Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Prof. Dr. Guido Sweers WS 08/09 Jan Gerdung, M.Sc. Gewöhnliche Differenialgleichungen Übungsbla Die Lösungen müssen in den Übungsbriefkasen Gewöhnliche Differenialgleichungen (Raum 0 im MI) geworfen werden. Abgabeschluss is am Donnersag, den , um Uhr. Aufgabe : Lösen Sie das Anfangswerproblem { } x () = min x (), x (),,, x(0) = 0. Hinweis: Trennung der Variablen Lösung : Die Differenialgleichung is rennbar: { } { } x () = min x (), x (),, = min x (), min {, } Ensprechend der Vorlesung besimmen wir Sammfunkionen G() = min { s, s }, falls <.5 ds = + 4, falls.0 + G 8, falls <.5 x.0, falls x < H(x) = min {, }ds = x + 0.5, falls x s x + 4, falls < x -4-4 H is inverierbar: y, falls y < H inv (y) = y, falls y 5 y 4, falls 5 < y 4 H Die Lösung erhäl man via x() = H inv (G() + C). H inv Wegen x(0) = 0 folg 0 = H ( inv 4 + C) und somi C =. Um x() zu besimmen bemerken wir zunächs, dass G() < für < G() 5 für - 5 < G() für > -

2 Dami erhalen wir x():, falls < 4, falls < x() =, falls < + 4, falls < +, falls In der Ta gil dann ( ) /, falls <, falls < x () =, falls <, falls < ( + ) /, falls { } = min x (), min {, }.

3 Aufgabe (6 Punke): Ordnen Sie jeder Differenialgleichung ein Bild zu. In jedem Bild finden Sie vier dazugehörige Lösungen der jeweiligen Differenialgleichung. (a) y (x) = xy(x) ( y(x)) (c) y (x) = xy(x) ( y(x)).).) ) 4.) (b) y (x) = x y(x) ( y(x)) (d) y (x) = xy(x) ( y (x)) Lösung : (b) Angenommen, es gäbe eine zur y-achse symmerische Lösung, dann würde wegen y(x) = y( x) auch y (x) = y ( x) gelen. Da aber wegen der Differenialgleichung auch y ( x) = ( x) y( x) ( y( x)) = x y(x) ( y(x)) = y (x) gil, muss y(x) konsan sein. Da aber alle Bilder außer Bild nich konsane zur y-achse symmerische Lösung haben, muss (b) zu Bild gehören. (d) Falls y(x) =, muss y (x) = 0 gelen, dami können wir Bild ausschließen. Desweieren gil für x > 0 und y(x) <, dass y (x) > 0 gil. Dami können wir auch Bild 4 ausschließen, d.h. (d) gehör zu Bild. (a) Wiederum vergleichen wir, was bei x > 0 und y(x) < passier: In diesem Fall muss y (x) > 0 gelen, d.h. (a) gehör zu Bild. (c) gehör zu Bild 4.

4 Aufgabe (6 Punke): Ein Fallschirmspringer erreich in kurzer Zei nach dem Öffnen des Fallschirms eine fas konsane verikale Geschwindigkei. Welches Modell würde da am Besen passen? (a) mv () = c w v (). (b) mv () = c w (v ()). (c) mv () = c w v () v (). Hier is m die Masse, v die verikale Geschwindigkei und c w eine posiive Reibungskonsane. g = 9.8 > 0 is die Erdbeschleunigung. Begründen Sie Ihre Wahl. Lösung : Der Fallschirmspringer fäll in Richung der Graviaionskraf, daher gil v 0. mv }{{} Kraf auf den Fallschirmspringer = }{{} Graviaionskraf... }{{} Reibungskraf Konsane Geschwindigkei wird bei v = 0 erreich. Im zweien Fall gil aber, v g < 0 und daher kann (b) ausgeschlossen werden. Da die Graviaionskraf den Fallschirmspringer schneller mach (im Sinne von: v wird größer), muss die Reibungskraf möglichs groß sein um den Fallschirmspringer schnell abzubremsen. Da v groß is, is c w v kleiner als c w v, d.h. (c) is die bessere Wahl. Man kann aber auch die DGLs lösen und die gefundenen Lösungen vergleichen: (a) Um den Fallschirmspringer zu bremsen, muss v > 0 gelen. Dann gil c w v > 0 und mi Trennung der Variablen folg: Es folg: m = v() v 0 c w v dv = c w ln ( c w v()) + c w ln ( c w v 0 ) v() = + + c wv 0 e m. c w (c) Wegen v 0 können wir die DGL umformen: Wir erhalen mi Trennung der Variablen: m = v() c w mv () = + c w v (). v 0 + c w v dv = v() ( v 0 v ) dv Aufgrund der Bremswirkung muss + c w v > 0 gelen. Daraus folg v wir finden als Sammfunkion des oberen Inegrals arcoh (und nich aranh): Daraus folg: m = v() = ( arcoh ( v() ) arcoh ( v 0 ( ( ) ) coh arcoh c w v g 0 m )) < und 4

5 Hier sieh man für m = 80, v 0 = 55 und c w = 5 die Geschwindigkeien im Fall (a) blau und im Fall (c) orange dargesell

6 Aufgabe 4: Berechnen Sie alle Lösungen zu: (a) x () = x () ( x () ) ; (b) x () = ( x () ) ; (c) x () = an (x ()) ; (d) x () + x () =. Lösung 4: (a) x () = x() x () is eine Bernoulli-DGL. Mi der Subsiuion x() = (u()) / folg (hierbei erhäl man nur die posiiven Lösungen): u () = u() du = + C oder u u ln u = + C oder u u() = + De wobei D R, wobei wegen u() > 0 { R, falls D 0 ( ln ( ) ) D,, falls D < 0 gil. Auf diesen Definiionsgebieen finden wir die Lösungen x() = ±. + De Desweieren erhäl man noch die konsane Lösung u 0. (b) Die DGL is rennbar und x ± sind konsane Lösungen. Falls x() ± so erhalen wir: { x() + C = x dx = arcanh(x()), falls x() < arccoh(x()), falls x() > Zusammen erhäl man die Lösungen x() = ± für R, x() = anh ( + C ) für R, x() = coh ( + C ) für R und C > 0, x() = coh ( + C ) für R \ {± C} und C 0. 6

7 ( ) (c) Wir formen um und erhalen x () = arcan x(), miels Subsiuion u = x() is dann u () = (arcan(u) u) Diese DGL kann man mi Trennung der Variablen lösen, allerdings ha arcan(u) u keine Sammfunkion, die man miels bekanner Funkionen darsellen kann. Man finde aber die konsanen Lösungen für u, indem man an(α) = α lös. Somi is x() = α für solche α eine Lösung der DGL (d) Die homogene DGL x () + x() = 0 ha die Lösungen x h () = C. Eine spezielle Lösung finde man mi x() =. Folglich sind alle Lösungen durch x() = C + für R \ {0} gegeben. 7

8 Aufgabe 5 (8 Punke): Geben Sie die maximalen Exisenzinervalle der Lösungen dieser Differenialgleichungen: x () = (a) x4 () x() = x () = (b) x () + x() x() = 0 { x () = x() x () (c) x( ) = e e { x () = x() + x () e (d) Lösung 5: x(0) = e+ e (a) Die DGL is rennbar. Ensprechend der Noaionen im Skrip verwenden wir f(x) = x4 und g() =. Dann erhalen wir: H(x) = f(x) dx = x G() = g()d =.4..0 Wie im Skrip gil nun H(x()) = G()+C, d.h. für + C 0 gil x() = + C Wegen x() = gil C = 0 und somi is x() = für R \ {0} eine Lösung. Das maximale Exisenzinervalle is wegen des vorgegebenen Weres bei = also (0, ). (b) Für 0 subsiuieren wir y() = x() y () = x () x() =. Dann gil ( y () + y() ) y() = y () Mi Trennung der Variablen erhäl man mi den obigen Noaionen: H(y) = y dy = y G() = d = Somi gil y() = + C und x() = (C ). Wegen x() = 0 folg C =, also x() = ( ). 8

9 Da x auf ganz R seig is und nur bei x = 0 und x = nich differenzierbar is, is das maximale Exisenzinervall nach Definiion.8 ganz R. (c) Dies is eine Bernoulli-DGL mi m =. Für x() 0 subsiuieren wir x() = y() / und kommen nach dem Skrip auf die DGL y () = y() +. Miels Trennung der Variablen sind die homogenen Lösungen der DGL durch y h () = Ce gegeben. Variaion der Konsanen y() = C()e liefer: y () = e C() + e C (), also muss = e C () gelen. Man finde daher C() = e + c. Folglich gil y() = + ce und daher: x() = ±. + ce Wegen e = x( ) = ± e + c e is die gesuche Lösung: = ± e e+c.5.0 x() = 0.5. e Das dazugehörige maximale Exisenzinervall is (, 0). (d) Dies is eine Riccai-DGL. Eine spezielle Lösung finden wir mi x() = e. Wir subsiuieren x() = x() + y() erhalen wir: y () = ( + e ) y() + y () Dies is eine Bernoulli-DGL. Wir subsiuieren (z()) = y() für y() 0, dies führ zu z () = ( + e ) z() Die homogenen Lösung sind z h () = Ce e. Mi Variaion der Konsanen erhalen wir e e C () = und somi C() = ee + c. Dami folg z() = e + ce e und insbesondere x() = e + e + ce e = e ce e + ce e. 4 5 Wegen e+ = x(0) gil c = e und somi e ( ) x() = e e e + e e = e coh e Das maximale Exisenzinervall is ( ln ( ), )