y(k) = v(k) v(k 1) (a) Untersuchen Sie die Linearität beider Systeme (Bitte unbedingt den Rechenweg

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1 AG Digitale Signalverarbeitung - Klausur in Signale und Systeme Frühjahr 2010 Aufgabe 1: Diskrete und kontin. Signale 25 Pkt. Aufgabe 1: Diskrete und kontin. Signale 25 Pkt. 1.1 Gegeben sei das als Differenzierer y(k) = v(k) v(k 1) und das als Summierer bezeichnete System. k y(k) = v(n) n= (a) Untersuchen Sie die Linearität beider Systeme (Bitte unbedingt den Rechenweg angeben). (b) Untersuchen Sie die Eigenschaft der Zeitinvarianz der beiden Systeme (Bitte unbedingt den Rechenweg angeben). (c) Welche der beiden Systeme sind LTI-Systeme (Begründung angeben)? Geben Sie ggf. die Impulsantworten und die Übertragungsfunktionen samt ROC (Konvergenzgebiet) an. (d) Untersuchen Sie die Stabilitätseigenschaften. (e) Untersuchen Sie die Kausalitätseigenschaften der beiden Systeme. Nun werden die beiden Systeme in Reihe geschaltet. V(z) Y (z) v(k) y(k) (f) Bestimmen Sie die Impulsantwort des gesamten Systems (Tipp: Sie können sowohl im Zeitbereich als auch im z-bereich vorgehen). (g) Tragen Sie die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems in die obere Abbildung ein. (h) Ist das gesamte System stabil und kausal? (i) Zusatzaufgabe: Geben Sie eine Rekursionformel für den Summierer an. Tipp: Bedenken Sie, dass in der oberen Abbildung v(k) das zu summierende Signal und y(k) die Summe ist. Bitte beachten Sie ggf. beide Seiten der Aufgabenblätter!

2 AG Digitale Signalverarbeitung - Klausur in Signale und Systeme Frühjahr 2010 Aufgabe 1: Diskrete und kontin. Signale 25 Pkt. 1.2 Sind Sie folgenden Signale periodisch? Bestimmen Sie ggf. deren Grundperiode. (a) v(t) = ln(cos(t)+sin(π)) (b) v(k) = sin(k) 1.3 Gegeben ist das in Abb. 1 dargestellte Eingangssignal v(t). Abbildung 1: Eingangssignal v(t) Dieses Signal wird in ein System eingespeist, das die folgende Operation durchführt: y(t) = 1 dv(t 2T). 2 dt Bitte tragen Sie das Ausgangssignal in Abb. 2 ein und beschriften Sie die Achsen. Beschreiben Sie die einzelnen Schritte. Nun wird das von Ihnen berechnete Ausgnagssignal y(t) als Eingangssignal des folgenden Systems benutzt: z(t) = dv(t) dt Welches der in Abb. 3 dargestellten Ausgangssignale folgt aus der Beziehung (Die Pfeile stellen Dirac-Impulse dar, ihre Länge gibt die Wichtung an). Bitte beachten Sie ggf. beide Seiten der Aufgabenblätter!

3 AG Digitale Signalverarbeitung - Klausur in Signale und Systeme Frühjahr 2010 Aufgabe 1: Diskrete und kontin. Signale 25 Pkt. Abbildung 2: Ausgangssignal y(t) Abbildung 3: Auswahl aus möglichen Ausgangssignalen z(t) Bitte beachten Sie ggf. beide Seiten der Aufgabenblätter!

4 AG Digitale Signalverarbeitung - Klausur in Signale und Systeme Frühjahr 2010 Aufgabe 2: Diskrete Systeme 25 Pkt. Aufgabe 2: Diskrete Systeme 25 Pkt. Gegeben ist der kanonische Signalflussgraph (SFG) eines diskreten Systems: Handelt es sich um ein MIMO- oder ein SISO-System? 2.2 Ermitteln Sie aus dem Signalflussgraphen die Differenzengleichung (dgl) des Systems. 2.3 Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion (ÜF) des Systems. 2.4 Zeichnen Sie das Pol-/Nullstellen-Diagramm des Systems. 2.5 Fragen zu den Eigenschaften des Systems: (a) Ermitteln Sie die Stabilitätseigenschaften des Systems. (b) Wofür stehen die Begriffe FIR und IIR? (c) Wodurch ist die Übertragungsfunktion eines FIR-Systems eindeutig gekennzeichnet? (d) Handelt es sich um ein FIR- oder ein IIR-System? 2.6 Bestimmen Sie die Zustandsraumdarstellung (ZRD) des Systems. 2.7 Zeichnen Sie einen Signalflussgraphen eines äquivalenten Systems, das durch die Kaskadenschaltung von 2 Systemen 1.Ordnung charakterisiert ist. Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten für die Reihenschaltung gibt es hierfür? 2.8 Ist es möglich, für dieses System den Frequenzgang anzugeben (Begründung)? Bitte beachten Sie ggf. beide Seiten der Aufgabenblätter!

5 AG Digitale Signalverarbeitung - Klausur in Signale und Systeme Frühjahr 2010 Aufgabe 3: Kontinuierliche Systeme 25 Pkt. Aufgabe 3: Kontinuierliche Systeme 25 Pkt. Gegeben ist die abgebildete Zweitorschaltung, die am Tor1 durch eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand R angeregt wird, deren Spannung frequenzabhängig ist. Das Ausgangstor (Tor2) der Zweitorschaltung ist durch den Lastwiderstand R abgeschlossen: R L C V 0( s) R V2 ( s ) Tor 1 Tor 2 Quelle Zweitor Last 3.1 Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion (ÜF) H(s) des gegebenen Systems! Wie groß ist die Systemordnung? 3.2 Aufgaben zum Pol/Nullstellen-Diagramm (P/N): (a) Bestimmen Sie alle Pole und Nullstellen des Systems als Funktion der Elementewerte R,L,C! Wieviel Pole und Nullstellen sind dies jeweils? (b) Zeichnen Sie das P/N-Diagramm des Systems mit der Vorgabe, dass ein Pol reellwertig ist. (c) Zeichnen Sie das P/N-Diagramm des Systems mit der Vorgabe, dass ein Pol komplexwertig ist. (d) Untersuchen Sie die Stabilitätseigenschaften des Systems. 3.3 Geben Sie den Frequenzgang des Systems an! Wodurch unterscheidet er sich von der ÜF? Warum existiert er? Begründung. 3.4 Wie groß ist die am Lastwiderstand R maximal auftretende Ausgangsspannung V 2 in Abhängigkeit von der Spannung V der Quelle? Bei welchen (Kreis-) Frequenzen ω 0 tritt dieser Maximalwert auf? Bitte beachten Sie ggf. beide Seiten der Aufgabenblätter!

6 AG Digitale Signalverarbeitung - Klausur in Signale und Systeme Frühjahr 2010 Aufgabe 3: Kontinuierliche Systeme 25 Pkt. 3.5 Bestimmen Sie folgende Werte des Frequenzgangs der zwischen den Widerständen R eingebetteten Zweitorschaltung: (a) Betrag des Frequenzgangs bei der Kreisfrequenz ω 0! (b) Phase des Frequenzgangs bei der Kreisfrequenz ω 0! (c) Betrag des Frequenzgangs bei der Frequenz f = 0! (d) Betrag des Frequenzgangs für f! 3.6 Ist das obige System ein Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre, Allpass? Bitte beachten Sie ggf. beide Seiten der Aufgabenblätter!

7 AG Digitale Signalverarbeitung - Klausur in Signale und Systeme Frühjahr 2010 Aufgabe 4: Abtasttheorem 25 Pkt. Aufgabe 4: Abtasttheorem 25 Pkt. Gegeben sei das Betragsspektrum V (j2πf) des reellen kontinuierlichen und dimensionslosen Signals v(t), welches zu v(k) abgetastet werden soll: V(j2πf f/hz 4.1 Zeichnen Sie V (j2πf) im Bereich 100 < f/hz < 100! Welche Symmetrie weist das Spektrum ggf. auf (Begründung)? 4.2 Geben Sie die minimale Abtastfrequenz f A an, mit der das Signal v(t) zu v(k) ohne Informationsverlust ideal abgetastet werden kann. Beachten Sie dabei, dass V (j2π 80Hz) = Skizzieren Sie das Betragsspektrum V ( e jω) des abgetasteten Signals v(k) im Bereich 0 < Ω < 4π! Zeichnen Sie dabei sowohl eine Ω-, als auch eine f- Frequenzachse ein. Welche Symmetrien weist das Spektrum auf (Begründung)? Mittels der folgenden Kaskade aus einem idealen Digital/Analog-Wandler mit der Abtastfrequenz f A und einem idealen reellen Bandpass mit den unteren bzw. oberen Grenzfrequenzen f u bzw. f o soll ein kontinuierliches Signal y(t) zurückgewonnen werden: v(k) D/A y(t) f A f u,f o 4.4 In welchen Grenzen müssen Sie f u und f o wählen, damit y(t) = v(t) gilt? 4.5 Es gelte f u = 140Hz und f o = 240Hz. Zeichen Sie für diesen Fall das Betragsspektrum Ỹ (j2πf) des Signals ỹ(t) im Bereich 0 < f/hz < 300! 4.6 Wodurch unterscheiden sich die Signale v(t) und ỹ(t)? Bitte beachten Sie ggf. beide Seiten der Aufgabenblätter!

8 Musterlösung zur Klausur Signale und Systeme Arbeitsgruppe Digitale Signalverarbeitung Ruhr-Universität Bochum Frühjahr

9 1 Diskrete und kontin. Signale 25 Pkt. 1. Summierer und Differenzierer (a) Falls beide Systeme linear sind, muss gelten: ausv 1 (k) y 1 (k),v 2 (k) y 2 (k) folgt v 1 (k)+v 2 (k) y 1 (k)+y 2 (k) i. Summierer: y 1 (k) = k n= v 1 (n) und y 2 (k) = k n= v 2 (n) Und für die Summe gilt: v 3 (k) = v 1 (k) + v 2 (k): y 3 (k) = k k n= v 1 (n)+ k n= v 2 (n) = y 1 (k)+y 2 (k) n= v 3 (n) = ii. Differenzierer: y 1 (k) = v 1 (k) v 1 (k 1) und y 2 (k) = v 2 (k) v 2 (k 1) Und für die Summe gilt: v 3 (k) = v 1 (k)+v 2 (k): y 3 (k) = v 3 (k) v 3 (k 1) = v 1 (k)+v 2 (k) v 1 (k 1) v 2 (k 1) = y 1 (k)+y 2 (k) (b) Falls beide Systeme zeitinvariant sind, muss gelten: aus v(k) y(k) folgt v(k k 0 ) y(k k 0 ) i. Summierer: Eingangssignal: v 1 (k) = v(k k 0 ), y 1 (k) = = k n= v 1 (n) = k n= v(n k 0 ) Indexwechsel :κ = n k 0 k k 0 κ= v(κ) = y(k k 0 ) ii. Differenzierer: Eingangssignal: v 1 (k) = v(k k 0 ), y 1 (k) = v 1 (k) v 1 (k 1) = v(k k 0 ) v(k k 0 1) = y(k k 0 ) (c) Beide Systeme sind LTI aufgrund der in (a) und (b) gezeigten Eigenschaften. Impulsantworten: Eingangssignal: v(k) = δ(k), { i. Summierer:h(k) = k 1 k 0 zt δ(n) = ɛ(k) = H (z) = z, z > z 1 n= 0 k < 0 1 zt ii. Differenzierer: h(k) = δ(k) δ(k 1) H (z) = z 1, z > 0 z (d) Stabilität 2

10 i. Summierer: Ist grenzstabil, da H(z) = z einen einfachen Pol auf dem z 1 Einheitskreis besitzt. ii. Differenzierer: Ist strikt stabil, da FIR-System. (e) Kausaliät: Beide Systeme sind kausal, weil Impulsantworten rechtsseitig. (f) Kaskade i. Zeitbereich: Gesamtimpulsantwort ist Faltung der Einzelimpulsantworten: h ges (k) = ɛ(k) (δ(k) δ(k 1)) = ɛ(k) ɛ(k 1) = δ(k) ii. z-bereich: Produkt aus Systemfunktionen H ges (z) = z z 1 = 1, h z 1 z ges (k) = δ(k) (g) H(z) = 1 : Das System ist transparent. (h) System ist kausal und stabil, weil Impulsantwort rechtsseitig und absolut summierbar. (i) Rekursionsformel: y(k) = x(k) y(k 1) 2. Sind Sie folgenden Signale periodisch? Bestimmen Sie ggf. deren Grundperiode. (a) Ja, dieses Signal ist periodisch, denn mit t 0 = κ2π und sin(π) = 0 gilt: Die Grundperiode ist t 0 = 2π. v(t+t o ) = ln(cos(t+κ2π)) = v(t) (b) Nein, dieses Signal ist nicht periodisch, denn es muss gelten: v(k +k o ) = cos(k +k 0 ) = cos(k) = v(k), k 0 N Da k 0 = κ2π / N, ist das Signal nicht periodisch. 3. Das Ausgangssignal y(t) kommt durch die folgenden Operationen zustande: 1 (1) Skalierung um Faktor 1/2: v(t) 2 1 (2) Verschiebung des skalierten (verzögerten) v(t 2T) 2 Eingangssignals um 2T nach rechts: 1 dv(t 2T) (3) Anschließende Differenziation 2 dt Die Steigung an den Flanken beträgt gerade 1. Antwort A) ist richtig, denn z(t) wird durch Differenzierung aus y(t) gewonnen: 3

11 Abbildung 1: 4

12 Aufgabe 2: diskrete Systeme 25 Pkt. Gegeben war der kanonische Signalflussgraph (SFG) eines diskreten Systems: Der Begriff SISO (Single Input Single Output) steht für ein System mit einem Eingang und einem Ausgang. Ein MIMO-System (Multiple Input Multiple Output) besitzt mehrere Ein- und Ausgänge. Das vorgegebene System ist ein SISO-System. 2. Die Differenzengleichung (dgl) lässt sich aus dem SFG Zweig für Zweig (3 Vorwärtsund 2 Rückführungszweige) ablesen: y(k) = v(k)+2v(k 1)+v(k 2)+2y(k 1) 1y(k 2) 3. Die Übertragungsfunktion (ÜF) wird unter Anwendung des Verschiebungssatzes der z-transformation direkt aus der Differenzengleichung gewonnen: Y(z) = V(z)+2V(z)z 1 +V(z)z 2 +2Y(z)z 1 1Y(z)z 2 H(z) = Y(z) V(z) = 1+2z 1 +z 2 1 2z 1 +1z = z2 +2z +1 (z +1)2 = 2 z 2 2z +1 z 2 2z Die Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die Nullstellen ihres Zählers und die Polstellen der Übertragungsfunktion sind die Nullstellen ihres Nenners. Die Übertragungsfunktion hat offensichtlich eine doppelte Nullstelle bei z 01.2 = 1 und einen doppelten Pol bei z 1.2 = 1. 5

13 z 5. Fragen zu den Eigenschaften des Systems: (a) Bei einem strikt stabilen System liegen alle Pole innerhalb des Einheitskreises der z-ebene. Bei dem vorgegebenen System liegt ein doppelter Pol auf dem Einheitskreis. Es handelt sich hier also um ein instabiles System. (b) Der Begriff FIR (Finite Impulse Response) bezeichnet ein System mit (zeitlich) begrenzter Impulsantwort, der Begriff IIR (Infinite Impulse Response) ein System mit wenigstens einseitig unbegrenzter Impulsantwort. (c) Bei einem FIR-System liegen alle Pole im Ursprung des P/N-Diagramms. (d) Das vorgegebene System stellt also ein IIR-System dar. 6. Die Elemente der Zustandsraumdarstellung lassen sich aus dem Signalflussgraphen ablesen: A = [ ] b = [ 0 4 ] c = [ 0 1 ] d = 1 7. Für die Umformung des gegebenen Signalflussgraphen in eine äquivalente kaskadierte Darstellung wird zunächst die Übertragungsfunktion in die Produktform gebracht: H(z) = z2 +2z +1 z 2 2z +1 = (z +1)(z +1) (z 1)(z 1) H(z) = H 1 (z) H 2 (z) = z +1 z 1 z +1 z 1 So stellen beide Teilsysteme jeweils Systeme 1.Ordnung dar und werden kaskadiert: 6

14 Da beide Teilsysteme identisch sind, existiert nur eine Möglichkeit der Kaskadierung. 8. Fragen zum Frequenzgang: Da das System instabil ist, existiert die Übertragungsfunktion nur für z > 1. Daraus folgt, dass man von der Übertragungsfunktion keinen Frequenzgang ableiten kann, da der Einheitskreis der z-ebene ( z = 1) nicht im Konvergenzgebiet (ROC) der Übertragungsfunktion liegt. 7

15 Aufgabe 3: Kontinuierliche Systeme 25 Pkt. Gegeben war die abgebildete Zweitorschaltung (LC-Serienschwingkreis), die zwischen identischen Quell- und Lastwiderständen eingebettet ist: R L C V 0( s) R V2 ( s ) Tor 1 Tor 2 Quelle Zweitor Last 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion (ÜF) H(s) = U 2 (s)/u 0 (s) des obigen Systems. Diese ergibt sich unmittelbar aus der Gesamtserienschaltung der vier Elemente mit dem Ansatz des Spanungsteilers zu: H(s) = U 2(s) U 0 (s) = R R+sL+ 1 s s 2 +2 Rs+. (1) 1 L LC +R = R L sc Die Systemordnung ist offenbar n = 2, was man unmittelbar auch aus der Zweitorschaltung mit 2 Reaktanzelementen ablesen kann. 2. Aufgaben zum Pol/Nullstellen-Diagramm (P/N): (a) Die oben bestimmte ÜF (1) der Ordnung n = 2 besitzt offensichtlich 2 Pole und 1 Nullstelle. Aus der Lösung der quadratischen Gleichung des Nenners: s 2 +2 R L s+ 1 LC = 0 (2) ergeben sich die beiden Pole des Systems in Abhängigkeit von den Elementewerten zu: (R s 1,2 = R ) 2 L ± 1 L LC. (3) Die Nullstelle von (1) liegt bei s 0 = 0. (b) P/N-Diagramm mit der Vorgabe, dass ein Pol reellwertig ist (siehe Darstellung): Da das System reellwertig ist (Elementewerte R, L, C reellwertig und positiv), muss auch der zweite Pol auf der reellen Achse der s-ebene liegen. Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt: ( R L 8 ) 2 1 LC (4)

16 (c) P/N-Diagramm mit der Vorgabe, dass ein Pol komplexwertig ist (siehe Darstellung): Da das System reellwertig ist, muss auch der zweite Pol komplex sein. Dies ist gemäß (3) genau dann der Fall, wenn gilt: ( ) 2 R < 1 L LC, (5) woraus folgt, dass die beiden Pole zueinander konjugiert komplex sind (ein konjugiertes Polpaar bilden). (d) Da die Elementewerte R, L, C des obigen Systems reellwertig und positiv sind, ist der Realteil der Pole gemäß (3) stets negativ, weshalb die Pole stets in der linken s-halbebene liegen, und das System grundsätzlich stabil ist (niemals grenz- oder instabil sein kann)! Dies folgt auch bereits aus der Tatsache, dass die Schaltung ausschließlich aus passiven und verlustlosen (Reaktanz-) Elementen aufgebaut ist und keine aktiven Elemente (Verstärker) enthält. 3. Den Frequenzgang des Systems erhält man aus der Übertragungsfunktion, indem man die ÜF entlang der imaginären Achse der s-ebene auswertet: s := jω. Voraussetzung für die Existenz des Frequenzgangs ist, dass die imaginäre Achse der s-ebene im Konvergenzgebiet (ROC) von H(s) liegt, d.h., dass die ÜF überall auf der imaginären Achse der s-ebene existiert (endlich ist; evtl. mit Ausnahme für f ). Nach den obigen Überlegungen zur Stabilität (Teilaufgabe 2(d)) ist diese Bedingung für das vorgegebene Zweitor grundsätzlich immer erfüllt. Damit folgt für den Frequenzgang des Systems 2.Ordnung: H(s) s=jω = H(jω) = R L jω (6) ω LC +2jR ω. L 4. Der zwischen den beiden Toren des obigen Zweitors liegende Serienschwingkreis stellt bei seiner Resonanzfrequenz ω 0 bekanntlich einen Kurzschluss dar. Folglich 9

17 ergibt sich die maximale Ausgangsspannung U 2max (jω) genau bei der Resonanzfrequenz ω 0 durch die rein Ohmsche Spannungsteilung vermittelt durch den Quell- und Lastwiderstand zu: U 2max (jω 0 ) = R R+R U 0(jω 0 ) = 1 2 U 0(jω 0 ). (7) Dieses Ergebnis erhält man auch unmittelbar aus dem Frequenzgang (6), wenn man für die Kreisfrequenz ω die Resonanzkreisfrequenz einsetzt: ω = ω 0 = ± 1 LC. (8) Offenbar existieren genau zwei derartige Resonanzfrequenzen auf der Frequenzachse (auf der imaginären Achse der s-ebene), die spiegelbildlich zur Frequenz f = 0 angeordnet sind. Da unser obiges System 2.Ordnung reellwertig ist, kann der Betrag und der Realteil des Frequenzgangs nur eine gerade Funktion der Frequenz sein! 5. Wie in der vorangehenden Teilaufgabe bereits ermittelt wurde, gilt bei der Resonanzfrequenz (8) im Zusammenhang mit dem Frequenzgang (6) für den Betrag und die Phase des Systems: (a) H(jω 0 ) = 1 2 R und damit H(jω 0) = 1 2, (b) ϕ(jω 0 ) = arg{h(jω 0 )} = arctan Im{H(jω 0)} Re{H(jω 0 )} = 0. (c) Für f = ω = 0 ergibt sich aus (6): H(j0) = 0 und 2π (d) für f = ω erhält man entsprechend aus (6): H(j ) = 0. 2π 6. Ergänzend sei angemerkt, dass das untersuchte System, das obige Zweitor, ein einfaches Bandfilter darstellt. 10

18 Aufgabe 4: Abtasttheorem 25 Pkt. 1. Da v(t) reell ist, ist das Betragsspektrum V (j2πf) symmetrisch zu f = 0: 2. Da V (j2π f g ) = 0, gilt f A = 2f g = 2 80Hz = 160Hz (anstelle von f A > 2f g ). 3. Ein diskretes Spektrum ist generell 2π-periodisch. Da v(t) reell ist, ist V ( e jω ) außerdem spiegelsymmetrisch zu Ω = mπ, m Z. Für die unterschiedlichen Frequenzachsen gilt der Zusammenhang: Ω = 2πf/f A f u 40Hz und f o = 80Hz. Im Fall f u = 0 handelt es sich um einen Tiefpass. 5. Betragsspektrum Y (j2πf) : 6. Das Signal ỹ(t) ist im Wesentlichen eine spektral gespreizte Version von v(t). Die Spiegelspektren des reellwertigen Signals ỹ(t) sind jetzt bei ±220Hz statt bei ursprünglich ±60Hz zentriert. 11