Diskontinuierliche Signale und Systeme

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1 Diskontinuierliche Signale und Systeme Fourier-Transformation für diskontinuierliche Funktionen Eigenschaften und Sätze, Fourier-Paare Diskrete Fourier-Transformation (DFT) Zeitdiskrete LTI-Systeme, Faltung diskontinuierlicher Funktionen Übungen Literatur und Quellen Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie

2 Fourier-Transformation für Folgen (diskontinuierliche Funktionen) Fourier-Transformation + jω n jω { [ ]} = [ ] e = ( e ) F xn xn X n= Normierte Kreisfrequenz Ω= ω T -Periodizität ( j Ω ) ( j Ω+ e e k X = X ) Für die Existenz hinreichend, wenn x[n] ist absolut summierbar A a Inverse Fourier-Transformation [ ] ( ) + π { } ( ) xn F X e X e e d jω jω jω n = = Ω π Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 2

3 Fourier-Transformation der Rechteckimpulsfolge Π 5 [n] X Π (e jω ) Grundperiode 5 5 n 3π π π Ω Fourier-Paar N Ω 2N + sin Ω 2 ΠN [ n ] Ω sin 2 a Reziproker Zusammenhang zwischen Impulsdauer und Bandbreite Ω = + 2 N Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 3

4 Faltung und Faltungssatz (diskontinuierliche Funktionen) a Faltungssumme Faltungssatz [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] x n x n x m x n m x m x n m m= m= jω jω [ ] [ ] ( e ) ( e ) x n x n X X x n x n X X jω jω [ ] [ ] ( e ) ( e ) 2 2 b c F x n x n x m x n m n= m= + + Ωn = = j { [ ] 2[ ]} [ ] 2[ ] e e e e n x[ m] x2[ n m] x[ m] X2( ) j Ω j Ω j Ωm = = = m= n= m= d ( j + Ω ) [ ] j Ωm ( j Ω) ( j Ω = X2 e x m e = X2 e X e ) m= Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 4

5 Faltung Faltungssumme Folgen x [n]={,, 4, 2} und x 2 [n] = {, 2, 3} mit den Längen N = 4 und N 2 = 3. Faltungssumme? a Rechentafel I x [n] 4 2 b x 2 [ n] 3 2 c d e f y[n] = x [n] x 2 [n] g Faltungssumme y[n] = x [n] x 2 [n] = {, 2, 7,, 6, 6} mit der Länge N = Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 5

6 Faltung als Produkt im Frequenzbereich Folgen x [n]={,, 4, 2} und x 2 [n] = {, 2, 3} mit den Längen N = 4 und N 2 = 3. Faltungssumme y[n] der beiden Folgen? Im Frequenzbereich X (e jω ) = + 4 e j2ω + 2 e j3ω und X 2 (e jω ) = + 2 e jω + 3 e j2ω Y(e jω ) = X (e jω ) X 2 (e jω ) = + 2 e jω + 7 e j2ω + e j3ω + 6 e j4ω + 6 e j5ω Faltungssumme y[n] = {, 2, 7,, 6, 6} a Rechentafel II Gewichte Folge Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 6

7 Parsevalsche Gleichung (diskontinuierliche Funktionen) + n= + π 2 = dω 2 jω [ ] X( e ) xn π Energiedichtespektrum: Verteilung der Signalenergie auf die Frequenzkomponenten a b c + n + π ( ) x n x n e X e X e dβ jωn jβ j[ Ω β ] [ ] [ ] = ( ) 2 2 π jω [ ] = [ ] ( e ) x n xn X x2 n x n x n xn X n n + + * jω n + jωn jω [ ] = [ ] [ ] e = [ ] e = ( e ) β ( ) ( ) + π + j * j β j( Ω ) für Ω= : xn [ ] = X( e ) X e β d β = X e d β π * Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 7

8 Sätze der Fourier-Transformation () (diskontinuierliche Funktionen) Eigenschaft Zeitbereich Frequenzbereich Linearität Zeitverschiebung Frequenzverschiebung (Modulation) Zeitumkehr Differenz [ ] α [ ] α x n + x n 2 2 xn [ n ] e j Ω n x [ ] xn [ n] [ ] xn [ ] xn jω jω ( ) α ( ) α X e + X e 2 2 e jωn X e jω ( ) [ ] ( e j Ω Ω X ) j X ( e Ω ) ( j Ω jω e ) X ( e ) Differenziation im Frequenzbereich d j X ( e Ω ) nxn [ ] j d Ω Summation im Zeitbereich n m= [ ] xn j ( e ) ( e jω ) π ( ) ( ) X + X δ Ω Ω Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 8

9 Sätze der Fourier-Transformation (2) (diskontinuierliche Funktionen) Eigenschaft Zeitbereich Frequenzbereich Faltung im Zeitbereich [ ] [ ] x n x n 2 jω jω X( e ) X2( e ) Multiplikation im Zeitbereich (periodische Faltung im Frequenzbereich) [ ] [ ] x n x n 2 jω jω ( ) ( ) X e X e = 2 + π π ( ) jβ j[ Ω β ] ( ) = X e X2 e d β [ ] = [ ] + [ ] + j [ ] + j [ ] xn x n x n x n x n g,r u,r g,i u,i Zuordnungsschema F ( jω ) = ( jω ) ( j ) ( j ) ( j g,r + Ω u,r + j Ω g,i + j Ω u,i ) X e X e X e X e X e Parsevalsche Gleichung + n= + π 2 = dω 2 jω [ ] X( e ) xn π Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 9

10 Fourier-Paare () (diskontinuierliche Funktionen) Zeitfunktion δ [ n] δ ( Ω) [ n n ] exp( j n ) δ Ω ( Ω n) δ ( Ω Ω ) exp j Spektrum cos sin ( Ω n) π δ ( Ω+Ω ) + δ ( Ω Ω ) n π Ω n π Ω Re Ω Im Ω ( Ω n) jπ δ ( Ω+Ω ) δ ( Ω Ω ) Ω π Ω π Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie

11 Fourier-Paare (2) (diskontinuierliche Funktionen) Zeitfunktion Spektrum + + m= δ [ n m N ] δ ( m ) Ω Ω Ω mit Ω = m= N Impulskamm Impulskamm N n π π Ω Sprungfolge un [ ] π δ ( Ω ) + jω e Ω Re π Ω n Im Ω π π π Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie

12 Fourier-Paare (3) (diskontinuierliche Funktionen) Zeitfunktion Rechteckimpus Π N [ n] 2N + sin Ω 2 Ω sin 2 Spektrum N N n π Ω π Ωg für Ω <Ωg ( Ωg n) Π2Ω ( Ω) π Ωg Ω si = g für π si-impuls Rechteckimpus n π Ω g Ω g Ω π Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 2

13 Diskrete Fourier-Transformation Orthonormale Blocktransformation für Folgen endlicher Länge N DFT IDFT N [ ] [ ] n= k = j kn N X k = xn e für nk, =,,, N N j kn N xn [ ] = X[ k] e für nk, =,,, N N a Ist x[n] = für n,,, N Fourier-Transformation jω [ ] ( ) X k = X e für k =,,, N Ω= k N b Abtastung von X(e jω ) auf dem Einheitskreis im Abstand /N Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 4

14 Orthogonalität der komplex Exponentiellen N N j kn für k = m N und m N e = für kn, n= sonst a DFT einer Kosinusfolge.5 b ( n) xn [ ] = cos Ω x[n] -.5 mit N = n Ω = 2 N Re( X[k] ) 5-5 Im( X[k] ) k 5 5 k Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 5

15 DFT einer Sinusfolge ( n) xn [ ] = sin Ω mit N = 6 x[n] Ω = 2 N n Re( X[k] ) 5-5 Im( X[k] ) k 5 5 k Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 6

16 LTI-System Eingangs-Ausgangsgleichungen (zeitdiskret) LTI-System Zeitbereich F Frequenzbereich x[n] h[n] y[n] = x[n] h[n] F X(e jω ) H(e jω ) Y(e jω ) = X(e jω ) H(e jω ) Voraussetzungen System ist linear und zeitinvariant (LTI) System besitzt eine Impulsantwort und einen Frequenzgang Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 7

17 Charakterisierung von LTI-Systemen (zeitdiskret) Zeitinvarianz [ ] Linearität [ ] [ ] { } = [ ] und { [ ]} = [ ] T xn yn T xn l yn l { } = [ ] + 2 2[ ] T c x n c x n c y n c y n Kausalität [ ] = für n< hn Impulsantwort rechtsseitig n [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] yn xk hn k hk xn k k= k= BIBO-Stabilität a, wenn die Impulsantwort absolut summierbar ist hn [ ] a Bounded-input bounded output n= + < Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 8

18 Zeitdiskreter Tiefpass Filterentwurf Methode: Fourier-Approximation im Frequenzbereich Wunschfrequenzgang Impulsantwort H id (e jω ) h id [n] π Ω g Ω g π Ω 4 n H id für Ω Ω <Ωg e = für Ωg Ω π j ( ) Ω hid n n π g [ ] = si( Ωg ) Impulsantwort zeitlich unbegrenzt nicht realisierbar a Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 9

19 Zeitdiskreter Tiefpass Filterentwurf Methode: Fourier-Approximation mit Fensterung Impulsantwort zeitlich begrenzen (Fenstern) und Verschieben a Rechteckfenster für N n N =Π N = sonst [ ] [ n] wn.25.2 Impulsantwort (kausal) b Impulsantwort Ω h n w n n n n π ( ) g [ ] = [ ] si Ω [ ] g h [ n ].5..5 c n Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 2

20 Zeitdiskreter Tiefpass Filterentwurf Fourier-Approximation Finite-impulse-response(FIR)-Tiefpass hier Filterordnung 22 a b.2 Betragsgang 6 Dämpfungsgang H (e j ).6 a ( ) in db / / Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 2

21 Zeitdiskreter Tiefpass Filterung mit Testsignal (Rauschen) 3 Eingangssignal (Ausschnitt) 2 x [ n ] n.5 Ausgangssignal (Ausschnitt).5 y [ n ] n Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 22

22 MATLAB-Programm - Tiefpass % Tiefpass % SuS_VL4_ * mw * %% Fourier-Approximation M = ; n = -M:M; wg = /4; % Grenzfrequenz normiert h = wg*sinc(wg*n); % Impulsantwort % Grafik FIG = figure('name','sus_vl4_','numbertitle','off','units','normal'); subplot(3,,), stem(m+n,h,'filled'), grid xlabel('{\itn} \rightarrow'), ylabel('{\ith}[{\itn}] \rightarrow') title('impulsantwort (kausal)') %% Frequenzgang W = 24; % DFT-Länge H_ = abs(fft(h,w)); % Betragsgang adb = -2*log(H_); % Dämpfungsgang in db % Grafik w = linspace(-,,w+); w = w(:w); % Frequenzstützstellen normiert subplot(3,,2), plot(w,fftshift(h_),'linewidth',2), grid xlabel('\omega / \pi \rightarrow') ylabel(' {\ith}(e^{j\omega}) \rightarrow'), title('betragsgang') subplot(3,,3), plot(w,fftshift(adb),'linewidth',2) axis([ - 6]); grid xlabel('\omega / \pi \rightarrow') ylabel('{\ita}(\omega) in db \rightarrow'), title('dämpfungsgang') Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 23

23 MATLAB-Programm Tiefpass (Fortsetzung) %% Filterung - Sinusförmige Signale N=5; n = :5; w =.*pi; x = sin(w*n); y = conv(h,x); % Tiefpassfilterung (Faltung) w2 =.2*pi; x2 = sin(w2*n); y2 = conv(h,x2); % Tiefpassfilterung (Faltung) % Grafik FIG2 = figure('name','sus_vl4_','numbertitle','off','units','normal'); subplot(2,2,), stem(:n,x,'filled'), grid xlabel('{\itn} \rightarrow'), ylabel('{\itx}[{\itn}] \rightarrow') title('eingangssignal') subplot(2,2,2), stem(:n,y(:n+),'filled'), grid xlabel('{\itn} \rightarrow'), ylabel('{\ity}[{\itn}] \rightarrow') title('ausgangssignal') subplot(2,2,3), stem(:n,x2,'filled'), grid xlabel('{\itn} \rightarrow'), ylabel('{\itx}[{\itn}] \rightarrow') %title('eingangssignal') subplot(2,2,4), stem(:n,y2(:n+),'filled'), grid xlabel('{\itn} \rightarrow'), ylabel('{\ity}[{\itn}] \rightarrow') %title('ausgangssignal') Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 24

24 MATLAB-Programm Tiefpass (Fortsetzung) %% Filterung - Zufallssignal (Rauschen) N=; x = randn(,n+); y = conv(h,x); % Tiefpassfilterung (Faltung) % Grafik FIG3 = figure('name','sus_vl4_','numbertitle','off','units','normal'); subplot(2,,), stem(:n,x(end-n:end),'filled'), grid xlabel('{\itn} \rightarrow'), ylabel('{\itx}[{\itn}] \rightarrow') title('eingangssignal (Ausschnitt)') subplot(2,,2), stem(:n,y(end-n:end),'filled'), grid xlabel('{\itn} \rightarrow'), ylabel('{\ity}[{\itn}] \rightarrow') title('ausgangssignal (Ausschnitt)') Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 25

25 Zusammenfassung Sätze der Fourier- Transformation Fourier-Transformation Folgen Spektren Fourier-Paare LTI-System Impulsantworten Frequenzgänge Filterentwurf Filter Fourier- Approximation Tiefpass Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 26

26 Übung 4. Fourier-Transformation für Folgen a) Geben Sie die Definitionsgleichung für die Fourier-Transformation von Folgen an. b) Nennen Sie eine hinreichende Bedingung für Existenz der Fourier-Transformierten von Folgen. c) Wie wird es möglich für periodische Signale, wie z. B. die Kosinusfolge, eine Fourier- Transformierte zu finden? d) Geben Sie den Faltungssatz der Fourier-Transformation für Folgen an. e) Worin liegt die besondere Bedeutung des Faltungssatzes? f) Geben Sie die parsevalsche Gleichung der Fourier-Transformation für Folgen an. g) Worin liegt die besondere Bedeutung der parsevalschen Gleichung? h) Skizzieren Sie das Spektrum der Kosinusfolge x[n] = cos(ω n) für Ω = π/2 i) Skizzieren Sie das Spektrum der Sinusfolge x[n] = sin(ω n) für Ω = π/3 j) Warum wird das Spektrum der Impulsfunktion auch weißes Spektrum genannt? k) Was Unterscheidet das Spektrum diskontinuierlicher Signale vom Spektrum kontinuierlicher Signale besonders? Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 27

27 Übung 4.2 LTI-System a) Welche grundlegenden Eigenschaften charakterisieren ein zeitdiskretes LTI-System? b) Was bedeutet es, wenn ein zeitdiskretes System linear ist? c) Nennen Sie die beiden (System-)Funktionen mit denen das Übertragungsverhalten eines zeitdiskreten LTI-Systems beschrieben wird. In welchem Zusammenhang stehen die beiden Funktionen? d) Wie wird bei einem zeitdiskreten LTI-System das Eingangssignal auf das Ausgangssignal abgebildet? e) Wie hängen bei einem zeitdiskreten LTI-System die Spektren an Ein- und Ausgang zusammen? Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 28

28 Übung 4.3 Faltungssumme Gegeben sind die Folgen x [n] = {, 3, 2, } und x 2 [n]={, 4,, 2} a) Berechnen Sie die Faltungssumme der beiden Folgen? b) Wenn zwei Folgen endlicher Länge N bzw. N 2 gefaltet werden, wie lang ist dann das Faltungsergebnis? Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 29

29 Übung 4.4 Faltung Das Barker-Code-Signal x[n] wird auf das System mit der Impulsantwort h[n] gegeben. a) Skizzieren Sie das Ausgangsignal im Stabdiagramm. b) Was fällt im Ausgangssignal besonders auf? x[n] 5 n x[n] h[n] 5 n y[n] Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 3

30 Übung 4.5 Gleitender Mittelwert Bei vielen Anwendungen, z. B. bei Messungen von Zeitreihen, liegen Signale vor, die von Störungen beaufschlagt sind. Um relativ starke Schwankungen in den Messkurven zu reduzieren, werden Methoden zur Signalglättung eingesetzt. Ein einfaches Beispiel ist der gleitende Mittelwert. Dabei wird die Zeitreihe der Messung x[n] als Eingangssignale des Systems Gleitender Mittelwert aufgefasst. Das Ausgangssignal y[n] ist dann die geglättete Zeitreihe. In dieser Übung sollen Sie das System Gleitender Mittelwert anhand von Aufgaben analysieren. a) Wie lautet die Mittelungsvorschrift, wenn zu jedem Element der Eingangsfolge x[n] das Element des Ausgangssignals y[n] durch Mittelung über das Element selbst und seiner beiden Vorgänger und beiden Nachfolger gebildet wird. Geben Sie die Eingangs- Ausgangsgleichung des Systems an. b) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Systems. c) Ist das System kausal? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Berechnen Sie den Betragsgang des Systems. e) Charakterisieren Sie das Übertragungsverhalten des System mit einem Wort Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 3

31 Übung 4.6 Ja-Nein-Fragen: Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an. Die Fourier-Transformation der Rechteckfolge liefert die Abtastung der si-funktion. Das Spektrum einer Folge ist eine kontinuierliche Funktion bzgl. der normierten Kreisfrequenz. Das Spektrum von Folgen ist periodisch in π. 2 Die Eingangs-Ausgangsgleichung zeitdiskreter LTI-Systeme beschreibt die Systemreaktion durch die Faltung des Eingangssignals mit der Sprungantwort des Systems. ( ) ( ) ( ) 3 Für die Sinusfolge gilt die Korrespondenz sin Ωn jπ δ Ω+Ω δ Ω Ω 4 Die Impulsantwort des zeitdiskreten idealen Tiefpasses erhält man durch Abtasten der si- Funktion. 5 Mit dem MATLAB -Befehl conv werden zwei Folgen endlicher Länge gefaltet. 6 Ein zeitdiskretes LTI-System ist BIBO-stabil, wenn die Impulsantwort absolut summierbar ist Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 32

32 Übung 4.7 Lückentext: Ergänzen Sie sinngemäß. Hinweis: Die Artikel der/die/das etc. wurden im Text weggelassen. Die Fourier-Transformation für Folgen zählt zur Familie der Integraltransformationen. Mit dem Befehl -2*log(abs(H)) wird berechnet. 2 Das Akronym DFT steht für. 3 Die DFT einer Sinusfolge mit Ω = /8 und Länge 64 ist. 4 Die Faltung der Folgen {,2,3,5} und {,,} liefert eine Folge der Länge. 5 Das System mit der Impulsantwort {,,,}/4 nennt man. 6 Die DFT einer Folge wird in MATLAB dem Befehl berechnet Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 33

33 Literatur und Quellen GIROD B., RABENSTEIN R., STENGER A. (27) Einführung in die Systemtheorie. Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik. 4. Aufl. Wiesbaden: Teubner KAMMEYER K.-D., KROSCHEL K. (22) Digitale Signalverarbeitung. Filterung und Spektralanalyse mit MATLAB -Übungen (8. Aufl.). Wiesbaden: Springer Vieweg OPPENHEIM A. V., WILLSKY A. S., NAWAB S. H. (997) Signals & Systems. 2nd ed., Upper Saddle River, NJ:Prentice Hall WERNER M. (28) Signale und Systeme. Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB-Übungen und Lösungen. 3. Aufl., Wiesbaden: Vieweg+Teubner Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 34