Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs

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1 Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP: Interpolation Upsampling und D/A- Wandlung Teil 1 Upsampling 2016 Dr. Christian Münker

2 INP: Überblick Upsampling D/A-Wandlung Interpolation Oversampling (Sigma-Delta Modulation) Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-2 von 32

3 Rekonstruktion und Interpolation Thema: Erhöhung der Abtastrate und die Unterdrückung von Images f g < f s1 x(t) f S1 x[n] f S1 < f S2 f S2 f g < f s2 DSP DAC mit ZOH* Sensor Anti-Aliasing- Filter H AA (f) Sampler Quantizer ADC ZOH- Kompensation* Analoges Nachfilter* H RK (f) * Komponenten des Rekonstruktionsfilters Aktor Zeitdiskretes Signal mit f S2 wird im DAC in zeitkontinuierliches Signal (f S ) umgewandelt ( Rekonstruktion ) In der digitalen Signalverarbeitung wird Abtastrate auf f S2 > f S1 erhöht ( Upsampling ) Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-3 von 32

4 2 Erhöhung der Abtastrate ( Upsampling ) X(e j2πft S1 ) 0 X(e j2πft S2 ) f S1 f S1 2f S1 3f S1 f 3f S1 5f S1 Ausbügeln jeder 2. Faltung Image(s) durch Erhöhung der Abtast rate von fs1 auf fs2 = 2 fs1 0 f S2 Wiederholspektren Wiederholspektren Images (= Kopien ) bis f S2 werden real! f S2 = f S1 Kopien des alten Basisbands > f S1 müssen unterdrückt werden (warum?) f 3f S2 Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-4 von 32

5 Wiederholspektren vs. Images Wiederholspektren sind Folge der zeitdiskreten Natur eines Signals: Ein mit f S abgetastetes Signal repräsentiert eindeutig nur eine Bandbreite von f S. Der Spektralbereich zwischen kf S (k + 1)f S ist identisch für verschiedene Werte von k und kann nicht einzeln verändert werden! Images sind ehemalige Wiederholspektren, die nach Erhöhung von f S unterschiedliche Informationen repräsentieren können und daher einzeln verändert werden können. Images sind i.a. unerwünscht und müssen unterdrückt werden! Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-5 von 32

6 Rekonstruktion zeitkontinuierlicher Signale X(e j2πft S1 ) f 0 f S1 2f S1 Analoge Rekonstruktion entspricht Neuabtastung mit f S2 alle Wiederholspektren werden zu Images und müssen nach Rekonstruktion eliminiert werden! X(f) f S1 3f S1 Rekonstruktionsfilter f 0 f S1 f S1 2f S1 Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-6 von 32

7 Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP: Interpolation Upsampling und D/A- Wandlung Teil 2 D/A-Wandlung 2016 Dr. Christian Münker

8 Rekonstruktion mit idealem DAC Ziel der Rekonstruktion: Setze zeitdiskrete Folge x[n] in ein äquivalentes analoges Signal x(t) um: Erzeuge analoge Diracschar, d.h. mit dem Wert Null überall außer bei t = nt S y [n] n = t / T S id. DAC y (t) t Das Gewicht der Diracstöße entspricht x[n] (aber Amplitude ) Durch anschließende Filterung wird Signal geglättet Technisch nicht realisierbar! Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-8 von 32

9 Idealer Rekonstruktions-Tiefpass H(f) rect-funktion im Frequenzbereich: X(f), H(f) si-funktion im Zeitbereich: nicht kausal! -1-1/2 0 1/2 1 f / f s h(t) unendlich ausgedehnt! h(t) = f S sin π f S t πf S t = f S si πf S t t / T s Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-9 von 32

10 Ideale Rekonstruktion durch si-impulse ideal abgetastetes Signal x s [n] x s (nt S ) Idealer DAC x (t ) = n= idealer TP f g = f s x S [n]δ(t nt S ) si(πf S t ) ideal rekonstruiertes Signal x(t) Impulsantwort = Interpolationsfunktionen x(t) rekonstruiert für n = -3,, +3 x(t), ursprüngliches Signal Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-10 von 32

11 Rekonstruktion mit realem ZOH-DAC Analoge Dirac-Stöße mit Gewicht x[n] sind technisch nicht realisierbar Erzeuge statt dessen analoge Treppenfunktion ( Zero-Order Hold, ZOH), Fläche einer Stufe entspricht x[n] y [n] y(t) n = t / T S realer DAC 0 3T S3 6T S3 t Technisch realisierbar, aber Verfälschung des Signals: Faltung mit rect im Zeitbereich entspricht Multiplikation mit si-fkt. im Frequenzbereich! h ZOH (t) 1 T s t H ZOH (f ) = T S sin(π f T S ) π f T S e jπ f T S Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-11 von 32

12 Frequenzgang Zero-Order-Hold 1 h ZOH (t) T s t H ZOH (f ) = sin(π f T S) πf T S e j π f T S analoges Nachfilter benötigt: gewünschter Frequenzgang Abfall im Durchlassband (kompensierbar in DSP) -14 db db 64 % Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-12 von 32

13 Signalverarbeitungskette: Reale D/A Wandlung f S f S f g < f s f g < f s f S f S Anti-Aliasing- Filter H(f) Sampler ADC Quantizer DSP ZOH- Kompensation* DAC mit ZOH* Nach-Filter* * Komponenten des Rekonstruktionsfilters Ziel: Flacher Frequenzgang von 0... f S, danach perfekte Imageunterdrückung (dig.) ZOH- Kompensation ZOH-Rekonstruktion analoges Nach-Filter Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-13 von 32

14 Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP: Interpolation Upsampling und D/A- Wandlung Teil 3 Interpolation 2016 Dr. Christian Münker

15 Interpolation um ganzzahligen Faktor I Bei Interpolation wird zunächst die Abtastrate um den Faktor I erhöht ( Upsampling, hier I = 3) durch Einfügen von I - 1 Nullen zwischen Samples ( zerostuffing ) x (nt 1 ) v (mt 2 ) y (mt 2 ) I dig. TP Eigentliche Interpolation zwischen Samples erfolgt anschließend durch digitales TP-Filter Achtung: Zerostuffing reduziert Amplituden der Spektralkomponenten um den Faktor I Verstärkung um I nötig (meist schon im Filter) x[n] v [m] y [m] n = t / T 1 m = t / T 2 m = t / T 2 Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-15 von 32

16 Interpolation Rekonstruktion Imageunterdrückung Interpolation ist in der Mathematik eine Art der Approximation: Eine Funktion wird durch die Interpolationsfunktion in den Stützstellen exakt wiedergegeben und dazwischen zumindest näherungsweise. In der DSV kann Interpolation auch heißen, dass zwischen Stützstellen zusätzliche diskrete Werte bestimmt werden Rekonstruktion geht davon aus, dass die ursprüngliche (analoge) Funktion rekonstruiert werden kann bei D/A-Wandlung verwendet Image-Unterdrückung betrachtet die Problematik im Frequenzbereich: Frequenzkomponenten außerhalb des (alten) Basisbands sind immer Störkomponenten und müssen unterdrückt werden Perfekte Interpolation : Alle Images werden unterdrückt, das (alte) Basisband bleibt unverändert Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-16 von 32

17 Interpolation um ganzzahligen Faktor I (1) x [n] v [m] n = t / T S1 m = t / T S2 X (ej2πf ) ¼ Wdh.- spekt. ½ 1 V (ej2πf ) Image 1/12 1/6 1/3 ½ Wdh.- spekt. Upsampling um I und Einfügen von I - 1 Nullen zwischen Samples ( zerostuffing ), dadurch Amplitudenreduktion des Spektrums um Faktor I 2 Wdh.- spekt. Interpolation / Imageunterdrückung und Verstärkung in digitalem TP-Filter y [m] Y (ej2πf ) 2/3 F = f / f S1 F = f / f S m = t / T S2 1/12 1/6 1/3 ½ 2/3 F = f / f S2 x (nt S1 ) I I v (mt S2 ) dig. TP y (mt S2 ) Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-17 von 32

18 Interpolation um ganzzahligen Faktor I (2) x [n] X (ej2πf ) n = t / T S1 F = f / f S ¼ ½ 1 Alternativ: Upsampling um I mit I - 1 Wiederholungen des letzten Wertes entspricht zerostuffing mit nachfolgender Faltung mit rect [m / I ] Funktion Gewichtung des Spektrums mit si(π F I ) 2 y [m] Y (ej2πf ) Vorteil: Nachteil: m = t / T S2 Image 1/12 1/6 1/3 ½ Dämpfung der Images durch si-charakteristik si-dämpfung im Basisband muss im Interpolationsfilter kompensiert werden (rechenintensiv!) 2/3 F = f / f S2 x (nt S1 ) I v (mt S2 ) dig. TP y (mt S2 ) H avg,i Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-18 von 32

19 Vergleich Dezimation / Interpolation Dezimation: Verringerung der Abtastrate kann Spektralkomponenten ins Basisband zurückfalten (Aliasing ) digitales Anti-Aliasing TP Filter vor Downsampling notwendig! x (nt S1 ) dig. TP v (nt S1 ) R y 2 (mt S2 ) Interpolation: Erhöhung der Abtastrate durch Einfügen von Nullen ( Zerostuffing ) erzeugt spektrale Images im neuen Basisband digitales Anti-Image TP Filter nach Upsampling notwendig! x (nt S1 ) I I v (mt S2 ) dig. TP y (mt S2 ) Skalierung korrigiert reduzierte Signalleistung im Basisband aufgrund Zerostuffing Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-19 von 32