Fouriertransformationen DSP 1

Transkript

1 Fouriertransformationen DSP

2 Fourierreihe periodisch kontinuierlich (t), diskret (ω) jk t jkt xt () Xke Xk xt () e dt T T k k " Anhalten",, T T Periodendauer DSP

3 Fouriertransformation aperiodisch kontinuierlich (t), kontinuierlich (ω) jt jt xt Xe d X x() t e dt " Anhalten" -,+ DSP 3

4 Discrete Time Fouriertransformation (DTFT) aperiodisch diskret [n], kontinuierlich (ω) π j ˆ ωn [ ] ( ˆ) ˆ ( ˆ) [ ] xn = X ω e dω X ω = xn e π π n= j ˆ ωn (-, ) ω + ˆ ω = ωt s T s Abtastzeit DSP 4

5 Diskrete Fouriertransformation (DFT) periodisch x[ n] = X[ ke ] X[ diskret [n], diskret (ω bzw. k) j( π n/ ) k k xne k n= k = ] = [ ] j( π k/ ) n n =,,,..., =,,,..., k π k ωk = π fs = ; tn = nt T k n xn [ ] = X[ ke ] X[ k] = x[ n] e jω t j t ωk n DSP 5 k= n=

6 k= n= j(π / ) n x[ n] = X[] e n =,,,..., j( π / ) n + X[] e j x[ n] = Xke [ ] k= j(π / ) n + X[] e j( π ( ) / ) n + X [ ] e X [ k] = + + x[ ] e x[] e x[] e + x[ ] e j(π / ) k j(π / ) k j(π / ) k j( π ( ) / ) k k =,,,..., DSP 6 ( π k/ ) n

7 π k j n xn [ ] = Re e, k=,,,, - 5 k = Punkt der nächsten Periode = 8-5 k = - 5 k = - 5 k = 3-5 k = k = 7-5 k = 8-5 k = 6-5 k = 9-5 k = 5-5 k = - 5 k = DSP 7

8 X[ k] = xne [ ] n= n= j π nk / ja ( e = cosα + j sinα) ( π k ) ( π k / ) X [ k] = x[ n] cos n / jsin n n= n= n= n= 3 n= ( π ) ( π ) X[ k] = xn [ ] cos nk/4 jsin nk/4 X [ ] = x[]cos(π / 4) jx[]sin(π / 4) + + x[]cos(π / 4) jx[]sin(π / 4) + + x[]cos(π / 4) jx[]sin(π / 4) + + x[3]cos(π 3 / 4) jx[3]sin(π 3 / 4) X [ ] = x[]cos(π / 4) jx[]sin(π / 4) + + x[]cos(π / 4) jx[]sin( π / 4) + + x[]cos(π / 4) jx[]sin(π / 4) + + x[3]cos(π 3 / 4) jx[3]sin( π 3 / 4) X [ ] = x[]cos(π / 4) jx[]sin(π / 4) + + x[]cos(π / 4) jx[]sin(π / 4) + + x[]cos(π / 4) jx[]sin(π / 4) + + x[3]cos(π 3 / 4) jx[3]sin(π 3 / 4) X[ 3] = x[] cos(π 3/ 4) jx[]sin(π 3/ 4) + + x[]cos(π 3/ 4) jx[]sin(π 3/ 4) + + x[]cos(π 3/ 4) jx[]sin(π 3/ 4) + DSP 8 + x[3]cos(π 3 3/ 4) jx[3]sin(π 3 3/ 4)

9 Jeder X[k] DFT-Term ist die Summe des Punkt-für- Punkt-Produkts der Eingangsfolge x[n] und der komplexen Exponentialfunktion in der Form cos(ϕ) j sin(ϕ). Die Frequenz [k] hängt ab von f s der Abtastfrequenz des Orginalsignals und von der Anzahl der Samples. Ist die Abtastfrequenz z.b. 48 Hz und die DFT hat 6 Punkte, dann ist der Frequenzraster f s / = 48/6 = 3 Hz und die einzelnen Frequenzkomponenten sind: X[]= Hz, X[]= 3 Hz, X[]= 6 Hz,, X[5]= 45 Hz DSP 9

10 Beispiel: xt ( ) = sin( π.. t) +.5cos( π.. t+ π) π π X ( k) = x[ n] cos kn jsin kn 3 4 Siehe Berechnung in Excel-File. DSP

11 xn [ ] = [ ] DSP

12 x[n] "pi/8" n k= cos sin x[n].cos x[n].sin,3535,785398,,,,354,,3535,785398,785,77,77,5,5,6464,785398,57,,,,646,67, ,356 -,77,77 -,75,75,3535, ,4 -,, -,354, -,67, ,97 -,77 -,77,75,75 -,3535, ,7, -,,,354 -,3535, ,498,77 -,77 -,5,5 DSP, -4, 4-9 Grad

13 x = X = fft(x) Achtung! Betragsspektrum X[] = 4 X[] = A = A =.5 X X r A k A = = A A reell komplex xt ( ) = sin( π.. t) +.5cos(π.. t+ π) 3 4 DSP 3

14 Real- & Imaginärteil der DFT Realteil Imaginärteil DSP 4

15 FFT Discrete Fourier transform. FFT(X) is the discrete Fourier transform (DFT) of vector X. For matrices, the FFT operation is applied to each column. For -D arrays, the FFT operation operates on the first non-singleton dimension. IFFT Inverse discrete Fourier transform. IFFT(X) is the inverse discrete Fourier transform of X. DSP 5

16 Das Aufbausignal für alle Formen der FT ist die komplexe Exponentialfunktion. Die komplexe Exponentialfunktion erstreckt sich von - bis. Für die Synthese eines aperiodischen Signals sind viele Frequenzkomponenten erforderlich (die sich durch Überlagerung auslöschen können). viele Komponenten können in einem Digitalrechner nicht gespeichert werden. Die DFT beschreibt diskrete, periodische Signale. DSP 6

17 (Komplexe) DFT Zeitbereich Frequenzbereich Realteil Realteil - / - Imaginärteil Imaginärteil - / - DSP 7

18 Symmetrie der DFT Frequenzkomponenten k = bis k = k > Xk [ ] = X*[ k] Realteil gerade, Imaginärteil DSP ungerade 8

19 Frequenzachse der DFT Durch die Abtastung der Signale geht die Frequenzachse verloren. x[ n] = x( nt ) = Acos( ωnt + ϕ) = Acos( ωˆ n + ϕ) s s ˆ ω = nt s f kontinuierlich kf s = Abstand der Spektrallinien f s Außerhalb dieses Rasters gibt es bei diskreten Signalen keine Frequenzkomponenten! DSP 9

20 (Zirkuläre) Verschiebung im Zeitbereich xn [ ] X[ k] xn [ m] X [ k] = X[ ke ] verschoben π k j m Jede Spektralkomponente erfährt eine frequenzproportionale (lineare) Phasenverschiebung e π k j m DSP

21 xn [ ] [ ] k = 9, k = + 45 xn [ ] = [ ] Betrag Phase DSP π j e = π j e = 35 = 45 7

22 Dreiecksfolge 5 5 symmetrisch um ullpunkt Phase ull 5 5 verschoben nach rechts Phase negativ 5 5 verschoben nach links Phase positiv Zeitbereich DSP Frequenzbereich (Phase)

23 DFT X[ k] = xne [ ] n= π n j k idft xn [ ] = X[ k] e k= π k j n DSP 3

24 Berechnung der idft mit der DFT * * j kn * j kn xn [ ] Xke [ ] Xk [ ] e k k * * j kn xn [ ] Xk [ ] e k.. X FFT * ( X ) 3. Skalieren mit / * * (4. kann entfallen x X bei reellen Zeitfolgen) Re Xk [ ] / Re xn [ ] Im Xk [ ] - FFT - / Im xn [ ] DSP 4

25 Re Xk [ ] / Re xn [ ] Im Xk [ ] FFT / Im xn [ ] DSP 5

26 Frequenzachse der DFT () Zeitbereich f = Zeitbereich f = Betragsspektrum 5 5 Betragsspektrum DSP 6

27 Leakage X[k]= Xk [ ] ( ˆ ω n+ ϕ ) - - j kn j n+ j kn xn [ ] xn [ ] = e ( π/ ) ( ˆ ω ϕ) ( π/ ) e e e n= n= j = π k ( ) π k sin j ˆ ˆ ω ω jϕ = e e nur Phase π k sin ˆ ω DSP 7 Diriclet'sche Funktion = 8

28 DSP 8

29 DSP 9

30 Kosinus Time-Domain (f =., T =, f s = 8, = 8).5 x(t) t Frequency-Domain 4 3 X(f) f DSP 3

31 ichtperiodische Signale (Zero Padding) Die DFT beruht auf periodischen Folgen, die Signaldarstellung im Zeit- und im Frequenzbereich ist daher immer periodisch. Zeitbereich L= 6 = π n.5 [ cos n L xn [ ] = L sonst Frequenzbereich DSP 3

32 Zeitbereich L= 6 = 3 L = 6 = Frequenzbereich DSP 3

33 Zeitbereich L= 6 = L = 6 = Frequenzbereich DSP 33

34 (DTFT) X ( ω) = xn [ ] e jωn n= DSP 34

35 n xn [ ].5 [ n] DTFT X( ).5e j Betrag Phase DSP 35

36 Zero Padding verbessert die Darstellung der DFT. Zero Padding verbessert die Trennung zweier nahe neben einander liegender Spektralkomponenten nicht! Um die spektrale Auflösung von zwei Signalen zu verbessern, müssen bei der Abtastung mehr Signalproben (ungleich ull) genommen werden. Um zwei benachbarte Spektrallinien auflösen zu können, muss der Abstand der Spektrallinien als der Abstand des Frequenzrasters sein. DSP 36

37 Zeitbereich f = Zeitbereich f = Zeitbereich f + f Betragsspektrum Spektrallinien liegen (zufällig) auf dem Frequenzraster! DSP 37

38 Zeitbereich f = Zeitbereich f = Zeitbereich f + f Betragsspektrum Spektrallinien um ein Viertel des Frequenzrasters verschoben Leakage DSP 38

39 Zeitbereich f = Zeitbereich f = Zeitbereich f + f Betragsspektrum Eine Spektrallinie auf dem Frequenzraster, zweite Spektrallinie im Abstand von einem Viertel der Rasterfrequenz können nicht getrennt werden! DSP 39

40 Fenstertechnik Xk [ ] = π k sin π k sin ˆ ω ˆ ω»amplitudengang«der DFT ( n + ) xn [ ] e j ˆ ω ϕ = Im Zeitbereich durch Rechteckfenster beschnitten. DSP 4

41 Recheckfensterfenster Dreiecksfenster von Hann-Fenster Hammingfenster X[ k] = wn [ ] xne [ ] n= π n j k DSP 4

42 Time domain 4 Frequency domain Rechteck.8 - Hamming Amplitude.6 Magnitude (db) -4-6 Dreieck.4-8 von Hann Samples ormalized Frequency ( π rad/sample) DSP 4

43 Spektralkomponente auf Raster Rechteckfenster 4 6 von Hann-Fenster DSP 43

44 Spektralkomponente nicht auf Raster Rechteckfenster 4 6 von Hann-Fenster DSP 44

45 Spektralkomponenten auf Raster Rechteckfenster 4 6 von Hann-Fenster DSP 45

46 Spektralkomponenten beide nicht auf Raster A/A = Rechteckfenster 4 6 von Hann-Fenster DSP 46

47 DFT als Filterbank X Filter X[-] X Filter X[k] x[n] X Filter X[] DSP 47

48 Matrixdarstellung der DFT () j( π k/ ) n x[ n] = Xke [ ] n =,,,..., n= k= X [ k] = [ ] j( π n/ ) k x ne k führt man die Abkürzung =,,,..., ergibt sich die gebräuchliche Schreibweise: x[ n] = XkW [ ] n= k= kn W = e j π / kn X[ k] = x[ n] W k =,,,..., ein, dann n =,,,..., DSP 48

49 kn X[ k] = x[ n] W k =,,,..., n= X[] = x[] + x[] + x[] + x [ ] X[] = x[] + x[] W + x[] W + x [ ] W ( ) 4 X[] = x[] + x[] W + x[] W + x [ ] W X = x + x W + x W + x W [ ] [] [] [] [ ] W = DSP 49

50 X Wx W = j π / X[] x[] X[] W W W x[] 4 ( ) X[] = W W W x[] ( ) ) x( ) X[ ] W W W x [ ] x = W X W W * = W 5 = e = DSP 5 7

51 Berechnung der Frequenzantwort mit Hilfe der Faltung DSP 5

52 Periodische (zirkuläre) Faltung g 3 g f f g f f g g 3 f f g f 3 f 3 g g DSP 5

53 f[ n]; gn [ ] f[ n] gn [ ] = f gn [ ] = f[] l g[ n l] = gl [ ] f[ n l] l= l= g 3 f g n = f f g ( f g) = fg + fg 3+ fg + f g ( f g) = fg+ fg + fg 3+ f3g 3 f 3 g DSP 53

54 Die Faltung ist periodisch im Zeitbereich für die DFT (und Fourierreihe). Die Faltung ist aperiodisch für die DTFT und Fouriertransformation. DSP 54

55 Periodische aperiodische Faltung f = [ ] g = [ ] DSP 55

56 f g f g DSP 56

57 Verwendung der DFT für die»aperiodische«faltung F = fft([f zeros(,length(g)-)]) G = fft([g zeros(,length(f)-)]) conv(f,g) = ifft(f.*g) DSP 57

58 f[ n ].5 gn [ ] f[ n] gn [ ] f g f g. 5 5 DSP 58

59 Lineare Faltung mit DFT. Anfügen von g ullen an f. Anfügen von f ullen an g 3. Berechnen von F und G mittels DFT 4. Multiplizieren von F und G 5. Inverse DFT von F x G liefert f * g DSP 59

60 Schnelle (FFT) Faltung Die Durchführung der Faltung im Frequenzbereich ist bei langen Signalen schneller als die Faltung im Zeitbereich, da die FFT ein sehr schneller Algorithmus ist. Die Zahl der Operationen ist bei der FFT von auf reduziert. ~ log( n) DSP 6

61 Die Geschwindigkeit der Berechnung ist auch ein indirektes Maß für die Genauigkeit, da Rundungsfehler von der Zahl der Operationen abhängen: weniger Operationen weniger Rundungsfehler DSP 6

62 Overlap-Add-Verfahren Bei der schnellen Faltung wird die FFT eingesetzt, die intern mit der periodischen Faltung arbeitet. Es muss verhindert werden, dass Fehler durch die periodische Faltung entstehen. DSP 6

63 sn [ ] = [ 3 ] hn [ ] = [ ] Zerlegen des Signals in Blöcke der Länge L (L=3) sn [ ] = [ 3 ] DSP 63

64 Länge der Signalabschnitte L (L = 3) Anhängen von M ullen pro Segment sn [ ] = [ 3 ] Länge des Filter M (M = ) Anhängen von L ullen hn [ ] = [ ] DSP 64

65 Faltung über Frequenzbereich: DFT, Multiplikation, IDFT Ergebnisse zusammengesetzt [ [ DSP 65

66 f=[ 3 ]; h=[ ]; L=length(f)+length(h)-; k=::l-; y=fftfilt(h,f,3) stem(k,y); DSP 66

67 FFT Transformationen Basierend auf Basis, 4 oder mixed Decimation In Time und Decimation In Frequency Reelle und komplexe Algorithmen Grundprinzip: Aufteilung von -Punkt /-Punkt /4 -Punkt und Ausnützung der Symmetrie- und periodischen Eigenschaften von W DSP 67

68 DFT in Matrizenschreibweise X= Wx X x W { X[] X[] Xn [ ] } = { x[] x[] xn [ ] } = W W W 4 ( ) = W W W ( ) ( ) x( ) W W W T T W = x[] X [] x[] X [ ] x = W X = W x[-] X [ ] W = W * DSP 68

69 Matlabunterstützung für W function DFTmatrixDarst sig=[ ]; =length(sig); SIG=sig*dftmtx(); sigrueck=(/)*(sig*conj(dftmtx())); figure subplot(,,) stem(sig) title 'Signal' subplot(,, ) stem(abs(sigrueck)) title 'Signal transf & rücktransf' DSP Signal 4 6 Betragsspektrum 4 6 Signal => transf => rücktransf

70 Eigenschaften von W () twiddle factor W k wiederholt sich nach Vielfachen von k k+ i W = W = W = ==> W = W i =,, Die Zeiger von W k unterscheiden sich nur in der Phase. Zeiger in Gegenphase haben unterschiedliches Vorzeichen k k W = W + DSP 7

71 k+ W = W W = W k = W = W = j W = W W = W W 4 8 = W8 = 8 W 8 = 33 W = W W = W W = W = j DSP 7

72 + i + i + i + i + i + i + i + i + i,7 -,7i - i -,7 -,7i - + i -,7 +,7i + i,7 +,7i i - i - + i + i + i - i - + i + i i -,7 -,7i + i,7 -,7i - + i,7 +,7i - i -,7 +,7i. + i - + i + i - + i + i - + i + i - + i 8 + i -,7 +,7i - i,7 +,7i - + -i,7 -,7i + i -,7 -,7i 33 + i + i - + -i - i + i + i - + -i - i i,7 +,7i + i -,7 +,7i - + -i -,7 -,7i - i,7 -,7i DFTMTX(8) COMPASS (DFTMTX(8)) DSP 7

73 FFT auf er-basis Eine -Punkt-Folge wird aufgeteilt in zwei /-Punkt-Folgen, damit wird die Zahl der Operationen von ~ auf x (/) = / reduziert. Dieser Prozess wird fortgesetzt bis eine -Punkt-Folge übrig bleibt, die Anzahl der Operationen reduziert sich von ~ ~ log DSP 73

74 Decimation in Time Aufteilen von xn [ ], n,,, In Folge mit geraden und ungeraden Indizes x x [ m ] ; x x [ m ] m,,, g u kn km m k m m m X[ k] x[ nw ] x[ mw ] x[m ] W DSP 74

75 kn km m m m X[ k] x[ nw ] x[ mw ] x[m ] W m k herausheben und vor der zweiten Summenterm stellen km m m m x [ m] x [ m] kn km k X[ k] x[ nw ] x[ mw ] W x[m ] W g u DSP 75

76 W km = W mk = / = DSP 76

77 km m m x [ m ] x [ m] km k Xk [ ] x[ mw ] W x[m ] W g u W km = W km km k km m= m= X[ k] = x[ m] W + W x[m+ ] W, k =,,,, Die Teilsummen obiger Gleichung stellen jeweils eine DFT der Länge / dar und wir können schreiben k DFT Xk [ ] DFT x[ m] W x [ m] g u k X [ m] W X [ m] g u und erhalten X DFT von x [ n] X g u DFT von x [ n] g u DSP 77

78 Wir wollen aber das Spektrum für alle k berechnen. Die Spektren X [ m]; X [ m] g u sind periodisch in / und wir können daher einfach periodisch fortsetzen: Wir wissen bereits, dass W k + k Xk [ ] = X[ k] + WX[ k], k=,,, - Xk [ + ] = X[ k] WX[ k], k=,, - k g u k g u = W und erhalten schließlich Signalflussgraph (Butterfly)wir können schreiben X [ k ] g Xk [ ] m x m X [ k ] u k W Xk [ / ] DSP 78

79 Anzahl Multiply-Add Operationen Die Berechnung von Xg[ k] und Xu[ k] verlangt ( ) Operationen, die k Berechnung von W [ ] X k verlangt zusätzliche / Operationen. Das ergibt Operationen. ( ) + / DSP 79

80 (/) 5 5 * ( +)/ Bei großem nur 5 % der Operationen DSP 8

81 DSP 8 Signalflussgraph FFT [] [] [] [3] [4] [5] [6] [7] x x x x x x x x g [ ] x n u [ ] x n [] [] [4] [6] x x x x [] [3] [5] [7] x x x x 4-Punkt DFT 4-Punkt DFT [] [] [] [3] g g g g X X X X [] [] [] [3] u u u u X X X X W W W W [] [] [] [3] X X X X [4] [5] [6] [7] X X X X

82 DSP 8 8-Punkt DIT -Punkt DTF -Punkt DTF -Punkt DTF -Punkt DTF [] [4] x x [] [6] x x [] [5] x x [3] [7] x x [] [] X X [] [3] X X [4] [5] X X [6] [7] X X 8 8 W W 8 8 W W W W 8 8 W W Stufe Stufe Stufe 3

83 Bit-reversal addressing Ind. Dez. binär Bit-reversed Dez. bit-rev Unterstützt von DSP-Architektur DSP 83

84 Decimation in Frequency ist aufgebaut wie DIT, aber die Butterfly-Operation wird im Zeitbereich eingesetzt km n= n= X[ k] = xnw [ ] + xnw [ ] k { } km nk k [ ] [ ], n= n= X[ k] = xn [ ] + ( ) xn [ + ] W n= nk { } n= n= X[ k] = xn [ ] + xn [ + ] W = x[ nw ] X[k + ] = x[ ] nk = xnw + xn+ W W nk n nk n nk { n x[ n+ ]} WW = x[ n] WW n= DSP n= 84 W nk k = (-) k

85 DIF DSP 85

86 DSP 86

87 Zero padding Berechnung der Faltung über den Frequenzbereich Erzeugen von Signallängen, die Potenz von sind, um FFT anwenden zu können Bessere Darstellung (Interpolation) im Frequenzbereich. DSP 87