegelrechnung dient der einfachen Berechnung von Verstärkungen und Dämpfungen innerhalb eines Übertragungssystems. Bild 2.20: Spannungs- und Leistungspegel am Ein- und Ausgang eines Systems -30-

31 2.5.1 DÄMPFUNG UND VERSTÄRKUNG ALS ZAHLENVERHÄLTNIS: DÄMPFUNGS- BZW. VERSTÄRKUNGSFAKTOR Verstärkung: r > 1 Dämpfung: r < DÄMPFUNG UND VERSTÄRKUNG ALS PEGEL: DÄMPFUNGS- BZW. VERSTÄRKUNGSMAß (A) Dezibel (db) Für Z 1 = Z 2 gilt: (B) Neper (Np) Für Z 1 = Z 2 gilt: Hieraus folgt: Eine Dämpfung (attenuation) liegt vor, wenn a positiv ist, beispielsweise ein Dämpfungsglied mit a = +3 db. Eine Verstärkung (gain) liegt vor, wenn wenn a negativ ist, beispielsweise ein Audioverstärker mit a = -20 db bzw. g = +20 db. -31-

32 Häufig vorkommende Dezibel-Werte sind (bitte einprägen!): ± 3 db halbe (-) bzw. doppelte (+) Leistung am Systemausgang ± 6 db halbe (-) bzw. doppelte (+) Spannung am Systemausgang ± 10 db Faktor 10 kleinere (-) bzw. Faktor 10 größere (+) Leistung am Systemausgang ± 20 db Faktor 100 kleinere (-) bzw. Faktor 100 größere (+) Leistung am Systemausgang bzw. Faktor 10 kleinere (-) bzw. Faktor 10 größere (+) Spannung am Systemausgang (C) Beziehung zwischen Dezibel und Neper 1 db = 0,1151 Np 1 Np = 8,686 db (D) Pegel bei ungleichen Impedanzen Für den praktisch meist vorliegenden Fall der Anpassung Z 1 = Z 2 ist der letzte Term in dieser Gleichung Null, d.h. die Gleichung geht in die bereits unter Punkt (A) angegebene Gleichung über. (E) Absoluter Spannungspegel In der Praxis sind neben den relativen Pegeln db und Np, die zwei beliebige Spannungen und Leistungen in Relation setzen, auch vielfältige absolute Pegel in Gebrauch, die eine (gemessene) Spannung oder Leistung zu einer festen (absoluten) Spannung oder Leistung in Bezug setzen. Als Beispiel werden hier zwei absolute Pegel aufgeführt. Der in der optischen Kommunikationstechnik besonders häufig genutzte absolute Leistungspegel wird im nächsten Unterabschnitt erläutert. (1) Bezugsspannung: 775 mv dbrms (auch dbu genannt) -32-

33 (2) Bezugsspannung: 1 V db V (F) Absoluter Leistungspegel Beim absoluten Leistungspegel wird die tatsächliche Leistung, z.b. eine gemessene Leistung, in Bezug zu einer festen Leistung gesetzt. Bei kleineren Leistungen, wie sie zumeist in optischen Übertragungssystemen vorkommen, ist die Bezugsleistung 1 mw. Der Leistungspegel wird dann in dbm angegeben. Z.B.:,,Der eingesetzte Laser liefert eine Leistung von 10 dbm. Typische Werte in optischen Übertragungssystemen sind: P in dbm P in Watt Beachte: 0 dbm entspricht dem Bezugspegel von 10 W = 1 mw. (G) Weitere absolute Pegel dbi db(a) Antennengewinn bezogen auf den isotropen Strahler Bewerteter bzw. gewichteter Schalldruck bei der Lautstärkemessung (z.b. beim Lärmschutz) Systemberechnung Der Vorteil der Pegelrechnung besteht darin, dass die Berechnung eines Übertragungssystems auf die beiden Grundrechenarten der Addition und Subtraktion begrenzt wird, voraussgesetzt, dass die Pegel bekannt sind. Bild 2.21: Berechnungsgrundlage -33-

34 Mit -10 lg(r) = a (siehe oben) folgt schließlich die einfache Berechnungsformel: Beispiel: Ein optisches Übertragungssystem Bild 2.22: Wie groß ist die Leistung P 2 am Systemausgang? 1. Schritt: Berechnung der Gesamtdämpfung a 2. Schritt: Berechnung der Systemausgangsleistung P 2 in dbm Hieraus folgt: P 2,dBm = - 10 dbm -34-

35 3. Schritt: Berechnung der Systemausgangsleistung P 2 in Watt Diese Berechnung in drei Schritten hätte auch abgekürzt werden können. Denn nach dem ersten Schritt ist mit a = 20 db bekannt, dass das Eingangssignal um den Faktor 100 gedämpft wird. Das Eingangsignal hat 10 dbm und ist somit um 10 db (Faktor 10) größer, als eines mit 0 dbm. Es hat somit eine Leistung von 10 mw. Damit beträgt die Leistung am Systemausgang 0,1 mw. Merke: Vergrößert sich die Dämpfung um jeweils +10 db, so verringert sich die Leistung um jeweils einen Faktor RAUSCHEN Jede technische Übertragung von Information wird unvermeidlich durch Rauschen gestört. Es gibt: - thermisches Rauschen, - Verstärkerrauschen, - Hintergrundrauschen, - Schrotrauschen u.a. Das Rauschsignal (kurz: Rauschen) ist kein determiniertes, sondern ein statistisches Signal. Sein Zeitverlauf kann daher nicht durch eine Gleichung beschrieben werden. Rauschen kann folglich auch nicht prognostiziert werden. Bild 2.23a: Deterministisches Signal Bild 2.23b: Rauschen u(t) = A sin(2 ft) n(t) =? Rauschen wird durch statistische Kennwerte wie Mittelwert und Streuung beschrieben. Statistisch vollständig ist die Beschreibung des Rauschens durch -35-

36 - das Rauschleistungsdichtespektrum und - die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion AUTOKORRELATIONSFUNKTION UND RAUSCHLEISTUNGSDICHTESPEKTRUM (A) Die Autokorrelationsfunktion (AKF) l ( ) n Das in der Praxis am häufigsten vorkommende Rauschen ist das stationäre Rauschen, dessen statistischen Kennwerte sich nicht mit der Zeit ändern. Seine AKF berechnet sich zu Hierbei ist E(x) der Erwartungswert von x. (B) Das Rauschleistungsdichtespektrum (LDS) L n( f ) Die Fouriertransformierte der AKF mit wird als LDS bezeichnet. Dieses Spektrum ist ein Maß dafür, welche Frequenzanteile im Rauschen vorkommen und welche Leistung oder Stärke es hat. -36-

37 (C) Zusammenhang zwischen AKF und LDS Bild 2.24: Rauschen mit geringen statistischen Bindungen zwischen zeitlich benachbarten Rauschwerten n(t) und n(t+ ) Bild 2.25: Rauschen mit starken statistischen Bindungen zwischen zeitlich benachbarten Rauschwerten n(t) und n(t+ ) (D) Der Sonderfall des weißen Rauschen Beim weißen Rauschen sind alle Frequenzanteile gleichstark. Das weiße Rauschen dient als mathematisches Modell, um das in der Praxis de facto vorhandene technische Rauschen, das lediglich innerhalb einer bestimmten Bandbreite (zumeist die genutzte Arbeitsbandbreite) eine konstante Rauschleistungsdichte aufweist, zu beschreiben. -37-

38 Bild 2.26: Weißes und technisches Rauschen (E) Rauschleistung und Varianz 2 Die Varianz und die Streuung (auch rms: root mean square) sind ein Maß für die Stärke 2 des Rauschens. Die Varianz ist definiert als die mittlere, quadratische Abweichung vom Rauschmittelwert, d.h. Bei den meisten technischen Rauschquellen ist der Mittelwert des Rauschens gleich Null. In diesem Fall gilt: 2 Die Varianz ist somit identisch der Fläche unter dem Rauschleistungsdichtespektrum L n( f ). Bild 2.26: Weißes und technisches Rauschen Zur Ermittlung der Rauschleistung N in Watt muss zwischen Rauschstromquellen (Einheit von n(t) ist Ampère) und Rauschspannungsquellen (Einheit von n(t) ist Volt) unterschieden werden. Für die an einem Widerstand R messbare Rauschleistung folgt somit -38-

39 und Anmerkungen: (1) Der Widerstand R kann auch bereits beim LDS L n( f ) berücksichtigt werden. In diesem 2 Fall hat das LDS L n( f ) nicht die Einheit V /Hz (bei Rauschspannungsquellen) bzw. die 2 2 Einheit A /Hz (bei Rauschstromquellen), sondern W/Hz und es gilt N =. (2) Da in Übertragungssystemen zumeist weder die Rauschleistung noch die Signalleistung von Interesse sind, sondern das Signalrauschverhältnis S/N, wird bei der Angabe der Rauschleistung N der Widerstand R häufig nicht berücksichtigt, da sich dieser bei der Verhältnisbildung S/N ohnehin herauskürzt. Daher wird in der Literatur häufig die 2 2 Rauschleistung N verkürzt in V bzw. A angegeben WAHRSCHEINLICHKEITSDICHTEFUNKTION Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF; engl.: probability densitiy function, pdf) ermöglicht eine Aussage über die Auftrittswahrscheinlichkeit bestimmter Rauschwerte oder Rauschpegel. Sie erlaubt daher die Ermittlung derjenigen Wahrscheinlichkeit, mit der ein Rauschsignal eine bestimmte Schwelle überschreitet und damit einen Fehler, z.b. ein Bitfehler, bei der Übertragung verursacht. Die WDF des Rauschens ist daher für die Analyse der Qualität von Übertragungssystemen von großer Bedeutung. Bild 2.27: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Aus Bild 2.26 folgt für die Auftrittswahrscheinlichkeit p (engl.: probability) bestimmter Rauschwerte: -39-

40 In der Praxis werden Übertragungssysteme zumeist durch ein Rauschen mit gaußförmiger WDF gestört. Diese hat den folgenden funktionalen Verlauf: Bild 2.28: Gaußförmige WDF 2 Ein wichtiger Parameter der gaußförmigen WDF ist ihre Streuung bzw. ihre Varianz, die gemäß dem vorigen Abschnitt über N = R bzw. N = R mit der Rauschleistung N verknüpft ist. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Rauschwerten, die größer einer Schwelle n sind, berechnet sich gemäß obiger Gleichung und Grafik wir folgt: 0 Hierbei ist das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral (siehe Tabelle am Ende dieses Abschnitts), die in der angelsächsischen Fachliteratur zumeist durch die complementary error function erfc(x) -40-

41 ausgedrückt wird. Dabei gilt: erfc(x) = 1 - erf(x). Die folgende Abbildung verdeutlicht wichtige Eigenschaften von Q(x). Bild 2.29: Gaußförmige Standard-WDF mit Mittelwert Null und Streuung Eins und das dazugehörige Gaußsche Fehlerintegral FILTERUNG VON RAUSCHEN Um das Rauschen in seiner Stärke zu begrenzen, werden Filter oder andere bandbreitenbegrenzende Bauteile eingesetzt. Bild 2.30: Filter zur Rauschbegrenzung (A) LDS und Varianz am Filterausgang Das LDS am Filterausgang ist durch das LDS am Filtereingang und durch das Betragsquadrat der Systemfunktion bestimmt: Hieraus folgt für die Varianz des Rauschens: -41-

42 Der rechte Ausdruck dieser Gleichung gilt nur, wenn am Eingang des Filters weißes Rauschen angenommen wird, also L x( f ) = L 0. In diesem Ausdruck sind f mdie Mittenfrequenz des Filters und die Rauschbandbreite in Hz. Beispiel: Steilflankiges Filter mit H( f ) = 1 für f1 f f2 und H( f ) = 0 sonst. Bild 2.31: Rauschminderung durch ein steilflankiges Filter (hier: frequenzmäßig einseitige Darstellung) Aus Bild 2.31 folgt mit H( f m ) = 1 und B R = f 2 - f1 Hieraus folgt: Je größer die Bandbreite ist, umso stärker ist der Einfluss des Rauschens. (B) WDF Am Filterausgang Die Bestimmung der WDF am Filterausgang ist im Allgemeinen sehr aufwendig und schwierig. Nur für das gaußförmige Rauschen folgt eine sehr einfache Lösung nämlich: Ist das Rauschen am Filtereingang gaußverteilt, dann ist auch das Rauschen am Filter- ausgang gaußerteilt und zwar mit. y x -42-

43 (C) Frequenzmäßig einseitige und frequenzmäßig zweiseitige Darstellung Bild 2.32: Frequenzmäßig zweiseitige (links) und frequenzmäßig einseitige Darstellung des Rauschens (rechts) SCHMALBANDNÄHERUNG DES RAUSCHEN Wird auf ein schmalbandiges Filter oder einen schmalbandigen Übertragungskanal mit ein weißes, gaußverteiltes Rauschen gegeben, so kann das Filterausgangssignal in der Schmalbandnäherung dargestellt werden. Hierbei sind x(t) und y(t) statisch voneinander unabhängige, gaußverteilte und mittelwertfreie Rauschsignale mit einer Streuung = =. Beispiel: x y n Bild 2.33: Schmalbandiges Filter -43-

44 Das in Bild 2.33 dargestellte Filter besitzt eine Rauschbandbreite von B R = 2 MHz. Es ist schmalbandig, da B /f = 2/100 = 0,02 << 1. Das LDS des Rauschens am Filterausgang ist R m und die Varianz Anwendung findet die Schmalbandnäherung des Rauschens insbesondere bei der Analyse digitaler Trägerfrequenzsysteme (Abs. 7.4) TABELLE: GAUßSCHES FEHLERINTEGRAL x Q(x) x Q(x) x Q(x) ,5 2,8 0, ,6 0, ,2 0, , ,8 0, ,4 0,345 3,2 0, , ,6 0,274 3,4 0, ,2 0, ,8 0,212 3,6 0, ,4 0, ,159 3,8 0, ,6 0, ,2 0, , ,8 0, ,4 0, ,2 0, , ,6 0, ,4 0, ,5 0, ,8 0, ,6 0, , , ,8 0, ,5 0, ,2 0, , , ,4 0, ,2 0, ,5 0, ,6 0, ,4 0, ,

45 3 AMPLITUDENMODULATION Das Ziel der Amplitudenmodulation (AM) ist, das Nachrichtensignal aus dem Basisband in einen höherfrequenten Frequenzbereich zu verschieben, der frequenzmäßig besser an den Übertragungskanal (ein Kabel, die Atmosphäre usw.) angepasst ist. Bild 3.1: Amplitudenmodulator Die AM verwendet harmonische Trägersignale, also 3.1 ZEITSIGNAL, SPEKTRUM UND BANDBREITE Die ideale AM entspricht der Multiplikation des Nachrichtensignals mit dem Trägersignal. Hierbei ist 1/U M eine realisierungsabhängige Modulator- oder Multiplizierkonstante. Für das Spektrum des amplitudenmodulierten Signals folgt aus obiger Gleichung: Das Spektrum U H(f ) folgt somit aus der Faltung des Nachrichtenspektrums U N(f ) mit dem Trägerspektrum U (f ). T -45-

46 Wird zur Analyse von AM-Signalen die komplexe Rechnung verwendet, so darf nur das Trägersignal komplex angesetzt werden und nicht Träger- und Nachrichtensignal. Denn nur in diesem Fall gilt: ÜBERTRAGUNG OHNE TRÄGER Eine Übertragung ohne Träger bedeutet, dass U H(f T) = 0. Eine Übertragung ohne Träger bedeutet aber nicht, dass u (t) = 0. T Hieraus folgt mit g(x) (x - x 0) = g((x - x 0): Bild 3.2: Spektren von Nachricht, Träger und moduliertem Signal bei der AM -46-

47 Das Spektrum des amplitudenmodulierten Signals umfasst nach Bild 3.2 ein oberes und ein unteres Seitenband. Es ist eine Zweiseitenbandsignal (ZSB-Signal). Die Bandbreite dieses ZSB- AM-Signals u (t) beträgt folglich H B = 2 f ZSB-AM N,max ÜBERTRAGUNG MIT TRÄGER AM-Signale mit Trägeranteil können prinzipiell mittels - direkter Trägeraddition im HF-Bereich oder mittels - additiver Überlagerung eines Gleichanteils im Basisband (vgl. Übung 3) erzeugt werden. Für die folgenden Überlegungen wird eine cosinusförmige Nachricht angenommen, d.h.: Hierbei kann die Nachrichtenfrequenz als Tonhöhe des Signals gedeutet werden und die Nachrichtenamplitude als Maß für die Signallautstärke. Für das amplitudenmodulierte Signal folgt somit: Hieraus folgt die Hüllkurvendarstellung Hierbei ist a(t) die Hüllkurve und der Modulationsgrad des AM-Signals u H(t). -47-

48 Mit cos(x) = 1/2 exp(jx) + 1/2 exp(-jx) kann die obige Hüllkurvendarstellung in die folgende Spektraldarstellung umgeformt werden: Aus dieser Darstellung wird deutlich, dass ein AM-Signal mit Träger unter der Voraussetzung einer cosinusförmigen Nachricht aus drei Spektralanteilen besteht, dem Träger selbst, der unteren Seitenlinie und der oberen Seitenlinie. Somit folgt für das Spektrum: Bild 3.3: Spektren von AM-Signalen mit Träger bei cosinusförmiger Nachricht (oben) und bei beliebiger Nachricht mit maximaler Frequenz f N,max Der Modulationsgrad m ist ein Maß für die Amplituden der Seitenlinien (Nachricht) in Bezug auf die Amplitude des Trägers. Die Bestimmung des Modulationsgrades erfolgt allgemein über die Hüllkurve a(t). -48-

49 3.2 TYPISCHE ZEITSIGNALE Bild 3.4: Typische Signalverläufe amplitudenmodulierter Signale -49-

50 3.3 EINSEITENBAND-AMPLITUDENMODULATION Bei der Zweiseitenband-AM (ZSB-AM) ist die Nachricht sowohl im oberen Seitenband (Regellage) als auch im unteren Seitenband (Kehrlage) vollständig enthalten. Daher genügt prinzipiell die Übertragung nur eines der beiden Seitenbänder, was eine Bandbreitenersparung von 50% bewirkt, d.h.: B = 0,5 B ESB-AM ZSB-AM Die Einseitenband-AM (ESB-AM) kann durch Verwendung von Filtern oder 90 -Modulatoren realisiert werden. (A) Filterverfahren 1. Schritt: Erzeugung eines ZSB-AM-Signals 2. Schritt: Selektion eines Seitenbandes mit einem Bandpass (BP) Bild 3.5: ESB-AM mittels Filterung Da sowohl im oberen als auch im unteren Seitenband die Nachricht vollständig enthalten ist, ist es beim ESB-AM-Verfahren prinzipiell gleich, ob das obere oder das untere Seitenband mit dem Bandpass selektiert und übertragen wird. Das technische Problem des Filterverfahrens liegt primär in der Realisierung besonders schmalbandiger und steilflankiger Bandpass-Filter hoher Güte. -50-

51 o (B) 90 -Modulator Bild 3.6: ESB-AM mittels 90-Grad-Komponenten Abhängig davon, ob die beiden ZSB-AM Signale u H1(t) und u H2(t) addiert oder subtrahiert werden, wird das obere bzw. das untere Seitenband selektiert. Das technische Problem des 90 o - 0 Modulators liegt in der 90 -Phasenverschiebung des gesamten Spektrums des Nachrichtensignals. Die folgende Tabelle fasst nochmals dies verschiedenen mathematischen Darstellungsformen von ESB- und AM-Signalen zusammen. -51-

52 ZSB-AM ESB-AM 1a 2a Reell 3a 1b 2b Komplex 3b Modulationsgrad Tabelle 3.1: Mathematische Darstellungsformen von ESB- und ZSB-AM-Signalen -52-

53 3.4 DEMODULATION Wir unterscheiden zwei Realisierungen der Demodulation, nämlich -die kohärente Demodulation oder Synchrondemodulation und - die inkohärente Demodulation oder Hüllkurvendemodulation SYNCHRONDEMODULATION Die Funktion des Synchrondemodulators ist prinzipiell identisch mit der des Modulators, d.h. er arbeitet als Multiplizierer. Bild 3.7: Synchrondemodulation Das technische Problem der Synchrondemodulation liegt in der Erzeugung des Synchronträgers. Im Idealfall ist u T(t) = u T(t). Im Realfall werden Träger und Synchronträger allerdings abweichen. Der Synchronträger wird gegenüber dem Träger zumindest einen Phasenfehler T(t) aufweisen, d.h.: Für die nachfolgenden Überlegungen gelten vereinfachend die beiden folgenden Normierungen: -53-

54 Beispiel: Synchrondemodulation eines ZSB-AM-Signals Hieraus folgt: und weiter: Anmerkung: cos(x) cos(y) = 1/2 cos(x-y) + 1/2 cos(x+y); cos(-x) = cos(x) HÜLLKURVENDEMODULATION Im Gegensatz zur Synchrondemodulation benötigt die Hüllkurvendemodulation keinen Synchronträger. Ihre Realisierung ist folglich einfacher. Bild 3.8: Hüllkurvendemodulation -54-

55 Mathematisch wird die Hüllkurvendemodulation wie folgt beschrieben: Für ein ZSB-AM-Signal folgt somit: Die Bedingung für einen verzerrungsfreien Hüllkurvenempfang von ZSB-AM-Signal lautet somit: In Bezug auf das Auftreten von Verzerrungen folgt somit für ZSB-AM-Signale (siehe oben) und für ESB-AM-Signale (ohne Beweis, der aber einfach geführt werden kann; siehe u.a. Übung 3) das folgende Resultat: ESB-AM ZSB-AM Synchrondemodulation unverzerrt für = unverzerrt T T Hüllkurvenmodulation stets durch Oberwellen verzerrt: Klirren m unverzerrt für m 1 Tabelle 3.2: Verzerrungen von ZSB- und ESB-AM-Signalen bei der Synchronund der Hüllkurvendemodulation. -55-

56 3.5 LINEARE UND NICHTLINEARE VERZERRUNGEN 3 Bei der Übertragung von Signalen werden diese erstens verzerrt und zweitens durch Rauschen (Abs. 2.6, Kapitel 7) gestört. Bei den Verzerrungen unterscheiden wir zwei Arten: die lineare Verzerrung und die nichtlineare Verzerrung. (A) Lineare Verzerrungen Lineare Verzerrungen werden meist durch den Übertragungskanal (z.b. durch ein Koaxialkabel) verursacht, der durch die begrenzte Bandbreite nicht in der Lage ist, alle Frequenzanteile des Signals gleichermaßen zu übertragen. Bei der linearen Verzerrung werden die am Kanaleingang vorhandenen Frequenzanteile während der Übertragung sowohl in der Amplitude als auch in der Phase verändert, wodurch im Gesamtsignal eine Verzerrung sichtbar wird. Im Vergleich zur nichtlinearen Verzerrung entstehen aber bei der linearen Verzerrung keine neue Frequenzen am Kanalausgang. Mit Bild 3.9: Lineare Verzerrungen bei der Amplitudenmodulation folgt 3 Die folgenden Überlegungen und Untersuchungen gelten nicht nur für die Nachrichtenübertragung mittels der Amplitudenmodulation, sondern allgemein für jede Art der technischen Nachrichtenübertragung, also auch für die in den nachfolgenden Kapiteln zu untersuchenden Modulationsverfahren. -56-

57 Lineare Verzerrungen verändern folglich Amplitude und Phase der einzelnen Spektralanteile. Die Folge ist ein verzerrtes Empfangssignal u H(t) bzw. u N(t), also bei AM eine verzerrte Hüllkurve a (t). (B) Nichtlineare Verzerrungen Nichtlineare Verzerrungen werden durch nichtlineare Übertragungskennlinien verursacht und können im Sender (z.b. durch eine nichtideale Modulation), im Übertragungskanal (z.b. durch eine nichtlineare Signalverstärkung) und im Empfänger (z.b. durch eine nichtideale Demodulation) auftreten. Als Folge davon entstehen im Empfangssignal u N(t) neue Frequenzen, die Oberwellen. Ein Maß für die Stärke der unerwünschten Oberwellen ist der Klirrfaktor. Der Klirrfaktor bezüglich der i-ten Oberwelle bzw. der (i+1)-ten Harmonischen ist Der Gesamtklirrfaktor, der alle Oberwellen berücksichtigt, beträgt -57-

58 3 WINKELMODULATION Ebenso wie bei der Amplitudenmodulation, so ist es auch das Ziel der beiden Winkelmodulationsarten - Frequenzmodulation (FM) und - Phasenmodulation (PM) das Nachrichtensignal aus dem Basisband in einen höherfrequenten Frequenzbereich zu verschieben, der frequenzmäßig besser an den Übertragungskanal (ein Kabel, die Atmosphäre usw.) angepasst ist. Gleichfalls wie bei der Amplitudenmodulation, so gründen auch beide Winkelmodulationsarten auf harmonischen Trägersignalen. Für das modulierte Signal folgt somit: Hierbei sind (t) (t) die modulierte Phase, die modulierte Gesamtphase und d (t)/dt = (t) = + d (t)/dt die Augenblicks(winkel)frequenz. a T 4.1 FREQUENZ- UND PHASENMODULATION Zwischen der FM und der PM besteht folgender grundsätzlicher Unterschied: PM: (t) u N(t) FM: d (t)/dt u (t) N Für die folgenden Ableitungen wird vereinfachend ein sinusförmiges Nachrichtensignal angenommen, also Zur Veranschaulichung ist es hilfreich, sich die Amplitude dieser Nachricht als Maß für die Lautstärke und die Frequenz dieser Nachricht als Tonhöhe eines Sinustones vorzustellen. -58-

59 Für die FM und die PM ergeben sich nunmehr die nachfolgend aufgeführten weiteren Unterschiede: (A) Phasenmodulation Hierbei ist Für die Augenblicks(winkel)frequenz folgt Hierbei ist Merke: Bei der Phasenmodulation variiert die Phase im Takt der Nachricht, also sinusförmig. Die Schnelligkeit der Phasenveränderung ist durch die Nachrichtenfrequenz (Tonhöhe) und der Hub der Phasenänderung durch den Phasenhub bzw. durch die Nachrichtenamplitude (Lautstärke) bestimmt. Gleichzeitig mit der Phase variiert aber auch die Frequenz, allerdings nicht im Takt bzw. synchron mit der Nachricht (also sinusförmig), sondern cosinusförmig. Mit jeder Phasenmodulation ist somit zugleich auch eine Modulation der Frequenz verknüpft, da die Frequenz direkt über die Ableitung der Phase mit der Phase verbunden ist. (B) Frequenzmodulation Hierbei ist -59-

60 Für die Augenblicks(winkel)frequenz folgt und für die modulierte Phase Hierbei ist Merke: Bei der Frequenzmodulation variiert die Frequenz im Takt der Nachricht, also sinusförmig. Die Schnelligkeit der Frequenzänderung ist durch die Nachrichtenfrequenz (Tonhöhe) und der Hub der Frequenzänderung durch den Frequenzhub bzw. durch die Nachrichtenamplitude (Lautstärke) bestimmt. Der Frequenhub hat somit bei der Frequenzmodulation die gleiche Funktion wie der Phasenhub bei der Phasenmodulation. Gleichzeitig mit der Frequenz variiert bei der Frequenzmodulation aber auch die Phase, allerdings nicht im Takt bzw. synchron mit der Nachricht (also sinusförmig), sondern cosinusförmig. Mit jeder Frequenzmodulation ist somit zugleich auch eine Modulation der Phase verknüpft. (C) Phasen- und Frequenzhub Aus den obigen Überlegungen folgt für die Verknüpfung von Phasen- und Frequenzhub Dabei gilt für die PM Und für die FM - (t) - d (t)/dt -60-

61 4.2 ZEITSIGNAL, SPEKTRUM UND BANDBREITE Für die Betrachtungen in diesem Abschnitt wird weiterhin vereinfachend ein sinusförmiges Nachrichtensignal angenommen, also (A) Zeitsignal Das winkelmodulierte Signal (hier: PM) hat für das obige sinusförmige Nachrichtensignal den in Bild 4.1 dargestellten Verlauf. Weitere typische Zeitverläufe frequenzmodulierter Signale sind im Bild 4.2 wiedergegeben. Bild 4.1: Zeitverlauf eines winkelmodulierten Signal Der entsprechende Zeitverlauf für die FM ist ähnlich und nicht ohne Weiteres vom Zeitverlauf der PM zu unterscheiden. Im Folgenden müssen daher diese beiden Winkelmodulationsarten nicht gesondert unterschieden werden. In der komplexen Darstellung folgt das winkelmodulierte Signal dem Verlauf Der zweite Exponentialterm ist periodisch und kann folglich in eine Fourierreihe entwickelt werden n Die Amplituden (Fourierkoeffizienten) J ( ) sind hier die sogenannten Besselkoeffizienten oder Besselfunktionen (siehe Unterabschnitt B). Die letzte Gleichung kann nun noch wie folgt umgeformt werden. -61-

62 Aus dieser Gleichung werden bereits unmittelbar die einzelnen (unendlich vielen) Teilschwingungen oder Spektralinien ersichtlich, aus denen das winkelmodulierte Signal und folglich das dazugehörige Spektrum - das Besselspektrum - besteht (Unterabschnitt C). Bild 4.2:Typische Zeitverläufe frequenzmodulierter Signal -62-

63 (B) Eigenschaften der Besselfunktionen Die Besselkoeffizienten und die Besselfunktionen zeichnen sich durch die folgenden Eigenschaften aus: (1) Funktionsverlauf (2) Werte für = 0 Bild 4.3: Besselfunktionen (3) Symmetriebeziehungen (4) Für die Winkelmodulation relevante Näherungen -63-

64 (C) Spektrum Aus dem im Unterpunkt A abgeleiteten Zeitverlauf u H(t) folgt mit für das Spektrum eines winkelmodulierten Signals: Bild 4.4: Das Besselspektrum Das folgende Bild zeigt neun mit einem Spektrumanalysator aufgenommene Besselspektren eines frequenzmodulierten Signals in Abhängigkeit von der Nachrichtenfrequenz und der Nachrichtenamplitude eines sinusförmigen Nachrichtensignals. Bild 4.5: Besselspektren eines FM-Signals in Abhängigkeit von Nachrichtenfrequenz und -amplitude -64-

65 (D) Bandbreite Die Bandbreite eines winkelmodulierten Signals ist theoretisch unendlich. Da die Besselfunktionen aber mit steigendem Index n rasch abnehmen, kann praktisch von einer endlichen Bandbreite ausgegangen werden (vgl. Abschnitt 4.4). 4.3 VARIANTEN DER FREQUENZMODULATION Ist die Nachricht ein Digitalsignal, so wird die Trägerfrequenz nicht kontinuierlich, sondern sprunghaft verändert. Wir nennen dieses Modulationsverfahren Frequenzumtastung oder Frequency Shift Keying (FSK) und unterscheiden verschiedene Varianten: (A) FSK mit Phasensprung Bei dieser Variante hat das modulierte Signal den folgenden Zeitverlauf: Hierbei ist a(t) die binäre Nachricht, wobei a(t) = 1 während eines 1-Bits ist und a(t) = -1 während eines 0-Bits. Der Frequenzhub f bzw. der zweifache Frequenzhub ist 2 f = f 1 - f 0. Während eines 1-Bits wird folglich die Frequenz f 1 und während eins 0-Bits die Frequenz f0 übertragen. Das folgende Bild zeigt den Zeitverlauf für die Symbolfolge Bild 4.6: Zeitverlauf eines FSK-Signals mit Phasensprüngen -65-