4.2 Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher

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1 7 4 Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale und Systeme nicht auf [, ] zeitbegrenzt ist. Es kommt daher zu einer Überlappung der periodischen Fortsetzungen. Für die Herleitung der Poissonschen Summenformel stellen wir die linke Summe in Gl als zeitkontinuierliche Faltungsoperation des Signals x(t) mit einem Kamm aus Diracschen δ-funktionen dar: ˆ x p (t) = x(t + n) = x(τ)p(t τ)dτ, mit p(t) = δ(t n). (4.45) Die Fouriertransformation von x p (t) erhalten wir mit den Beziehungen des Anhangs A. (Eigenschaften der Fouriertransformation für zeitkontinuierliche Signale) zu X p (jω) = X(jω)P(jω) = X(jω) π = π X(jω 0 n)δ(ω ω 0 n). δ(ω ω 0 n) (4.46) Wenn wir auf diese Gleichung die inverse Fouriertransformation anwenden, dann erhalten wir mit πδ(ω ω 0 n) e jω0nt die Poissonsche Summenformel Gl Ein Sonderfall der Poissonschen Summenformel ergibt sich für t = 0 in Gl. 4.44: x(n) = 1 X(jω 0 n), mit ω 0 = π. (4.47) Diese Beziehung ist der Ausgangspunkt für die Behandlung der Abtastung zeitkontinuierlicher Signale im nächsten Abschnitt. 4. Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher Signale Bei der bisherigen Betrachtung zeitdiskreter Signale haben wir die Signale ohne Beziehung zu analogen (zeitkontinuierlichen) Signalen behandelt. Wie in der Einleitung erwähnt, bietet die digitale Signalverarbeitung in vielen Bereichen eindeutig bessere Verarbeitungsmöglichkeiten als die Analogtechnik. Das setzt jedoch voraus, dass analoge Signale in digitale (zeit- und amplitudendiskrete) Signale umgesetzt werden. Umgekehrt müssen analoge Signale aus den digitalen Signalen erzeugt werden. Die dabei entstehenden Fehler sollten vernachlässigbar sein, damit die digitale Signalverarbeitung ihre Vorzüge ausspielen kann. Bei den heutigen Analog/Digitalwandlern bzw. Digital/Analogwandlern spielen Fehler bei der Amplitudenquantisierung nur noch eine unbedeutende Rolle. Wir können uns daher

2 4. Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher Signale 73 auf den Vorgang der zeitlichen Abtastung und auf die Rekonstruktion konzentrieren. Abtastung und Rekonstruktion sind in Abb. 4.7 schematisiert dargestellt. x a (t) x[n] = x a (n) x a (t) X a (jω) X ( e jθ) X a (jω) Abbildung 4.7: Umwandlung eines zeitkontinuierlichen Signals in Abtastwerte (linkes System) und Rückwandlung (Rekonstruktion) des zeitdiskreten Signals in ein zeitkontinuierliches Signal (rechtes System) 4..1 Abtastung von iefpasssignalen Bei der Abtastung des zeitkontinuierlichen Signals x a (t) werden zu äquidistanten Zeitpunkten im Abstand Signalwerte entnommen. Die Folge dieser Abtastwerte x a (n) bildet das zeitdiskrete Signal x[n]. Die Wahl des Abtastintervalls bzw. der Abtastfrequenz f s = 1 hat eine entscheidende Bedeutung für die Rekonstruktion des zeitkontinuierlichen Signals aus den Abtastwerten. Da bei Echtzeitbetrieb die Anforderung an die Verarbeitungsgeschwindigkeit der Hardware bzw. im Offline-Betrieb der Umfang des gespeicherten Signals proportional zur Abtastfrequenz steigt, sollte f s so niedrig wie möglich sein. Ist sie jedoch zu niedrig, dann ist keine eindeutige Rekonstruktion des Signals möglich. Diesen Effekt untersuchen wir am besten im Frequenzbereich. Wir erhalten den Zusammenhang zwischen dem Spektrum X a (jω) des zeitkontinuierlichen Signals und dem Spektrum X ( e jθ) des zeitdiskreten Signals x[n] = x a (n) mit Hilfe der Poissonschen Summenformel Gl Dazu setzen wir x(t) = x a (t)e j ωt für x(t) in Gl ein und erhalten mit X(jω) = X a (j(ω + ω)) x a (n)e j ωn = 1 X a (jω 0 n + j ω). (4.48) Es ist zweckmäßig, für die folgenden Beziehungen die Notation in Gl zu ändern, und zwar tatt ω bzw. statt ω 0. Die linke Summe in Gl ist mit θ = ω und x[n] = x a (n) die Fouriertransformation des zeitdiskreten Signals: X ( e jθ) = x[n]e jθn = 1 k= ( X a j θ + j π ) k. (4.49) Das Spektrum des zeitdiskreten Signals ergibt sich direkt als periodische Fortsetzung des Analogsignalspektrums. Der Zusammenhang zwischen der Frequenz θ für

3 74 4 Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale und Systeme zeitdiskrete Signale und jener für zeitkontinuierliche Signale ist θ = ω = π f f s. (4.50) Die Frequenz θ = π entspricht daher der Abtastfrequenz f s, mit der einerseits das analoge Signal abgetastet wird und andererseits die periodische Fortsetzung im Frequenzbereich des zeitdiskreten Signals erfolgt. Diese Zusammenhänge sind in Abb. 4.8 anschaulich dargestellt. Dazu verwenden wir ein bandbegrenztes, reellwertiges Analogsignal mit einem dreieckförmigen Spektrum (Abb. 4.8 oben). Wird die Abtastfrequenz f s größer als X a (jω) ωs ω g 0 X ( e jθ) ω g ω π π 0 π π θ Abbildung 4.8: Spektrum des zeitkontinuierlichen Signals (oben) und des zeitdiskreten Signals (unten) bei Abtastung mit f s > f g (ausreichende Abtastung) die doppelte Grenzfrequenz f g gewählt, dann erhalten wir das Spektrum des zeitdiskreten Signals einfach als periodische Fortsetzung des dreieckförmigen Verlaufs. Wir werden sehen, dass in diesem Fall das analoge Signal aus dem abgetasteten Signal unverändert rekonstruiert werden kann. Das ist nicht der Fall, wenn wir die Abtastfrequenz zu niedrig wählen (f s < f g ). Nach Abb. 4.9 kommt es dann zu einer Überlappung der periodisch fortgesetzten Spektren des Analogsignals. Dieser Effekt wird Aliasing im Frequenzbereich genannt. Es treten Verzerrungen des zeitdiskreten Signals in Form zusätzlicher Spektralanteile auf. Die Bedingung für die richtige Wahl der Abtastfrequenz f s > f g (4.51) setzt daher voraus, dass das zeitkontinuierliche Signal bandbegrenzt ist: X a (jω) = 0, für ω > ω g. (4.5)

4 4. Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher Signale 75 X a (jω) ω g ωs 0 X ( e jθ) ω g ω π π 0 π π θ Abbildung 4.9: Spektrum des zeitkontinuierlichen Signals (oben) und des zeitdiskreten Signals (unten) bei Abtastung mit f s < f g (nicht ausreichende Abtastung) Ist das Signal nicht bandbegrenzt, dann muss ein iefpassfilter vor der Analog/Digitalumsetzung eingesetzt werden. Eine exakte Bandbegrenzung ist bei realen Signalen nicht möglich, so dass bei der Abtastung immer ein Aliasing-Anteil im Spektrum des zeitdiskreten Signals vorhanden sein wird. Durch ein geeignetes Design eines iefpassfilters zur Bandbegrenzung kann Aliasing vernachlässigbar klein gemacht werden, wie beispielsweise bei Audiosignalen, bei denen mit modernen Audiocodecs die Aliasing-Komponenten unterhalb der Hörschwelle liegen. Das Aliasing-Phänomen können wir mit dem MALAB-Programm aliasing.m aus der Programmsammlung zu diesem Buch demonstrieren. Bei der Rekonstruktion zeitkontinuierlicher Signale aus den Abtastwerten müssen die periodischen Fortsetzungen im Spektrum des zeitdiskreten Signals unterdrückt werden. Dazu wird ein iefpassfilter benötigt, das nur das Basisband ω ω g durchlässt. Um herauszufinden, wie die Rekonstruktion im Idealfall durchgeführt werden kann, gehen wird von einem ideal-bandbegrenzten Signal x a (t) mit dem Spektrum X a (jω) aus. Mit der inversen Fouriertransformation erhalten wir x a (t) = 1 ˆ ωg X a (jω)e jωt dω π ω g x[n] = x a (n) = 1 π ˆ ωg ω g X a (jω)e jωn dω. (4.53) Nach Gl können wir x[n] als die Fourierreihenkoeffizienten von X a (jω) auffassen, wenn X a (jω) mit der Periode = ω g periodisch fortgesetzt wird. Damit

5 76 4 Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale und Systeme lässt sich dieses Spektrum als Fourierreihe anschreiben: X a (jω) = π ω g x[n]e jnπ ω ωg, ωg < ω < ω g, (4.54) wobei wir = π = π ω g in Gl eingesetzt haben. Da X a (jω) bandbegrenzt ist, können wir das Spektrum, ohne es zu verändern, mit der Übertragungsfunktion H a (jω) = { 1 ω < ω g 0 sonst eines idealisierten iefpassfilters multiplizieren: X a (jω) = H a (jω) π ω g (4.55) x[n]e jnπ ω ωg, ωg < ω < ω g. (4.56) Mit dem Zusammenhang (siehe Formelsammlung im Anhang A) H a (jω)e jnπ ω ωg F ω g π sin(ω g t nπ) ω g t nπ (4.57) erhalten wir aus Gl die fundamentale Beziehung x a (t) = x[n] sin(ω gt nπ) ω g t nπ = x[n] sin ( ω g (t n) ) ω g (t n) (4.58) zur Rekonstruktion des bandbegrenzten analogen Signals x a (t) aus dessen Abtastwerten x[n]. Gleichung 4.51 und Gl bilden zusammen das Abtasttheorem nach Shannon, das besagt, dass jedes bandbegrenzte analoge Signal ohne Informationsverlust aus seinen Abtastwerten rekonstruiert werden kann, wenn Gl erfüllt ist. Es stellt die Grundlage für die digitale Verarbeitung von analogen Signalen dar. Wegen des idealisierten iefpassfilters ist wie beim Abtastvorgang auch die Rekonstruktion nicht exakt mit realen Systemen möglich. Die Annäherung an die ideale Beziehung Gl ist jedoch heutzutage innerhalb erreichbarer Messgenauigkeiten ohne großen Aufwand zu erzielen. Gleichung 4.58 können wir auch als Interpolationsformel mit sinx/x-förmigen Funktionen und äquidistanten Stützstellen t = n interpretieren. Die sin x/x-interpolationsfunktionen haben den Vorteil, dass bei bandbegrenzten Signalen die Interpolation exakt ist. Verwenden wir andere Interpolationsfunktionen, dann ergeben sich Fehler, die wir im folgenden Beispiel untersuchen.

6 4. Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher Signale 77 Beispiel 4.8 Die Rekonstruktion von zeitkontinuierlichen Signalen aus Abtastwerten mit allgemeinen Interpolationsfunktionen g(t) ist entsprechend zu Gl durch x a (t) = x[n]g(t n) (4.59) gegeben. Die einfachste Interpolationsfunktion zur Umwandlung eines zeitdiskreten Signals in ein zeitkontinuierliches Signal ist die Rechteckfunktion (Sample-Hold Funktion) { 1 0 < t < g(t) =, (4.60) 0 sonst die ein stufenförmiges Signal erzeugt (siehe Abb. 4.10). Jeder konventionelle Digital/Analogwandler (DAC) erzeugt ein stufenförmiges Signal aus digitalen Eingangswerten. x[n] 0 1 g(t) n 0 x a (t) t t Abbildung 4.10: Rekonstruktion mit rechteckförmiger Interpolation bei Verwendung eines realen Digital/Analogwandlers Die Fouriertransformation der Sample-Hold Funktion ist G(jω) = ˆ g(t)e jωt dω = ˆ 0 e jωt dω = sin ω ω e jω. (4.61)

7 78 4 Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale und Systeme Diese Filterübertragungsfunktion ist weit vom Verhalten eines idealisierten iefpasses entfernt, so dass ein starker Einfluss im Spektralbereich auftritt. Wir erhalten mit Gl das Spektrum X a (jω) des rekonstruierten Signals x a (t): X a (jω) = x[n]g(jω)e jωn = G(jω) x[n]e jωn } {{ } ( ) X e jθ θ=ω (4.6) = sin ω ω e jω X ( e jω ). Die Sample-Hold Funktion bewirkt daher eine sinx/x-förmige Verzerrung des Spektrums X ( e jθ) des zeitdiskreten Signals. Zusätzlich treten durch die nichtideale Sperrdämpfung bei der Rekonstruktion spektrale Komponenten in Bereichen um Vielfache der Abtastfrequenz auf. Daher wird bei einem realen Digital/Analogwandler ein analoges iefpassfilter benötigt, das diese spektralen Komponenten unterdrückt und das eine sinx/x-entzerrung im Durchlassbereich gewährleistet. Mit dem folgenden MALAB-Beispiel können die Effekte an Hand eines rechteckförmigen Spektrums anschaulich vorgeführt werden. M = 100; n = -M:M; Nx = *M+1; tg = 3/4; x = tg*sinc(tg*n); % cut-off frequency % signal with rectangular % low pass spectrum = 6; g = ones(1,); % interpolation function y = []; for n = 1:Nx y = [y x(n)*g]; % stair case signal end Y = fft(y); % spectrum of interpolated signal Ny = length(y); f = linspace(0,,ny/+1); % frequency axis plot(f,abs(y(1:ny/+1))); xlabel( \theta/\pi ), ylabel( Y(e^{j\theta}) ), grid on; title( spectrum of stair case interpolation ); Bei dieser Simulation mit MALAB müssen wir beachten, dass die Interpolation auch zeitdiskret ist und damit kein echtes zeitkontinuierliches Signal x a (t) erzeugt werden kann. Die sinx/x-entzerrung können

8 4. Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher Signale 79 wir mit folgender Ergänzung zu dem oben angeführten MALAB- Beispiel simulieren: th = [0:M]/Nx; Hc = 1./sinc(th).*exp(j*pi*th); % sin x/x compensation function Yc = Hc.* Y(1:M+1); plot(*th,abs(y(1:m+1)),*th,abs(yc)); xlabel( \theta/\pi ); ylabel( Y(e^{j\theta}), Y_c(e^{j\theta}) ), grid on; title( sin x/x compensation ); 4.. Abtastung von Bandpasssignalen Bei der äquidistanten Abtastung analoger Signale haben wir Signale vorausgesetzt, die tiefpassbandbegrenzt sind. Bei diesen Signalen ist das Spektrum nur im Frequenzbereich von f = 0 bis f < f g von Null verschieden. Für reellwertige iefpasssignale ist bei einer Abtastfrequenz f s f g eine exakte Rekonstruktion aus den Abtastwerten mit einem idealen iefpassfilter möglich. Analoge Bandpasssignale haben eine untere Grenzfrequenz f l > 0 und eine obere Grenzfrequenz f u (siehe Abb. 4.11). Bei der Abtastung dieser Signale mit f s f u entstehen da- X a (jπf) f f u f l 0 f l f u Abbildung 4.11: Spektrum eines analogen Bandpasssignals mit unterer Grenzfrequenz f l und oberer Grenzfrequenz f u (schematisierte Darstellung) mit nach Gl Lücken zwischen den periodischen Fortsetzungen im Spektrum des zeitdiskreten Signals, in denen das Spektrum Null ist. In diesem Abschnitt zeigen wir, dass bei Bandpasssignalen wesentlich geringere Abtastfrequenzen als f s = f u möglich sind. Das Prinzip dazu besteht darin, die Abtastfrequenz so zu wählen, dass die periodischen Fortsetzungen im Spektrum des zeitdiskreten Signals in spektrale Lücken fallen. Damit wird Aliasing im gewünschten Frequenzbereich vermieden und das Bandpasssignal kann mit einem idealen Bandpassfilter exakt rekonstruiert werden.