Die Diskrete Fouriertransformation (DFT)

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1 Kapitel Die Diskrete Fouriertransformation (DFT). Einleitung Zerlegt man Signale in sinusoidale (oder komplex exponentielle) Komponenten, dann spricht man von der Darstellung der Signale im Frequenzbereich. In Anlehnung an die Physik wird diese Darstellung auch Spektraldarstellung genannt. Die bekannteste Form der Darstellung im Frequenzbereich ist die Zerlegung von periodischen kontinuierlichen Signalen in Fourierreihen. Die Zusammensetzung von zeitbegrenzten kontinuierlichen Signalen aus sinusoidalen Komponenten führt zur Fouriertransformation. Die Diskrete Fouriertransformation (DFT) ist eine Rechenvorschrift zur Bestimmung der Spektralkomponenten von periodischen diskreten Signalen. Mit Hilfe der diskreten Fouriertransformation sind wir in der Lage, (digitale) Signale auf eine Art und Weise zu verarbeiten (analysieren, synthetisieren, verändern), wie es bei kontinuierlichen Signalen nicht möglich ist. Bei kontinuierlichen Signalen ist man auf die Möglichkeiten der analytischen Behandlung eingeschränkt. Die analytische Behandlung liefert zwar tiefe Einsichten in das Verständnis von Signalen und Systemen, in vielen Fällen ist aber eine analytische Berechnung nicht möglich und man ist auf numerische Verfahren angewiesen. Fourierreihe, Fouriertransformation und DFT sind einander vom mathematischen Kern sehr ähnlich, was man in der Tabelle» Gegenüberstellung Fourierreihe, Fouriertransformation, DFT«leicht sehen kann. Bei jeder dieser Transformationen gibt es das Transformationspaar:

2 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Zusammensetzung eines Zeitsignals aus seinen spektralen Komponenten, Frequenzsynthese oder Übergang vom Frequenz- in den Zeitbereich genannt. Bestimmung des spektralen Inhalts eines Zeitsignals, Frequenzanalyse oder Übergang vom Zeit- in den Frequenzbereich genannt. Da das Rechnen mit sinusoidalen Komponenten im Reellen aufwendig ist, bedient man sich bei der Signalverarbeitung der komplexen Darstellung und rechnet bei Bedarf auf reellwertige Darstellung um. Die Umrechnung auf reellwertige Signale erfolgt durch Realteilbildung oder durch Darstellung in konjugiert komplexer Form. Ob ein Signal reell- oder komplexwertig ist, kann aus dem Zusammenhang erkannt werden. Um leichter unterscheiden zu können verwenden wir gelegentlich x(t) für reellwertige, x(t)für komplexwertige Signale. x(t) = Ae j(ωt+ϕ) = A cos (ω o t + ϕ) + ja sin (ω o t + ϕ) (.) { x(t) = Re Ae j(ωt+ϕ)} = A cos (ω o t + ϕ) Ae j(ωt+ϕ) = Ae } {{ jϕ } e jωt (.) X x(t) = X ejωt + X e jωt (.3) Zu beachten ist, dass in X die Phase ϕ scheinbar verschwunden ist. Dafür ist die Amplitude komplex, da die Phase ϕ durch Herausheben mit der Amplitude zusammengefasst wird. Damit spart man sich Schreibarbeit. Gegenüberstellung Fourierreihe, Fouriertransformation, DFT Synthese Analyse Fourierreihe x(t) = X k e jkωt X k = T k= Fouriertransformation x(t) = π DFT () DFT () x[n] = ω = π x[n] = ω = π T X(ω)e jωt X(ω) = X[k]e jk ωn k= X[k]e j(πk/)n k= x(t)e jkωt T T...Periodendauer ω =,..., X[k] = X[k] = x(t)e jωt x[n]e jk ωn n= x[n]e j(πn/)k n= n =,,,..., k =,,,..., Wir können uns bei der Signalverarbeitung auf Zeitsignale beschränken und sprechen von Zeit- und Frequenzbereich. Die dargestellten Methoden können aber auch auf andere Zusammenhänge angewandt werden. In diesen Fällen sprechen wir vom Original- und Bildbereich.

3 .. ZEITDISKRETE SIUSOIDALE SIGALE 3 Bei der Fouriersynthese (Übergang vom Frequenz- in den Zeitbereich) werden die Frequenzkomponenten X n e jωnt des Signals addiert. Jede Frequenzkomponente ω n hat die zugehörige (komplexe) X n Amplitude. Fourierreihe: Bei periodischen Signalen treten diskrete (endlich oder unendlich viele) Spektrallinien (Frequenzkomponenten) auf, aus denen das Signal zusammengesetzt (aufgebaut) ist. Fouriertransformation: Bei zeitlich begrenzten (aperiodischen) Signalen tritt ein kontinuierliches Spektrum (unendlich nahe beieinander liegende Spektrallinien) auf, das Aufsummieren erfolgt daher über die Integration. Anmerkung. Zeitlich begrenzte Signale haben für begrenzte Zeit Werte ungleich ull, vorher und nachher ist der Signalwert ull. Wir verwenden zum Aufbauen unserer Signale aber sinusoidale Aufbaufunktionen, die sich von bis + erstrecken, also (außer in den ulldurchgängen) ungleich ull sind. Um zu erreichen, dass der Signalwert ull wird, müssen sich die Aufbaufunktionen durch Überlagerung auslöschen. Das ist nur möglich, wenn man unendlich viele Aufbaufunktionen verwendet, die unendlich dicht liegen. DFT (): Bei der DFT treten endlich viele diskrete Spektrallinien auf, die summiert werden müssen. Um die einzelnen Frequenzkomponenten besser zu erkennen und um sich die Darstellung besser merken zu können, wurde in DFT () die (unübliche) Schreibweise mit ω gewählt. In der Literatur ist die Schreibweise DFT () gebräuchlich. Bei der Fourieranalyse werden die in x(t) enthaltenen Zeiger in die Gegenrichtung» gedreht«, also mit e jkωt multipliziert, wodurch die Komponente k angehalten wird, während alle anderen Komponenten sich mit Vielfachen von ω drehen. Bildet man nun den Mittelwert über die Periode T, so ergibt sich X k für angehaltene Komponente, für alle anderen Komponenten ist der Mittelwert ull. Bei der Fourierreihe und der Fouriertransformation treten zeitkontinuierliche Signale auf, der Mittelwert wird daher mit Integration bestimmt. Bei der DFT treten zeitdiskrete Signale auf, der Mittelwert wird daher durch Summenbildung bestimmt.. Zeitdiskrete sinusoidale Signale Wir können zeitdiskrete sinusoidale Signale in folgenden Formen darstellen x[n] = A cos(ω n + ϕ) bzw. x[n] = Xe jωn < n < Bei zeitkontinuierlichen Signalen verwenden wir ω zur Darstellung der Frequenz, bei zeitdiskreten Signale verwenden wir zur Unterscheidung ω. Wenn eine Verwechslung auszuschließen ist, verwenden wir wegen der einfacheren Schreibweise nur ω.

4 4 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Zum Unterschied von kontinuierlichen sinusoidalen Signalen gibt es für zeitdiskrete sinusoidale Signale Einschränkungen, die wir im Folgenden näher betrachten wollen. Periodizität mit der Periodendauer ist nur dann gegeben, wenn x[n + ] = x[n] für alle n Den kleinsten Wert von, für den diese Beziehung gilt, nennt man Grundperiodendauer. Für die komplexe Exponentialfunktion erhalten wir e jω(n+) = e jωn e jω = e jωn Damit diese Gleichung stimmt, muss gelten e jω = = e jkπ k beliebige ganze Zahl Aus obiger Gleichung folgt ω = πf = πk und es ist daher f = k Ein zeitdiskretes sinusoidales Signal ist nur dann peri- wenn f das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen, also rational, ist. Wir können Die zeitdiskrete sinusoidale Schwingung kann also nur dann periodisch sein, odisch, wenn seine Frequenz daher schreiben f das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen, also eine rationale Zahl ist. e jωn = e j πk n Bei gegebener Periodendauer können wir unterschiedliche komplexe Ex- Für die Periodendauer ponentialfolgen durch Änderung von k erzeugen. Es gibt allerdings nur unterschiedliche Frequenzen, da existieren nur unterscheidbare komplexe Exponentialfolgen. e j π(k+) n = e j πk n e jπn = e j πk n Der Bereich von k kann daher auf k =,,,..., eingeschränkt werden. x[n] = e j πk n, k =,,,..., Die Abbildung. zeigt den Realteil von komplexen Exponentialfolgen mit der Periodendauer = 8 (Punkte... 7). Zur besseren Erkennbarkeit der Periodizität ist der Punkt 8, der erste Punkt der neuen Periode, ebenfalls dargestellt. Die Folgen 7, 6 und 3 5 sind aus Symmetriegründen identisch. Für k > wiederholen sich die Folgen: 8, 9,, 3..3 Eigenschaften der diskreten Fouriertransformation DFT/iDFT sind, abgesehen vom negativen Vorzeichen und der Skalierung /, identisch. Ermittlung des spektralen Inhalts eines Signals x[n] X[k] = n= πn j x[n]e k k =,,,..., ( ) DFT

5 .3. EIGESCHAFTE DER DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO5 5 k = 5 k = 5 k = 5 k = 3 5 k = 4 5 k = 7 5 k = 6 5 k = 5 5 k = 8 5 k = 9 5 k = 5 k = Abbildung.: Realteil komplexe Exponentialfolge Berechnung des Signals aus seinen Spektralkomponenten x[n] = k= X[k]e j(πk/)n n =,,,..., ( ) inverse DFT Diese Schreibweise der DFT führt zu einer sehr kompakten Darstellung. Um zu» sehen«, was hinter der kompakten Darstellung steckt, lösen wir die Reihendarstellung auf und erhalten X[k] = x[]e j(π/)k k =,,,..., ( ) +x[]e j(π/)k +x[]e j(π/)k. +x[ ]e j([π( )/])k Wir wählen als Beispiel = 4 und erhalten unter Verwendung der Euler schen Beziehung e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ e jϕ = cos ϕ j sin ϕ X[k] = 3 x[n] {cos (πnk/4) j sin (πnk/4)} n=

6 6 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) X[] = x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[3] {cos (π 3 /4) j sin (π 3 /4)} X[] = x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[3] {cos (π 3 /4) j sin (π 3 /4)} X[] = x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[] {cos (π /4) j sin (π /4)} +x[3] {cos (π 3 /4) j sin (π 3 /4)} X[3] = x[] {cos (π 3/4) j sin (π 3/4)} +x[] {cos (π 3/4) j sin (π 3/4)} +x[] {cos (π 3/4) j sin (π 3/4)} +x[3] {cos (π 3 3/4) j sin (π 3 3/4)} Jeder X[k]-Term ist die Summe des Punkt-für-Punkt-Produkts der Eingangsfolge x[n] und der komplexen Exponentialfolge (hier in kartesischer Schreibweise). Die Frequenz k der sinusoidalen Folgen hängt ab von der Abtastfrequenz des Originalsignals und der Zahl der Abtastpunkte. Bei einer Abtastfrequenz von 48 Hz und 6 Punkten ist der Frequenzraster f s = 48 6 = 3 X[] = Hz, X[] = 3 Hz, X[] = 6 Hz,..., X[5] = 45 Hz Wie man sieht, steckt hinter der DFT ein beachtlicher Rechenaufwand, den man hinter der kompakten otation X[k] = πn j x[n]e k nicht vermuten würde. Als Beispiel berechnen wir das Spektrum des Signals x(t) = sin(π t) + sin(π t + 3 4π), dargestellt in Abbildung., mit n=

7 .3. EIGESCHAFTE DER DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO Abbildung.: x(t) = sin(π t) + sin(π t + 3π/4) Hilfe einer Tabellenkalkulation. Das Signal wird mit der Abtastfrequenz f s = 8 khz abgetastet. Es werden nur acht Punkte berechnet, um den Rechenaufwand gering zu halten. X[k] = { ( ) ( )} π π x[n] cos = kn j sin kn x[n] π = π π 8 n 8 n cos( π 8 n) sin( π 8 n) x[n] cos() x[n] sin() X [k = ]. j Wiederholt man obigen Rechenoperationen für k =, 7, 8, 9, so ergeben sich die Werte der folgenden Tabelle. Insbesondere kann man sehen, dass X[] = X[8], X[9] = X[],... : Das Spektrum ist periodisch. Realteil Imaginärteil Betrag Phase X[k = ]. j X[k = ].44 j X[k = 3]. j. X[k = 4]. j. X[k = 5]. j. X[k = 6].44 j X[k = 7]. j X[k =, 8]. j. X[k = 9, ]. j4. 4 9

8 8 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Realteil Imaginärteil Abbildung.3: Spektrum von x[n] = [ ] Das Spektrum des abgetasteten Signals x[n] = [ ] kann einfacher mit der Matlabfunktion X = fft(x) berechnet werden. Das ermittelte Spektrum ist in Abbildung.3 dargestellt. Die Spektralkomponente X[ ] =, da der Gleichanteil des Signals ull ist. Der Betrag der Spektralkomponente X[] = 4 und der Betrag der Spektralkomponente X[] =..3. DFT Amplituden Das Auftreten der Amplituden X[] = 4 und X[] = ist überraschend, da die Amplituden unseres kontinuierlichen Ausgangssignals bzw..5 waren. Das ist eine Besonderheit der DFT: Enthält ein reellwertiges Signal eine sinusoidale Komponente der Amplitude A, wird die zugehörige Spektralkomponente XA r = A. (Bei komplexwertigen Signalen mit sinusoidaler Komponente wird XA k = A.) Da man in der Regel an den relativen und nicht an den absoluten Amplituden der Signale interessiert ist, spielt dieser Skalierungsfaktor keine wichtige Rolle..3. Periodizität Für das Punkt DFT Paar x[n]und X[k] folgt aus den Beziehungen der DFT bzw. der idft unmittelbar x[n + ] = x[n] für alle n X[k + ] = X[k] für alle k

9 .3. EIGESCHAFTE DER DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO9 Sowohl Spektrum als auch Zeitfunktion sind periodisch fortgesetzt, es gibt Sowohl Zeitfolge als auch also keine DFT für aperiodische Folgen. Spektrum sind bei der DFT periodisch. Es gibt keine.3.3 Symmetrieeigenschaften der DFT DFT für eine aperiodische Folge! Für die Spektralkomponenten der DFT gilt: X[k] = X [ k] Re {X[k]} = Re {X[ k]}, Im {X[k]} = Im {X[ k]} Beispiel gerade: = 8 : X = X 7, X = X 6, X 3 = X 5, X 4 = reell, ungerade: = 7 : X = X 6, X = X 5, X 3 = X 4. 3 Die Symmetrieeigenschaft lässt sich mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion sehr einfach beweisen, in dem wir k für k ersetzen. X[k] = X[ k] = n= n= πn j x[n]e k X[ k] = x[n]e j πn k = X [k] n= πn j x[n]e ( k) = n= x[n]e jπn e j πn k } {{ } Aus dieser Eigenschaft können wir noch ablesen, dass der Realteil von X[k] Diese Eigenschaft gilt nur für eine gerade Funktion ist, der Imaginärteil von X[k] ungerade ist, der Betrag von reellwertige Zeitfolgen, was X[k] gerade und die Phase von X[k] ungerade ist. Für die praktische Berechnung bei technischen Signalen immer der Fall ist. bedeutet das, dass wir nur + Komponenten berechnen müssen, die restlichen Komponenten ergeben sich aus der Symmetrie..3.4 Linearität der DFT Die DFT besitzt die Eigenschaft der Linearität wir können daher den Überlagerungssatz anwenden. Deshalb können komplexe Signale in sinusoidale Komponenten zerlegt und dann die DFT angewandt werden. x [n] + x [n] = X [k] + X [k] X + [k] = = n= n= {x [n] + x [n]} e πn j k πn j x [n]e k Frequenzachse der DFT n= x [n]e πn j k = X [k] + X [k] Durch die Abtastung der Signale geht die Frequenzachse verloren. Am Beispiel Ohne Kenntnis der Abtastfrequenz können wir das Signal nicht eindeutig rekon- 3 Die DFT berechnet das Spektrum von π. Häufig ist es anschaulicher das Spektrum von π bis π darzustellen. Mit Hilfe der Matlab-Funktion fftshift(x) kann das erreicht werden. struieren!

10 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Abbildung.4: Abbbildung. zeitverschoben Liegt ein Signal spiegelsymmetrisch um den ullpunkt, ist die Phase immer ull. der Kosinusschwingung sehen wir, dass x[n] = x(nt ) = A cos(ωnt s + ϕ) = A cos( ωn + ϕ) und wir erhalten die normalisierte Kreisfrequenz ω = nt s. Von der diskreten Darstellung finden wir zur kontinuierlichen Darstellung. Der Abstand der Spektrallinien der, außerhalb dieses Rasters treten keine Spektrallinien auf. über die Beziehung f kontinuierlich = k fs DFT ist daher fs.3.6 (Zirkuläre ) Verschiebung im Zeitbereich Wenn die DFT des Signals x[n] X[k] ist, dann gilt für das zeitverschobene Signal x[n m] X verschoben [k] = X[k]e πk j m Das Spektrum des zeitverschobenen Signals errechnet sich also aus X[k], wobei jede Spektralkomponente k eine frequenzproportionale (lineare) Phasenverschiebung von e m erfährt. Das Amplitudenspektrum des zeitverschobenen πk j Signals bleibt wenig überraschend unverändert. Für unser Beispiel Abbildung. haben wir Betrags- und Phasenspektrum berechnet und erhalten die Phasen k = 9, k = +45 Verschieben wir unser Signal nach links, in Abbildung.4 um n = 3, dann erhalten wir x[n] = [ ] Das zugehörige Spektrum ist in Abbildung.5 dargestellt. Das Betragsspektrum ist unverändert, das neue Phasenspektrum ergibt sich durch Multiplikation mit e j πk m e j π 8 3 = 35 und e j π 8 3 = 7 aus den Phasen des nichtverschobenen Signals = 45 und = 35 = 45. Ein zweites Beispiel, dargestellt in Abbildung.6, zeigt die Verschiebung einer Dreiecksfolge. Liegt die Dreiecksfolge symmetrisch um n =, dann ist die Phase ull. Bei Verschiebung nach rechts wird die Phase negativ, bei Verschiebung nach links positiv.

11 .3. EIGESCHAFTE DER DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO Betrag Phase Abbildung.5: Spektrum von x[n] = [ ] 5 5 symmetrisch um ullpunkt 5 5 verschoben nach rechts 5 5 verschoben nach links 4 6 Phase ull 4 6 Phase negativ 4 6 Phase positiv Abbildung.6: Verschiebung Dreiecksfunktion

12 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Zeitbereich f = Zeitbereich f = Betragsspektrum 5 5 Betragsspektrum Abbildung.7: Darstellung des Leckeffekts.4 Anwendung der DFT.4. Frequenzachse der DFT (Teil ) Die Spektralkomponenten der DFT können nur im Abstand von fs liegen. Enthält das Signal Frequenzkomponenten, die nicht auf Spektrallinien liegen, dann» nähert«die DFT diese Frequenzen durch benachbarte Frequenzen an. Darstellung.7 zeigt links ein Signal der Frequenz f = mit einer 3-Punkt DFT (nur die Hälfte des Spektrums ist dargestellt). In Fall von f = liegt die Spektrallinie wie erwartet auf k =. Das zweite Signal (rechts in der Abbildung) hat die Frequenz f =.5, die nicht auf dem Frequenzraster liegt, da k =,,,..., 6 sein muss. Das Spektrum kann daher nur» angenähert«werden. Durch Wahl eines größeren kann das Frequenzraster feiner gemacht werden. Da aber die spektrale Zusammensetzung eines praktischen Signals in der Regel nicht bekannt ist, ist es unwahrscheinlich, dass die Spektralkomponenten auf dem Raster liegen. Daher ist das mit Hilfe der DFT ermittelte Spektrum in der Regel nur eine äherung. Den Effekt, der durch die Rasterung der Spektrallinien auftritt, nennt man Leck-Effekt oder Leakage..4. Leck-Effekt (Leakage) Um zu einem besseren Verständnis des Leck-Effekts zu gelangen, untersuchen wir die DFT der komplexen Exponentialfolge x[n] = e j( ωn+ϕ) n =,,,..., im Detail und erhalten

13 .4. AWEDUG DER DFT 3 X[k] = n= x[n]e j(π/)kn = n= e j( ωn+ϕ) e j(π/)kn Wir heben e jϕ heraus, fassen zusammen und schreiben die Reihe aus e jϕ n= e πk j( ω)n = e jϕ [ e j() + e πk j( Unter Verwendung der Reihensumme ω) + e L m= aus dem obigen Ausdruck in eckiger Klammer x m = πk jϕ e j( ω) X[k] = e πk e j( ω) πk j( { ω) e x L+ x x L + x = πk j( ω)( )] wird Zur Vereinfachung der Schreibweise führen wir die Abkürzung Ψ = ( πk ω ) ein und erhalten e jϕ e jψ e. jψ Heben wir jetzt im enner e jψ/ und im Zähler e jψ/ heraus wird daraus ( ) ( ) e jϕ e jψ e jψ e jψ e jψ e jψ ( ) = e jϕ jψ e ( ) e j Ψ e j Ψ e j Ψ e j Ψ e j Ψ Unter Verwendung der Euler schen Beziehung sin Ψ = ejψ e jψ j wird aus dem obigen Ausdruck e jϕ jψ sin(ψ e ) und nach Rücksubstitution von Ψ erhalten wir sin( Ψ ) ( πk X[k] = e jϕ j e ( πk ω) sin [ ω } {{ } sin [ ( πk nur Phase ω )] } {{ } Diriclet sche Funktion Der Teil e j(...) stellt eine Phasenbeziehung dar, der zweite Teil des Ausdrucks ist als Diriclet sche Funktion (DF) oder periodische sinc-funktion bekannt. Damit haben die DFT berechnet und können für ω auswerten. Abbildung.8 zeigt die Diriclet sche Funktion für = 8, ausgewertet für den Wertebereich von... π. Wie wir sehen, besteht X[k] = e jϕ j e ( πk ω) sin [ } {{ } sin [ nur Phase )] ( πk ω )] ( πk ω )] } {{ } Diriclet sche Funktion» Proben«der DF. Wir berechnen nun X[k], wobei wir uns nur für die Amplituden der Spektralkomponenten interessieren und daher den Phasenterm weglassen. Für die Komponente mit f = 3 erhalten wir Abbildung.9 aus

14 X(f) x( t) 4 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) = 8 Abbildung.8: Diriclet sche Funktion Time Domain (f = 3, T =, fs = 8, = 8) t 4 Frequency Domain f Abbildung.9: Frequenz auf Raster kein Auftreten von Leakage

15 X(f) x(t).4. AWEDUG DER DFT 5 Time Domain (f =.3, T =, fs = 8, = 8) t Frequency Domain f Abbildung.: Frequenz nicht auf Raster Leakage zeichnet, das Ausgangssignal in Blau, die periodische Fortsetzung in Grün. Im Beispiel mit f = 3 sehen wir, dass die periodische Fortsetzung des Signal (grau markierter Bereich) das Originalsignal kontinuierlich, ohne Sprung, weiterführt. Das ist immer dann der Fall, wenn die Signalfrequenz im Raster der Abtastung liegt. Im Beispiel mit f =.3 sehen wir, dass die periodische Fortsetzung des Signals (grau markierter Bereich) zu einem Sprung am Ende der Periodendauer führt. Das bedeutet mit anderen Worten, dass die DFT nicht das Spektrum der Kosinusfunktion mit Frequenz f =.3 ermittelt, sondern das Spektrum der abgeschnittenen und periodisch fortgesetzten Kosinusfunktion. Für diese» abgeschnittene und periodisch fortgesetzte«kosinusfunktion wird das Spektrum korrekt berechnet! Anhand der beiden Beispiele können wir den Leck-Effekt besser verstehen. Das hilft allerdings bei der Berechnung der Spektren wenig: Die nicht auf dem Frequenzraster liegen Signalkomponenten können nur näherungsweise dargestellt werden. In unseren beiden Beispielen haben wir zur einfacheren Rechnung das komplexe Signal x[n] = e j( ω+ϕ) verwendet. Für den (reellwertige) Kosinus ist aber Als zweites Beispiel (Abbildung.) werten wir für f =.3 aus, also einer Frequenz, die nicht auf dem Raster der DFT liegt. Die DF wird wieder im Frequenzraster,,,..., 5 ausgewertet, da die DFT nur für diese Frequenzen existiert. Das Hauptmaximum der DF Funktion liegt aber bei f =.3, die DF ist gegenüber dem vorherigen Beispiel (f = 3) verschoben. Die Anteile der DF werden in den Punkten,,,..., 5 nicht ull! Das Spektrum für wird mit Hilfe aller Spektralkomponenten» angenähert«. In den beiden Beispielen sind die kontinuierlichen Signale als Referenz einge- Das der DFT zu Grunde liegende Signal ist auf Grund der Abtastung immer periodisch. Es gibt keine DFT einer aperiodischen Funktion!

16 X(f) x(t) 6 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Time Domain (f =., T =, fs = 8, = 8).5.5 t Frequency Domain f Abbildung.: Leakage (reelwertiger) Kosinus ( x[n] = e j( ω n+ϕ) + e j( ωn+ϕ)), wir müssen daher die Spektren von e j( ωn+ϕ) und e j( ωn+ϕ) überlagern. Das Ergebis dieser Berechnung ist in Abbildung. dargestellt..4.3 Spektrum nichtperiodischer Signale Die DFT beruht auf periodischen Folgen, die Signaldarstellung ist im Zeit- und im Frequenzbereich daher immer periodisch. Es gibt keine DFT einer aperiodischen Funktion! In praktischen Anwendungen gibt es aber keine periodischen Signale, jedes Signal hat seinen Anfang und sein Ende. Da die DFT nur für periodische Signale definiert ist, helfen wir uns damit, dass wir an das periodische Signal ullen anhängen, um ichtperiodizität anzunähern. Wir müssen uns aber immer darüber im Klaren sein, dass wir es mit periodischen Signalen zu tun haben, auch wenn wir für die Berechnung nur eine Periodendauer brauchen. Wenn wir das Einfügen von ullen (zero-padding) verwenden wollen, stellt sich natürlich die Frage, wie viele ullen wir einfügen sollen. Je mehr ullen desto größer der Rechenaufwand, wir wollen also die Zahl der eingefügten ullen gering halten, aber dennoch ichtperiodizität gut annähern. Wir stellen die Zusammenhänge anhand eines Beispiels dar. { ( ).5 cos π x[n] = L n L sonst Zunächst wollen wir keine ullen einfügen und erhalten Abbildung. Wir stellen nur eine Periodendauer dar, müssen uns das Signal aber periodisch fortgesetzt denken. Im Spektrum sehen wir den Gleichanteil und die

17 .4. AWEDUG DER DFT 7 Zeitbereic h L= 6 = Frequenzbereich Abbildung.: Ohne Zero Padding Spektralkomponente der Kosinusfunktion. Im zweiten Beispiel fügen wir 6 ullen an und erhalten Abbildung.3. Wir sehen, dass nur die ersten sechs Spektrallinien erkennbar sind, für höhere Frequenzen werden die Amplituden sehr klein. Erhöhen wir wird die Darstellung zwar feiner, aber am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, wie in Abbildung.4 gezeigt. Lassen wir gehen, wird aus der DFT die zeitdiskrete Fouriertransformation (Discrete Time Fourier Transform) DTFT X(ω) = n= x[n]e jωn Die DTFT hat eine aperiodische und diskrete Zeitfunktion und ein periodisches kontinuierliches Spektrum. Das in Abbildung.5 gezeigte Beispiel zeigt das Ergebnis der DTFT der Folge x[n] = (.5) n δ [n] X(ω) =.5e jω Die DTFT ist in der digitalen Signalverarbeitung vor allem von theoretischem Interesse, da ein kontinuierliches Spektrum nicht gespeichert und mit dem Rechner verarbeitet werden kann. Die DFT entsteht durch Abtastung des Spektrums aus der DTFT in den Punkten ω π k k =,,...,. Zero Padding liefert selbstverständlich keine zusätzliche Information über das Spektrum des Signals, es» verbessert«lediglich die Darstellung der DFT. Um die spektrale Auflösung von zwei Signalen zu verbessern, müssen bei der Abtastung mehr Signalproben ungleich ull genommen werden. Das Frequenzspektrum einer Punkt DFT besteht aus /+ Spektrallinien zwischen ull

18 8 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Zeitbereich L= 6 = Frequenzbereich Abbildung.3: Anfügen von 6 ullen Zeitbereich L= 6 = Frequenzbereich Abbildung.4: Anfügen von 8 ullen

19 .4. AWEDUG DER DFT Zeitbereich Betragsspektrum Phasenspektrum Abbildung.5: Diskretzeit Fouriertransformation und der halben Abtastfrequenz. Um zwei benachbarte Spektrallinien auflösen zu können, muss der Abstand der Spektrallinien dem Abstand des Frequenzrasters sein, wie in Abbildung.6 gezeigt In Abbildung.6 liegen die Spektrallinien (zufällig) auf dem Frequenzraster. Verschieben wir die beiden Spektrallinien um ein Viertel des Frequenzrasters, tritt Leakage auf und wir erhalten das Spektrum in Abbildung.7 Im Beispiel Abbildung.8 liegt eine Spektrallinie auf dem Frequenzraster, eine zweite Spektrallinie im Abstand von einem Viertel der Rasterfrequenz und kann daher nicht mehr aufgelöst werden..4.4 Fenstertechnik Den Ausdruck X[k] = sin [ ( πk sin [ ω )] ( πk ω )] können wir, wie bei Filtern, als» Amplitudengang«der DFT interpretieren: Die komplexe Exponentialfolge x[n] = e j( ω+ϕ) wird im Zeitbereich mit der Rechteckfunktion (Rechteckfenster) multipliziert. Einer Rechteckfunktion im Zeitbereich entspricht aber immer eine (periodische) sinc-funktion im Frequenzbereich und umgekehrt. Das Rechteckfenster bzw. dessen DFT helfen uns, den Leckeffekt zu verstehen. Wir wollen nun an Stelle des Rechteckfensters andere Fenster verwenden und deren Einfluss auf die DFT untersuchen. Die Zusammenhänge bei der Fenste-

20 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Zeitbereich f = Zeitbereich f = Zeitbereich f + f Betragsspektrum Abbildung.6: Spektrallinien liegen auf Frequenzzraster Zeitbereich f = Zeitbereich f = Zeitbereich f + f Betragsspektrum Abbildung.7: Spektrallinien aus.6 um ein Viertel im Raster verschoben

21 .4. AWEDUG DER DFT Zeitbereich f = Zeitbereich f = Zeitbereich f + f Betragsspektrum Abbildung.8: Eine Spektrallinie auf Raster, zweite um ein Viertelraster verschoben rung sind in Abbildung.9 dargestellt. Es mag seltsam erscheinen, dass wir die Kosinusfunktion nicht einfach mit einem Rechteckfenster beschneiden, sondern ein Dreiecksfenster w D = ein von Hann-Fenster { n / n =,,,... / n / n = /,..., [ ( )] π w Hn =.5 cos, n =,,,... oder ein Hammingfenster ( ) π w Hm = cos, n =,,,... verwenden. Wir werden aber sehen, dass die Verwendung von Fenstern einen vorteilhaften Einfluss auf den Leck-Effekt hat. Bei Verwendung eines Fensters wird die DFT X[k] = n= w[n]x[n]e πn j k

22 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Recheckfensterfenster von Hann Fenster Dreiecksfenster Hammingfenster Abbildung.9: Fenster im Zeitbereich Die Fenster sind in Abbildung. im Zeit- und im Frequenzbereich dargestellt 4, wobei im Frequenzbereich, zur besseren Bewertbarkeit, die Amplituden logarithmisch dargestellt sind. Wir sehen, dass das Rechteckfenster im Frequenzbereich die schmalste Hauptkeule aufweist. Die genaue Auswertung zeigt, dass die Breite der Hauptkeule f s / ist. Das Maximum der ersten ebenkeule ist aber nur 3 db unter der Hauptkeule, das ist der schlechteste Wert von allen Fenstern. Das Dreieckfenster hat eine stärkere Dämpfung der ersten ebenkeule, 6 db, allerdings ist die Hauptkeule doppelt (f s /) so breit. Die Höhe der ebenkeulen liefert ein Maßfür den Leck-Effekt, je größer die Dämpfung, desto geringer der Leck-Effekt. Die Breite der Hauptkeule ist ein Maßfür die Selektivität der DFT, je schmaler die Keule, desto selektiver. Das von Hann-Fenster zeichnet sich durch eine große Dämpfung der ersten ebenkeule, 3 db, aus, die weiteren ebenkeulen sind noch stärker gedämpft, allerdings auch um den Preis, dass die Breite der Hauptkeule f s / beträgt. Das Hamming-Fenster hat eine stärkere Dämpfung der ersten ebenkeule, 48 db. Die geringste ebenkeulendämpfung, die bei der dritten ebenkeule auftritt, beträgt 4 db. Auch das Hamming-Fenster hat eine Hauptkeule deren Breite f s / beträgt. Auswirkung der Fenster Abbildung. zeigt die Auswirkung des Rechteck- und des von Hann- Fensters auf eine Spektrallinie, die auf dem Frequenzraster liegt. Wir sehen, dass das Rechteckfenster, wie zu erwarten, eine Spektrallinie anzeigt, während das 4 Matlab stellt dazu die Funktion wvtool und wintool zur Verfügung.

23 Amplitude Magnitude (db).4. AWEDUG DER DFT 3 Time domain 4 Frequency domain Rechteck.8 Hamming.6 4 Dreieck Hann S amples ormalized Frequency ( π rad/sample) Abbildung.: Rechteck-, Dreieck-, Hammning-, Hann-Fenster von Hann-Fenster nicht eine einzige Spektrallinie, sondern ein breiteres Spektrum anzeigt, was in diesem Fall ein achteil ist. Abbildung. zeigt ein einzelnes Signal, das nicht auf dem Raster liegt. Wir sehen, dass das Hann-Fenster eine vorteilhafte schärfere spektrale Auflösung zeigt, während beim Rechteckfenster das Spektrum verschmierter ist. In Abbildung.3 sehen wir das Spektrum zweier nahe beisammen liegende Spektrallinien, die beide auf dem Frequenzraster liegen. Die Amplituden des Signale verhalten sich wie :.5. Auf Grund der schmäleren Hauptkeule trennt das Rechteckfenster die beiden Spektrallinien schärfer als das Hann-Fenster. Abbildung.4 zeigt als letztes Beispiel zwei benachbarte Signalkomponenten (Amplituden :.5), die beide nicht auf dem Frequenzraster liegen. Wir sehen, dass das Hann-Filter die beiden Spektrallinien noch gut separiert, während beim Rechteckfenster die Trennung wesentlich schlechter ist. Der Grund für die deutlichere Trennung des Hann-Fensters ist die stärkere Dämpfung der ebenkeulen. Wir halten fest, dass nur das Rechteckfester eine Hauptkeulenbreite von f s / aufweist, was aus Sicht der Selektivität ein Vorteil ist. Alle anderen hier vorgestellten Fenster haben eine Hauptkeulenbreite von f s /, allerdings ist die Dämpfung der ebenkeulen bei diesen Fenstern größer, was letztlich zu einer höheren Selektivität bei Signalkomponenten, die nicht auf dem Frequenzraster liegen (und das ist die Regel) führt. Es ist zu beachten, dass bei Folgen mit Zero Padding das Fenster nur auf den Bereich der Werte ungleich ull angewendet werden darf!

24 4 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Rechteckfenster 4 6 von Hann Fenster Abbildung.: Einzelsignal auf Frequenzraster Rechteckfenster 4 6 von Hann Fenster Abbildung.: Einzelsignal ICHT auf Raster

25 .4. AWEDUG DER DFT Rechteckfenster 4 6 von Hann Fenster Abbildung.3: Zwei Signale, beide auf Frequenzraster Rechteckfenster 4 6 von Hann Fenster Abbildung.4: Beide Signale ICHT auf dem Frequenzraster

26 6 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Abbildung.5: DFT als Filterbank.4.5 DFT als Filterbank Die DFT ermittelt die Spektralkomponenten eines Signals. Man kann die DFT daher auch als» Spektrumanalysator«auffassen, der mit Hilfe von zahlreichen Filtern die Frequenzkomponenten des Signals ermittelt. Diesen Zusammenhang macht Abbildung.5 deutlich. Für jede Spektrallinie gibt es ein Filter, wobei die Filtercharakteristik dem Frequenzgang der DFT (mit Fenster) entspricht..4.6 Matrixdarstellung der DFT Führt man bei der Darstellung der DFT/iDFT X[k] = x[n] = n= πn j x[n]e k k =,,,..., ( ) DFT k= X[k]e j(πk/)n n =,,,..., ( ) inverse DFT die Abkürzung W = e jπ/ ein, so erhalten wir X[k] = n= x[n] = x[n]w kn k =,,,..., ( ) DFT k= X[k]W kn n =,,,..., ( ) inverse DFT Wir schreiben die Summendarstellung aus und erhalten

27 .4. AWEDUG DER DFT 7 X[] = x[] + x[] + x[] x[ ] X[] = x[] + x[] W + x[] W x[ ] W X[] = x[] + x[] W + x[] W x[ ] W ( ). X[ ] = x[] + x[] W W = + x[] W ( ) x[ ] W ( )( ) Diesen Ausdruck können wir in Matrixschreibweise darstellen und erhalten X[] X[] X[].. X[ ] X = W x =.... W W... W W W 4... W ( ). W..... W ( )... W ( )( ) x[] x[] x[]. x[ ] Wir sehen, dass die Matrix symmetrisch um die Hauptdiagonale ist und die Elemente W, W,..., W ( )( ) hat. Diese Symmetrieeigenschaft kann man vorteilhaft bei der Berechnung der DFT ausnützen. Die inverse DFT erhalten wird durch Matrixinversion. Die Matrixinversion ist sehr leicht durchzuführen, da die inverse W nur die konjugiert komplexe Matrix multipliziert mit / ist. x = W X wobei W = W Die Matlabfunktion dftmtx() erzeugt die DFT-Matrix. Die Werte der DFT-Matrix für = 8 sind in folgender Tabelle dargestellt. + i + i + i + i + i + i + i.7 -.7i - i i - + i i + i.7 +.7i - i - + i + i + i - i - + i + i i + i.7 -.7i - + i.7 +.7i - i i - + i + i - + i + i - + i + i - + i i - i.7 +.7i - + i.7 -.7i + i i + i - + -i - i + i + i - + -i - i.7 +.7i + i i - + i i - i.7 -.7i Abbildung.6 stellt die Werte der = 8 mit Hilfe von compass(dftmtx(8)) dar. Wir können aus der DFTMTX und dem Zeigerdiagramm gut erkennen, dass Die FFT ist identisch mit der Symmetrien vorliegen. Diese Symmetrien werden in der Schnellen Fouriertransformation ausgenützt, um den Rechenaufwand zu minimieren. DFT. Sie ist lediglich eine besonders effektive Berechnung der DFT, die auf Folgen, deren Läge ein ganzzahliges Vielfache von betragen muss, eingeschränkt ist.

28 8 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Abbildung.6: Werte der DFT-Matrix für = Periodische (zirkuläre) Faltung Die Faltung ist eine wichtige Operation bei der Signalverarbeitung, die allerdings sehr rechenaufwendig ist. Die Faltung ist eine Operation im Zeitbereich. Es ist aber auch möglich, die Faltung im Frequenzbereich zu berechnen. Dazu müssen die zu faltenden Folgen mit Hilfe der DFT in den Frequenzbereich transformiert werden, dort miteinander multipliziert werden und dann wieder in den Zeitbereich zurücktransformiert werden. In Erinnerung an den hohen Rechenaufwand bei der DFT mag diese Vorgangsweise aufwendig erscheinen. Durch die Verwendung der Fast Fouriertransformation (FFT) ist aber die Rechenzeit bei großem auf diesem Weg kürzer. Die Berechnung der Faltung rufen wir uns mit einem Beispiel in Erinnerung f = [ ] g = [ ] conv(f,g)= [ ] Die Länge des Faltungsprodukts Länge(f g) = Länge(f)+Länge(g). Berechnen wir nun die Faltung über die DFT, so erhalten wir ifft(fft(f).*(fft(g))) [ ] also ein anderes Ergebnis als bei der Faltung im Zeitbereich. Abbildung.7 stellt die unterschiedlichen Faltungsergebnisse dar. Die Erklärung finden wir, wenn wir uns die Periodizität der DFT in Erinne-

29 .4. AWEDUG DER DFT Lineare Faltung Zirkuläre Faltung Abbildung.7: Lineare zirkuläre Faltung rung rufen. Die Operation, die wir ausführen, ist die zyklische Faltung. Abbildung.8 erklärt den Zusammenhang: Die Werte von f sind auf dem inneren Kreis angeordnet, die Werte von g auf dem äußeren. Zum Zeitpunkt n = werden die gegenüberliegenden Werte multipliziert und summiert. (f g) = f g +f g 3 +f g +f 3 g. Dann wird der äußere Kreis um eine Position verdreht und wieder multipliziert und addiert (f g) = f g + f g + f g 3 + f 3 g. Allgemein gilt f[n] g[n] = l= f[l]g[n l] = l= g[l]f[n l] Zur Unterscheidung notieren wir die aperiodische Faltung mit, die zyklische Faltung mit. Wenn wir die DFT zur Berechnung der aperiodisch Faltung verwenden wollen, müssen wir uns durch Anhängen von g ullen an f und f ullen an g behelfen. Dann erhalten wir die aperiodische Faltung im Frequenzbereich, durch Rücktransformation die aperiodische Faltung im Zeitbereich. F = fft([f zeros(,length(g)-)]) G = fft([g zeros(,length(f)-)]) conv(f,g) = ifft(f.*g) = [ ].4.8 Lange Signale Schnelle (FFT) Faltung Bei der Berechnung der Systemantwort im Zeitbereich ist bekanntlich das Signal mit der Impulsantwort zu falten. Lange Signale, z.b. Audio-Signale im

30 3 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Abbildung.8: Zyklische Faltung Minutenbereich, werden wegen des hohen Rechenaufwands und um Ergebnisse in» Echtzeit«zu erhalten, in kürzere Zeitabschnitte zerlegt. Bei der Berechnung bedient man sich vorteilhaft der schnellen Faltung mit Hilfe der FFT. Die Vorgangsweise wird an einem einfachen Beispiel demonstriert: Signal s[n] = [ 3 ], Impulsantwort h[n] = [ ] Wir zerlegen das Signal in Blöcke gleicher Länge 5 s[n] = [ 3 ] Da wir die aperiodische Faltung brauchen, müssen wir, um die DFT korrekt verwenden zu können, ullen anhängen: An die Abschnitte von s[n] müssen wir Länge(h[n]) = ullen anhängen, an h[n] müssen wir Länge(Abschnitte von s[n]) = ullen anhängen s[n] = [ 3 h[n] = [ ] ] Die Ergebnisse der Faltung der einzelnen Abschnitte werden dann wieder zusammengesetzt [ [ Diese Operation tritt sehr häufig auf und Matlab bietet dafür die Funktion fftfilt an s=[ 3 ]; h=[ ]; y=fftfilt(h,s,3) 5 In praktischen Anwendungen kann die Blöcklänge viele hundert Elemente lang sein.

31 .5. DIE SCHELLE FOURIERTRASFORMATIO (FFT) Abbildung.9: Faltung mit Hilfe von fftfilt Abbildung.9 zeigt das Ergebnis der Faltung mit Hilfe von fftfilt..5 Die schnelle Fouriertransformation (FFT) Es gibt eine Vielzahl von Algorithmen zur Berechnung der schnellen Fouriertransformation, die auf Basis, 4 oder gemischten Basen beruhen, die Dezimation im Zeit- oder im Frequenzbereich durchführen, mit reeller oder komplexer Darstellung arbeiten. Wir beschäftigen uns nur mit dem Radix--Algorithmus. Das Grundprinzip ist die Aufteilung (Dezimation) von Punkt / Punkt /4 Punkt... Punkt Folgen und die Ausnützung der Symmetrie- Eigenschaften und der Periodizität von W k = e jπk/. Da W k eine wichtige Rolle bei der Signalverarbeitung spielt, stellt Matlab die Funktion dftmtx() zur Verfügung, die die Elemente der Matrix W berechnet 6. Abbildung.6 zeigt die Werte von W k = e jπk/ k =,,... Unter Verwendung der Funktion dftmtx() kann die Berechnung der DFT entsprechend der Matrixschreibweise durchgeführt werden: Das folgende Beispiel und Abbildung.3 zeigen die Schritte der Berechnung des Spektrum einer Rechteckfolge sig=[ ]; =length(sig); SIG=sig*dftmtx(); sigrueck=(/)*(sig*conj(dftmtx())); Die Symmetrieeigenschaften der DTFT_Matrix, die bei der Berechnung der FFT vorteilhaft ausgenützt werden können, sind in Abbildung.6 dargestellt W 8 wiederholt sich nach Vielfachen von 6 Wegen der gedrehten Zeiger wird W k in der Literatur auch Twiddle-Faktor genannt.

32 3 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Signal Betragsspektrum Signal => Transf => Rücktransf Abbildung.3: Rechtecksignal: Zeit- Frequenz- Zeitsignal W 8 = W 8 8 = W 6 8 =... W k = W k+i i =,,... Die Zeiger von W k unterscheiden sich nur in der Phase Zeiger in der Gegenphase haben unterschiedliches Vorzeichen W k = W k+ Diese Eigenschaften verwenden wir bei der Dezimation im Zeitbereich. Zunächst teilen wir x[n] n =,,..., in eine Folge mit geraden (g) und ein Folge mit ungeraden (u) Indizes auf W k ( ) x g = x[m] x u = x[m + ] m =,,..., X[k] = Damit wird n= x[n]w kn = m= x[m]w km + m= x[m + ]W k(m+) In der zweiten Summe teilen wir den Exponenten in zwei Teile und können vor die Summe schreiben, da es nicht von m abhängt. Wir erhalten daher X[k] = n= x[n]w kn = x[m] } {{ } m= x g[m] W km + W k x[m + ] } {{ } m= x u[m] W km Aus der Zeigerdarstellung von W k sehen wir, dass W W = W, sodass wir substituieren können π = e j π j = e /

33 .5. DIE SCHELLE FOURIERTRASFORMATIO (FFT) 33 Abbildung.3: FFT» Butterfly«X[k] = m= x[m]w km + W k m= x[m + ]W km k =,,,..., Die Teilsummen obiger Gleichung stellen jeweils eine DFT der Länge / dar und wir können schreiben X[k] = DFT = X g [m] + W k X u [m] {x g [m]} + W k DFT {x u [m]} (.4) Wir haben die Berechnung der DFT von x[n] n =,,..., aufgeteilt in die Berechnung der DFT von x g = x[m] x u = x[m + ] m =,,..., ( ). Gleichung.4 muss für alle k berechnet werden. Die Spektren X g [m] und X u [m] sind periodisch in / und können daher einfach periodisch fortgesetzt werden. Aus der Beziehung der Gegenphase W k+ [ X k + = W k ( X[k] = X g [k] + WX k u [k] k =,,..., ] = X g [k] W k X u [k] k =,,..., wird schließlich ) ( ) X g ist die / Punkt DFT von x g [n] und X u ist die / Punkt DFT von x u [n]. Der Signalflussgraph in Abbildung.3 stellt die Zusammenhänge grafisch dar Das Aufteilen in» gerade«und» ungerade«anteile lässt sich ausgehend von solange fortsetzen, bis = ist. Das soll am Beispiel für = 8 in Abbildung.3 gezeigt werden. Im nächsten Schritt wird in Punkt DFTs zerlegt, wie in Abbildung.33 gezeigt. Wie man sieht, muss x[n] etwas ungewohnt [ ] indiziert werden, um die FFT zu starten. Diese Adressierung wird von Signalprozessoren hardwareunterstützt durchgeführt und ist relativ einfach zu implementieren, wenn man folgenden Zusammenhang berücksichtigt

34 34 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Abbildung.3: Aufteilung der 8 Punkt DFT Abbildung.33: Aufteilung in Punkt DFTs

35 .5. DIE SCHELLE FOURIERTRASFORMATIO (FFT) 35 n= Dezimal- Binär- Bit- Dez. Bit- Index Index reversed reversed Die Berechnung des» geraden«und» ungeraden«teils X g [k] und X u [k] verlangt ( ) komplexe Operationen, die Berechnung von W k X u [k] verlangt zusätzlich / Operationen, das ergibt insgesamt ( + ) / Operationen. Bei großem wird ( + ) / /, die Zahl der Operationen durch die Aufteilung in» geraden«und» ungeraden«teil halbiert sich also. Für die Berechnung der DFT X[k] = πn j x[n]e k sind ungefähr komplexe Multiplikationen erforderlich. Bei der FFT reduziert sich die Zahl der komplexen 7 Multiplikationen auf log ()..5. Inverse DFT DFT und inverse DFT unterscheiden sich lediglich durch den Skalierungsfaktor / und das negative Vorzeichen in der Exponentialfunktion X[k] = x[n] = πn j x[n]e k DFT n= X[k]e j(πk/)n k= inverse DFT Häufig liegen Software-Routinen oder dedizierte Hardware vor, die den FFT- Algorithmus implementieren und man möchte die vorliegenden Lösungen auch für die ifft verwenden. Wir untersuchen, wie die ifft mit Hilfe der FFT durchgeführt werden kann. Dazu konjugieren wir zunächst beide Seiten der ifft; die Konjugierte des Produktes kann durch das Produkt der Konjugierten ersetzt werden und wir erhalten x[n] = { k= X[k]e j(πk/)n } = k= Daraus wird schließlich, wie in Abbildung.34 gezeigt. 7 Darunter sind auch Multiplikationen mit bzw.. X[k] e j(πk/)n

36 36 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Abbildung.34: Berechnung der ifft mit Hilfe der FFT x[n] = { k= X[k] e j(πk/)n } Die Konjugierte von X[k] wird durch egation des Imaginärteils berechnet, dann wird die FFT durchgeführt, das Ergebnis mit / skaliert und die Konjugierte von x[n] wieder durch egation gebildet. Bei reellen Zeitfolgen ist der Imaginärteil von x[n] ull, die Multiplikation mit und / kann daher entfallen. Eine weitere Möglichkeit der Berechnung der ifft durch die FFT ist in Abbildung.35 dargestellt x[n] = = = +j k= k= k= X[k]e j π n (.5) { ( ) ( )} π π {X Re [k] + jx Im [k]} cos n + j sin n { ( ) ( )} π π X Re [k] cos n X Im [k] sin n { X Re [k] sin π n + jx Im[k] cos ( π n Gleichung.5 ist der allgemeine Ausdruck für die FFT. Tauschen wir nur am Eingang des FFT-Blocks Real- und Imaginärteil X tausch = X Im [k]+jx Re [k] und berechnen die FFT, erhalten wir )} X tausch = k= = +j { ( ) ( )} π π {X Im [k] + jx Re [k]} cos n + j sin n k= { ( π X Im [k] cos { X Re [k] cos ( π n ) n ) ( )} π X Re [k] sin n } + X Im [k] sin π n

37 .6. ZUSAMMEFASSUG 37 Abbildung.35: Berechnung der ifft mit Hilfe der FFT Tauschen wir nun am Ausgang des FFT-Blocks Real- und Imaginärteil des Ergebnisses, erhalten wir +j k= { ( π X Re [k] cos { X Im [k] cos ( π n ) n + X Im [k] sin π } n ) ( )} π X Re [k] sin n (.6) Gleichung.6 stellt die ifft dar, wenn wir noch Real- und Imaginärteil mit / multiplizieren. Wir wir sehen, dass wir mit diesem Vorgehen die ifft mit Hilfe der FFT berechnen können, wie in Abbildung.35 gezeigt..5. Anfügen von ullen Wie wir gesehen haben, spielt das Anfügen von ullen (Zero-padding) im Zeitbereich eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Faltung über die Schnelle Fouriertransformation. Durch Zero-padding können wir die Faltung im Frequenzbereich mit Hilfe der FFT berechnen. Wenn die Länge von Signalen keine Potenz von zwei ist, kann die FFT nicht verwendet werden. In derartigen Fällen bringt man das Signal durch Anfügen von ullen auf die geeignete Länge. Schließlich wird Zero-padding im Zeitbereich verwendet, um mehr Punkte im Frequenzbereich zu erhalten. Damit erhält man keine zusätzlichen Informationen über das Signal, es wird lediglich im Spektralbereich interpoliert..6 Zusammenfassung Die diskrete Fouriertransformation ist einer der wichtigsten Algorithmen in der digitalen Signalverarbeitung (DSP). Manche Aufgabenstellungen lassen sich gut im Zeitbereich lösen, andere wiederum lassen besser oder überhaupt nur im Frequenzbereich lösen. Daher ist der Übergang Zeitbereich Frequenzbereich Zeitbereich eine Operation, die immer wieder ausgeführt werden muss.

38 38 KAPITEL. DIE DISKRETE FOURIERTRASFORMATIO (DFT) Von besonderer Bedeutung ist die Schnelle Fouriertransformation (FFT), die sich aus Sicht der Operation nicht von der DFT unterscheidet, die aber durch geschicktes Ausnützen von Symmetrien in der DFT mit weit weniger Rechenoperationen auskommt. Ohne die FFT gäbe es viele der heutigen DSP- Anwendungen nicht. Das Verständnis und die Beherrschung der DFT und ihrer Artefakte ist eine wesentliche Voraussetzung für die erfolgreiche Anwendung digitale Signalverarbeitung.