Datenaquisition. Verstärker Filter. Sensor ADC. Objekt. Rechner

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1 Datenaquisition Sensor Verstärker Filter ADC Objekt Rechner

2 Datenaquisition Verstärker: - linearer Arbeitsbereich - linearer Frequenzgang - Vorkehrungen gegen Übersteuerung (trends, shot noise) - Verstärkerrauschen und -driften Arbeitsbereich an Signal anpassen!

3 Datenaquisition Filter: - Hoch-, Tief-, Bandpaß, Bandstop, Notch - Grenzfrequenz - Steilheit - Phasen-Dispersion - Antialiasing

4 Datenaquisition ADC: - Genauigkeit - Quantisierungs-Fehler (Beispiel: 10 bit ADC 0-10,24 V Einzelwert q = 10, Quantisierungsfehler (q/2) = 0,005 V = 0,01 V - Signal optimal anpassen (Verstärker!)

5 Datenaquisition Abtastintervall: Nyquistfrequenz v ( t) = v( t) δ( t n t ) v = v( n t ); n =..., 3, 2, 1012,,,, 3,... t f n n Nyquist n= Samplinginterval 1 2 t Beispiel: Kritisches Abtasten einer Sinuswelle 2 Abtastwerte pro Zyklus oder Abtastwerte

6 Datenaquisition Abtastintervall: Sampling-Theorem Die kontinuierliche Funktion v(t) sei bandbegrenzt und mit einem Samplingintervall t abgetastet, d.h. S( f ) = 0 f > f Nyquist wobei S( f ) die Fouriertransformierte von v(t) ist. Dann ist v(t) vollständig durch die Abtastwerte bestimmt: v n + n= v( t) = t v n [ 2πf t n t ] Nyquist sin ( ) π( t n t)

7 Datenaquisition Abtastintervall: Aliasing - tritt auf beim Abtasten einer nicht-bandbegrenzten kontinuierlichen Funktion S( f ) 0 f > f Nyquist - diese spektralen Anteile werden in das Intervall gefaltet. f f Nyquist Lösung: (1) natürliche Bandbreite des Signals a priori bekannt oder durch Filterung vor dem Abtasten begrenzen (2) adäquat abtasten

8 Trendanalysen Modellannahme: v( t) = T( t) + A sin( 2πf t) + R( t) T( t) R( t) k i= 1 Trendfunktion Rauschterm i i Trendfunktionen T( t) = at + b T( t) a = + 1 be ct linear logistisch

9 Datenvorbehandlung Filterung im Zeitbereich: Tiefpaß-Filter - Trendschätzer - gleitende Mittelung k ~ 1 v ( t) = v ( t + i ) 2k + 1 i= k - Reduktion von Schwingungen mit max. Periodendauer 2k - digitale Realisation von Tiefpaß-Filtern im Zeitbereich

10 Datenvorbehandlung Filterung im Zeitbereich: Hochpaß-Filter - Trendeliminatoren - Differenzenfilter v~ ( t ) = v ( t ) v ( t ) Differenz zum gleitenden Mittel (demeaning) ~ ( 1) v = v( t + 1) v( t) t Differenzbildung 1. Ordnung (Eliminierung konst. Trends) ~ ( 2) v = v( t + 2) v( t + 1) + v( t) t Differenzbildung 2. Ordnung (Eliminierung linearer Trends) - digitale Realisation von Hochpaß-Filtern im Zeitbereich

11 Datenvorbehandlung Filterung im Zeitbereich: Design linearer Filter (Tief-, Hoch-, Bandpaß, Notch) Ansatz: Sei der Input und der Output eines Filter x k y n y = c x + d y n K k n k k = 0 j= 1 c d Filterkoeffizienten k j J j n j J = 0 nichtrekursiver oder finite impulse response (FIR) Filter J 0 rekursiver oder infinite impulse response (IIR) Filter

12 Datenvorbehandlung Filterung im Zeitbereich: Design linearer Filter Bestimmung der Filterkoeffizienten - "inverses Problem" - spezielle Verfahren (z.b. bilineare Transformation) - Lehrbücher R.W. Hamming. Digital Filters. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1977 L.R. Rabiner und B. Gold. Theory and Application of digital signal processing. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975 Press et al. und Stearns

13 Datenvorbehandlung Filterung im Frequenzbereich Filterung: Faltung der Funktion v(t) mit geeigneter Filterfunktion g(t) Idee: Ausnutzung des Faltungstheorems v ( t ) g ( t ) V ( f ) G ( f ) V(f), G(f) Fouriertransformierte von v(t), g(t) Faltung im Zeitbereich entspricht Multiplikation im Frequenzbereich

14 Datenvorbehandlung Filterung im Frequenzbereich Filterantwortfunktion G( f ) = 1 K k= 0 J c e j= 1 k 2πik ( f t ) d e j 2πij( f t) Bestimmung der Filterkoeffizienten analog wie bei Zeitbereichsfiltern

15 Datenvorbehandlung Filterung im Frequenzbereich Beispiel: Tiefpaß-Butterworth-Filter n-ter Ordnung (IIR) G ( f ) = 1 1 f + f c 2 n f c Cutoff-Frequenz

16 Datenvorbehandlung: Filter P(f) Low-pass pass band stop band P(f) High-pass f f P(f) Band-pass P(f) Band-stop (notch) f f

17 Datenvorbehandlung Filterung im Zeitbereich: - ineffizient - Echtzeitanwendung - Phasendispersion (time-reversal Filterung) Filterung im Frequenzbereich: - effizient - Phase?