Theorie digitaler Systeme

Transkript

1 Theorie digitaler Systeme Vorlesung 8: Leakage und Zero-Padding Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

2 Betrag / db Einführung Ein über die DFT berechnetes Spektrum T A X n ist eine Schätzung oder Approximation des zu bestimmenden Spektrums X() Amplitudengang Analytisch DFT Wie kann die Qualität der Schätzung verbessert werden? Leakage-Effekt führt zur Veränderung des Spektrums aufgrund der Fensterung Zero-Padding kann zur Interpolation der Stützstellenwerte verwendet werden Beide Effekte werden dargestellt -4-8 Kreisfrequenz / rad/s Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

3 Betrag des Spektrums W() Betrag des Spektrums W() Leakage-Effekt Diskreten-Fourier-Transformation erfolgt mit einer Signalfolge endlicher Länge Mathematische Beschreibung im Zeitbereich über Multiplikation mit einer rechteckförmigen Fensterfunktion w[k] Anzahl Abtastwerte N = ( ) = = x k x k w k x k k k N W D D - -/2 /2 Spektrum X D () wird mit Dirichlet-Kern gefaltet Anzahl Abtastwerte N = W ( ) = e (N ) j 2 N sin 2 sin /2 /2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

4 Betrag des Spektrums W() Betrag des Spektrums W() Leakage-Effekt Effekt der Zeitbegrenzung ist von der Beobachtungszeit T B abhängig Erster Nulldurchgang liegt an der Stelle = S 2 N Anzahl Abtastwerte N = Mit wachsender Anzahl von Abtastwerten N sinkt demnach Breite des Spektrums Spektrum nähert sich mit wachsender Anzahl N von Abtastwerten einer Impulsfunktion, die bei der Faltungsoperation das Spektrum unverändert lassen würde - -/2 /2 Anzahl Abtastwerte N = /2 /2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

5 Betrag des Spektrums X() Signalfolge x[k] Beispiel: Leakage-Effekt Effekt der Fensterung wird am Beispiel eines harmonischen Signals erläutert Zeitbereich 2 x k cos k cos k N = = ( ) Analytisch berechnetes Spektrum des unendlich langen Signals Folgenindex k ( ) ( ) ( ) + ( ) X = + 4 Frequenzbereich 2 - Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

6 Betrag des Spektrums X(e j ) Signalfolge x[k] Beispiel: Leakage-Effekt Zur Berechnung des Spektrums mit der Diskreten- Fourier-Transformation muss die Signalfolge begrenzt werden Signal mit einer Rechteckfolge w[k] multipliziert Bei einer Begrenzung des Abtastvorgangs auf 2 volle Periodendauern (N = 2) wird das Spektrum des Signals X() mit dem Spektrum der zugehörigen Fensterfunktion W() gefaltet Index k Spektrum des Signals X() besteht aus zwei Impulsen, Spektrum der zugehörigen Fensterfunktion W() wird an die Stelle der Impulse gefaltet DFT entspricht der Abtastung dieses Signals 2 DFT X W (e j ) - Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6

7 Signalfolge x[k] Beispiel: Leakage-Effekt Spektrum der Fensterfunktion hat keine Auswirkungen auf die berechnete Diskrete- Fourier-Transformierte, weil es an allen Stellen n den Wert aufweist x w [k] im Fenster Periodische Fortsetzung Wert ist ein Vielfaches der Auflösung, die entsprechende Amplitude wird deshalb bei der Diskreten-Fourier-Transformierten wirklich berechnet Periodische Fortsetzung der Signalfolge führt zur ursprünglichen nicht zeitbegrenzten Signalfolge Folgenindex k Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7

8 Betrag des Spektrums X(e j ) Signalfolge x[k] Beispiel: Leakage-Effekt Ideales Ergebnis der Diskreten-Fourier- Transformation ist darauf zurückzuführen, dass in diesem Beispiel die Anzahl von Abtastwerten ein Vielfaches der Periodendauer ist Führt die periodische Wiederholung von Signalausschnitten wieder zur ursprünglichen Signalfolge, entspricht die Diskrete-Fourier- Transformierte dem Spektrum der ursprünglichen Signalfolge x D [k] Fall ist anzustreben, im Allgemeinen aber nicht realisierbar, da sich das Signal aus vielen Schwingung unterschiedlicher Frequenz zusammensetzt Index k 2 DFT X W (e j ) - Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8

9 Betrag des Spektrums X() Signalfolge x[k] Beispiel: Leakage-Effekt Signalverläufe für den Fall, dass die Beobachtungsdauer kein Vielfaches der Periodendauer ist (N = ) Zeitbereich Periodische Fortsetzung des Signals hat eine Sprungstelle, Frequenzwerte n, an denen die DFT berechnet wird, ändern sich aufgrund der geänderten Anzahl N von Abtastwerten = n 2 n N Ursprüngliche Spektrallinien des Signals verteilen sich auf die vorhandenen Stützstellen an den Stellen n in der Nähe der Frequenz (Leakage) Folgenindexndex k 2 Frequenzbereich DFT X W () - Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9

10 Betrag des Spektrums X() Signalfolge x[k] Beispiel: Leakage-Effekt Mit längerer Beobachtungsdauer (N = 3) wird die Breite des Dirichlet-Kerns reduziert, Spektrum der Diskreten-Fourier-Transformation wird entsprechend steiler Spektrum nähert sich mit wachsender Anzahl N von Abtastwerten einer Impulsfunktion, die bei der Faltungsoperation das Spektrum unverändert lassen würde Zeitbereich Folgenindexndex k Leakage-Effekt kann durch eine steigende Beobachtungslänge T B reduziert werden 2 Frequenzbereich DFT X W () - Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

11 Signalfolge x w [k] Signalfolge x[k] Leakage-Effekt Reduzierung des Leakage-Effektes durch Fensterung Leakage-Effekt kann darauf zurückgeführt werden, dass die periodische Fortsetzung des zu analysierende Signals nicht stetig ist, sondern Sprünge aufweist Leakage-Effekt kann verringert werden, indem die Stetigkeit der Signalausschnitte künstlich hergestellt wird Vergleich periodische Fortsetzung einer Signalsequenz mit Rechteck-Fenster und mit einem sogenannten Hanning-Fenster Signal geht durch die Multiplikation mit der Fensterfunktion zu Beginn und Ende des Zeitraums T B stetig auf den Wert null zu, periodische Fortsetzung des Signals wird stetig - - Rechteck-Fenster Abtastwerte Fortsetzung T B 2 T B Zeit t / s Hanning-Fenster Fensterfunktion Signal nach Fensterung T B Zeit t / s 2 T B Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

12 Betrag des Spektrum W() Fensterfunktionen zur Reduzierung des Leakage-Effektes Zielsetzung: Fensterung, die bei einer endlichen Länge der Fensterfunktion w[k] ein möglichst schmales Spektrum besitzt, das der Impulsfunktion möglichst nahe kommt Hauptmaximum (Main-Lobe) Nebenmaxima (Side-Lobe) Fensterfunktion soll eine geringe Breite S des Hauptmaximums aufweisen Zielwert für die relative Amplitude des Nebenmaximums ist eine geringe Höhe Relative Amplitude des Nebenmaximums a A SL REL = 2 log A ML Untersuchungen zu Fensterfunktionen zeigen, dass ein ideales Fenster nicht existiert, es muss eine Kompromiss zwischen endlicher Breite und relative Amplitude des Nebenmaximums eingegangen werden S Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

13 Betrag W REC () / db Signal w REC [k] Fensterfunktionen zur Verbesserung der Filtercharakteristik Rechteckfenster Fensterfunktion im Zeitbereich Fensterfunktion N N wrec k = k + k Frequenzgang des Fensters W REC ( ) N sin 2 = sin Folgenindex k Amplitudengang 2 Hauptmaximum des Rechteckfensters hat eine Breite von S = 2 /N Relative Amplitude des Nebenmaximums beträgt a REL = - 3 db /2 /2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

14 Betrag W HAM () / db Signal w HAM [k] Fensterfunktionen zur Verbesserung der Filtercharakteristik Hamming-Fenster Fensterfunktion im Zeitbereich für k = -N/2 N/2 Fensterfunktion 2 k wham k = cos N Frequenzgang des Fensters siehe Skript Hauptmaximum des Hamming-Fensters hat eine Breite von S = 4 /N Relative Amplitude des Nebenmaximums beträgt mit a REL = - 42 db und ist deutlich größer als bei dem Rechteck-Fenster -2-2 Folgenindex k Amplitudengang /2 /2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

15 Fensterfunktionen zur Reduzierung des Leakage-Effektes Fenstervergleich Fenster- Funktion Breite des Hauptmaximums Relative Amplitude der Nebenmaxima Rechteck S = 2 / N - 3 db Dreieck S = 4 / N - 2 db Hann S = 4 / N - 32 db Hamming S = 4 / N - 42 db Rechteckfenster hat das schmalste Hauptmaximum, Hamming-Fenster stellt guten Kompromiss von Breite des Hauptmaximums und relativer Amplitude des Nebenmaximums dar Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

16 Signalfolge x REC [k] Signalfolge x HAN [k] Signalfolge x HAM [k] Beispiel: Fensterfunktionen zur Reduzierung des Leakage-Effektes Harmonische Funktion mit der normierten Kreisfrequenz = 2 /7 wird abgetastet, es werden N = 32 Abtastwerte aufgenommen Signale werden mit Rechteck-, Hanning- und Hamming-Fenster bewertet Rechteckfenster Hann-Fenster Hamming-Fenster Folgenindex k Folgenindex k Folgenindex k Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6

17 Beispiel: Fensterfunktionen zur Reduzierung des Leakage-Effektes Spektrum ist bei allen Fenstern ähnlich auf die beiden Stützstellen verteilt, die in direkter Nachbarschaft zum Impuls an der Frequenz liegen Bei Rechteck-Fenster Fällt der Betrag des Spektrums nur langsam, bei Hanning- und Hamming-Fenster fallen die Beträge des Spektrums deutlich schneller ab Betrag des Spektrums X REC 2 Rechteckfenster Betrag des Spektrums X HAN 2 Hann-Fenster Betrag des Spektrums X HAM 2 Hamming-Fenster DFT Fourier-Transformation Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7

18 Beispiel: Fensterfunktionen zur Reduzierung des Leakage-Effektes Spektrum der harmonische Funktion mit der normierten Kreisfrequenz = 2 /8 für N = 32 Abtastwerte, ist Stützstelle der DFT Ideales Spektrum mit dem Rechteckfenster, übrige Fenster verbreitern das Spektrum aufgrund der größeren Breite des Haupt-Schwingers Betrag des Spektrums X REC 2 Rechteckfenster Betrag des Spektrums X HAN 2 Hanning-Fenster Betrag des Spektrums X HAM 2 Hamming-Fenster DFT Fourier-Transformation Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8

19 Signalabtastung und Rekonstruktion Applikation Leakage Visualisierung des Leakage-Effektes für die Summe zweier Sinus-Funktionen Link auf Applikation in Systemtheorie Online verfügbar Darstellung der Zeitsignale Zweitkontinuierliches Signal Signalfolge Fensterfunktion Gefensterte Signalfolge sowie des Spektrums des gefensterten Signals Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9

20 Zusammenfassung: Fensterfunktionen zur Reduzierung des Leakage-Effektes Anpassung der Abtast- und Beobachtungszeit an die Aufgabenstellung Im Idealfall ist die Beobachtungszeit so gewählt, dass ein von sich aus periodisch fortgesetztes Signal entsteht. Die Maßnahme ist sehr wirkungsvoll, lässt sich aber in den wenigsten Anwendungen umsetzen, da die zu analysierenden Signale unbekannt sind. Vergrößerung des Beobachtungszeitraum Eine Vergrößerung des Beobachtungsintervalls führt zu einer Verringerung der Breite des Hauptschwingers, außerdem wird die spektrale Auflösung der Diskreten-Fourier-Transformation verbessert. Maßnahme führt zur Steigerung der Rechenzeit. Anwendung von Fensterfunktionen Durch Fensterfunktionen werden die bei dem Rechteckfenster vergleichsweise schwach gedämpften Nebenschwinger stärker gedämpft. Dieser Vorteil wird jedoch durch eine Verdoppelung der Breite des Hauptschwingers erkauft. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

21 Zero-Padding Steigerung der Auflösung bei der Spektralschätzung Auflösung der Diskreten-Fourier-Transformation ist von der Länge des Beobachtungsintervalls T B bzw. der Anzahl von Abtastwerten N abhängig 2 2 N = = T N T A B Messwerte können mit Nullen ergänzt werden, es entsteht eine Signalfolge der Länge N + M, Vorgang wird als Zero-Padding bezeichnet Um die Auswirkung des Zero-Padding auf die Diskrete-Fourier-Transformierte bewerten zu können, werden die Fourier-Transformierte unterschiedlicher Signalfolgen betrachtet. Es werden drei Fälle diskutiert. Fall : Standard DFT mit N = 6 Abtastwerten Fall 2: Zero-Padding auf eine Länge der Signalfolge auf N + M = 32 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

22 Signalfolge Betrag Spektrum Signalfolge Betrag Spektrum Zero-Padding Steigerung der Auflösung bei der Spektralschätzung Fall : Zeitbereich w [k] x W [k] x DFT [k] Fall : Frequenzbereich DFT X () W Folgenindex k - Fall 2: Zeitbereich w 2 [k] x W2 [k] x DFT2 [k] Fall 2: Frequenzbereich DFT 2 X W2 () Folgenindex k - Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 22

23 Zero-Padding Steigerung der Auflösung bei der Spektralschätzung Bei Erweiterung der Signalfolge mit Nullen wird das Spektrum enger abgetastet wird Fensterung des Signals bleibt unverändert, Breite des Dirichlet-Kerns ändert sich nicht, Spektrum X w () mit höherer Auflösung abgetastet Zero-Padding eignet sich damit zur Interpolation des Spektrums, es eignet sich nicht dazu, den durch die Fensterung entstehenden Leakage-Effekt zu reduzieren Einfügen von Nullen führt damit nicht zu einem Informationsgewinn Vergrößerung des Beobachtungsintervalls verringert die Breite des Dirichlet-Kerns, Reduzierung des Leakage-Effektes Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 23

24 Übungsaufgabe: Zero-Padding Steigerung der Auflösung bei der Spektralschätzung Gegeben ist das Signal x(t) mit = /4 und T = 6, das für einen Zeitraum von 2T beobachtet wird. ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) x t cos t t t 2 T Seine Fourier-Transformierte X() lautet ( ( + )) ( + ) ( ) sin T jt + X( ) = 2 T e + e T ( ) sin T ( ) T ( ) Bei dem Signal x [k] liegen 6 Abtastwerte x [] x [] vor. Skizzieren Sie den Betrag der DFT und die der DFT entsprechende Signalfolge. Bei dem Signal x 2 [k] liegen 8 Abtastwerte x 2 [] x 2 [7] mit derselben Abtastzeit T A = vor. Skizzieren Sie den Betrag der DFT und die der DFT entsprechende Signalfolge. Bei dem Signal x 3 [k] liegen 8 Abtastwerte x 3 [] x 3 [7] mit derselben Abtastzeit T A = vor. Als Abtastwerte x 3 [8] x 3 [] werden 8 Nullen ergänzt (Zero-Padding). Skizzieren Sie den Betrag der DFT und die der DFT entsprechende Signalfolge. ( ) jt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 24