Lösungen zu Übungsblatt 4

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1 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Lösungen zu Übungsbla 4 Aufgabe 2 Punke a Geben Sie eine Funkion f : R R an, sodass es ein T R > mi R: f + T = f gib, aber kein regulärer periodischer Weg c : R R 2 mi κ c = f exisier b Geben Sie einen periodischen Weg in R 2 an, der unendlich viele Scheiel besiz Lösung zu a Die konsane Funkion : R R ha diese Eigenschaf: Jeder reguläre periodische Weg c : R R 2 mi κ c = besiz eine Umparamerisierung c : I R 2 nach der Bogenlänge; wegen Fak 85 und Fak 7 is c ebenfalls periodisch und ha konsane Krümmung Nach Corollar 72 gib es x, v R 2 mi v =, sodass c = x + v für alle R gil Das widersprich aber der Periodiziä von c: gäbe es ein R > mi c = c, dann wäre v =, es is aber v = Also exisier kein regulärer periodischer Weg c : R R 2 mi κ c = f Alernaive Lösung zu a Wir wählen eine periodische Funkion f : R R, die nich gla is: zb f = sin diese Funkion is seig, aber nich differenzierbar; oder f = im Fall sin, und f = im Fall sin < diese Funkion is nich seig Jeder reguläre Weg is per Definiion gla, ha also glae Krümmung Daher gib es keinen regulären Weg c : R R 2 mi κ c = f, ers rech keinen periodischen Lösung zu b Der durch c = cos sin gegebene Weg c : R R 2 is regulär und ha Periode 2 und konsane Krümmung Daher is jedes [,2[ ein Scheiel gemäß der Definiion in 9 Aufgabe 4 4 Punke + Bonuspunk Wir berachen den Weg c : R R 2 mi c = 2sincos 2sinsin a Skizzieren Sie die Spur von c Wenn Sie sich schon mal für die Klausur aufwärmen wollen, benuzen Sie dabei keine elekronischen Hilfsmiel Es komm nich auf Perfekion an, die wesenlichen Merkmale der Spur müssen aber korrek wiedergegeben werden b Zeigen Sie, dass c regulär und periodisch is Besimmen Sie die Periode von c c Zeigen Sie, dass c genau zwei Scheiel besiz d Bonusaufgabe: Besimmen Sie die Umlaufzahl der von c definieren orienieren Kurve Lösung zu 4a

2 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Lösung zu 4b Für alle R gil c 2cos 2 2sinsin = 2cossin + 2sincos = sin + 4sin 2 2, cos 4sincos also c 2 = sin + 4sin cos 4sincos 2 = sin 2 + 6sin sin + 4sin 6sin 2 + cos 2 + 6sin 2 cos 2 8sincos 2 = + 6sin sin + 4sin 6sin 2 8sincos 2 = + 4 8sin + 4sin = 5 4sin > Daher is c regulär Für alle R gil offensichlich c + 2 = c Für jedes T ],2[ is sin 2 + T ],], also c 2 + T = 2sin 2 + T < = c, 2 insbesondere c 2 + T c 2 Daher is 2 die Periode von c Lösung zu 4c Mi der Formel für c aus Teil b und c = cos + 8sincos, c 2 = sin 4cos2 + 4sin 2 = sin + 8sin 2 4 erhalen wir c c 2 c 2 c = sin + 4sin 2 2 sin + 8sin 2 4 cos 4sincos cos + 8sincos = 8 + 6sin sin 2 2sin + 2sin 4 + cos 2 2sincos 2 + 2sin 2 cos 2 = 9 + 6sin 2sin 2 2sin + 2sin 2 = 9 6sin, dh κ c = c c 2 c 2 c c = 9 6sin 5 4sin /2 An der Selle [,2[ kann κ c nur dann ein lokales Exremum haben, wenn κ c = is Für ein solches gil = κ c = 6cos /2 + 4cos 9 6sin 5 4sin 2 5/2 = 6cos 5 4sin + 9 6sin 5/2 5 4sin 5 4sin 4 2sin = 6cos 5/2, 5 4sin also cos = und dami { 2, } 2 Daher ha c höchsens zwei Scheiel Weil jede T -periodische Funkion, zb die Krümmung eines T -periodischen regulären Weges, mindesens an einer Selle in [,T [ ihr Maximum und an einer anderen Selle in [,T [ ihr Minimum annimm, ha jeder reguläre periodische Weg mindesens zwei Scheiel Der Weg c ha also genau zwei Scheiel Lösung zu 4d Die Umlaufzahl der von c definieren Kurve γ is 2 2

3 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Beweis Wir benuzen das Umlaufzahl-Lemma aus den Lösungen von Bla mi x = Zuers berechnen wir die Menge { S := [,2[ c } c = Ein [,2[ erfüll gemäß der Formel für c siehe Lösung von 4b genau dann c 2 =, wenn gil: = cos 4sin, also cos = oder sin = 4 Im Fall sin = 4 erhalen wir c = sin + 4sin 2 2 = = 2 <, also c c = Der Fall cos = is äquivalen zu { 2, 2 } ; dann gil c = sin + 4sin 2 2 = ± >, also c c = Daher is S = { 2, } 2 Für := 2 und 2 := 2 berechnen wir nun das Vorzeichen ν i {±} von c c 2 c 2 c i, also das Vorzeichen von c 2 i Wegen sin i = i+ folg aus der in der Lösung von 4c angegebenen Formel für c : c 2 i = sin i + 8sin i 2 4 = i = i + 4 > Also is ν = ν 2 = Aus dem Umlaufzahl-Lemma von Bla folg daher w γ = ν + ν 2 = 2 Aufgabe 5 4 Punke Sei c : I R 2 ein regulärer Weg Für I gele κ c Wir berachen m c, := c + κ c n c R 2, ρ c, := κ c R >, K c, := {x R 2 } x mc, = ρc, K c, is also der Kreis mi Mielpunk m c, und Radius ρ c, a Falls c nach der Bogenlänge paramerisier is, berachen wir den durch k c, := c + cosκc n c + sinκ c c κ c definieren Weg k c, : R R 2 Zeigen Sie: c = k c, und c = k c, und c = k c, und Spur k c, = Kc, b Zeigen Sie: Für jedes offene Inervall J R mi c I J c = { } und für jede Umparamerisierung c : Ĩ R 2 von c I J und jedes s Ĩ mi cs = c gil K c, = K c,s c Zeichnen Sie für den durch [ cos gegebenen Weg c : 2, 2 ] R 2 die Spur von c und die Kreise K c,, K c,, K c, in dasselbe Bild 4 Definiion K c, heiß der Schmiegkreis synonym: Krümmungskreis von c an der Selle Lösung zu 5a Weil c,n c eine Orhonormalbasis von R 2 is denn c is nach der Bogenlänge paramerisier, is K c, für jedes ν {, } die Spur des Weges w : R R 2 mi ws := m c, + ρ c, ν cos s 2 c + sin s 2 nc Für ν = κ c κ c gil ws = m c, + cossn c + sinsc s = k c, κ c κ c

4 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Weil die durch Muliplikaion mi κ c gegebene Abbildung R R bijekiv is, is daher Spurk c, = Spurw = K c, Außerdem erhalen wir durch Ableien für alle R k c, = c + κ c n c = m c,, k c, = sin κ c n c + cos κ c c, k c, = c, k c, = κ c n c = c ; für die leze Gleichung haben wir wieder verwende, dass c nach der Bogenlänge paramerisier is Lösung zu 5b Wegen c I J c = { } is I J Weil I ein Inervall mi nichleerem Inneren is und J ein offenes Inervall is, is I J also auch ein Inervall mi nichleerem Inneren Nach Voraussezung is Ĩ R ein Inervall mi nichleerem Inneren, und es gib einen Diffeomorphismus ϕ: Ĩ I J mi c = c ϕ Es gil ϕs =, denn cϕs = cs = c und I J und ϕs I J und c I J c = { } Wir definieren ν :=, wenn ϕ orienierungserhalend is; andernfalls ν := Nach Fak 64 und 7 aus der Vorlesung gil n c = νn c ϕ und κ c = νκ c ϕ, also m c,s = cs + κ c s n cs = c + νκ c ϕs νn cϕs = c + κ c n c = m c, und ρ c,s = κ c s = νκ c = ρ c, Daher is K c, = K c,s Lösung zu 5c Für alle [ 2, 2 ] gil n c = +sin 2 sin und κc = n c =, nc = 2, nc 4 =, κ c =, κ c =, κ c 4 = cos +sin 2 /2, also K c, 4 K c, K c, Aufgabe 6 2 Punke I R sei ein Inervall mi nichleerem Inneren, es sei I, c R 2, θ R, und f : I R sei gla 4

5 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Zeigen Sie: Der durch c := c + cos θ + s f r dr sin θ + s f r dr definiere Weg c : I R 2 is nach der Bogenlänge paramerisier und erfüll κ c = f Lösung zu 6 Für jedes I gil also c = und c = cos θ + f r dr sin θ +, c = f sin θ + f r dr f r dr cos θ +, f r dr κ c = c c 2 c 2 c = cos θ + f r dr = f, was zu zeigen war f cos θ + f r dr + sin θ + f r dr f sin θ + f r dr Bemerkung zu 6 Die Exisenzaussage von Saz 7 sag, dass zu jeder glaen Funkion f : I R ein nach der Bogenlänge paramerisierer Weg c : I R 2 mi κ c = f exisier Das haben wir hier noch einmal bewiesen; dieses Mal, indem wir eine konkree Formel für c angegeben haben Uner Benuzung der Eindeuigkeisaussage von Saz 7 kann man leich zeigen, dass zu jedem nach der Bogenlänge paramerisieren Weg c : I R 2 mi κ c = f ein c R 2 und ein θ R exisieren, sodass das oben angegebene c gleich c is Dh, jede nach der Bogenlänge paramerisiere Lösung c von κ c = f besiz die oben angegebene Form Unser ursprünglicher Beweis von Saz 7 ha aber den Voreil, dass er nach minimalen Anpassungen auch noch einen Beweis von Saz 52 über die Exisenz und Eindeuigkei von Wegen in R mi vorgegebener Krümmung und Torsion liefer Für dieses dreidimensionale Problem gib es keine explizie Formel wie die hier bewiesene Aufgabe 7 4 Punke Beweisen Sie Fak 9 aus der Vorlesung: Für eine glae Funkion f : R R sind äquivalen: Es gib einen periodischen nach der Bogenlänge paramerisieren Weg c : R R 2 mi κ c = f 2 Es gib ein T R >, das folgende Bedingungen erfüll: Für alle R gil f + T = f Die durch F := f s gegebene Funkion F : R R erfüll F T 2Z, cosf d = = sinf d Tipp: Benuzen Sie Aufgabe 6 Lösung zu 7 5

6 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi 2: Für die Periode T R > von c gil R: c + T = c, also R: f + T = κ c + T = κ c = f Wir berachen den durch c := s cos f r dr sin s = f r dr cosf s sinf s definieren Weg c : R R 2 Lau Aufgabe 6 is er nach der Bogenlänge paramerisier und ha Krümmung f Daher gib es nach Saz 7 aus der Vorlesung eine orienierungserhalende euklidische Bewegung Φ: R 2 R 2 mi c = Φ c Weil T die Periode von c is, gil R: c + T = Φc + T = Φc = c, insbesondere also ct = c und c T = c und dami = c T c = = c 2 T c 2 = = c T c = cosf d, sinf d, cosf T sinf T cosf sinf Aus der lezen Zeile folg F T = F T F 2Z Dami is 2 bewiesen 2 : Der durch c := s cos f r dr sin s = f r dr cosf s sinf s definiere Weg c : R R 2 is lau Aufgabe 6 nach der Bogenlänge paramerisier und ha Krümmung f Aus 2 folg für alle R +T F + T F = = 2Z f s = f s + f s + F T + +T f s + f s + T = T f s Wegen cosf d = = sinf d erhalen wir daher für alle R +T c + T c = cosf s sinf s cosf s = sinf s cosf s = sinf s cosf s = sinf s = Also is c periodisch und dami bewiesen cosf s + sinf s T cosf s + T sinf s + T cosf s sinf s f s + F T + f s = F T +T cosf s sinf s 6