Aufgabe 1: Kontinuierliche und diskrete Signale

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1 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme Aufgabe : Kontinuierliche und diskrete Signale. Zwei Systeme sollen auf ihre Eigenschaften untersucht werden: v(t) S { } y (t) v(t) S { } y (t) Abbildung : zeitkontinuierliche Systeme y (t) = m v(t) cos(ω 0 t) y (t) = [+m v(t)] cos(ω 0 t) m R a) Untersuchen Sie die Linearität beider Systeme (Rechenweg angeben). b) Untersuchen Sie die Eigenschaft der Zeitinvarianz der beiden Systeme (Rechenweg angeben). c) Welche der beiden Systeme sind LTI-Systeme (Begründung angeben)? Lassen sich die beiden Systeme durch eine Impulsantwort eindeutig charakterisieren? d) Handelt es sich um reellwertige Systeme (Begründung angeben)? e) Handelt es sich um gedächtnislose oder gedächtnisbehaftete Systeme (Begründung angeben)? f) Untersuchen Sie die Stabilitätseigenschaften beider Systeme. g) Untersuchen Sie die Kausalitätseigenschaften der beiden Systeme.. Das System S 3 besitzt die Impulsantwort h(k) = ( ) k ǫ(k) und wird durch die Eingangsfolge v(k) = δ(k)+4δ(k )+3δ(k ) angeregt. a) Zeichnen Sie h(k) und v(k). b) Bestimmen Sie die z-transformiertenh(z) = zt{h(k)} undv(z) = zt{v(k)}. c) Wie lautet die Z-Transformierte des Ausgangssignals Y(z) = zt{y(k)}? d) Bestimmen und skizzieren Sie das Ausgangssignal y(k). e) Bestimmen Sie die ersten 4 Werte der linearen Faltung der diskreten Signale v(k) mit h(k) und vergleichen Sie diese mit dem vorigen Ergebnis. Sommersemester Seite von 5

2 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme 3. Gegeben ist das in Abb. dargestellte Eingangssignal v(t). v(t) t Abbildung : Eingangssignal v(t) Zeichnen Sie den Signalverlauf, der sich nach der Ausführung der Signaloperation y(t) = [v(6 t)]+3 ergibt: y(t) t Abbildung 3: Ausgangssignal y(t) Sommersemester Seite von 5

3 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme Aufgabe : Diskrete Systeme Gegeben sei folgendes kausale LTI-System: α α z W(z) z V(z) Y(z) z Abbildung 4: kausales LTI-System α. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des in Abbildung 4 dargestellten Systems. (Zur besseren Übersicht können Sie das Gesamtsystem in kleinere Teilsysteme zerlegen.). Ermitteln Sie die Differenzengleichung des Systems. 3. Handelt es sich bei dem in Abbildung 4 dargestellten System um eine kanonische Realisierung (Begründung)? Zeichnen Sie einen äquivalenten Signalflussgraphen in der. kanonischen Form. 4. Zeichnen Sie das Pol-/Nullstellen-Diagramm dieses Systems. Wann ist das System in Abhängigkeit von α stabil? Treffen Sie Aussagen über das Konvergenzgebiet. 5. Handelt es sich um ein IIR- oder ein FIR-System? Wofür stehen die Begriffe FIR und IIR? 6. Bestimmen Sie den Betrag der Übertragungsfunktion H(z) für z = ±. Ermitteln Sie hiermit oder mit Ihrem Pol-/Nullstellendiagramm, ob das System ein Tiefpass, Hochpass oder ein Bandpass ist. Begründen Sie Ihre Aussagen. Sommersemester Seite 3 von 5

4 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme Aufgabe 3: Kontinuierliche Systeme Gegeben ist die abgebildete Zweitorschaltung, die am Tor durch eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand R angeregt wird, deren Spannung frequenzabhängig ist. Das Ausgangstor (Tor ) der Zweitorschaltung ist durch den Lastwiderstand R abgeschlossen: Quelle Zweitor L Last U 0 (s) R C R U a (s) Tor Tor Abbildung 5: Zweitorschaltung. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(s) des in Abbildung 5 dargestellten Systems! Wie groß ist die Systemordnung?. Leiten Sie aus der Übertragungsfunktion die zugehörige Differentialgleichung des Systems her. 3. Aufgaben zum Pol/Nullstellen-Diagramm (P/N)-Diagramm a) Bestimmen Sie alle Pole und Nullstellen des Systems als Funktion der Elementwerte R, L, C! b) Charakterisieren Sie die Stabilitätseigenschaften des Systems unter der Voraussetzung, dass nur physikalisch realisierbare Elementwerte R,L,C verwendet werden! c) Zeichnen Sie das P/N-Diagramm des Systems. 4. Geben Sie den Frequenzgang des Systems an! Wodurch unterscheidet er sich von der Übertragungsfunktion? Warum existiert er (Begründung)? 5. Bestimmen Sie den prinzipiellen Verlauf des Betragsfrequenzganges des untersuchten Systems. Welche charakteristischen Frequenzpunkte ziehen Sie zur Untersuchung heran? 6. Ist das obige System ein Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre, Allpass (Begründung)? Sommersemester Seite 4 von 5

5 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme Aufgabe 4: Abtasttheorem. Was für ein Spektrum weist ein abgetastetes Signal v d (t) und was für ein Spektrum weist ein periodisches Signal v p (t) auf?. Zeichnen Sie das Spektrum eines abgetasteten Cosinus-Signals mit der Frequenz f 0 im Bereich π < Ω < π. Es gilt: f 0 = 0 khz und f A = 30 khz. Im Folgenden soll ein reellwertiges, tiefpassbegrenztes und zeitkontinuierliches Signal v(t) betrachtet werden. Das zugehörige Spektrum V(jω) besitzt für ω > ω g = π 0 MHz keine Spektralanteile. 3. Zeichnen Sie das Spektrum V(jω) des Signals v(t). Begründen Sie Ihre Antwort. 4. Welche Abtastrate f A wählen Sie nach dem Abtasttheorem, damit v(t) aus v(k) vollständig rekonstruierbar ist? 5. Welchen Effekt verursacht eine zu niedrig gewählte Abtastrate? 6. Zeichnen Sie V(e jω ) im Bereich f A < f < f A für f A = 50 MHz. 7. Zeichnen Sie V(e jω ) im Bereich f A < f < 3 f A für f A = 60 MHz. 8. Welche Symmetrie weist das jeweilige Spektrum auf? Begründen Sie Ihre Antwort. Nun soll das Signal v(t) mit Hilfe eines Filters aus v(k) gewonnen werden. 9. Mit welchem Filtertyp filtern Sie das Signal? 0. Wie unterscheiden sich die Verläufe eines realen und eines idealen Filters qualitativ?. Welches der beiden abgetasteten Signale aus Aufgabenteil 6. und 7. ist für eine Rekonstruktion besser geeignet? Begründen Sie Ihre Antwort.. Geben Sie die Grenzen für ein Filter an, so dass v(t) aus v(k) vollständig rekonstruiert werden kann. Sommersemester Seite 5 von 5

6 Aufgabe : Kontinuierliche und diskrete Signale. Zwei Systeme sollen auf ihre Eigenschaften untersucht werden. a) Ein lineares System erfüllt die Additivitäts- und die Homogenitätseigenschaft: System : S{c v (t)+c v (t)} = c S{v (t)}+c S{v (t)} Das System ist linear. System : c mv (t)cos(ω 0 t)+c mv (t)cos(ω 0 t) = m[c v (t)+c v (t)]cos(ω 0 t) [+c mv (t)]cos(ω 0 t)+[+c mv (t)]cos(ω 0 t) Das System ist nicht linear. [+m[c v (t)+c v (t)]]cos(ω 0 t) b) Für ein zeitinvariantes System muss gelten, wenn v(t) y(t) = S{v(t)}, dann gilt v(t t 0 ) y(v(t t 0 )) = S{v(t t 0 )}. System : Das System ist zeitvariant. System : Das System ist zeitvariant. mv(t t 0 )cos(ω 0 t) mv(t t 0 )cos[ω 0 (t t 0 )] [ mv(t t 0 )]cos(ω 0 t) [ mv(t t 0 )]cos[ω 0 (t t 0 )] c) Weder System S noch das System S besitzt die LTI-Eigenschaft, da keines von beiden linear und zeitinvariant ist. Somit sind beide Systeme durch eine Impulsantwort nicht eindeutig beschreibbar. d) Beide Systeme sind reellwertig, denn für beide gilt: v(t) R y(t) R Sommersemester Seite von 4

7 e) Bei einem gedächtnislosen System hängt der aktuelle Wert am Ausgang nur vom aktuellen Wert am Eingang ab. Beide Systeme sind demnach gedächtnislos. f) Beide Systeme sind BiBo-stabil, denn sie reagieren auf ein beschränktes Eingangssignal mit einem ebenfalls beschränkten Ausgangssignal: v(t) M y(t) cm < g) Beide Systeme sind kausal, da gedächtnislos.. Das System S 3 besitzt die Impulsantwort h(k) = [ ] k ǫ(k) und wird durch die Eingangsfolge v(k) = δ(k)+4δ(k )+3δ(k ) angeregt. a) Skizze der Impulsantwort und der Eingangsfolge: h(k) k Abbildung : Impulsantwort h(k) v(k) Abbildung : Eingangsfolge v(k) k b) Die z-transformierten lauten: h(k) = ( ) k ǫ(k) H(z) = +z = z z+ v(k) = δ(k)+4δ(k )+3δ(k ) V(z) = +4z +3z = z +4z+3 z Sommersemester Seite von 4

8 c) Die z-transformierte des Ausgangssignals ist gleich dem Produkt der z-transformierten des Eingangssignals und der Übertragungsfunktion des Systems: Y(z) = H(z) V(z) Y(z) = z (z +)(z +3) = z +3 z + z z = +3z d) Durch die Anwendung des Verschiebungssatzes der z-transformation kann das Ausgangssignal nun bestimmt werden: Y(z) = +3z y(k) = δ(k)+3δ(k ) y(k) Abbildung 3: Ausgangssignal y(k) k e) Für die lineare Faltung zeitdiskreter Signale gilt: y(k) = v(i)h(k i) i=0 Berechnung der ersten 4 Werte: y(0) = v(i)h( i) = v(0)h(0)+v()h( )+v()h( ) = i=0 y() = v(i)h( i) = v(0)h()+v()h(0)+v()h( ) = 3 y() = y(3) = i=0 v(i)h( i) = v(0)h()+v()h()+v()h(0) = 0 i=0 v(i)h(3 i) = v(0)h(3)+v()h()+v()h() = 0 i=0 Sommersemester Seite 3 von 4

9 f) Da die lineare Faltung das Zeitbereichsäquivalent der Multiplikation im Spektralbereich ist, müssen die Werte des Ausgangssignals aus beiden Berechnungen identisch sein. Für die hier ermittelten Werte ist das der Fall. 3. Gegeben ist das in Abb.4 dargestellte Eingangssignal v(t) v(t) t Abbildung 4: Eingangssignal v(t) Die Signaloperation y(t) = [v(6 t)]+3 kann aufgegriffen werden als Spiegelung des Signals um den Zeitpunkt t = 6/ = 3, anschließender Signalwertskalierung um Faktor und einem abschließenden Signal-Offset von +3. Die Signaloperation kann auch wie folgt dargestellt werden: y(t) = [ v(t+6)]+ 3. Daraus ergibt sich eine Linksverschiebung (Beschleunigung) des Signals um t = 6, eine Spiegelung des Signals um den Zeitpunkt t = 0(Zeitinversion), anschließender Signalwertskalierung um Faktor und einem abschließenden Signal- Offset von +3. In beiden Fällen ergibt sich daraus der identische Signalverlauf für y(t). Sommersemester Seite 4 von 4

10 y(t) t Abbildung 5: Ausgangssignal y(t) Sommersemester Seite 5 von 4

11 Aufgabe : Diskrete Systeme Gegeben war ein kausales LTI-System, das beispielsweise in folgende 3 Teilsysteme aufgeteilt werden kann: α H (z) α z W(z) z Y (z) V(z) Y(z) H (z) z Y (z) Abbildung 6: kausales LTI-System (Kaskade) α H 3 (z). Die Gesamtübertragungsfunktion H(z) ergibt sich aus der Zusammenschaltung der 3 Teilsysteme: H(z) = H (z) [H (z)+h 3 (z)] H (z) wird mittels des Hilfsknotens W(z) bestimmt: H (z) und H 3 (z) entsprechend: W(z) = V(z)+αV(z)z H (z) = W(z) V(z) = +αz Y (z) = W(z)z +αy (z)z und H (z) = Y (z) W(z) = z αz Y (z) = W(z)z +αy (z)z H 3 (z) = Y (z) W(z) = z αz Sommersemester Seite 6 von 4

12 H(z) = [ +αz ][ ] z z αz αz H(z) = z (+αz ) αz H(z) = z +α z αz = z +αz αz. Nach geeigneter Umformung der Übertragungsfunktion H(z) wird die Differenzengleichung des Systems unter Anwendung des Verschiebungssatzes der z-transformation gewonnen: H(z) = Y(z) V(z) = +αz z αz Y(z) ( αz ) = V(z) ( z +αz ) Y(z) = V(z)z αv(z)z +αy(z)z y(k) = v(k ) αv(k )+αy(k ) 3. Übertragungsfunktion und Differenzengleichung besitzen die Systemordnung n =. Das in Abbildung 6 dargestellte System ist mit seinen 3 Verzögerern nicht kanonisch realisiert. Aus der Differenzengleichung lässt sich ein Signalflussgraph in der. kanonischen Form direkt ableiten: v(k) y(k) z α α z Abbildung 7: kanonischer Signalflussgraph 4. Die Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die Nullstellen ihres Zählers und die Polstellen der Übertragungsfunktion sind die Nullstellen ihres Nenners: z 0 = α z αz = z(z α) z = 0,z = α Bei einem stabilen System liegen alle Pole innerhalb des Einheitskreises der z- Ebene. Bei einem grenzstabilen System können sich zusätzliche einfache Pole auf dem Einheitskreis befinden. Für ein stabiles System gilt somit α < und für ein grenzstabiles System α = Sommersemester Seite 7 von 4

13 Im{z} z α α Re{z} Abbildung 8: Pol-/Nullstellen-Diagramm des diskreten Systems 5. Der Begriff FIR (Finite Impulse Response) bezeichnet ein System mit (zeitlich) begrenzter Impulsantwort, der Begriff IIR (Infinite Impulse Response) ein System mit wenigstens einseitig unbegrenzter Impulsantwort. Bei einem FIR-System liegen alle Pole im Ursprung des P/N-Diagramms. Das vorgegebene System stellt also ein IIR-System dar. 6. Der Betrag der Übertragungsfunktion H(z) für z = entspricht dem Betrag der Übertragungsfunktion für die Frequenz Null. f = 0 Ω = π0 f A = 0 e j0 = H(z) = z +α z αz H() = +α α Der Betrag der Übertragungsfunktion H(z) für z = entspricht dem Betrag der Übertragungsfunktion für die halbe Abtastfrequenz. f = f A Ω = π f A = π e jπ = f A H( ) = +α +α Wegen H() > H( ) und der Tatsache, dass die Polstellen bei der Frequenz Null näher am Einheitskreis liegen, repräsentiert das System offensichtlich ein Tiefpassfilter. Spektralanteile bei der höchst möglichen Frequenz f = f A / werden erheblich weniger verstärkt als bei der Frequenz Null. Sommersemester Seite 8 von 4

14 Aufgabe 3: Kontinuierliche Systeme Gegeben war die abgebildete Zweitorschaltung (-Serienschwingkreis), die zwischen identischen Quell- und Lastwiderständen eingebettet ist: Quelle Zweitor L Last U 0 (s) R C R U a (s) Tor Tor Abbildung 9: Zweitorschaltung. Die Bestimmung der Übertragungsfunktion (ÜF) H(s) = U a (s)/u 0 (s) ergibt sich unmittelbar aus der Gesamtserienschaltung der vier Elemente mit dem Ansatz des Spannungsteilers zu: H(s) = U a(s) U 0 (s) = R R+ sl sc sl+ sc +R = R R+ sl s + s R +R H(s) = s R +sl+r H(s) = s + s +s + RC Die Systemordnung ist offenbar n =, was man unmittelbar auch aus der Zweitorschaltung mit Reaktanzelementen ablesen kann.. Die Differentialgleichung des Systems wird termweise unter Nutzung der Linearitätseigenschaften und des Differentiationssatzes der Laplace-Transformation aus der vereinfachten Übertragungsfunktion gewonnen: U a (s) H(s) = U a(s) U 0 (s) = s + s +s ] = U 0 (s) [ U a (s) s +s RC + = U 0(s)s +U 0 (s) + RC [ s + U a(s)s RC U a(s)s u a(t) = u 0(t)+ u 0(t) RC u a(t) u a(t) ] Sommersemester Seite 9 von 4

15 3. Aufgaben zum Pol/Nullstellen-Diagramm (P/N): a) Die oben bestimmte Übertragungsfunktion der Ordnung n = besitzt offensichtlich Pole und Nullstellen. Aus der Lösung der quadratischen Gleichung des Zählers : s + = 0 ergibt sich ein konjugiert komplexes Nullstellenpaar auf der jω-achse (Frequenzachse) bei der Resonanzkreisfrequenz ω r = πf r des -Parallelschwingkreises der Übertragungsfunktion zu: s 0, = jω r = ±j Aus der Lösung der quadratischen Gleichung des Nenners: s +s RC + = 0 ergeben sich die beiden Pole des Systems in Abhängigkeit von den Elementwerten zu: ( s, = ) 4RC ± 4RC b) Da die Elementwerte R, L, C des obigen Systems reellwertig und positiv sind, ist der Realteil der Pole gemäß stets negativ, weshalb die Pole stets in der linken s- Halbebene liegen, und das System grundsätzlich stabil ist (niemals grenz- oder instabil sein kann)! Dies folgt auch bereits aus der Tatsache, dass die Schaltung ausschließlich aus passiven und verlustlosen (Reaktanz-) Elementen aufgebaut ist und keine aktiven Elemente (Verstärker) enthält. c) Das System ist strikt stabil, da das Polpaar des Systems in der offenen linken s-halbebene liegt, sofern R,L,C > 0 (physikalisch realisierbare Elementwerte). Dabei sind Fälle zu unterscheiden: Für ( ) 4RC sind beide Pole reellwertig und liegen offenbar auf der reellen Achse der linken s-halbebene. Für ( ) 4RC < sind beide Pole zueinander konjugiert komplex, wobei für den Realteil gilt: σ r =. 4RC Ausgehend von der obigen Fallunterscheidung lassen sich die nachfolgenden P/N- Diagramme in Abb. 0 darstellen: 4. Den Frequenzgang des Systems erhält man aus der Übertragungsfunktion, indem man die ÜF entlang der imaginären Achse der s-ebene auswertet: s := jω. Voraussetzung für die Existenz des Frequenzgangs ist, dass die imaginäre Achse der s-ebene im Konvergenzgebiet (ROC) von H(s) liegt, d.h., dass die ÜF überall auf der imaginären Achse der s-ebene existiert (endlich ist; evtl. mit Ausnahme für Sommersemester Seite 0 von 4

16 j = j Im s j = j Im s s s s s 0 0 s s s s = s = Re s = Re s s = s s = s Abbildung 0: Pol-/Nullstellen Diagramm des kontinuierlichen Systems f ). Nach den obigen Überlegungen zur Stabilität ist diese Bedingung für das vorgegebene Zweitor grundsätzlich immer erfüllt. Damit folgt für den Frequenzgang des Systems.Ordnung: H(s) s=jω = H(jω) = ω + ω +jω RC + 5. Der Betragsfrequenzgang des Systems wird zweckmäßigerweise für die technischen Frequenzen f = 0, f und die Resonanzfrequenz des Parallelschwingkreises bestimmt: H(jω) ω=0 = H(j0) = H(jω) ω = H(j ) = j0 + RC ω + ω +jω RC + = = Der zwischen den beiden Toren des obigen Zweitors liegende Parallelschwingkreis stellt bei seiner Resonanzfrequenzω 0 bekanntlich einen Leerlauf dar. Folglich ergibt sich die minimale Ausgangsspannung U min (jω) genau bei der Resonanzfrequenz ω 0. Dieses Ergebnis erhält man auch unmittelbar aus dem Frequenzgang, wenn man für die Kreisfrequenz ω die Resonanzkreisfrequenz einsetzt: ω = ω 0 = ± Offenbar existieren genau zwei derartige Resonanzfrequenzen auf der Frequenzachse (auf der imaginären Achse der s-ebene), die spiegelbildlich zur Frequenz f = 0 angeordnet sind. 6. Bei dem betrachteten System handelt es sich folglich um eine Bandsperre. Sommersemester Seite von 4

17 Aufgabe 4: Abtasttheorem. Was für ein Spektrum weist ein abgetastetes Signal v d (t) und was für ein Spektrum weist ein periodisches Signal v p (t) auf? Abgetastetes Signal Periodisches Spektrum Periodisches Signal Linienspektrum. Zeichnen Sie das Spektrum eines abgetasteten Cosinus-Signals mit der Frequenz f 0 im Bereich π < Ω < π! Es gilt: f 0 = 0 khz und f A = 30 khz. jω V( e ) π π -f A -f 0 f 0 f A f / khz Ω Im Folgenden soll ein reellwertiges, tiefpassbegrenztes und zeitkontinuierliches Signal v(t) betrachtet werden. Das zugehörige Spektrum V(jω) besitzt für ω > ω g = π 0 MHz keine Spektralanteile. 3. Zeichnen Sie das Spektrum V(jω) des Signals v(t)! Begründen Sie Ihre Antwort. V ( j ω) f / MHz Ein reellwertiges, tiefpassbegrenztes Signal hat ein symmetrisches Betragsspektrum zu f = Welche Abtastrate f A wählen Sie nach dem Abtasttheorem, damit v(t) aus v(k) vollständig rekonstruierbar ist? f A > f max somit gilt: f A > 40 MHz. 5. Welchen Effekt verursacht eine zu niedrig gewählte Abtastrate? Eine Überfaltung von Spektralanteilen (Aliasing) wäre die Folge. Sommersemester Seite von 4

18 6. Zeichnen Sie V(e jω ) im Bereich f A < f < f A für f A = 50 MHz. jω V ( e ) -00-4π -f A π 4π f A / f A -π -f A π f A f / MHz Ω 7. Zeichnen Sie V(e jω ) im Bereich f A < f < 3 f A für f A = 60 MHz. jω V ( e ) -60 -π -f A f / MHz π π 3π Ω f A / f A 3/ f A 8. Welche Symmetrie weist das jeweilige Spektrum auf? Begründen Sie Ihre Antwort. V(e jω ) ist spiegelsymmetrisch zu Ω = mπ, m Z. Nun soll das Signal v(t) mit Hilfe eines Filters aus v(k) gewonnen werden. 9. Mit welchem Filtertyp filtern Sie das Signal? Es muss ein Tiefpass-Filter genutzt werden. 0. Wie unterscheiden sich die Verläufe eines realen und eines idealen Filters qualitativ? H ( j ω) ideal real f. Welches der beiden abgetasteten Signale aus Aufgabenteil 6. und 7. ist für eine Rekonstruktion besser geeignet? Begründen Sie Ihre Antwort. Das abgetastete Signal aus Aufgabenteil 7. ist besser geeignet, da aufgrund der Sommersemester Seite 3 von 4

19 höheren Abtastfrequenz ein größerer Übergangsbereich für das notwendige Filter vorhanden ist. Das Filter benötigt somit weniger steile Filterflanken.. Geben Sie die Grenzen für ein Filter an, so dass v(t) aus v(k) vollständig rekonstruiert werden kann. f g,min > 0 MHz und f g,max < 40 MHz Sommersemester Seite 4 von 4