P (X = 0) = 0.6 P (X = 1) = 0.4.

Transkript

1 .7. Aufgabe % Geqgeben is folgender diskreer Kanal mi Zufallsvariable X {, } am Sender und Y {A, B, C} am Empfa nger. Nehmen Sie an, dass gil: (X ).6 (X ).. X Y A....6 B.. C 6%. Besimmen Sie die Transinformaion I(X; Y ). inweis: Sellen Sie die ermielen Enropieerme mi der Funkion (p, p, p,..., pn ) dar, wobei (p, p, p,..., pn ) dig. N i pi log pi is. Ein weiere Berechnung is nich nowen- I(X; Y ) (Y ) (Y X) (.,.6,.) [(.,.,.).6 (.,.6,.).] 6%. Berechnen Sie die bedinge Enropie (X Y ). (X Y ) (X) I(X; Y ) (X Y ) (.6) [(.,.6,.).6 (.,.,.). (.,.6,.) 6%. Nuzen Sie die Maximum-a-poseriori-Deekion um die opimale Enscheidung beim Empfa nger zu besimmen, wenn das empfangene Symbol C is. / Forsezung der Aufgabe...

2 .7. argmax px Y (X Y C) X Y (X Y C) (Y C X x) (X x) (Y C) X Y X X > Wir sollen fu r X enscheiden. 6%. Wie groß is die Fehlerwahrscheinlichkei, die sich im Aufgabeeil. ergib? pe (Y C) p(x Y C) Aufgabe % Gegeben sind die Funkionen in der folgenden Abbildung. Φ () Φ () a a a a %. Besimmen Sie a > so, dass die zwei Funkionen Φ () und Φ () orhonormale Basisfunkionen bilden. R Φi () d i, a a / Forsezung der Aufgabe...

3 .7. s() Abbildung : Das empfangene Signal. %. Gegeben is das Signal s() in der Abbildung. Das Signal s() soll als Signalvekor dargesell werden. Besimmen Sie dazu die Korrelaionskoeffizienen zwischen s() und den beiden Basisfunkionen. inweis: Die Korrelaionskoeffizien zwischen zwei Signalen x und x is wie folg gegeben Z ρx,x x ()x ()d. s R s() Φ () d s() Φ () / Forsezung der Aufgabe...

4 .7. s() Φ () s R s() Φ () d %. Kann man das Signal s() vollsa ndig als lineare Kombinaion von Φ () und Φ () darsellen? Falls ja, dann begru nden Sie Ihre Anwor. Falls nein, dann vervollsa ndigen Sie die orhonormale Basis durch Besimmung weierer orhonormaler Basisfunkionen. Nein weil s() 6 Φ () Φ () s Φ () s Φ () g() s() [s Φ () s Φ ()] / Forsezung der Aufgabe...

5 .7. g() / g() g() r 9 9 g() r r Φ () Φ () q / Forsezung der Klausur...

6 .7. Aufgabe 6% Gegeben is eine Quelle, welche die Were X {,.,,.,, } jeweils mi der Aufriswahrscheinlichkei,,,,, erzeug. Die Quelle wird mi der folgenden Codiervorschrif verlusbehafe codier: X bxc, wobei bxc die gro ße ganze Zahl repra senier, die kleiner oder gleich X is. Bsp. b.c und bc. %. Wie groß is die milere amming-disanz E[d (X, X )]? X {,.,,.,,., } X bxc X / X / X. / X / / X. / E{d (x, x )} X X / / X / / p(x, x ) d (x, x ) x,x %. Besimmen Sie die bedinge Enropie (X X). (X X), weil X is nich zufa llig wenn X bekann is. %. Besimmen Sie die bedinge Enropie (X X ). 6 / Forsezung der Aufgabe...

7 .7. (X X ) (X X) (X) (X ) (X) (X ),,,,,,,, inweis: Wenn Sie Aufgabeneil. nich lo sen ko nnen, Nehmen Sie an, dass (X X) a. %. Wie groß is die Rae I(X; X )? Nehmen Sie an, dass log ().. I(X; X ) (X ) (X X) (X ),,,,,, log log log...9 (log log ) (log log ) Aufgabe % Ein Sender sende Signale x[k] X u ber einen Kanal, wobei k den Zeiindex darsell. Das Signal X is mielwersfrei und ha die milere Leisung. Nehmen Sie an, dass die gesendeen Signale voneinander sochasisch unabha ngig sind. Die Kanalimpulsanwor is wie folg gegeben: h[l] δ[l] δ[l ] δ[l ]. Nehmen Sie außerdem einen AWGN-Kanal mi der Rausch-Vereilung n N (, ) am Empfa nger an. %. Besimmen Sie hdes und in mi dem Empfangssignal y[k] hdes x[k] in xin [k] n[k] {z } {z } {z} gewu nsche Signal 7 / Inerferenzsignal () Rauschen Forsezung der Aufgabe...

8 und.7. y[k] y[k ] y[k] y[k ] y[k ] x[k ] xin [k] x[k ] n[k] n[k ] n[k] n[k ]. n[k ] h[l] δ[l] δ[l ] δ[l ] δ[l ] y[k] x[k] x[k ] x[k ] x[k ] y[k] y[k ] x[k ] x[k] n y[k ] x[k ] y[k ] hdes in %. Gegeben sei das Empfangsfiler uzf c a c. Besimmen Sie die reellen Koeffizienen c, c so, dass das Empfangsfiler uzf ein ZeroForcing-Enzerrer is. Besimmen Sie den Koeffizienen a so, dass die gewu nsche Signalleisung bera g. u ZF in [ ] x x ( x x x x x x x x u ZF hdes / Forsezung der Aufgabe...

9 .7. uzf a a a [ / /] a 7 uzf 7 %. Besimmen Sie das Mached-Filer (Signalangepasses Filer). inweis: Wenn Sie Aufgabeneil. oder. nich lo sen ko nnen, verwenden Sie zur Bearbeiung der anschließenden Aufgabeneile die folgenden Were:. uzf. in hdes... umf hdes hdes wobei hdes q h des hdes r 6 r 6 umf / / Alernaive Lo sung q q h h des des 9 / Forsezung der Aufgabe...

10 .7. umf / %. Wie groß is das SINR (Signal-zu-Inerferenz-und Rausch-Verha lnis) nach dem MachedFiler als Funkion von? u MF hdes hdes umf u MF in in umf umf umf σn hdes u MF in in umf umf umf {z } SINRMF 6 Fu r die alernaive Lo sung SINRMF %. Wie groß is das SINR nach dem Zero-Forcing-Enzerrer als Funkion von? u ZF hdes hdes uzf u ZF in in uzf uzf uzf σn p u ZF uzf 7 p 6 SINRZF Fu r die alernaive Lo sung SINRZF p %.6 Besimmen Sie die milere Leisung, so dass das Mached-Filer und der Zero-ForcingEnzerrer das gleiche SINR ergeben. / Forsezung der Aufgabe...

11 .7. SINRMF SINRZF Fu r die alernaive Lo sung: 6 %.7 Zeichnen Sie qualiaiv das SINR als Funkion von fu r das Mached-Filer und ZeroForcing-Enzerrer. SINR ZF MF / Ende der Klausur