Fourier-Transformation und Signalanalyse

Transkript

1 Physikalisches Praktikum, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer Ergänzungen zum Kapitel Fourier-Transformation und Signalanalyse Methoden der Messtechnik - Signal und Bildverarbeitung Für die Überlassung des Skripts für die 4. Auflage 'Physikalisches Praktikum' danken wir Prof. Dr.-Ing. habil. P. Lehmann, Universität Kassel, FB 6 - Elektrotechnik/Informatik, Fachgebiet Messtechnik

2 Fachbereich 4 Produktionstechnik Fachgebiet 8: Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik Skript zur Vorlesung Methoden der Messtechnik - Signal und Bildverarbeitung (SiBi) Herausgegeben von: Dr.-Ing. Peter Lehmann Wintersemester 5/6

3 Inhaltsverzeichnis Fourier-Reihen und Fourier-Transformation. Fourier-Reihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :. Fourier-Integrale und Fourier-Tranformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.3 Diracsche-Deltafunktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 Faltung und Korrelation. Faltungstheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :. Korrelationstheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.3 Autokorrelationsfunktionen stochastischer und periodischer Signale : : : : :.4 Faltung und Korrelation mit Deltafunktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3 Eigenschaften der Fouriertransformation, spezielle Fouriertransformierte 4 3. Eigenschaften der Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3. Spezielle Fouriertransformierte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4 Abtastung und diskrete Fouriertransformation 4. Signalabtastung und Abtasttheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. Diskrete Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Diskrete Leistungsdichtespektren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Fensterfunktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Zero-Padding und spektrale Interpolation : : : : : : : : : : : : : : : : Diskrete Faltung und Korrelation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 5 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation Digitale Filter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Verrauschte Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Verrauschte deterministische Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : Stochastische Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Hilbert-Transformation und Zeit-Frequenz-Analyse : : : : : : : : : : : : : : Hilbert-Transformation zur Erzeugung des analytischen Signals : : : Zeit-Frequenz-Analyse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Korrelationsanalyse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Korrelationsfunktionen diskreter Signale : : : : : : : : : : : : : : : : Anwendungen der Korrelationsanalyse : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6 Digitale Bildverarbeitung Grundbegrie der Bildverarbeitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Punktoperationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Lokale Operationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Maskenkorrelation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Grauwertglattung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kantenlterung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Globale Operationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74

4 6.4. D-Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Radon-Transformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79

5 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation. Fourier-Reihen Fourier-Reihenentwicklung periodischer Funktionen f() mit der Periodendauer T. Voraussetzungen (Dirichlet Bedingungen): Funktion hat eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen in einer Periode Funktion hat endliche Anzahl niter Maxima und Minima pro Periode Das Integral + R ; jf()jd ist endlich.! Fourier-Reihe: f() = a + P [a n cos(n) + b n sin(n)] n= mit den Koezienten a n = b n = Z + ; + Z ; f() cos(n)d f() sin(n)d n = ::: n = ::: Im allgemeinen geht es um zeitabhangige Funktionen der Periodendauer T. Dann gilt = t T =!t t = T, d = dt T! a n = T T Z f(t)cos(n!t)dt ; T b n = T T Z f(t) sin(n!t)dt ; T f(t) = a X + [a n cos(n!t)+b n sin(n!t)] () n= In der systemtheoretischen Beschreibung wird haug eine andere Schreibweise bevorzugt: f(t) = a + X mit c n = q a n + b n n = arctan b n an n= Gleichung () bedeutet, da f(t) zerlegt wird in den Mittelwert uber eine Periode a c n cos(n!t ; n) () sowie harmonische Cosinuskomponenten als ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz! mit den Amplituden c n und den Phasen n

6 Das Diagramm c n uber n! ist das Amplitudenspektrum von f(t). Bei! =erhalt man den " Oset\ von f(t). Das Diagramm n uber n! ist das Phasenspektrum von f(t). C n und n sind diskrete und nicht kontinuierliche Funktionen, man spricht auch von Linienspektren. Wenn T ansteigt, wird! kleiner! Linien werden dichter! Wenn T!wird aus dem diskreten Spektrum ein kontinuierliches und die Fourier-Reihe geht in ein Fourier-Integral uber. Symmetrieeigenschaften:. Fur gerade (periodische) Funktionen gilt: f(t) = f(;t). Fur ungerade (periodische) Funktionen gilt: f(t) =;f(;t) Die Fourier-Reihenentwicklungen von geraden bzw. ungeraden periodischen Funktionen enthalten nur Kosinus- bzw. nur Sinus-Terme. 3. Eine periodische Funktion mit der Periode T enthalt nur geradzahlige Vielfache von! (auch Harmonische genannt), wenn gilt: f t T = f(t). 4. Eine periodische Funktion mit der Periode T enthalt nur ungeradzahlige Vielfache von! (auch Harmonische genannt), wenn gilt: f t T = ;f(t). 5. Jede Funktion kann in gerade und ungerade Anteile zerlegt werden: f(t) = f(t)+f(;t) f(t) ; f(;t) + {z } {z } gerader Anteil ungerader Anteil Ausnutzen der Symmetrieeigenschaften beschrankt die Anzahl der zu berechnenden Koezienten und den Integrationsbereich (z.b. auf eine halbe Periode) bei der Fourier- Reihenentwicklung: zu : f(t) =f(;t)! b n = a n = 4 T zu : f(t) =;f(;t)! a n = b n = 4 T zu 3: f T R t T = f(t)! geradzahlige n: h n f(t) cos T ti dt T R h n f(t)sin ti T dt a n = 4 T T Z f(t) cos()dt b n = 4 T T Z f(t) sin()dt zu 4: ungeradzahlige n: a n = b n = f t T = ;f(t)! geradzahlige n: an = b n = ungeradzahlige n: a n = 4 T T R f(t) cos()dt b n = 4 T T R f(t)sin()dt

7 Beispiele:. Periodische Rechteckfunktion: f(t) = 8 >< f(t) ist gerade Funktion! b n =fur alle n >: fur ; T <t<; T 4 f fur ; T 4 t< T 4 fur T 4 t< T a n = 4 T T Z f(t)cos(n!t)dt mit! = T = 4f n!t [sin(n!t)] sin T n 4 t= =f n a = T Z + T f(t)dt n f :::g ; T = T T f = f! f(t) = f + f cos(!t) ; 3 cos(3!t)+ 5 cos(5!t) ; 7 cos(7!t)+! Amplitudenspektrum:! jc j = f!! jc j = f!! jc j = 3!! jc 3 j = f 3 5!! jc 5 j = f 5 u.s.w. Das Phasenspektrum nimmt abwechselnd die Werte und an, beginnend mit fur n! =undn! =!.. Periodische Dreieckfunktion mit f f() = T 4 T f 3T f 4 = f = = ;f Symmetrieeigenschaften: f(t) =;f(;t) (3) 3

8 Abb. : Darstellung der Fourier-Reihenentwicklung einer periodischen Rechteckfunktion mit der Periode und f =bis zur Ordnung n =5(oben links), n =(oben rechts), n =(unten links) und n = (unten rechts). 4

9 Aus (3): a n = (n f g) Aus (4): b n = fur n f 4 6 g f t T = ;f(t) (4) Abb. : Darstellung der Fourier-Reihenentwicklung einer periodischen Dreieckfunktion mit der Periode und f =bis zur Ordnung n =3(oben links), n =7(oben rechts), n =5 (unten links) und n =(unten rechts). Bei zwei Symmetriebedingungen reicht es, uber T zu integrieren, also t T! 4 4 4f f(t) = T t! b n = 8 T! f(t) = 8f T Z4! 4f t sin T = 8f n n sin n T t dt (partielle Integration) sin!t ; 3 sin(3!t)+ 5 sin(5!t) ; 7 sin(7!t)+ Das Phasenspektrum alterniert wieder zwischen und. Amplitudenspektrum: 5

10 !! jc j = 8f 3!! jc 3 j = 8f (3) 5!! jc 5 j = 8f (5) u.s.w. Eigenschaften der Charakterisierung von Signalen im Frequenzbereich:. Ein Oset g(t) =f(t) + const. wirkt sich nur auf den Koezienten a aus.. Zeitverschiebung: c n = a n + b n bleibt konstant n andert sich! 3. Allgemein gilt: Unstetigkeiten von f(t) bewirken, da das Amplitudenspektrum mit fallt (siehe n Beispiel ). Unstetigkeiten von f (t) bewirken, da das Amplitudenspektrum mit n fallt (siehe Beispiel ). 4. f(t) mu nicht periodisch sein, wenn f(t) nur auf dem endlichen Intervall ; T <t<t approximiert werden soll. Dann kann f(t) mit der Periode T periodisch fortgesetzt werden. Exponentielle Form der Fourier-Reihe: - ist leichter umzuformen - erlaubt Ubergang zu Fourier-Integral und Fourier-Transformation Aus () folgt mit der Euler-Gleichung sin(n!t) = j (ejn!t ; e ;jn!t ), cos(n!t) = (ejn!t +e ;jn!t ): "! an ; jb n e jn!t + f(t) = a + X = + X n=! f(t) = n= X n=! # a n + jb n e ;jn!t n e jn!t + ;n e ;jn!t = a = ;n e ;jn!t = +X n=; ;X n=; n e jn!t n e jn!t (5) n = T T Z f(t)e ;jn!t dt (6) ; T Um zu zeigen, da die n gema Gl. (6) die in Gl. (5) einzusetzenden Koezienten sind, nutzen wir einmal mehr die Euler-Gleichung aus: n = T T Z f(t)e ;jn!t dt (7) ; T 6

11 Fur n<gilt: = T 6 4 T Z ; T f(t) cos n!tdt ; j T Z ; T 3 7 f(t)sinn!tdt5 (8) Fur n>gilt: n = T T Z ; T f(t) cos(jnj!t)dt + j T {z } = T an T Z ; T f(t) sin(jnj!t)dt {z } = T bn = a n + jb n () n = a n ; jb n : In Gl. (5) nimmt n auch negative Werte an, die auf sogenannte negative Frequenzen fuhren, welche keine physikalische Relevanz haben. Sie sind eine Folge des mathematischen Formalismus, der Sinus- und Kosinusfunktionen in Paare von Exponentialfunktionen uberfuhrt. Bei Schwierigkeiten sollte man sich erinnern, da die Koezienten der Fourier-Reihe reell sein mussen, wenn f(t) eine reelle Funktion von t ist. Der Grund fur die Exponentialdarstellung liegt darin, da sie direkt auf das Fourier- Integral und die Fourier-Transformation fuhrt, die wichtig sind, um die Frequenzbereichs- Konzepte auf nichtperiodische Funktionen und ggf. im Hinblick auf die Laplace- Transformation zu erweitern.. Fourier-Integrale und Fourier-Tranformation Die Amplitudenspektren von periodischen Funktionen sind diskret (Linienspektren). Die relevante Frequenz! = T wird mit wachsendem T kleiner und die Spektrallinien in den Amplituden- und Phasenspektren werden dichter. Im Grenzfall T!wird aus dem diskreten Spektrum eine glatte Kurve, das kontinuierliche Amplitudenspektrum. Fur T!mu f(t) nicht mehr periodisch sein. Nichtperiodische Funktionen treten haug als Systemantworten auf, so da die Fourier-Reihenentwicklung diesbezuglich modiziert werden soll: Folgende Anderungen in der Notation sind dafur notig, denn! =! und n werden T bedeutungslos, wenn T!. In einem kontinuierlichen Spektrum kann! jeden Wert annehmen. Eine Redenition der relevanten Groen gibt die folgende Tabelle an: Fourier-Reihe Denition Fourier-Integral n! harmonische Komponente!! Fundamentalfrequenz! T Periode von f(t) 7! (9)

12 mit! =!!! f(t) =! =! +X! e j!t!! =; + Z T ; T () f(t)e ;j!t dt () Einsetzen von () in () liefert: Fur T!folgt: f(t) = 6 4 f(t) = +X T Z! =;! ; T Z + ; 8 < Z : + ; Gl. (3) ist die Darstellung von f(t) alsfourierintegral.! Denition der Fourier-Transformation: F (!) = und der inversen Fourier-Transormation: f(t) = Z + ; Z 3 7 f(t)e ;j!t dt5 ej!t! 9 = f(t)e ;j!t dt ej!t d! (3) + ; Gln. (4) und (5) heien Fourier-Transformations-Paar. F (!) ist die Fourier-Transformierte von f(t): F (!) =Fff(t)g f(t) ist die inverse Fourier-Transformierte von F (!): f(t) =F ; ff (!)g: f(t)e ;j!t dt (4) F (!)e j!t d! (5) Das Betragsquadrat F (!)F (!) =jf (!)j des Amplitudenspektrums jf (!)j wird als Leistungsdichtespektrum bezeichnet. Beispiel: Amplitudenspektrum eines einzelnen Rechteck-Pulses der Dauer T : ( f <t<t f(t) = t T! F (!) = Z T f e ;j!t dt = f j! = f! sin!t jf (!)j = f sin(! T )! 8 e ;j(! T ) = f T ; e ;j!t sin(! T )! T

13 Abb. 3: Betrag jf (!)j der Fourier-Transformierten eines Rechteck-Pulses mit f T =. (Die Abszisse ist in Vielfachen von!t= skaliert.) Der Verlauf von jf (!)j ist in Abb. 3 dargestellt. Beispiel: Amplitudenspektrum einer Gaufunktion der Breite : f(t) = p e ;t =( )! F (!) = = + Z ; p e ;t =( ) e ;j!t dt Z + p e ;t =( ) cos(!t)dt = e ;! = = jf (!)j Abb. 4 zeigt zwei Gaufunktionen unterschiedlicher Breite mit den zugehorigen Amplitudenspektren..3 Diracsche-Deltafunktion Fur die digitale Signal- und Bildverarbeitung sowie fur die Beschreibung linearer Systeme ist die Diracsche Deltafunktion (t) (auch Delta-Puls genannt) von elementarer Bedeutung. Denition der Deltafunktion: Fur einen Rechteck-Puls mit f = T folgt der Grenzwert lim f(t) =(t) T! 9

14 .8 f(t).6.4. F(ω) Zeit t (s) 4 4 Kreisfrequenz ω (Hz) Abb. 4: linkes Bild: Darstellung von Gaufunktionen der Breite = 5 s (durchgezogene Linie) und =s (gestrichelte Linie) im Zeitbereich rechtes Bild: zugehorige Amplitudenspektren im Frequenzbereich.! lim jf (!)j T! = lim T! = Alternative Denition: (t) = lim p e ;t =( ) =! ( fur t = sonst Z + ; (t)dt =: Das Spektrum ergibt sich zu: Es gilt also: lim! e;! = =:! Das Amplitudenspektrum einer Diracschen Delta-Funktion ist konstant.! Bei Anregung eines linearen Systems durch einen Delta-Puls werden alle Frequenzen gleichermaen angeregt. Faltung und Korrelation. Faltungstheorem Das Faltungsintegral, das die Faltung zweier Funktionen, z.b. x(t) und h(t) beschreibt, ist wie folgt deniert: y(t) = Z ; x()h(t ; )d = x h: (6) Die Funktion y(t) wird als Faltungsprodukt der Funktionen x(t) und h(t) bezeichnet.

15 Die Beziehung zwischen dem Faltungsintegral (6) und dessen Fourier-Transformierter ist ein wichtiges Instrument der Systemtheorie. Dieser Zusammenhang, als Faltungstheorem bekannt, ermoglicht es, eine Faltung nicht nur im Zeitbereich sondern auch als einfache Multiplikation im Frequenzbereich auszufuhren. Wenn H(f) die Fourier-Transformierte von h(t) und X(f) die Fourier-Transformierte von x(t) ist, dann ist H(f)X(f) die Fourier-Transformierte von h(t) x(t). Das Faltungstheorem lat sich somit durch das Transformationspaar F(h(t) x(t)) = F(h(t)) F(x(t)) = H(f)X(f) (7) mit f =!=() zum Ausdruck bringen. Um dieses Theorem zu beweisen, setzen wir fur h(t ; ) in Gl.(6) die Beziehung gema Gl.(5) ein, wobei! =f: y(t) = Z + ; x() Z 4 + ; 3 H(f)e jf(t; ) df5 d : (8) Mit der Annahme, da die Reihenfolge der Integrale vertauscht werden kann, ist diese Beziehung aquivalent zu y(t) = Z ; Z ; 3 x()e ;jf d5 H(f)e jft df : (9) Gema Gl.(4) lat sich der Term in eckigen Klammern durch X(f) ersetzen. Mit Hilfe von Gl.((5)) folgt dann: und somit y(t) = Z + ; Y (f)e jft df = Z + ; X(f)H(f)e jft df () Y (f) =H(f)X(f) : () Der Beweis fur die Umkehrung des Theorems (Faltung im Frequenzbereich entspricht Multiplikation im Zeitbereich) erfolgt in ahnlicher Weise.. Korrelationstheorem Das Korrelationsprodukt zweier Funktionen, z.b. x(t) und h(t), (auch einfach Korrelation genannt) ist eng mit dem Faltungsprodukt verknupft. Das Korrelationsprodukt ist wie folgt deniert: (t) = Z + ; x()h(t + )d = x(;t) h(t) : () Das Ergebnis, die Funktion (t), wird als Korrelationsfunktion bezeichnet. Um das zweite Gleichheitszeichen zu beweisen, ersetzen wir durch ;: (t) = Z ; + x(;)h(t ; )(;d) = Z + ; x(;)h(t ; )d : (3)

16 Da fur die Fouriertransformierte F(f(;t)) = F (!) gilt, lat sich aus dem Faltungstheorem unmittelbar das Korrelationstheorem ableiten: (t) = Z + ; x()h(t + )d = F ; (X (!)H(!)) : (4) Unter der Voraussetzung x(t) = h(t) = f(t) stimmt die Korrelationsfunktion (t) mit der Autokorrelationsfunktion uberein. In diesem Fall folgt aus dem Korrelationtheorem die wichtige Beziehung: (t) = Z + ; f()f(t + )d = F ; (jf (!)j ) (5) die unter dem Begri Wiener-Khintchine-Theorem bekannt ist. In Worten ausgedruckt besagt das Wiener-Khintchine-Theorem, da die Autokorrelationsfunktion einer Funktion mit der inversen Fouriertransformierten des Leistungsdichtespektrums ubereinstimmt bzw. da die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion gleich dem Leistungsdichtespektrum ist. Ein weiteres wichtiges Theorem, das Parsevalsche Theorem, ergibt sich aus dem Wiener- Khintchine-Theorem als Spezialfall fur t = : (t =)= Z + ; f ()d = Z + ; jf (!)j d!: (6) Dieses Theorem lat sich als Energieerhaltungsprinzip interpretieren: Durch das Integral Z + ; f ()d wird die Gesamtenergie des Signals f(t) reprasentiert. Wenn man sich unter f(t) beispielsweise die elektrische Spannung als Funktion der Zeit vorstellt, die an einem Widerstand anliegt, dann ist jf(t)j die elektrische Leistung, die der Widerstand aufnimmt. Die Integration der Leistung uber alle Zeiten ergibt die Gesamtenergie des Signals, die gema dem Parsevalschen Theorem bei der Transformation in den Frequenzbereich unverandert bleibt..3 Autokorrelationsfunktionen stochastischer und periodischer Signale Die Denition der Autokorrelationsfunktion gema Gl.(5) fuhrt zu Konvergenzproblemen, wenn die zu korrelierenden Funktionen nicht zeitbegrenzt sind, wie dies i. allg. bei stochastischen und bei periodischen Funktionen der Fall ist.

17 Ein Lei- Allgemein handelt es sich bei diesen Signalen um sogenannte Leistungssignale. stungssignal x(t) ist dadurch gekennzeichnet, da seine Energie " x mit " x = Z + ; x (t)dt alle Grenzen ubersteigt, so da die fur Energiesignale (" x < ) gultige Denition der Autokorrelationsfunktion gema Gl.(5) nichtanwendbar ist. In diesen Fallen wird die Denition der Autokorrelationsfunktion wie folgt modiziert: xx (t) = lim T! T Z +T= ;T= x()x(t + )d: (7) Der Wert der Autokorrelationsfunktion an der Stelle t =entspricht dann genau der Varianz x des (mittelwertfreien) Signals x(t): x = xx (t =)= lim T! T Z +T= ;T= jx()j d: (8) Gebrauchlich ist es daruber hinaus, die Autokorrelationsfunktion mit der Varianz zu normieren. Die auf diese Weise erhaltene normierte AKF, xx (t) = lim T! Tx Z +T= ;T= x()x(t + )d (9) nimmt an der Stelle t = den Maximalwert an. Im Fall einer periodischen Funktion x(t) mit der Periode T wird ebenfalls Gl.(9) verwendet, allerdings wird die Integrationslange mit der Periodenlange gleichgesetzt und auf die Grenzwertbildung verzichtet. Dieses Vorgehen wird unmittelbar einsichtig, wenn man das Beispiel x(t) = cos! t betrachtet, fur das sich der Wert xx (t =)== ergibt. 3

18 .4 Faltung und Korrelation mit Deltafunktionen Aus der Denition der Deltafunktion (Abschnitt.3) lat sich die sog. Ausblendeigenschaft ableiten: oder allgemeiner: Z + ; Z + ; (t)h(t)dt = h() (3) (t ; t )h(t)dt = h(t ): (3) Eine auf der Zeitachse an der Stelle t = t lokalisierte Deltafunktion ist durch (t ; t ) gegeben. Die Ausblendeigenschaft besagt also, da durch die Multiplikation mit der Deltafunktion in Verbindung mit der zugehorigen Integration nur der Funktionswert von h(t) an der Stelle t = t ubrigbleibt, wahrend alle anderen Werte von h(t) ausgeblendet\ werden. " Die Situation, da eine beliebige Funktion h(t) im Zeitbereich mit einer Deltafunktion (t), die an der Stelle t lokalisiert ist, gefaltet wird, kommt in der Signalverarbeitung haug vor und wird deshalb hier behandelt. Auch die Faltung mit einer Deltafunktion (f) im Frequenzbereich spielt in der Signalverarbeitung eine wichtige Rolle. Das zu Gl.(6) korrespondierende Faltungsintegral hat die Form: (t ; t ) h(t) = Z + ; ( ; t )h(t ; )d = h(t ; t ): (3) Eine Faltung einer Funktion h(t) mit der Deltafunktion (t ; t ) bewirkt also, da die ursprunglich um t = zentrierte Funktion anschlieend auf der Zeitachse um den Wert t = t zentriert ist. Die Faltung einer Deltafunktion an der Stelle f = f im Frequenzbereich mit einer spektralen Funktion H(f) fuhrt dementsprechend zu folgendem Resultat: Z + ; (f ; f ) H(f ; f )df = H(f ; f ): (33) 3 Eigenschaften der Fouriertransformation und spezielle Fouriertransformierte 3. Eigenschaften der Fouriertransformation. Linearitat: Ffx(t)+y(t)g = Ffx(t)g + Ffy(t)g Ffconst: x(t)g =const: Ffx(t)g :. Zeitverschiebung Fur eine um t = t zeitverschobene Funktion h(t) gilt: Ffh(t ; t )g =e ;jft H(f) 4

19 d.h. eine Zeitverschiebung um den Wert t bewirkt im Frequenzbereich einenzusatzlichen Phasenterm e ;jft, also eine Phasenverschiebung. Beweis: Ffh(t ; t )g = = Z + ; + Z ; = e ;jft h(t ; t )e ;jft dt h()e ;jf(t + ) d Z + ; = e ;jft H(f): h()e ;jf d Das Betragsspektrum bleibt bei der Zeitverschiebung jedoch unverandert, denn: 3. Frequenzverschiebung je ;jft H(f)j = jh(f)j : Fur eine um f = f frequenzverschobene Funktion H(f) gilt: F ; fh(f ; f )g =e jf t h(t) d.h. eine Frequenzverschiebung um den Wert f bewirkt im Zeitbereich einenzusatzlichen Phasenterm e jf t, der sich als Modulation des Zeitsignals verstehen lat. Der Beweis dieses Theorems ist analog zum Beweis des Zeitverschiebungstheorems. 4. Zeitskalierung Eine Zeitskalierung bedeutet mathematisch die Multiplikation der Variablen t im Argument einer Funktion h(t) mit einer positiven reellen Konstanten K. Es gilt: Ffh(K t)g = K H(f=K ): Beweis: Ffh(K t)g = = Z + ; + Z ; h(k t)e ;jft dt h()e ;j(f=k ) d K = K H(f=K ): Besondere Vorsicht ist bei der Skalierung von Deltafunktionen geboten, da die Deltafunktion im streng mathematischen Sinne keine Funktion, sondern eine Distribution darstellt. Die Deltafunktion macht nur Sinn, wenn sie in Verbindung mit einem Integral 5

20 verwendet wird, bei dem eine beliebige Funktion im Integranden mit der Deltafunktion multipliziert wird (siehe Gln. (3), (3)). Bei einer Skalierung gilt folglich: Z + ; (K t)h(t)dt = Z + ; ()h(=k )d=k = K Daraus lat sich fur die Deltafunktion das Skalierungstheorem Z + ; (t)h(t=k )dt: (K t)= K (t) ableiten. Analog gilt naturlich im Frequenzbereich: (K f)= K (f) 5. Frequenzskalierung Fur eine Frequenzskalierung gilt: F ; fh(k f)g = K h(t=k ): Beweis: F ; fh(k f)g = = Z + ; + Z ; H(K f)e jft df H(f )e jf (t=k ) df K = K h(t=k ): 6. reelle Funktion im Zeitbereich Ist die Funktion im Zeitbereich reell, so folgt anhand der Euler-Formel, da der Realteil der Fouriertransformierten gerade, der Imaginarteil ungerade ist. 7. imaginare Funktion im Zeitbereich Ist die Funktion im Zeitbereich rein imaginar, so resultiert ein ungerader Realteil der Fouriertransformierten und ein gerader Imaginarteil. 8. gerade Funktion im Zeitbereich Ist die Funktion im Zeitbereich gerade, so ist die Fouriertransformierte rein reell. 9. ungerade Funktion im Zeitbereich Ist die Funktion im Zeitbereich ungerade, so resultiert eine rein imaginare Fouriertransformierte. 6

21 3. Spezielle Fouriertransformierte. Deltafunktion im Frequenzbereich Gema Abschnitt.3 erhalt man eine Deltafunktion im Frequenzbereich als (f) = lim p e ;f =( )! mit Z + ; (f)df =: Bei Rucktransformation in den Zeitbereich ergibt sich (vgl.. Beispiel in Abschnitt.):. Sinusfunktion F ; f(f)g = lim F ;n o p e ;f =( ) =lime ;4 t = =:!! Fur eine Sinusfunktion gilt: x(t) = x sin(f t) = x j ) X(f) = x j e jf t ; e ;jf t Ffe jf t g;ffe ;jf t g : Die gesuchten Fouriertransformierten ergeben sich direkt aus dem Frequenzverschiebungstheorem (Abschnitt 3., 3.), wenn dort h(t) = gesetzt wird. In diesem Fall gilt namlich (siehe oben): H(f) =(f) und damit X(f) = x (f ; f ) ; (f + f ) j = j x (f + f ) ; j x (f ; f ) : Bereits aus den Symmetrierelationen (Abschnitt 3., 6. und 9.) lat sich folgern, da die Fouriertransformierte X(f) rein imaginar und ungerade sein mu, da die Sinusfunktion reell und ungerade ist. 3. Cosinusfunktion Fur eine Cosinusfunktion gilt: x(t) = x cos(f t) = x e jf t +e ;jf t : Als Fouriertransformierte ergibt sich inanalogiezurfouriertransformation der Sinusfunktion: X(f) = x (f ; f )+(f + f ) : 7

22 4. Dirac-Kamm Unter einem Dirac-Kamm versteht man eine Folge von aquidistanten Deltafunktionen (siehe Abb. 5): comb(t) = Fur die Fouriertransformierte gilt: +X n=; Ffcomb(t)g = COMB(f) = t (t ; n t) : +X n=; (f ; n=t) d.h. im Frequenzbereich resultiert ebenfalls ein Dirac-Kamm, dessen Periode sich zu der des Zeitsignals reziprok verhalt (siehe Abb. 5). Beweisidee: Zunachst denieren wir einen Dirac-Kamm von endlicher Breite: h(t) = +NX n=;n (t ; n t) : Unter Ausnutzung der Beziehung Ff(t)g = (Abschnitt.3) und des Zeitverschiebungstheorems (Abschnitt 3.,.) folgt fur die Fouriertransformierte von h(t): H(f) = +NX n=;n e jnf t = +NX n= e jnf t + +NX n= e ;jnf t ; : Die beiden Summen lassen sich unter Ausnutzung der geometrischen Reihe +N P a N+ ; a; umformen, und man erhalt schlielich: H(f) = sin((n + )f t) : sin(f t=) n= a n = Der Verlauf von H(f) istfur verschiedene N-Werte in Abb. 6 dargestellt. Fur N = zeigt sich ein cosinusformiger Verlauf mit einem Oset von. Fur groere Werte von N bleibt die Anzahl und die Lage der periodisch auftretenden Hauptmaxima zwar gleich, jedoch werden diese mit zunehmendem N immer schmaler und hoher. Durch Einsetzen von f +=t in obige Gleichung lat sich auch mathematisch zeigen, da die Funktion H(f) periodisch mit der Periode =t ist. Um zu dem Resultat COMB(f) fur den unendlichen Dirac-Kamm im Frequenzbereichzukommen, mu noch gezeigt werden, da im Limes N!das Integral uber eine Periode der Funktion H(f) gleich =t ist. Also: lim N! = lim N! + Zt ; t + Zt sin((n + )f t) df lim sin(f t=) N! sin((n + )f t) df = tf t = t + Zt ; t Z sin((n + )f t) df tf sin(f) df f {z } == (Bronstein) mit > 8

23 wobei fur das erste Gleichheitszeichen die Funktion sin(f t=) durch ihre Taylorreihenentwicklung bis zur ersten Ordnung um den Wert f = approximiert wird. Dies ist gerechtfertigt, weil die Hauptmaxima in Abb. 6, die die wesentlichen Beitrage zum Integral leisten, mit zunehmendem N immer schmaler werden. comb( t ) COMB( f ) t t / t f n=; (t ; n t) und die zugehorige Fouriertransfor- n=; (f ; n=t). Abb. 5: Die Funktion comb(t) = P + P mierte COMB(f) = + t 4 3 N = 8 6 N = 3 H ( f ) H ( f ) 4 f f N = 5 N = 8 5 H ( f ) 6 4 H ( f ) 5 5 f f Abb. 6: Die Funktion H(f) = sin((n + )f t)= sin(f t=) fur unterschiedliche Werte von N. 9

24 4 Abtastung und diskrete Fouriertransformation Nachdem in den vorangegangenen Kapiteln die wesentlichen mathematischen Grundlagen der Signalverarbeitung behandelt wurden, folgen nun einige praktische Konsequenzen, die sich daraus fur die Signalabtastung und die digitale Analyse von Signalen ergeben. 4. Signalabtastung und Abtasttheorem Als geeignetes Hilfsmittel zur mathematischen Beschreibung des Abtastvorganges erweist sich die Deltafunktion. Wenn h(t) eine stetige Funktion der Zeit t ist (im folgenden auch als " Zeitsignal\ bezeichnet), lat sich der im Zeitpunkt t = n t entnommene Abtastwert ausdrucken als: h(n t) =h(t) (t ; n t) : (34) Dabei ist das Produkt im Sinne der Distributionentheorie zu interpretieren, d.h. es machtnur im Integranden einer Integralgleichung Sinn (vgl. Ausblendeigenschaft der Deltafunktion). Werden der Funktion h(t) nun in aquidistanten Abtastzeitpunkten im Abstand t Abtastwerte entnommen, so lat sich dies entsprechend als Produkt h(n t) =h(t) comb(t) = +X n=; h(t) (t ; n t) (35) beschreiben. Die Zeitdierenz t zwischen zwei benachbarten Abtastwerten wird als Abtastintervall bezeichnet, der Reziprokwert =t als Abtastfrequenz. Die Abtastung eines Signals im Zeitbereich ist in Abbildung 7 c) graphisch dargestellt. Abb. 7 a) zeigt das zugehorige kontinuierliche Zeitsignal, Abb. 7 d) den Verlauf des durch die Abtastung diskretisierten Signals. Im folgenden interessieren wir uns fur die Spektren des kontinuierlichen und des diskreten Zeitsignals. Bei dem kontinuierlichen Signal in Abb. 7 a) handelt es sich um einen sinusformigen Verlauf mit einer (schmalen) Gauschen Hullkurve. Es lat sich folglich als Produkt einer Sinusfunktion mit der Gaufunktion auassen. Gema dem Faltungstheorem ergibt sichalso das Spektrum H(f) des Signals h(t)durchfaltung der Fouriertransformierten der Sinusfunktion mit der Fouriertransformierten der Gaufunktion. Diese beiden Fouriertransformierten wurden in Abschnitt 3. bzw. Abschnitt. hergeleitet. Fur die Sinusfunktion ergibt sich eine rein imaginare Fouriertransformierte, die aus zwei Delta-Peaks, einem negativen bei der positiven Signalfrequenz f und einem positiven bei der negativen Signalfrequenz ;f besteht. Die Fouriertransformierte der Gaufunktion ist ebenfalls eine Gaufunktion. Durch die Faltung mit der Deltafunktion ruckt diese Gaufunktion im Frequenzbereich an die Stellen der Delta-Peaks (vgl. Gl.(3)). Folglich besteht das Leistungsdichtespektrum jh(f)j in Abb. 7 aus zwei gleichen Gaufunktionen, die bei +f bzw. bei ;f zentriert sind. Die Signalabtastung entspricht der Multiplikation des kontinuierlichen Zeitsignals mit einem Dirac-Kamm. Um das Spektrum des diskretisierten Signals zu konstruieren, kann man auch hier wieder das Faltungstheorem ausnutzen: Im Frequenzbereich wird das Spektrum H(f) des kontinuierlichen Zeitsignals mit dem des Dirac-Kamms gefaltet. Wie oben gezeigt (siehe Abb. 6), ist die Fouiertransformierte des Dirac-Kamms ein Dirac-Kamm im Frequenzbereich, dessen Periode =t dem Kehrwert des Abtastintervalls entspricht. Wie

25 bei der Herleitung des Spektrums des kontinuierlichen Signals fuhrt auch hier die Faltung mit einer Deltafunktion im Frequenzbereich dazu, da eine spektrale Funktion entlang der Frequenzachse verschoben wird. Das Spektrum H(f) des kontinuierlichen Zeitsignals ruckt also jeweils an die Stellen der Delta-Peaks des Dirac-Kamms im Frequenzbereich, d.h. es wird periodisch mit der Periode =t fortgesetzt. Die Periode entspricht dabei der Abtastfrequenz. Die Abtastung des Signals im Zeitbereich bewirkt demnach im Frequenzbereich eine periodische Fortsetzung des Spektrums H(f) des kontinuierlichen Signals h(t). In Abb. 7 e) und f) ist diese periodische Fortsetzung fur zwei unterschiedlich groe Abtastintervalle t graphisch dargestellt. Im Fall von Abb. 7 e) wurde t so klein gewahlt, da sich die um zwei benachbarte Frequenzlinien (z.b. und =t) zentrierten Spektren nicht uberlappen. Fur Abb. 7 f) wurde ein groeres Abtastintervall vorausgesetzt. Dies fuhrt dazu, da die periodisch fortgesetzten Spektren naher aneinander rucken und sich ggf. uberlappen. Betrachtet man nur das Frequenzintervall von f = ;=(t) bis f = +=(t), so stimmt das Spektrum in diesem Intervall im ersten Fall (keine Uberlappung) mit dem des kontinuierlichen Signals uberein, wahrend im zweiten Fall durch die Uberlappung eine Veranderung des Spektrums in diesem Intervall hervorgerufen wird. Dieser Storeekt wird als Aliasing bezeichnet. Aus diesen Uberlegungen lat sich unmittelbar das Abtastheorem (auch als Shannon- Theorem bekannt) ableiten. Es besagt, da aus den Abtastwerten das ursprungliche (d.h. das kontinuierliche) Signal dann fehlerfrei rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastfrequenz mindestens doppelt so gro ist wie die hochste im Signal vorkommende Frequenz f max. Dies fuhrt auf folgende zwei Forderungen: das Spektrum H(f) des Signals mu bandbegrenzt sein, d.h. es mu gelten: H(f) = fur f>f max. Die Abtastfrequenz mu mindestens doppelt so gro wie f max gewahlt werden, d.h. t =f c f max : Die untere Grenze fur die Abtastfrequenz, f max, bezeichnet man als Nyquist-Frequenz. Bei Einhaltung des Abtasttheorems kann zur Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals einmal mehr vom Faltungstheorem Gebrauch gemacht werden. Im Frequenzbereich ergibt sich das Spektrum des kontinuierlichen Signals, indem alle Spektralwerte fur jfj >f c gleich null gesetzt werden. Es gilt f c = t : Das entspricht einer Multiplikation des (periodisch fortgesetzten) Spektrums mit einer Rechteckfunktion der Form: f c rect(f=f c )= ( f c fur ;f c f +f c sonst. Da als Amplitude der Rechteckfunktion der Wert =(f c ) gewahlt wurde, gilt die Normierungsbedingung: + Z ; f c rect(f=f c )df =: (36)

26 h(t) H(f) t -f f f a) kontinuierliches Zeitsignal b) zugehöriges Leistungsdichtespektrum h(t) t t H(f) c) Abtastung des Zeitsignals h(n t) / t f e) Leistungsdichtespektrum des diskretisierten Signals unter Beachtung des Abtasttheorems H(f) Überlappungsbereich t d) diskretisiertes Zeitsignal / t f) Aliasing als Überlagerung periodisch fortgesetzter Spektren f Abb. 7: Die Signalabtastung im Zeitbereich fuhrt im Frequenzbereich zu einer periodischen Fortsetzung des Spektrums mit der Periode =t.

27 Die Fouriertransformation einer Rechteckfunktion wurde bereits in Abschnitt. behandelt. Bei Rucktransformation von Gl.(36) in den Zeitbereich ergibt sich: + Z ; f c rect(f=f c )e jft df = f c Z f c cos(ft)df = sin(f ct) f c t = sinc(f c t) : (37) Die Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals aus den Abtastwerten erfolgt also durch Faltung von h(n t) mit der Funktion sinc(f c t): Sie fuhrt auf das Ergebnis: h(t) = +X n=; h(n t) sinc(f c (t ; n t)) = t +X n=; h(n t) sin(f c(t ; n t)) (t ; n t) : (38) In praktischen Anwendungen der Signalanalyse ist die hochste im Signal vorkommende Frequenz f max unter Umstanden unbekannt. Um in solchen Fallen Aliasing-Probleme zu vermeiden, wird das kontinuierliche Signal vor der Diskretisierung tiefpageltert. Die Eckfrequenz des Tiefpalters entspricht dabei der Frequenz f c.wenn die hochfrequenten Signalanteile nun den Wert f c uberschreiten, d.h. f max >f c,werden diese durch den Tiefpa herausgeltert, so da bei der Diskretisierung das Abtasttheorem eingehalten wird. Ein solches Tiefpalter bezeichnet man als Anti-Aliasing-Filter. Abbildung 8 zeigt den Aufbau eines Systems zur digitalen Analyse kontinuierlicher Signale mit dem Eingangssignal h(t), welches i. allg. dem zeitlichen Verlauf einer elektrischen Spannung entspricht, dem tiefpagelterten Analogsignal h(t) und dem abgetasteten Signal h(n t). h(t) ~ h(t) ~ h( n t) TP A/D Digitales System Abb. 8: Aufbau eines Systems zur digitalen Analyse eines kontinuierlichen Zeitsignals h(t): das Tiefpalter dient als Anti-Aliasing-Filter das gelterte Signal h(t) wird ineinem Analog-Digital-Wandler diskretisiert und quantisiert und anschlieend in einem digitalen System (z.b. Rechner, Micro-Controller) analysiert. Bei der Digitalisierung wird das Signal zusatzlich zur Diskretisierung auch noch quantisiert. Wahrend der Wertebereich eines analogen Eingangssignals i. allg. ein zusammenhangendes Intervall der reellen Achse umfat, fuhrt die Quantisierung dazu, da das digitale Signal nur bestimmte diskrete Werte annehmen kann. Von einer -Bit-Digitalsierung spricht man z.b. dann, wenn das digitale Signal nur zwei unterschiedliche Werte annehmen kann. Das bedeutet, da bei der A/D-Wandlung ein Schwellwert wirksam wird. Signalwerte, die groer sind als dieser Schwellwert, werden auf den Digitalwert abgebildet, die kleineren Signalwerte auf den Digitalwert. Die Anzahl der fur die Digitalisierung mageblichen " Bits\ wird auch alsauosung der Digitalisierung bezeichnet. Eine Digitalisierung mit 8-Bit Auosung teilt den relevanten 3

28 Wertebereich beispielsweise in 8 = 56 Digitalwerte ein, die z.b. das Intervall [;8 ;7 ::: 7] reprasentieren konnen. In der Praxis erweist sich fur die meisten Anwendungen eine 8- bzw. -Bit-Digitalisierung als ausreichend. Dies setzt allerdings voraus, da die Amplitude des analogen Signals so verstarkt oder abgeschwacht wird, da der maximale Analogwert in etwa auf den maximalen Digitalwert abgebildet wird. Wird beispielsweise das Intervall [;5 V, +5 V] mit 8-Bit digitalisiert, so wird der Wert +5 V z.b. auf den Digitalwert +7 bzw. 55 abgebildet. Um die volle Auosung nutzen zu konnen, sollte ein auszuwertendes Mesignal in diesem Beispiel den Wertebereich zwischen ;5 und +5 V moglichst gut ausfullen. Dies kann ggf. durch Verstarkung oder Abschwachung erreicht werden. 4. Diskrete Fouriertransformation Eine haug vorkommende Aufgabe der digitalen Signalanalyse besteht darin, ein abgetastetes Signal in den Frequenzbereich zu uberfuhren. Um dies zu erreichen, bedient man sich der diskreten Fouriertransformation (DFT). Ausgangspunkt der Herleitung einer mathematischen Beziehung zur DFT ist ein diskretes Signal h(n t), das aus N Abtastwerten besteht, d.h. n f ::: N;g. (Es ist ublich, dem ersten Abtastwert den Zeitpunkt t = zuzuordnen.) Im Gegensatz zum vorigen Abschnitt, in dem die Gesamtzahl der entnommenen Abtastwerte keine Rolle spielte, wird hier die endliche Anzahl von N Abtastwerten vorausgesetzt, da in der Praxis nur Signale von Interesse sind, die wahrend eines begrenzten Zeitraums abgetastet werden. Das zu transformierende Signal ist diskret. Deshalb mu in der Denitionsgleichung der Fouriertransformation (Gl.(4)) zunachst das Integral durch eine Summe ersetzt werden, die sich auf alle N Abtastwerte des Signals bezieht. Als Resultat der DFT erwartet man im Frequenzbereich ebenfalls eine diskrete Funktion, also: H(k f) = N; X n= X h(n t)e ;j kf nt N; t =t n= h(n t)e ;j kf nt : (39) Es stellt sich nun die Frage nach dem Diskretisierungsintervall f im Frequenzbereich. Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt, da bei Einhaltung des Abtasttheorems das Spektrum des kontinuierlichen Signals auf dem Intervall ;=(t) f<+=(t) mit dem des diskreten Signals ubereinstimmt. Wird nun angenommen, da bei N Abtastwerten des Zeitsignals im Frequenzbereich ebenfalls N Abtastwerte vorliegen, dann mussen sich diese gleichmaig uber das oben angegebene Frequenzintervall erstrecken. Damit folgt fur das Abtastintervall f im Frequenzbereich: f = N Einsetzen von Gl.(4) in Gl.(39) fuhrt auf H(k f) = t ; ; t N; X n= = N t : (4) h(n t)e ;j kn=n : (4) In Gl.(4) wurde, wie es der gebrauchlichen Denition der DFT entspricht, der Vorfaktor t aus Gl.(39) vernachlassigt. Man beachte, da der Vorfaktor letztlich nur eine Normierung 4

29 der diskreten Fourierkoezienten darstellt. Wird die Normierung gema Gl.(39) gewahlt, so stimmt beispielsweise der Wert an der Stelle f = der kontinuierlichen Fouriertransformierten einer achsensymmetrischen Rechteckfunktion, der die Flache des Rechtecks angibt, mit dem Wert der DFT fur k =uberein. Die inverse DFT zu Gl.(4) hat die Form: h(n t) = N N; X k= H(k f)e j kn=n : (4) Um zu zeigen, da die Gln.(4) und (4) ein Transformationspaar bilden, wird Gl.(4) in Gl.(4) eingesetzt: " # N; X N; X H(k f) = H(l f)e j ln=n ;j kn=n e n= N l= = " N; X N; # X H(l f) e j ln=n e ;j kn=n N n= l= n= = H(k f) (43) wobei fur die letzte Umformung von der Orthogonalitatsbeziehung ( N; X N fur k = l e j ln=n e ;j kn=n = sonst Gebrauch gemacht wurde. Alternativ kann der Vorfaktor =N aus Gl.(4) auch in die Hintransformation gezogen werden. Damit ergibt sich das folgende Transformationspaar (in der gebrauchlichen Kurzschreibweise, d.h. h n = h(n t), H k = H(k f)): H k = N h n = X N; k= N; X n= h n e ;j kn=n (44) H k e j kn=n : (45) Unter dem Begri Fast Fourier Transform (FFT) werden besonders eziente Realisierungen der DFT verstanden, bei denen im allgemeinen N = m mit m f 3 :::g vorausgesetzt wird und redundante Rechenoperationen vermieden werden. Die Anzahl der Rechenschritte reduziert sich von N (komplexen Multiplikationen und Additionen) auf N ld(n), wobei mit ld(:::) der Logarithmus Dualis, d.h. der Loagrithmus zur Basis zwei, bezeichnet wird. Zur Spektralanalyse wird haug das diskrete Leistungsdichtespektrum P k herangezogen, das sich gema P k = H k Hk aus den Werten H k des Amplitudenspektrums ergibt. (Hk ist wieder das zu H k konjugiert Komplexe.) Fur periodische Signale, d.h. h(t + T s )=h(t), mit der Periodenlange T s ==f s gilt: N t T s = n s = f s f d.h. die Anzahl n s der abgetasteten Signalperioden entspricht der mit f normierten Signalfrequenz. Die Signalfrequenz f s fallt fur ganzzahlige n s mit dem diskreten Frequenzwert 5

30 n s f zusammen. Im Fall nicht-ganzzahliger n s tritt der Leck- oder Leakage-Eekt in Erscheinung, der dazu fuhrt, da sich die spektrale Leistung des Signals auf mehrere diskrete Frequenzwerte in der Umgebung von n s f verteilt. (Dieser Eekt wird in Abschnitt 4.. noch naher erlautert.) Der diskrete Frequenzwert n f (mit n f 3 :::g), wobei man n durch Runden von n s erhalt, reprasentiert dann das Maximum des diskreten Leistungsdichtespektrums. 4.. Diskrete Leistungsdichtespektren Beim Vergleich der diskreten mit der kontinuierlichen Fouriertransformation, fallen drei wesentliche Unterschiede auf: die Diskretisierung im Zeitbereich, die letztlich auf eine periodische Fortsetzung des Spektrums und damit u.u. zu Aliasing fuhrt, wie in Abschnitt 4. gezeigt wurde, die endliche Anzahl von N Abtastwerten des in die DFT eingehenden Datensatzes, die gema Gl.(4) die Diskretisierungsschrittweite im Frequenzbereich beeinut, die Diskretisierung im Frequenzbereich, die letztlich auf den Leck- bzw. Leakage-Eekt fuhrt. Der zweite und dritte Punkt wird in diesem Abschnitt naher untersucht. Im Idealfall wird genau ein ganzzahliges Vielfaches n einer Signalperiode abgetastet. Ein Beispiel hierfur stellt das Signal s n =cos(n n=n) dar. Gema Gl.(44) ergibt sich: S k = N N; X n= ( = fur k = n cos(n n=n) cos(kn=n) = sonst: Wenn nur der positive Teil des Leistungsdichtespektrums betrachtet wird, nimmt lediglich P k=n ==4 einen von null verschiedenen Wert an. Abb. 9 a) zeigt ein solches Signal, das innerhalb des 64 Abtastintervalle umfassenden Abtastfensters genau funf Perioden durchlauft. Abb. 9 c) zeigt den anderen Extremfall am Beispiel eines cosinusformigen Signalverlaufs, bei dem sich genau 4,5 Signalperioden innerhalb des Abtastfensters benden, so da in Abb. 9 d) die Konsequenzen des Leckeektes deutlich werden. Das diskrete Leistungsdichtespektrum ist stark verbreitert, die Signalfrequenz f s = n s f liegt genau zwischen der 4. und der 5. Spektrallinie. Die Erklarung des Leakage-Phanomens kann erneut auf der Grundlage des Faltungstheorems erfolgen, wenn man die Signalabtastung im Zeit- und im Frequenzbereich als Multiplikation eines kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm versteht. Fur die Diskretisierung im Frequenzbereich bedeutet dies eine Faltung des Zeitsignals innerhalb des Abtastfensters mit der Fouriertransformierten des Dirac-Kamms, die ihrerseits einen Dirac- Kamm mit reziproker Periodendauer darstellt (siehe Abschnitt 3., Beispiel 4.). Dies fuhrt letztlich dazu, da das Zeitsignal periodisch mitderperiode T = f = N t fortgesetzt wird, so da es bei nicht-ganzzahligen Signalperioden innerhalb des Abtastfensters zu Unstetigkeiten des Signalverlaufs kommt, die letztlich die Ursache des Leck-Eektes 6

31 bilden. Eine aquivalente Erklarung besteht zunachst in der Interpretation des Abtastfensters endlicher Breite als Multiplikation eines unendlich langen Signals mit einer Rechteckfunktion, deren Breite N t mit der Breite des Abtastfensters ubereinstimmt. Im Frequenzbereich fuhrt dies auf eine Faltung der Fouriertransformierten des Signals mit der Fouriertransformierten des Rechteckfensters, dessen Leistungsdichtespektrum sich durch diefunktion P w (f) = N t sin(f N t) f N t! =(N t sinc(f N t)) beschreiben lat. Diese Funktion ist fur das in Abb. 9 e) abgebildete Rechteckfenster in Abb. 9 f) als durchgezogene Linie dargestellt. (Hier wurden N = 4 Abtastpunkte gewahlt, um zu einer hohen Auosung im Frequenzbereich zu gelangen.) Die Fouriertransformierte der Cosinusfunktion besteht aus Deltafunktionen bei der positiven und der negativen Signalfrequenz. Die Faltung bewirkt, da sich das Hauptmaximum der Sinc-Funktion gema Abb. 9 f) an der Stelle der Signalfrequenz bendet. Fur n s f :::g fallt der n s -te Abtastwert mit dem Hauptmaximum zusammen, wahrend alle ubrigen Abtastwerte mit den Nullstellen der Sinc-Funktion ubereinstimmen. In ungunstigen Fallen, wie in Abb. 9 d), liegen dagegen zwei Abtastwerte in den jeweiligen Randbereichen des Hauptmaximums, wahrend die ubrigen Abtastwerte den Bereichen der Nebenmaxima entnommen werden. Das tatsachlich durch FFT ermittelte Leistungsdichtespektrum wird in Abb. 9 f) durch die gestrichelte Linie reprasentiert, die bei hoheren Frequenzen vom Quadrat der Sinc-Funktion (durchgezogene Linie) abweicht. An dieser Stelle oenbart sich erneut das Aliasing-Phanomen. Dieser Eekt wird durch die Zeitbereichsabtastung, d.h. durch die Multiplikation des Zeitsignals mit dem Dirac-Kamm, hervorgerufen, die sich imfrequenzbereich als Faltung mit dem reziproken Dirac-Kamm niederschlagt (vgl. Abschnitt 4.). Dementsprechend liefert die DFT grundsatzlich eine periodische Fortsetzung des Leistungsdichtespektrums mit der Periode N f. BeihohenFrequenzen machen sich folglich die hochfrequenten Anteile des benachbarten, um den Wert N f zentrierten Spektrums bemerkbar. Um dies quantitativ zu erfassen, ist die Summe: S k = N M; X n= e ;j kn=n (46) bei der M die Breite des Rechteckfensters angibt, zu bestimmen. Im Fall von Abb. 9 e) gilt M = 3. Einsetzen der Exponentialfunktion gema Gl.(46) in die Summenformel fur die geometrische Reihe, N; P a n = ;an,fuhrt auf: ;a n= S k = N e;jk(m;)=n sin (km=n) sin (k=n) (47) ) js k j = N sin (km=n) sin (k=n) : (48) Mit N = 4,M = 3 und Normierung auf den Maximalwert liefert diese Gleichung das in Abb. 9 f) als gestrichelte Linie dargestellte Leistungsdichtespektrum. Fur den Fall kleiner k-werte lat sich die Sinusfunktion im Nenner durch ihr Argument ersetzen, so da die diskrete Form der oben angegebenen Sinc-Funktion resultiert und sich somit Leakage und Aliasing unterscheiden lassen. 7

32 s n.5 S k a) n 5 3 b) k s n.5 S k c) n 5 3 d) k s n e) n f) Sk / S 5 5 k Abb. 9: a) Cosinussignal mit 5 Perioden im Abtastfenster (N =64), b) zugehoriges Leistungsdichtespektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus, c) Cosinussignal mit 4,5 Perioden im Abtastfenster (N=64), d) zugehoriges Leistungsdichtespektrum e) Rechteckfunktion der Breite M =3,f)normiertes Leistungsdichtespektrum der Rechteckfunktion. 8

33 4.. Fensterfunktionen Als Konsequenzen fur die Spektralanalyse mittels der diskreten Fouriertransformation ergeben sich aus den oben beschriebenen Eekten zunachst eine Beschrankung der spektralen Auosung in Abhangigkeit von der Anzahl der Abtastwerte des DFT-Eingangssignals sowie die beschriebene Verbreiterung des spektralen Peaks, die unter Umstanden weitere Charakteristika imfrequenzspektrum uberdecken kann. Zur Unterdruckung storender Leakage- Einusse kann das ursprungliche Zeitsignal mit einer geigneten Fensterfunktion multipliziert werden, die zu den Randern des Zeitbereiches hin abfallt, wie dies in Abb. fur das Signal gema Abb. 9c) bzw. 9 a) demonstriert wird. Als Fensterfunktion wird eine Gausche Exponentialfunktion der Form w n =exp h ; (n ; N=) =(n ) i (49) verwendet. Abb. a) zeigt das mit einer Gauschen Fensterfunktion der Breite n =3multiplizierte Cosinussignal gema Abb. 9 c). Im Leistungsdichtespektrum (Abb. b)) ist bereits ein im Vergleich zu Abb. 9 d) steilerer Abfall der Flanken des spektralen Maximums zu erkennen. Fur Abb. c) und e) wurde die Breite n =6gewahlt, d.h. die Signalamplitude ist an den Randern des Zeitfensters um den Faktor /e 4 gedampft. In diesem Fall zeigt sich im Spektrum (Abb. d) bzw. f)) ein steil abfallender spektraler Peak, der um die Signalfrequenz zentriert, jedoch gegenuber dem Peak in Abb. 9 b) deutlich breiter ist. Dies fuhrt mitunter dazu, da sich zwei nahe beieinanderliegende spektrale Maxima nicht mehr getrennt wahrnehmen lassen, d.h. da die Auosung der Spektralanalyse durch die Multiplikation mit Fensterfunktionen reduziert wird. Dennoch erweisen sich Fensterfunktionen in verschiedenen Anwendungen als nutzlich, vor allem dann, wenn ausreichend viele Abtastwerte des zu untersuchenden Signals zur Verfugung stehen, oder wenn vorausgesetzt werden kann, da die charakteristischen spektralen Peaks soweit auseinander liegen, da es zu keinen durch die Fensterfunktion bedingten Uberlappungseekten kommt. Zusatzlich zu dem oben beschriebenen Gaufenster sei hier das weit verbreitete Hanning- Fenster eingefuhrt, das wie folgt deniert ist: w n = ; cos(n=n) mit n f ::: N ; g : (5) Fur n =undfur n = N nimmt die Cosinusfunktion den Wert eins an, so da das Hanning- Fenster an den Randern auf null abfallt. In der Mitte, bei n = N= giltw n = Zero-Padding und spektrale Interpolation Eine Moglichkeit, die Auosung bei der Frequenz- und der Phasenschatzung im Spektralbereich zu verbessern, besteht im Anhangen von Nullen an das eigentliche Mesignal, dem sogenannten " Zero-Padding\. Bei dieser Methode macht man sich Gl.(4) dadurch zunutze, da die Gesamtzahl N der Abtastpunkte kunstlich erhoht wird, indem der Datensatz mit Nullen aufgefullt wird. Das Prinzip wird durch Abb. veranschaulicht, bei dem die Signale in den Teilbildern a) und c) mit denen aus Abb. 9 a) und c) ubereinstimmen. Die durch das " \-Symbol gekennzeichneten diskreten Kurvenverlaufe in Abb. b) und d) stimmen 9

34 s n.5 S k a) n 5 3 b) k s n.5 S k c) n 5 3 d) k s n.5 S k e) n f) 5 3 k Abb. : a) Cosinussignal gema Abb. 9 c), multipliziert mit Gau-Fensterfunktion der Breite n =3, die in Gl.(49) deniert wird, und b) zugehoriges Leistungsdichtespektrum c) Cosinussignal gema Abb. 9 c), multipliziert mit Gau-Fensterfunktion der Breite n =6 und d) zugehoriges Leistungsdichtespektrum e) Cosinussignal gema Abb. 9 a), multipliziert mit Gau-Fensterfunktion der Breite n =6und f) zugehoriges Leistungsdichtespektrum. 3

35 ebenfalls mit den entsprechenden Verlaufen aus Abb. 9 b) und d) uberein. Die quasikontinuierlichen, durchgezogenen Kurvenverlaufe resultieren, wenn die jeweiligen Signal-Datensatze, die zunacht 64 Werte umfassen auf 4 Werte mit Nullen angefullt werden. Hierdurch wird eine Verringerung der Diskretisierungsschrittweite f um den Faktor 6 erreicht. Wie Abb. zu entnehmen ist, erlaubt dies eine deutlich bessere Frequenzschatzung sowie eine exaktere Phasenschatzung. Bei verrauschten Signalen ist es daruber hinaus hilfreich, da die Signalanalyse auf Werten basiert, die in der Nahe des Maximums des Leistungsdichtespektrums liegen und somit den grotmoglichen Abstand zum Rauschlevel aufweisen s n S k.5 a) 4 6 n b) 3 k s n S k.5 c) 4 6 n d) 3 k Abb. : a) Cosinussignal mit 5 Perioden im Abtastfenster (N =64), b) Sternchen: zugehoriges Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus mit N =64,durchgezogene Linie: zugehoriges Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus mit N = 4 unter Vorgabe von s n =fur 64 n 3 c) Cosinussignal mit 4,5 Perioden im Abtastfenster (N =64), d) Sternchen: zugehoriges Betragsspektrum berechnet mit einem FFT- Algorithmus mit N =64,durchgezogene Linie: zugehoriges Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus mit N = 4 unter Vorgabe von s n =fur 64 n 3. Durch Interpolation der Frequenzwerte in der Umgebung des spektralen Peaks kann die Auosung bei der Frequenzschatzung mittels DFT unabhangig vom Zero-Padding verbessert werden. Bei den meisten Verfahren zur Frequenzinterpolation werden die Werte der Der Begri " Auosung\ bezieht sich hier nicht auf den minimalen Abstand zwischen zwei getrennt wahr- 3