Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 11 - Kurzzeitfouriertransformation

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1 Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 11 - Kurzzeitfouriertransformation 30. Januar 2017 Siehe Skript Digitale Signalverarbeitung, Abschnitte 11 und 12, Kammeyer & Kroschel (Absatz 8.4.1)

2 Anwendungen Wichtig für alle Signale, deren Frequenzgehalt sich mit der Zeit ändert Mustererkennung, zum Beispiel aus der Analyse seismischer Daten EKG/EEG-Analyse Signalverarbeitung, zum Beispiel für Sprache Musik

3 Berechnung Kurzzeit-DFT Bisher zwei Betrachtungsweisen für Signale: Zeitbereich: Zeitliche Entwicklung Frequenzbereich: Frequenzkomponenten eines Signals Neue Darstellung: Kurzzeit-DFT, engl.: Short Time Fourier Transform (STFT). Erlaubt Analyse der zeitlichen Entwicklung aller Frequenzkomponenten des Signals.

4 Berechnung Kurzzeit-DFT Beispiel: t Figure : Analyse für ein Sinussignal, das die Frequenz von 25Hz auf 75Hz ändert. Oben: Zeitsignal, unten: Spektrogramm.

5 Berechnung Kurzzeit-DFT, Schritt 1: Rahmenbildung Zuerst wird das (im weiteren reellwertige) Signal v(k) in L überlappende Rahmen der Länge N segmentiert. Jedes Segment wird mit einer Fensterfunktion f N (k) gewichtet. Bei einer zeitlichen Überlappung von O beträgt die zeitliche Verschiebung zwischen zwei Rahmen N O Abtastwerte. Dies kann folgendermaßen dargestellt werden: v f l (k) = v(k + l(n O))f N(k) wobei k [0 N 1] der Index innerhalb des Rahmens ist und l [0 L 1] den Rahmenindex darstellt.

6 Berechnung Kurzzeit-DFT, Schritt 2: DFT Jedes der l [0 L 1] gefensterten Signale vl f (k) wird mit einer N-Punkt DFT in den Frequenzbereich transformiert. So erhält man mit N 1 ( Vl f (n) = vl f (k) exp 2πj kn ) N k=0 eine Zeit-Frequenzanalyse des Signals. (1)

7 Interpretation der Kurzzeit-DFT DFT-Spektralanalyse: Interpretation Figure : Interpretation der Spektralanalyse.

8 Interpretation der Kurzzeit-DFT DFT-Spektralanalyse: Interpretation Wie sehen die einzelnen Filter in dieser Filterbank aus? Dazu betrachtet man die DTFT des gefensterten Signals v f l (k) = v(k + l(n O))f N(k). Also ist V f l (e jω ) = DTFT{v(k + l(n O)) f N (k)} = 1 2π DTFT{v(k + l(n O))} DTFT{f N(k)} = 1 2π DTFT{v(k)} exp(jωl(n O)) DTFT{f N(k)}

9 Interpretation der Kurzzeit-DFT DFT-Spektralanalyse: Interpretation Wegen Vl f (e jω ) = 1 2π DTFT{v(k)} exp(jωl(n O)) DTFT{f N(k)} Vl f (e jω ) = 1 2π DTFT{v(k)} DTFT{f N(k)} kann man auch schreiben Vl f (e jω ) = 1 2π π π V (e jθ )F N (e j(ω Θ) )dθ

10 Interpretation der Kurzzeit-DFT DFT-Spektralanalyse: Interpretation Das heißt: Vl f (e jω ) = 1 2π π π V (e jθ )F N (e j(ω Θ) )dθ ergibt als Filterübertragungsfunktion für das Band der Mittenfrequenz Ω genau die DTFT des Fensters, F N, aber zentriert um Ω.

11 Interpretation der Kurzzeit-DFT V l f (e j0 ) V l f (e j2π/n ) v l f V l f (e j4π/n ) : : V l f (e jπ ) Digitale Signalverarbeitung, Figure : Vorlesung Interpretation 11 - Kurzzeitfouriertransformation der DFT-Spektralanalyse als Filterbank.

12 Anforderungen an Spektrogramme DFT-Spektralanalyse: Überlegungen Anforderungen an Spektrogramme: 1 Hohe Frequenzauflösung 2 Hohe zeitliche Auflösung

13 Anforderungen an Spektrogramme Anforderung 1: Hohe Frequenzauflösung Die Frequenzauflösung ist beschränkt durch 1 Fensterlänge N und 2 Fensterfunktion f. Es gilt: 1 Je größer N, desto mehr Frequenzbänder (Ω n = 2π n N für n [0 N 1]). 2 Je schmalbandiger die DTFT der Fensterfunktion f, desto weniger Leckeffekte treten auf. So wird ebenfalls die spektrale Auflösung erhöht.

14 Anforderungen an Spektrogramme Anforderung 2 Hohe zeitliche Auflösung!

15 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Anforderung 1 versus Anforderung 2 (Zeitliche vs. Frequenzauflösung, siehe Matlab-Demo)

16 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Wie es aussieht: Segmentweise berechnete DFT der gesprochenen Ziffernkette one three zero zero six three seven (Spektrogramm): Figure : Spektrogramm - siehe auch Matlab-Demo

17 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Anforderung 1 versus Anforderung 2 Die Zeit- und die Frequenzauflösung verhalten sich also gegenläufig. Warum?

18 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Je länger das Fenster, und je höher also N, umso kleiner wird der Abstand zwischen den Bändern: f = (Ω 1 Ω 0 ) fa 2π = (2π 1 N ) fa 2π = f A N gleichzeitig kann aber jede Analyse nur noch mit einer zeitlichen 1 Genauigkeit von T = N F A erfolgen. Deswegen gilt: Spektrale Unschärferelation f T = 1 (2)

19 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Anforderung 1 versus Anforderung 2 Wäre Zero-Padding eine Lösung? Bei Zero-Padding berechnet man für einen Ausschnitt der Länge N das Spektrum, nachdem mit Nullen auf die Länge L aufgefüllt wurde. So erhält man L spektrale Koeffizienten, die das Signal in einem zeitlichen Ausschnitt T = N F A < L F A beschreiben.

20 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Zero-Padding Beim Zero-Padding werden der ursprünglichen Folge v(k) entsprechend { v(k) 0 k N 1 v L (k) = 0 N k L 1 Nullen angehängt. Die so verlängerte Folge v L (k) der Länge L > N wird der DFT unterworfen: L 1 DFT L {v L (k)} = V L (l) = v L (k)wl kl k=0 N 1 = k=0 v(k)e j 2π L kl. (3)

21 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Zero-Padding Setzt man in die letzte Beziehung von (3): v(k) = IDFT N {V (n)} ein, ergibt Umsortieren zusammen mit der Summenformel für endliche geometrische Reihen: V L (l) = = N 1 k=0 N 1 n=0 [ 1 N N 1 n=0 V (n) 1 N V (n)e j 2π N kn ] e j 2π L kl (4) N 1 k=0 e j2πk( n N l L ) = N 1 n=0 V (n) 1 N 1 e j2πn( n N l L ) 1 e j2π( n N l L ).

22 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Zero-Padding Aus V L (l) = liest man für n/n = l/l ab: N 1 n=0 V (n) 1 N N 1 k=0 e j2πk( n N l L ) wobei über die Beziehungen V L (l) = V L (n L N ) = V (n) = V (l N L ) l = n L N N 0 bzw. n = l N L N 0 die Indizes der Spektrallinien der beiden DFT-Spektren bijektiv aufeinander abgebildet werden.

23 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Zero-Padding Für l n L N (5) ergeben sich die interpolierten Spektrallinien in den Zwischenräumen zwischen den Linien von V (n) aus (4): V L (l) = 1 N N 1 n=0 V (n) sin[(n l N L )π] sin[( n N l L n ejπ(n 1)( )π] N l L ). Mit der Anfügung von Nullen an die ursprüngliche Folge v(k) wird zwar das Frequenzraster der DFT-Berechnung verfeinert: f L = f A L < f N = f A N.

24 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Zero-Padding Aber weil DFT{v L (k)} und DFT{v(k)} einen identischen Satz von nichtverschwindenden Werten v(k) benutzen, ist die Frequenzauflösung beider Spektraldarstellungen identisch, V L (l) ergibt sich nur durch Interpolation aus den auch sonst bekannten Werten V (n). Die Verlängerung durch zero-padding kann ein vorgegebenes Spektrum nur interpolieren.

25 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Zero-Padding Hierzu kann als Beispiel das Signal v(k) = cos(2πk f 1 f A ) + cos(2πk f 2 f A ), (6) benutzt werden. Diesem entnehmen wir N = 16 äquidistante Abtastwerte. Damit gilt für das Frequenzraster der DFT: f A N = 0, 0625f A

26 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Zero-Padding Für die beiden Signalfrequenzen in (6) wird angenommen: f 1 = 0, 135f A (7) f 2 = f 1 + f Zur Fallunterscheidung wird zuerst f = 0, 06f A f A /N und dann f = 0, 01f A f A /N gesetzt, wobei jeweils die normierte Abtastfrequenz f A = 1 verwendet wird.

27 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Figure : Spektren eines mit N = 16 Abtastwerten dargestellten sinusförmigen Signals mit unterscheidbaren Spektrallinien (a) ohne zero-padding, (b)-(d) mit Zero-Padding (Faktor 2,4,8); f = 0, 06f A

28 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Figure : Spektren eines mit N = 16 Abtastwerten dargestellten sinusförmigen Signals mit nicht unterscheidbaren Spektrallinien (a) ohne Zero-Padding, (b)-(d) mit Zero-Padding; f = 0, 01f A

29 Ziel 1 vs. Ziel 2: Frequenzauflösung vs. Zeitauflösung Zero-Padding Wie für diese Beispiele zu erkennen ist, lässt sich die durch f A /N vorgegebene spektrale Auflösung (Trennschärfe) durch Zero-Padding tatsächlich nicht erhöhen (vgl. Abb. 5 und 6). Um eine höhere Frequenzauflösung zu gewinnen, müssen also tatsächlich längere Signalabschnitte analysiert werden die Unschärferelation gilt nach wie vor.

30 Schnelle Faltung Schnelle Faltung Bisher: Faltung von Signal v(k) (Länge N) und Impulsantwort h(k) (Länge N h ) durch 1 zero padding auf Länge N DFT = N + N h 1 2 DFT der Länge N DFT : H = DFT {h}, V = DFT {v} 3 Multiplikation der Spektren: Y = V H 4 Rücktransformation: y = IDFT {Y }. Was ändert sich bei Signalen von sehr großer Länge oder bei Echtzeitsystemen?

31 Schnelle Faltung Schnelle Faltung Lösung: Aufteilen des Signals in L nichtüberlappende Rahmen der Länge N < N DFT. Rechnung wird trotzdem einfach, denn nach der Rahmenbildung gilt: { v(k + l N), für 0 k < N v l (k) = 0, sonst also ist: L 1 v(k) = v l (k l N) l=0

32 Schnelle Faltung Schnelle Faltung Es gilt also L 1 y(k) = h(k) v(k) = h(k) v l (k l N) = = l=0 L 1 h(k) v l (k l N) l=0 L 1 y l (k l N) mit y l (k) = v l (k) h(k). l=0

33 Schnelle Faltung Schnelle Faltung L 1 y(k) = y l (k l N) mit y l (k) = v l (k) h(k) (8) l=0 Schnelle Faltung: Führe die Faltung separat für jeden der l = 1... L Summenterme y l (k) per DFT aus & addiere die zeitverschobenen Ergebnisse y l (k l N) laut Gleichung (8), um y(k) zu erhalten. Die DFT-Länge N DFT muss dabei mindestens N + N h 1 (N h : Länge der Impulsantwort) betragen.

34 Inverse Kurzzeit-DFT Beispiel: Zeit-Frequenzmaskierung Neben der schnellen Faltung ist die Kurzzeit-DFT für viele andere Signalverbesserungsmethoden nützlich. Ein Beispiel: Zeit-Frequenzmaskierung. Hier benötigt man eine Kurzzeit-IDFT, die eine zeitveränderliche Filterung zulässt.

35 Inverse Kurzzeit-DFT Inverse Kurzzeit-DFT Die inverse Kurzzeit-DFT kann im einfachsten Fall analog zur schnellen Faltung erfolgen: L 1 y(k) = y l (k l N) mit y l (k) = IDFT{V l (n) M l (n)}. l=0 Hier wird statt des gefensterten Signals V f l (n) nur das rahmenweise ausgeschnittene Signal V l (n) ohne Überlappung benutzt.

36 Inverse Kurzzeit-DFT Inverse Kurzzeit-DFT Dies ist aber nicht optimal, da Signalkomponenten bei Verwendung von V l (n) durch die Rechteckfensterung relativ breit im Spektrum verschmiert werden. Daher: Fensterung und überlappende Rahmen wichtig! Bei Spektren V f l (n) die mit einer Fensterung aus V f l (n) = DFT{v(k + l(n O))f N (k)} berechnet wurden, muss die Fensterfunktion in der Synthese wieder berücksichtigt werden, damit aus den gefensterten Segmenten vl f (k) = v(k + l(n O))f N(k) das Originalsignal v(k) rekonstruiert werden kann.

37 Inverse Kurzzeit-DFT Perfekte Analyse-Synthese-Systeme Bei Hamming- oder Hann-Fenstern ist diese Berücksichtigung besonders einfach. Man kann zeigen, dass der Prozess der Fensterung DFT IDFT und Overlap-Add-Synthese zu einer perfekten Rekonstruktion führt, wenn die Rahmenverschiebung als N/4 gewählt wird. Damit sind Hamming- und Hann-Fenster mit einem N/4 Rahmenvorschub besonders gut für eine Signalverarbeitung im Kurzzeit-DFT-Bereich geeignet.

38 Inverse Kurzzeit-DFT Beispiel: Zeit-Frequenzmaskierung Zeit-Frequenzmaskierung: DFT: Maskierung V f l (n) = DFT {v(k + l(n O))f N (k)} IDFT und Overlap-Add: l=0 Y f l (n) = V f l (n) M f l (n) L 1 y(k) = y l (k l (N O)) mit y l (k) = IDFT {Vl f (n) Ml f (n)}

39 Zusammenfassung Um die zeitliche und die spektrale Entwicklung von Signalen wie hier zu erhalten

40 Zusammenfassung II rechnet man alle l = 1...L Spektren aus mit V f l (n) = DFT{v(k + l (N O))f N (k)} N, die Fensterlänge, bestimmt die zeitliche und Frequenzauflösung. Das Produkt von Zeit- und Frequenzauflösung ist 1. O, die Überlappung und, f N als Fensterfunktion, sollten für perfekte Rekonstruktion z.b. zu Hamming: (N O) = N 4 Hanning: (N O) = N 4 gewählt werden.

41 Zusammenfassung IV Mit einem so berechneten Spektrogramm kann eine Vielzahl von Mustererkennungsmethoden und Signalverarbeitungsmethoden arbeiten, wie zum Beispiel die Zeit-Frequenzmaskierung aus dem Matlab-Audio-Beispiel.

42 Lernziele Sie sollten eine Kurzzeit-DFT ausführen können, deren Interpretation als Filterbank und die spektrale Unschärferelation kennen und verstehen, die schnelle Faltung verstehen und implementieren können, und mit Hilfe der Overlap-Add-Methode eine Zeit-Frequenzmaskierung ausführen und das Ergebnis in den Zeitbereich zurücktransformieren können.

43 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!