Aufgabe 1: Kontinuierliche und diskrete Signale

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1 Aufgabe (5 Punke) Aufgabe : Koninuierliche und diskree Signale. a) Zeichnen Sie jeweils den geraden Aneil v g ( ) und den ungeraden Aneil v u ( ) des in Abb.. dargesellen Signals v (). b) Es gelen folgende Beziehungen: -3 v () - v g ( ) V (jω) und v u ( ) V (jω). Abbildung. ) Sind V (jω) und V (jω) gerade oder ungerade? ) Sind V (j ) und V (j ) reell, rein imaginär oder komplex? ω ω 3. Sind Sie folgenden Signale periodisch? Falls ja, besimmen Sie deren Grundperiode. a) v ( ) = sin 6 b) v( k) = e 4 π k jπ 4 k c) v( k) = cos π 8.3 Im folgenden sind v (k) bzw. v () Eingangssignale und y(k) bzw. y () Ausgangssignale eines Sysems. Unersuchen Sie anhand der folgenden Beziehungen, ob das jeweilige Sysem () gedächnislos, () zeiinvarian, (3) linear, (4) kausal und/oder (5) BIBO-sabil is. a) y ( k) = v( k ) v( k 7) b) y( ) = v( ) v( ) c) y ( ) = v Bie Rückseie beachen!

2 Aufgabe (5 Punke).4 Gegeben is das in Abb.. dargeselle Eingangssignal v (). Welches der in Abb..3 dargesellen Ausgangssignale folg aus + 8T der Beziehung y ( ) = v? Begründen Sie ihre Anwor. -3T -T T v () T T 3T Beachen sie in Abb..3 die unerschiedliche Skalierung der Zeiachse. - Abbildung. y () y () T 6T T T 4T 4T -6T -T - - A B y () y () -T -3T T 4T T -6T -T - - C D Abbildung.3

3 Aufgabe (5 Punke) Aufgabe : Diskree Syseme Gegeben is die (ab dem Zeipunk k= periodisch forgeseze) Impulsanwor h p (k) eines diskreen LTI - Sysems: h p (k) k. Besimmen Sie die Überragungsfunkion H(z) des Sysems mi Hilfe der am Ende angegebenen Eigenschaf der z-transformaion (siehe Rückseie). Welche Ordnung ha das Sysem?. Besimmen Sie die Nullsellen z i der Überragungsfunkion H(z)..3 Besimmen Sie die Polsellen z r der Überragungsfunkion H(z)..4 Zeichnen Sie das P/N-Schema der Überragungsfunkion H(z)..5 Ermieln Sie die Differenzengleichung des Sysems: y(k) als Funkion von v(k)..6 Zeichnen Sie den Signalflussgraph (SFG) der ersen kanonischen Realisierung..7 Besimmen Sie die ZRD des Sysems nach.6. Rückseie beachen

4 Aufgabe (5 Punke).8 Das folgende Sysem is durch den Signalflussgraph (SFG) gegeben. Es soll die gleiche Überragungsfunkion H(z) wie.. besizen. Leider is ein kleiner Fehler unerlaufen. Welcher? Welches Sysem is mi geringe- rem Aufwand realisierbar? y(k) v(k) z z z z z () () (3) (4) (5) Periodische Forsezung: i= v(k - i K p ) o V(z) - z - K p

5 Aufgabe 3 (5 Punke) Aufgabe 3: Koninuierliche / Diskree Syseme Gegeben is folgende analoge Schalung: i e () L R C u a () 3. Besimmen Sie den Frequenzgang: H (jω) = U a (jω)/i e (jω). 3. Normieren Sie die Überragungsfunkion: H (jω) auf den Widersand R und formen Sie H(jω) so um, dass im Zähler eine seh. 3.3 Bei welcher Frequenz ω wird der Berag des Frequenzgangs H(jω) = H (jω)/r maximal? Wie groß is H(jω )? 3.4 Es soll der Frequenzgang H(jω) für Frequenzen ω << ω angenäher werden. Welcher Frequenzgang H klein (jω) ergib sich? Wie groß is der Wer H klein (jω ), wenn folgende Bauelemenewere gegeben sind: R = kω C = µf L = µh 3.5 Es soll nun der Frequenzgang H(jω) für Frequenzen ω >> ω angenäher werden. Welcher Frequenzgang H groß (jω) ergib sich? Wie groß is der Wer H groß (jω ), berechne mi den Bauelemeneweren nach 3.4? 3.6 Skizzieren Sie den Berag des Frequenzgangs H(jω) (Bodediagramm). 3.7 Beschreiben Sie die Funkion der Schalung mi Woren. 3.8 Wie laue die Überragungsfunkion H(s), also die H(jω) ensprechende Laplace- Transformiere? Welche Ordnung ha das Sysem? 3.9 Besimmen Sie die Pol-, Nullsellen und den Ampliudenfakor A F?

6 Aufgabe 4 (5 Punke) Aufgabe 4: Abasheorem Gegeben is das reellwerige, iefpassbegrenze und zeikoninuierliche Signal v () ensprechend Abb. 4.. Das zugehörige Spekrum V ( jω) besiz für ω > ω = π 6kHz keine Spekralaneile. Durch g Abasung mi der Abasfrequenz erhäl man das zeidiskree Signal v (k), das ebenfalls in Abb. 4. dargesell is. f A v (),vk, Abbildung 4.,5 /ms 4. Skizzieren Sie das Spekrum V ( jω) des Signals v (). 4. Geben Sie den minimalen Wer f A,min an, mi dem Sie v () grundsäzlich abasen können, ohne das Abasheorem zu verlezen. 4.3 Besimmen Sie anhand von Abb. 4. den Wer der Abasfrequenz f A, mi dem das angegebene zeikoninuierliche Signal v () durch Abasung in das gegebene zeidiskree Signal v (k) überführ wurde. Wurde das Abasheorem eingehalen? 4.4 Ha das Spekrum V ( e jω ) des abgeaseen Signals v (k) bei f = 9kHz, f = 3kHz das Spekrum ), f 3 =khz und f 4 =6kHz Spekralaneile? Skizzieren Sie hierzu 3 3 V ( e jω im Bereich von f = f A bis f = f A. 4.5 Mi dem in Abb. 4. gegebenen Sysem soll v () aus v (k) rekonsruier werden. Hierzu wird ein Tiefpass mi dem Frequenzgang für ω < ωue H (jω) =. für ω > ωoe D A TP f A f f Abbildung 4. eingesez. Der Verlauf zwischen den Frequenzen fue und foe is für die Lösung der Aufgabe nich relevan. Wie groß sind die minimale unere Eckfrequenz f UE und die maximale obere Eckfrequenz f OE des Tiefpasses, dami die Signalrekonsrukion noch perfek funkionier.

7 Aufgabe (5 Punke) Aufgabe : Koninuierliche und diskree Signale. a) Zeichnen Sie jeweils den geraden Aneil v g ( ) und den ungeraden Aneil v u ( ) des in Abb.. dargesellen Signals v (). -3 v () - 3 Abbildung. b) Es gelen folgende Beziehungen: v g ( ) V (j ) und v u ( ) V (j ). ω ω ) Sind V (jω) und V (jω) gerade oder ungerade? ) Sind V (j ) und V (j ) reell, rein imaginär oder komplex? ω ω V (jω) is gerade und reell. V (j ) is ungerade und rein imaginär. ω. Sind Sie folgenden Signale periodisch? Falls ja, besimmen Sie deren Grundperiode. a) = 4 π v ( ) sin ha die Grundperiode T P =π. 6

8 AG Digiale Signalverarbeiung Frühjahr 7 Aufgabe (5 Punke) b) v( k) = e k jπ 4 ha die Grundperiode N P =8. k c) v( k) = cos π ha die Grundperiode N P = Im folgenden sind v (k) bzw. v () Eingangssignale und y(k) bzw. y () Ausgangssignale eines Sysems. Unersuchen Sie anhand der folgenden Beziehungen, ob das jeweilige Sysem () gedächnislos, () zeiinvarian, (3) linear, (4) kausal und/oder (5) BIBO-sabil is. a) y ( k) = v( k ) v( k 7) is (), (3), (4) und (5). b) y( ) = v( ) v( ) is (), (3) und (5). c) y ( ) = v is (), (3) und (5)..4 Gegeben is das in Abb.. dargeselle Eingangssignal v (). Welches der in Abb..3 dargesellen Ausgangssignale folg aus + 8T der Beziehung y ( ) = v? Begründen Sie ihre Anwor. -3T -T T v () T T 3T Beachen sie in Abb..3 die unerschiedliche Skalierung der Zeiachse. - Abbildung. Richige y () T 4T -6T -T B -

9 Aufgabe (5 Punke)

10 Aufgabe : Diskree Syseme Gegeben is die (ab dem Zeipunk k= periodisch forgeseze) Impulsanwor h p (k) eines diskreen LTI - Sysems: h p (k) k. Besimmen Sie die Überragungsfunkion H(z) des Sysems mi Hilfe der am Ende angegebenen Eigenschaf der z-transformaion. Welche Ordnung ha das Sysem? - z (z + ) H(z) = + z = z - z z - Sysem 3. Ordnung. Besimmen Sie die Nullsellen z i der Überragungsfunkion H(z). z = ; z = + j ; z 3 = - j.3 Besimmen Sie die Polsellen z r der Überragungsfunkion H(z). 3 z = ; z = - + j ; z 3 = - j 3.4 Zeichnen Sie das P/N-Schema der Überragungsfunkion H(z).

11 Im Einheiskreis z Re.5 Ermieln Sie die Differenzengleichung des Sysems: y(k) als Funkion von v(k). y(k) = v(k) + v(k - ) + y(k - 3).6 Zeichnen Sie den Signalflussgraph (SFG) der ersen kanonischen Realisierung. v(k) x x + z y(k) x + x x 3 + x 3 z z.7 Besimmen Sie die ZRD des Sysems nach.6.

12 A = ; b = ; c = ; d =.8 Das folgende Sysem is durch den Signalflussgraph (SFG) gegeben. Es soll die gleiche Überragungsfunkion H(z) wie.. besizen. Leider is ein kleiner Fehler unerlaufen. Welcher? Welches Sysem is mi geringerem Aufwand realisierbar? y(k) v(k) z z z z z () () (3) (4) (5) Im Zweig mi den Verzögerungsgliedern und fehl die Muliplikaion mi. Das erse Sysem ha nur 3 Verzögerer, weil es kanonisch is. Periodische Forsezung: i= v(k - i K p ) o V(z) - - z K p

13 Aufgabe 3: Koninuierliche Syseme Gegeben is folgende analoge Schalung: i e () L R C u a () 3. Besimmen Sie den Frequenzgang: H (jω) = U a (jω)/i e (jω) jω L R H' (jω) = = + + jω C R + jω L -ω R C L R jω L 3. Normieren Sie die Überragungsfunkion: H (jω) auf den Widersand R und formen Sie H(jω) so um, dass im Zähler eine seh. H'(jω) H(jω) = = R R + j ( ω C R - ) ω L 3.3 Bei welcher Frequenz ω wird der Berag des Frequenzgangs H(jω) = H (jω)/r maximal? Wie groß is H(jω )? Maximum bei der Resonanzfrequenz : ω = ; H(jω) L C = 3.4 Es soll der Frequenzgang H(jω) für Frequenzen ω << ω angenäher werden. Welcher Frequenzgang H klein (jω) ergib sich? Wie groß is der Wer H klein (jω ), wenn folgende Bauelemenewere gegeben sind: R = kω C = µf L = µh

14 jω L Für ω << ω gil : Hklein(jω) =, R berücksichig! Im Nenner von H(jω) wird nur der größe Summand H klein (jω ) = j Es soll nun der Frequenzgang H(jω) für Frequenzen ω >> ω angenäher werden. Welcher Frequenzgang H groß (jω) ergib sich? Wie groß is der Wer H groß (jω ), berechne mi den Bauelemeneweren nach 3.4? - j Für ω >> ω ω = ω R C - 3 gil : Hgroß(jω) =, Hgroß(j ) - j 3.6 Skizzieren Sie den Berag des Frequenzgangs H(jω) (Bodediagramm). H, ω/ω,,, H H B B 3.7 Beschreiben Sie die Funkion der Schalung mi Woren. I/U-Konverer mi sark selekivem Bandpasscharaker (Resonanzverhalen eines gedämpfen Parallelschwingkreises)

15 3.8 Wie laue die Überragungsfunkion H(s), also die H(jω) ensprechende Laplace- Transformiere? Welche Ordnung ha das Sysem? H(s) = + s R C + R s L Sysem. Ordnung 3.9 Besimmen Sie die Pol-, Nullsellen und der Ampliudenfakor A F? AF H(s) = = mi AF = und s, = ± R + s R C + (s - s )(s - s ) R C L R C 4 R C s L - C L

16 Aufgabe 4 (5 Punke) Aufgabe 4: Abasheorem Gegeben is das reellwerige, iefpassbegrenze und zeikoninuierliche Signal v () ensprechend Abb. 4.. Das zugehörige Spekrum V ( jω) besiz für ω > ω = π 6kHz keine Spekralaneile. Durch g Abasung mi der Abasfrequenz erhäl man das zeidiskree Signal v (k), das ebenfalls in Abb. 4. dargesell is. f A v (),vk, Abbildung 4.,5 /ms 4. Skizzieren Sie das Spekrum V ( jω) des Signals v (). V(j ω) c -6 6 f / khz 4. Geben Sie den minimalen Wer f A,min an, mi dem Sie v () grundsäzlich abasen können, ohne das Abasheorem zu verlezen. f A, = khz min 4.3 Besimmen Sie anhand von Abb. 4. den Wer der Abasfrequenz f A, mi dem das angegebene zeikoninuierliche Signal v () durch Abasung in das gegebene zeidiskree Signal v (k) überführ wurde. Wurde das Abasheorem eingehalen? f = khz > f A A, min 4.4 Ha das Spekrum V ( e jω ) des abgeaseen Signals v (k) bei f = 9kHz, f = 3kHz das Spekrum ), f 3 =khz und f 4 =6kHz Spekralaneile? Skizzieren Sie hierzu 3 3 V ( e jω im Bereich von f = f A bis f = f A. jω V(e ) cf A,min f / khz

17 Aufgabe 4 (5 Punke) 4.5 Mi dem in Abb. 4. gegebenen Sysem soll v () aus v (k) rekonsruier werden. Hierzu wird ein Tiefpass mi dem Frequenzgang für ω < ωue H (jω) =. für ω > ωoe D A TP f A f f Abbildung 4. eingesez. Der Verlauf zwischen den Frequenzen fue und foe is für die Lösung der Aufgabe nich relevan. Wie groß sind die minimale unere Eckfrequenz f UE und die maximale obere Eckfrequenz f OE des Tiefpasses, dami die Signalrekonsrukion noch perfek funkionier. Aus Aufgabe 4.4 folg: f 6kHz und f 4kHz UE, min = OE, max =